考前预测高频考点：工程问题 28 道经典题型（专项练习）-2025-2026学年六年级下册数学人教版

**基本信息** 聚焦工程问题，通过设单位1、列方程、整体-部分法构建解题体系，覆盖从基础合作到多主体循环的变式，培养运算能力与模型意识。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础合作与休息|1-6题|设工作时间为x，用“效率×时间=工作量”列方程；或先算单独完成量，再求合作时间|以“工作量=效率×时间”为核心，从两人合作延伸到含休息的分段计算| |多主体协作|7-14题|根据效率比求单人效率；多工程同时完工时，利用总工作量与总效率求总时间|通过效率比、多工程同步完工，深化效率叠加与整体思维| |效率变化与循环|15-28题|合作降速时用“原效率×(1-降速比)”；循环工作逐步模拟净增量|结合效率变化、循环操作，提升复杂情境下的推理与建模能力|

1. 班级手工作业制作 全班统一制作手工作品，甲组单独完成需要40天，乙组单独完成需要60天。两组合作制作期间，甲组参加校园文艺汇演休息了5天，最终完成全部任务。乙组一共工作了多少天？ 2. 教室电路检修 对全校教室电路进行全面检修，甲维修组单独完成需要24天，乙维修组单独完成需要30天。两队合作检修一段时间后，乙组暂时停工，由甲组单独继续工作6天完成剩余任务。乙组一共参与检修了多少天？ 3. 体育器材检测 学校体育组检查全校体育器材，甲、乙、丙三个小组单独完成全部检查分别需要10天、12天、15天。起初三个小组一同开展工作，中途甲组被抽调去搬运物资，最终总共用时6天完成检查。甲组离开后，乙、丙两组又合作工作了多少天？ 4. 教室卫生消杀 对全校多功能教室进行全面消杀，甲消杀小组单独完成需要45天，乙消杀小组单独完成需要60天。两组全程合作开展工作，期间乙组因整理工具请假数日，从开工到结束一共用时30天。乙组中途请假了多少天？ 5. 手工配件加工 手工课需要加工一批配套小零件，甲小组单独加工20天可以完成任务，乙小组每天能完成总任务的 。两组合作加工时，甲小组因整理材料休息了5天，乙小组也休息了几天，前后一共用19天完成加工。乙小组中途休息了多少天？ 6. 校园设施安全排查 对全校公共设施进行安全排查，甲老师单独完成需要20天，乙老师每天能完成全部排查任务的。两人合作排查，甲老师外出培训缺席2天，乙老师也因临时工作休息了几天，总共用时15天完成检查。乙老师中途休息了多少天？ 7. 校园绿植养护 学校劳动基地培育绿植盆栽，相同时间内，甲能培育1盆，乙能培育2盆，丙能培育3盆。三人共同工作5天，完成了总任务的 。之后丙休息2天，乙休息3天，甲全程正常工作，最后三人合力做完剩余工作。完成全部培育任务一共用了多少天？ 8. 社团器材调试 学校兴趣社团调试活动器材，甲单独完成需要30天，乙单独完成需要45天，丙单独完成需要90天。三人合作调试过程中，甲休息2天，乙休息3天，丙全程在岗工作。全部调试工作完成一共用时多少天？ 9. 竞赛题库整理 整理校园知识竞赛题库，甲组单独整理需要24天。甲组先单独整理6天，再由乙组单独整理4天，恰好完成题库总量的一半。现由甲、乙两组合作一段时间后，剩余部分由乙组单独完成，且两组合作的时长和乙组单独收尾的时长相等。整理完整套题库一共需要多少天？ 10. 教室设施维护 对班级活动室开展设施维护工作，甲、乙两队合作6天可以完成全部任务。先由乙队单独维护7天，再由甲队单独维护4天，一共完成了总任务的 。剩下的维护工作全部交给乙队单独完成，还需要多少天？ 11. 生日会布置 有两间一样的备用教室要布置成生日会场，小安单独布置一间要5小时，小贝要6小时，小辰要10小时。小安负责第一间，小贝负责第二间，小辰先帮小安，再转去帮小贝，两间同时弄完。小辰分别帮了两人多久？ 12. 学习资料整理 现有两份内容完全相同的复习资料，需要分类装订存档。