2.3　一元二次不等式 练习-2027届高三数学一轮专题复习（通用版）

**基本信息** 聚焦一元二次不等式的解法与应用，通过基础到综合的题型设计，系统覆盖集合运算、含参讨论、恒成立等核心考法，强化运算能力与推理意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础应用|1-3题|集合结合、分式不等式、参数错误分析|从不等式求解到与集合交汇，构建概念应用基础| |综合提升|4-11题|恒成立、根分布、解集中整数问题、多选型参数讨论|通过参数分类与条件转化，深化推理能力| |实际与跨知识应用|4题、14题|销售模型、三角换元|结合实际情境与三角知识，体现模型意识与应用能力|

2.3　一元二次不等式 一、 单选题 1 [2025绵阳南山中学月考]已知集合A＝{x|x2－3x－4≤0}，B＝{x|－2<x<2}，则A∩(∁RB)等于(　　) A. {x|－1<x<2} B. {x|－1≤x≤2} C. {x|2<x<4} D. {x|2≤x≤4} 2 [2025南安侨光中学月考]不等式≥2的解集为(　　) A. [－2，0) B. (0，＋∞) C. (－∞，－2] D. (－2，＋∞) 3 [2026苏州常熟月考]甲、乙两人解关于x的不等式x2＋bx＋c<0，甲写错了常数b，得到的解集为{x|1<x<6}；乙写错了常数c，得到的解集为{x|1<x<4}，则原不等式的解集为(　　) A. {x|－1<x<6} B. {x|－6<x<1} C. {x|－3<x<－2} D. {x|2<x<3} 4 某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，则日销售量将减少2盏．现决定提价销售，为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，则这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是(　　) A. [15，22) B. [15，18) C. [15，20) D. [15，24) 5 [2025石家庄一中月考]若函数f(x)＝lg (mx2－mx＋2)的定义域为R，则实数m的取值范围是(　　) A. [0，8) B. (8，＋∞) C. (0，8) D. (－∞，0)∪(8，＋∞) 6 “m>2”是“关于x的方程2x2－mx＋1＝0有两个不等实根”的(　　) A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 7 [2025南京中华中学月考]已知方程x2＋(m－2)x＋5－m＝0的两根都大于2，则实数m的取值范围是(　　) A. (－5，－4]∪[4，＋∞) B. (－5，－4] C. (－5，－4) D. (－5，－4)∪(4，＋∞) 8 [2026淄博十一中月考]已知关于x的不等式x2－2(m＋1)x＋4m≤0的解集中恰有4个正整数，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C. D. ∪ 二、 多选题 9 [2025汕头金山中学期中]已知关于x的不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，则下列说法中正确的是(　　) A. a>0 B. 不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6} C. a＋b＋c>0 D. 不等式cx2－bx＋a<0的解集为(－∞，－)∪ 10 [2025赣州南康三中月考]对于给定的实数a，关于x的一元二次不等式(ax－1)(x＋1)<0的解集可能是(　　) A. B. {x|x≠－1} C. D. R 11 [2025木渎高级中学调研]已知不等式2kx2＋kx－<0，则下列说法中正确的是(　　) A. 若k＝1，则不等式的解集为 B. 若不等式对任意x∈R恒成立，则整数k的取值集合为{－2，－1，0} C. 若不等式对0≤k≤1恒成立，则实数x的取值范围是(－，) D. 若恰有一个整数x使得不等式成立，则实数k的取值范围是[，＋∞) 三、 填空题 12 [2025德才高级中学期中]已知2x2－kx＋m<0的解集为(－1，t)(t>－1)，则k＋m的值为________． 13 [2026启东中学月考]若命题“∃x∈R，有mx2－2mx－3>0”是假命题，则实数m的取值范围为________． 