甲整理一份资料用时6小时，乙用时7小时，丙用时14小时。甲、乙各自负责一份资料，丙先帮忙甲整理，中途再去协助乙，最后两份资料同步完成。丙帮甲整理了多长时间？ 13. 班级桌椅安装 A、B两间教室，需要安装的桌椅数量完全一致。单独完成一间教室的桌椅安装，甲需要12小时，乙需要24小时，丙需要8小时。甲和丙先在A教室施工，乙独自在B教室施工，一段时间后丙前往B教室协助乙，两间教室的安装工作同时结束。丙分别帮甲、乙各工作了几小时？ 14. 两项校园工程 有A、B两项校园改造工程，B工程的工作量比A工程多 。甲、乙、丙三支队伍单独完成A工程分别需要20天、24天、30天。安排甲队做A工程，乙队做B工程，丙队先协助乙队完成B工程，再转去帮助甲队，两项工程同时完工。丙队与乙队合作了多少天？ 15. 校庆海报绘制 六年级要画一批校庆海报，小宇单独画要12天画完，小阳的速度是小晨的2倍。两人一起画的时候会互相讨论思路，速度都比单独做慢 。现在小宇和小阳合作画2天，之后小宇和小晨再合作画5天刚好画完所有海报。如果全程只让小阳和小晨合作画，多少天能完成？ 16：社区文明宣传标语张贴 社区文明宣传活动中，小雯单独张贴完所有标语需要16天。小凯的张贴速度是小航的2倍。两人一起张贴时，会互相核对位置，速度都比单独做慢。现在小雯和小凯合作张贴3天，之后小雯和小航再合作张贴5天，刚好完成所有张贴工作。如果全程只让小凯和小航合作张贴，多少天能完成？ 17：社区敬老活动节目排练 社区敬老活动中，小桐单独排练完所有节目需要20天。小晨的排练速度是小泽的2倍。两人一起排练时，会互相指导动作，速度都比单独做慢。现在小桐和小晨合作排练3天，之后小桐和小泽再合作排练7天，刚好完成所有节目排练。如果全程只让小晨和小泽合作排练，多少天能完成？ 18. 打印复习资料 老师要印多份期末复习卷，年级办公室的A打印机单独印要11分钟，B打印机单独印要13分钟。两台一起开的时候因为要共享内存，每分钟一共少印28张。现在两台同时开了6分15秒刚好印完，这批复习卷一共有多少张？ 19.运动会场地布置 布置运动会主席台，小周和小吴一起做，4小时能完成一半工作量；小吴和小郑一起做，4小时能完成 的工作量；小郑和小徐一起做，12小时能全部做完。如果换成小周和小徐合作，多久能布置完？ 20.社团招新摊位搭建 搭建社团招新摊位，甲乙丙三个社团一起搭要18小时，乙丙丁三个社团一起搭要15小时，甲丙丁一起搭要20小时，甲乙丁一起搭要12小时。如果只让甲社团单独搭，需要多少小时完成？ 21. 黑板报绘制 六年级要出一期校庆黑板报。小明和小红合作画，4天能完成整块板报的一半；小红和小刚合作画，4天能完成整块板报的三分之二；小刚和小强合作画，6天刚好能全部画完。如果由小明和小强合作画，多少天能画完整块黑板报？ 22. 大扫除分工 学校给几个班级分配大扫除任务，假设总工作量是“1”。六(1)班、六(2)班、六(3)班一起干，6小时能干完；六(2)班、六(3)班、六(4)班一起干，5小时能干完；六(2)班、六(4)班一起干，4小时能干完；六(1)班、六(3)班、六(4)班一起干，10小时能干完。如果只让六(1)班自己干，需要多少小时干完？ 23. 饮水机接水实验 科学课上，老师做了一个关于流速的实验。有A、B、C、D四个不同的水龙头，有的出水快，有的出水慢。实验员每次打开两个水龙头往空桶里接水，记录如下： 同时打开的水龙头 接满一桶水所需时间 A 和 B 3 分钟 A 和 C 4 分钟 B 和 C 6 分钟 D 和 A 2 分钟 问题： （1）哪个水龙头注水速度最快？ （2）哪个水龙头放水速度最慢？ 24. 教室饮水机接水 教室里有一台饮水机，有两个加热键（相当于进水管）和两个制冷键（相当于排水管）。按加热键A，1小时能让水桶水位上升 桶；按加热键B，1小时能让水桶水位上升 桶；按制冷键C，1小时会让水桶水位下降 桶；按制冷键D，1小时会让水桶水位下降桶。现在桶里已经有 桶水。老师让班长按 A → C → B → D 的顺序，每个键按1小时，循环操作。大约几小时后，水桶里的水会第一次满出来？（假设水满就不会再进） 25. 大扫除排班表 学校大扫除，老师安排小明和小红擦窗户。明单独擦完所有窗户要 6小时（每小时完成）；小红单独擦完要 4小时（每小时完成）。老师定的排班规则是轮流做：小明擦1小时，小红擦2小时；小明擦2小时，小红擦4小时；小明擦4小时，小红擦8小时……照这样下去，擦完所有窗户一共需要多少小时？ 26：父子整理书房 周末大扫除，爸爸和小明负责整理书房的书籍。爸爸单独整理完需要6小时（每小时完成），小明单独整理完需要3小时（每小时完成）。他们约定轮流整理，规则如下：小明整理1小时，爸爸整理2小时；小明整理2小时，爸爸整理4小时；小明整理4小时，爸爸整理8小时……照这样下去，整理完所有书籍一共需要多少小时？ 27：姐弟打包行李 全家准备回老家过年，姐姐和弟弟负责打包行李。姐姐单独打包完需要8小时（每小时完成），弟弟单独打包完需要4小时（每小时完成）。他们轮流打包，规则如下：弟弟打包1小时，姐姐打包2小时；弟弟打包2小时，姐姐打包4小时；弟弟打包4小时，姐姐打包8小时……照这样下去，打包完所有行李一共需要多少小时？ 28：祖孙制作灯笼 元宵节快到了，爷爷和小明一起制作手工灯笼。爷爷单独做完需要6小时（每小时完成1/6），小明单独做完需要2小时（每小时完成）。他们按轮流做，规则如下：小明制作1小时，爷爷制作2小时；小明制作2小时，爷爷制作4小时；小明制作4小时，爷爷制作8小时……照这样下去，制作完所有灯笼一共需要多少小时？ 参考答案和详细解答： 1. 班级手工作业制作 解题思路：把总工作量看作 1。甲效率 =，乙效率 = ​。 合作时，甲休息 5 天 ⇒ 甲工作时间比乙少 5 天。 方法一：解：设乙工作了 x天，则甲工作天数为x−5天 列方程 ： ​+ ​= 1 通分（公分母 120）： ​+ = 1 3x−15+2x=120 5x=135 x=27 方法二：甲组效率： 乙组效率： 甲休息5天，相当于乙单独做5天，完成 = 剩余工作量：1- = 两人合作效率： = 合作天数： ÷ =22天 乙一共工作：22+5=27天。 最终答案： 乙组一共工作了 27 天。 易错点提示：错把“甲休息 5 天”当成“总工期少 5 天”， 直接算合作时间。 2. 教室电路检修 解题思路： 甲效 = ​，乙效 = ​。 方法一：合作一段时间 x天后，乙停工，甲单独 6 天完成。 解：设合作一段时间 x天 合作效率：​ + ​= ​= ​= 合作完成量： 甲单独完成量：= 方程： x+​=1 x= x=10 方法二：甲组效率： 乙组效率：​ 甲单独做6天，完成 = 剩余工作量：1- = 合作效率：​ + ​= ​= ​= 合作天数： ÷ =10天 乙参与天数即合作天数：10天。 最终答案： 乙组参与了 10 天。 易错点提示： 忘记加甲单独完成的​，只算合作部分。 注意“剩余任务”必须补上。 3. 体育器材检测 解题思路​：甲效 =，乙效 = ​，丙效 =​。 三人合作 x天后，甲离开，乙丙再做 6−x天。 方法一：解：设三人合作 x天 三队合作效率： ​+​​+​= = ​ = 前期完成： ​x 乙丙合作效率：​+ ​= ​= 后期完成： ​(6−x) 方程： ​x+ （6−x)=1 通分： ​=1 2x=2 x=1 甲离开后乙丙合作天数：6−1=5(天) 方法二：甲效 =，乙效 = ​，丙效 =​ 总用时6天，乙、丙全程工作 乙、丙6天的工作量：（ + ）×6 = 甲组工作量：1- = 甲组工作天数： ÷ = 1天 甲离开后，乙丙合作天数：6-1=5天 最终答案： 甲离开后，乙丙又合作了 5 天。 