14 若函数f(x)＝cos 2x－2a cos x－2<0对任意x∈R恒成立，则实数a的取值范围是________． 2．3　一元二次不等式 1. D　解析：因为B＝{x|－2<x<2}，所以∁RB＝{x|x≤－2或x≥2}．又A＝{x|x2－3x－4≤0}＝{x|－1≤x≤4}，所以A∩(∁RB)＝{x|2≤x≤4}． 2. A　解析：由≥2，得≤0，则解得－2≤x<0，故所求不等式的解集为[－2，0). 3. D　解析：由题意，得甲的常数c正确，乙的常数b正确．由根与系数的关系，得1×6＝c，1＋4＝－b，则c＝6，b＝－5，所以原不等式为x2－5x＋6<0，即(x－2)(x－3)<0，解得2<x<3.故原不等式的解集为{x|2<x<3}． 4. C　解析：由题意，得[30－2(x－15)]·x>400，即x2－30x＋200<0，解得10<x<20.又x≥15，所以15≤x<20，故这批台灯的销售单价x(单位：元)的取值范围是[15，20). 5. A　解析：由题意，得mx2－mx＋2>0在R上恒成立．若m＝0，则mx2－mx＋2＝2>0在R上恒成立，满足题意；若m≠0，则解得0<m<8.综上，实数m的取值范围是[0，8). 6. D　解析：因为关于x的方程2x2－mx＋1＝0有两个不等实根，所以Δ＝m2－8>0，解得m＜－2或m＞2，则“m>2”是“关于x的方程2x2－mx＋1＝0有两个不等实根”的既不充分又不必要条件． 7. B　解析：由题意，得即解得－5<m≤－4.故实数m的取值范围是(－5，－4]. 8. B　解析：原不等式可化为(x－2)(x－2m)≤0.若m≤1，则不等式的解集是{x|2m≤x≤2}，此时不等式的解集中不可能有4个正整数，所以m>1，则不等式的解集是[2，2m]，所以不等式的解集中4个正整数分别是2，3，4，5，则5≤2m<6，解得≤m<3，所以实数m的取值范围是. 9. ABD　解析：因为不等式ax2＋bx＋c>0的解集为(－∞，－2)∪(3，＋∞)，所以a>0，且方程ax2＋bx＋c＝0的解为x＝－2或x＝3，则－2＋3＝－，－2×3＝，即＝－1，＝－6，故A正确；因为a>0，所以由bx＋c>0，得x＋>0，即－x－6>0，解得x<－6，所以不等式bx＋c>0的解集为{x|x<－6}，故B正确；因为＝1－1－6＝－6<0，且a>0，所以a＋b＋c<0，故C错误；由cx2－bx＋a<0，得x2－x＋<0，即－6x2＋x＋1＝－(2x－1)(3x＋1)<0，解得{x|x<－或x>}，故D正确．故选ABD. 10. AB　解析：关于x的一元二次方程(ax－1)(x＋1)＝0(a≠0)的两根为x1＝，x2＝－1.当a>0时，>－1，不等式的解集为－1<x<；当－1<a<0时，<－1，不等式的解集为x<或x>－1；当a＝－1时，＝－1，不等式的解集为x≠－1；当a<－1时，>－1，不等式的解集为x<－1或x>.故选AB. 11. BCD　解析：当k＝1时，由2kx2＋kx－＝2x2＋x－<0，解得－<x<，故A错误；不等式对任意x∈R恒成立，当k＝0时，－<0恒成立，当k≠0时，则2k<0，且Δ＝k2－4×2k×<0，解得－3<k<0，综上，－3<k≤0，则整数k的取值集合为{－2，－1，0}，故B正确；若不等式对0≤k≤1恒成立，则2kx2＋kx－<0，即(2x2＋x)k－<0，可得(2x2＋x)×1－<0，且(2x2＋x)×0－<0，解得－<x<，故C正确；设h(x)＝2kx2＋kx－，因为h(0)＝－<0，所以x＝0满足题意．又因为恰有一个整数x使得不等式成立，所以k>0，且解得k≥，故D正确．故选BCD. 12. －2　解析：由题意，得x＝－1为方程2x2－kx＋m＝0的根，所以k＋m＝－2. 13. [－3，0]　解析：若命题“∃x∈R，有mx2－2mx－3>0”是假命题，则“∀x∈R，mx2－2mx－3≤0”是真命题．当m＝0时，不等式为－3≤0，恒成立，符合题意；当m≠0时，要使得mx2－2mx－3≤0恒成立，则解得－3≤m<0.综上，实数m的取值范围为[－3，0]. 14. 　解析：由cos 2x－2a cos x－2<0，得2cos2x－2a cosx－3<0.令cos x＝t∈[－1，1]，则不等式2t2－2at－3<0对任意t∈[－1，1]恒成立．令g(t)＝2t2－2at－3，则解得－<a<.故实数a的取值范围是. 学科网（北京）股份有限公司 $