易错点提示： 误把“总时间 6 天”当成合作天数。 明确分段：合作阶段 + 剩余阶段。 4. 教室卫生消杀 解题思路：甲效 = ​，乙效 = ​，总工期 30 天。 方法一：设乙请假 x天 ，则 乙工作 30−x天。 解：设乙请假 x天 甲完成： ​= 乙完成： 方程： +=1 通分： =1 70−x=60 x=10 方法二：甲效 = ​，乙效 = ​，总工期 30 天，甲全程工作。 甲30天的工作量： × 30 = 乙实际工作量：1 - = 乙实际工作天数： ÷ =20天 乙请假天数：30-20=10天 最终答案：​ 乙组请假了 10 天。 易错点提示： 错把总工期当合作天数，忽略乙请假。 用“实际工作天数”列方程。 5. 手工配件加工 解题思路： 甲效 = ​，乙效 = ​，总工期 19 天。 甲休息 5 天 ⇒ 工作 14 天；乙休息 x天 ⇒ 工作 19−x天。 方法一：解：设乙休息 x天 ， 工作 19−x天。 甲完成： ​= 乙完成： 方程： + =1 移项： = 交叉相乘： 190−10x=96 x=9.4 方法二： 甲效 = ​，乙效 = ​，总工期 19 天，甲休息5 天。 甲实际工作天数： 19-5=14天 甲完成的工作量：​ ×14= 乙完成的工作量: 1 - = 乙实际工作天数： ÷ = 9.6 天 乙休息天数：19 – 9.6 = 9.4天 最终答案：乙休息了 9.4 天（可写成 9 天 9.6 小时）。 易错点提示： 忽略甲休息，直接用 19 天合作。 分别计算各自实际工作天数。 6. 校园设施安全排查 解题思路： 甲效 = ​，乙效 = ​，总工期 15 天。 甲缺席 2 天 ⇒ 工作 13 天；乙休息 x天 ⇒ 工作 15−x天。 方法一： 甲完成： 乙完成： 方程： + = 1 通分： ​= 1 69−2x=60 x=4.5 方法二：甲效 = ​，乙效 = ​，总工期 15 天，甲缺席 2 天。 甲实际工作天数： 15-2=13天 甲完成的工作量：​ ×13= 乙完成的工作量: 1 - = 乙实际工作天数： ÷ = 天 乙休息天数：15 - = 4.5天 最终答案：乙休息了 4.5 天。 易错点提示： 把“甲缺席 2 天”当成工期缩短。 实际工作天数才是关键。 7. 校园绿植养护 解题思路： 效率比：甲 : 乙 : 丙 = 1 : 2 : 3 5天完成 ​⇒ 求总效率，再算剩余。 分步计算：设总任务为 1，三人5 天完成 ​⇒ 合作效率为 ​。 甲 、 乙 、 丙效率比 1:2:3 ⇒ 总份数 6 份。 甲效 = × = 乙效 = × = ​ 丙效 = × = ​ 丙休 2 天、乙休 3 天 解：设剩余天数为 x，剩余工作量为 方程： ​+ ​+ = 通分（公分母 90）： = x+2x−6+3x−6=60 6x=72 x=12 总天数 = 5+12=17天 最终答案: 共用了 17 天。 易错点提示: 直接用效率比当分数效率。 先由“5 天完成 31​”倒推效率。 8. 社团器材调试 解题思路: 甲效 =，乙效 = ​，丙效 = 分步计算: 解：设总工期 x天，甲休息2天，乙休息3天，工作总量为1 则甲工作 x−2天，乙工作x−3天，丙工作 x天。 方程： +​+​=1 通分： 3(x−2)+2(x−3)+x = 90 6x−12=90 x=17 最终答案:​ 共用 17 天。 易错点提示:忽略“休息天数”导致多算工作量。 用实际工作天数列式。 9. 竞赛题库整理 解题思路：先求乙效，再分段计算。 方法一：甲效 = ，6 天完成 ​=​。 乙 4 天完成 ​− ​=​⇒ 乙效 = ÷ = ​。 合作效率： ​+= 解：设合作 x天，乙再独做 x天 ​x+x​=1 通分： x​=1 x=6 总天数 = 6+6=12天 最终答案： 共需 12 天。 易错点提示： 误以为合作天数 ≠ 乙独做天数。 题目明确“相等”，直接 设同一未知数。 10. 教室设施维护 解题思路：先求甲乙效率，再算剩余。 方法一： 合作效率： ​ ， 乙 7 天 + 甲 4 天完成 ​ 解：设乙的工作效率为x 4×(−x)+7×x=​ 去括号： 4×-4x+7x= 3x= x= 乙效 = 剩余：1− ​= ​。 乙单独用时：​÷= 2天 方法二：甲乙合作效率： ​ 乙单独做7天+甲单独做4天 等价于甲乙合作4天+乙单独3天 甲乙合作4天的工作量： ×4 = 乙3天的工作量： - = 乙的工作效率是： ÷ 3 = 剩余工作量：1− ​= 乙单独用时：​÷= 2天 最终答案​ :还需 2 天。 易错点提示: 直接用合作效率算剩余。 必须先拆出单人效率。 11. 活动室布置 解题思路：两间完全相同 ⇒ 总工作量 = 2。 1、 乙各自负责一间，丙先帮甲，再帮乙，最终同时完工 ⇒ 三人工作时间相同 分步计算： 甲效 =，乙效 =​，丙效 = ​ 三人同时工作总效率为： + + = + + = = 完成总工作量所需时间（即两间同时完工的时间）： 2 ÷ = （小时） 第一间教室，小安完成工作量： × = 剩余1－ = 由小辰完成，小辰效率为 ， 故帮小安的时间为 ：÷ = （小时） 第二间教室，小贝完成工作量为 × = 剩余1－ = 由小辰完成，故帮小贝的时间为 ÷ =（小时） 答：小辰帮小安的时间是小时， 帮小贝的时间是小时。 易错点提示：误以为丙时间 = 甲时间。 关键是“同时完工” ⇒ 三人总工时相同。 12. 学习资料整理 解题思路：两份相同 ⇒ 总工作量 = 2。 1、 乙各负责一份，丙先帮甲，再帮乙，同步完成 ⇒ 三人工作时间相同 分步计算： 甲效 =，乙效 = ​ ，丙效 = 三人同时工作总效率为： + + = + + = = 完成总工作量所需时间（即两间同时完工的时间）： 2 ÷ = （小时） 第一间教室，甲完成工作量： × = = 剩余1－ = 由丙完成，丙效率为 ， 故帮甲的时间为 ：÷ = （小时） 第二间教室，乙完成工作量为 × = 剩余1－ = 由丙完成，故帮乙的时间为 ÷ =（小时） 最终答案：丙帮甲的时间是小时，帮乙的时间是小时。 易错点提示：误以为丙时间 = 甲时间。 关键是“同时完工” ⇒ 三人总工时相同。 13. 班级桌椅安装 解题思路：两间教室工作量相同 甲+丙先做 A，乙做 B；丙中途转去 B，同时完工。 ⇒ 三人工作时间相同 分步计算：甲效 =，乙效 = ​，丙效 = ​ 三人同时工作总效率为： + + = + + = = 完成总工作量所需时间（即两间同时完工的时间）： 2 ÷ =8（小时） 第一间教室，甲完成工作量： 8× = 剩余1－ = 由丙完成，丙效率为 ， 故帮甲的时间为 ：÷ = （小时） 第二间教室，乙完成工作量为8× = 剩余1－ = 由丙完成，故帮乙的时间为 ÷ =（小时） 最终答案：丙帮甲的时间是小时，帮乙的时间是小时。 易错点提示：误以为丙时间 = 甲时间。 关键是“同时完工” ⇒ 三人总工时相同。 14. 两项校园工程 解题思路​：B 工作量比 A 多 ⇒ 设 A = 1，则B = 1+，工作总量为 丙先帮乙，再帮甲，A、B同时完工。 分步计算： 甲效 =​，乙效 = ​，丙效 = ​ 三人同时工作总效率为： + + = + + = = 完成总工作量所需时间（即两间同时完工的时间）： ÷ =18（小时） A，甲完成工作量： 18× = 剩余1－ = 由丙完成，丙效率为 ， 故帮甲的时间为 ：÷ =3（小时） B，乙完成工作量为18× = 剩余－ = 由丙完成，故帮乙的时间为 ÷ =15（小时） 最终答案：丙帮甲的时间是3小时，帮乙的时间是15小时。 易错点提示：误以为丙时间 = 甲时间。 关键是“同时完工” ⇒ 三人总工时相同。 15：校庆海报绘制 解题过程：解：设小晨效率为 x，则小阳效率为 2x，总工作量为1。 两人合作时效率降为原来的 1 - = 小宇单独画需12天，效率为 第一阶段（小宇+小阳）：合作效率 = (+ 2x) × 工作2天，完成量 = (+ 2x) ×× 2 = ( + 2x) × 第二阶段（小宇+小晨）：合作效率 = ( + x) × 工作5天，完成量 = ( + x) ×× 5 = ( + x) × 列方程为 ( + 2x) × + ( + x) × = 1 两边乘3消分母：4×( + 2x) + 10×（ + x) = 3 + 8x + + 10x = 3 + 18x = 3 18x = 3 - 18x= x = 小阳效率 2x = = ，小晨效率 小阳+小晨合作效率 = (+) ×=× = = 总时间 = 1 ÷ =（天） 易错点提示:忘记合作时效率要乘以“”，直接用单独效率相加；或者解方程时通分错误。看到“合作比单独慢几分之几”，一定要先算出“合作效率是单独的几分之几”（即1减慢的比例）。 16：社区文明宣传标语张贴 解题过程：解： 设小航效率为x，则小凯效率为 2x， 合作效率降为1- = ，小雯效率。 第一阶段（雯+凯）：(+ 2x) × × 3 = (+ 2x) × 2 第二阶段（雯+航）：( + x) × × 5 = ( + x) × 列方程： 2×(+ 2x) +×( + x) = 1 化简： + 4x + + x = 1 + + 4x + x = 1 通分： + + x = 1 + x= 1 + x= 1 x= 22x = 2 x = 小凯效率为 2x = 2 × = 合作效率为= ( + ) × = × = 时间 = 1 ÷ = = 5.5（天） 易错点提示:容易忘记合作打折，或者分数运算中通分错误。 17：区敬老活动节目排练 解题过程：解：小泽效 x，小晨 2x。合作降速，效率剩。小桐效率。 第一阶段（桐+晨）：(+ 2x) ×× 3 = (+ 2x) × 第二阶段（桐+泽）：(+ x) × × 7 = (+ x) × 列方程 ： ×(+ 2x) +×(+ x) = 1 两边乘4： 9×(+ 2x) + 21×(+ x) = 4 展开： + 18x + + 21x = 4 + 39x = 4 + 39x = 4 39x= x = 晨效率 2x = =， 泽效率 合作效率 = (+) × =× = =。 时间 = 1 ÷ =（天） 易错点提示:降速，误算成剩，实际应剩。 记“慢几分之几”的计算口诀：原效率 × (1 - 慢的比例)。 18：打印复习资料 解题过程：解：设这批复习卷一共有张 6分15秒 = 6 + =分钟 A效率，B效率，正常合作效率 = + = 实际合作效率 = - 28 列方程： ( -28 ) × = 化简：× - = - = 移项： = = ÷ = 3575 易错点提示:单位换算错误（把15秒当成0.15分钟）；或者把“少印28张”错误地加在效率上。 19：运动会场地布置 解题过程： 设总工时为1 周+吴：4小时完成，效率和 = ÷4 =。 吴+郑：4小时完成，效率和 =÷4 =。 郑+徐：12小时完成1，效率和 =。 三式相加：(周+吴)+(吴+郑)+(郑+徐) + + = ++ = = 即： 周 + 2×吴 + 2×郑 + 徐 = 我们要求 周+徐：用上式减去（吴+郑）的效率：- × 2 = - = 周+徐合作时间 = 1 ÷ = 24（小时） 易错点提示:直接用 + 来计算周+徐，忽略了中间重叠的部分。 多人合作问题，可以通过“两两相加再相减”来消元，求出特定两人的和。 20：社团招新摊位搭建 解题过程：设甲、乙、丙、丁效率分别为 a, b, c, d。 已知：a+b+c = ；b+c+d = ；a+c+d = ；a+b+d = 四式相加： 3×(a+b+c+d) = + + + 通分（公分母180）： = + + + = =。 四人总效率 a+b+c+d = 求甲单独效率：用总和减去不含甲的式子（b+c+d）： – =- = = 则甲单独完成时间是： 1÷ = 54 小时 易错点提示:通分计算出错，或者忘记除以3就直接用去减。这是典型的“四队工程问题”，核心是先把四个式子加起来求出总和，再减去不需要的人。 21：黑板报绘制 解题过程： 明+红：4天完成， 效率和 = ÷4 = 红+刚：4天完成， 效率和 =÷4 = 刚+强：6天完成1，效率和 = 。 三式相加： (明+红)+(红+刚)+(刚+强) = + + = + + =。 即：明 + 2×红 + 2×刚 + 强 = 我们要求明+强：用上式减去（红+刚）的效率： - ×2 = – = = 明+强合作时间 = 1 ÷ = 8（天） 易错点提示:误以为明+强 =+，混淆了谁跟谁合作， 忘记乘2 ， 画图或者列表标记每个人的组合关系，避免乱加。 22：大扫除分工 解题过程： 1、2、3班效率和 = 2、3、4班效率和 = 2、4班效率和 = 1、3、4班效率和 = 1、2、3班效率和 + 2、4班效率和 + 1、3、4班效率和 = 1、2、3、4班效率和× 2 =++= 1、2、3、4班效率和= ÷ 2 = 1班效率=1、2、3、4班效率和 - 2、3、4班效率和 = - = 1班单独时间 = 1 ÷ =（小时） 易错点提示；面对多个班级容易混乱，试图一个个求2、3、4班的效率，导致计算量过大出错。题目只问1班，就用包含1班的式子减去不包含1班的式子，直接消元。 23：饮水机接水实验 解题过程： 假设水桶总水量为1，则 A+B速度和： A+C的速度和： B+C速度和： D+A的速度和： 前三式相加：2(A+B+C) = + + = + +== A+B+C = ÷ 2 = A的速度 = (A+B+C) - (B+C) = - = - = B 的速度 = - = - = = C的速度 = – = - = D的速度 = - = – = D的速度 > A的速度B的速度 ， 所以D最快，C最慢。 易错点提示：忽略“总工作量设为单位1”，把时间当成速度比较， 忘记除以2，求出A,B,C后直接比，漏掉了D的水龙头, 24：教室饮水机接水 解题过程： 初始水量 A进水：+； C出水：-； B进水：+D出水：- 一个循环4小时净增量： - + – = – +- = 第4小时末，水量为 + = ，剩余可容纳水量1 - = 第5小时末（A结束）：+ = ＞1（按下 A 的过程中就已经装满） A 每小时进水，所需时间为÷ = （小时） 总用时 = 4小时 + 小时 =小时 易错点提示：直接算循环总数，忽略了一个循环内部是先加后减，可能在某个环节就满了。这类“进出水”问题，必须逐步模拟过程，不能只看总净增。 25：大扫除排班表 解题过程： 明效率 ，红效率 。 第一轮： 明1h() + 红2h(=) 共完成+ = 剩余 第二轮先由小明工作，无需小红参与，任务即完成，明明需要的时间是 ÷ =2小时 ， 明明2个小时正好完成。 所以总时间 = 1+ 2 + 2 = 5（小时） 易错点提示：错误地认为必须做完整个第2轮，导致答案写成9小时。 工程问题中，只要任务完成就停止，除非题目明确说“必须按整轮次算”。 26：父子整理书房 解题过程： 爸效率 ，明效率 。 第一轮： 明1h() + 爸2h(=) → 共完成，剩余。 第二轮：小明先做， 剩余， 小明自己做就能完成， 需要时间： ÷ = 1小时 总时间 = 1+2 +1 = 3 + 1=（小时） 易错点提示:忽略小明效率比爸爸高，误算合作效率。注意“轮流”和“合作”的区别。 27：姐弟打包行李 解题过程：弟效，姐效。 第一轮 ：弟1h() + 姐2h(=) → 共完成，剩余 第二轮：弟弟先做，需要的时间是 ÷ = 2小时 第弟做2小时，刚好完成，任务结束。 总时间 = 1 + 2 + 2 = 5（小时） 易错点提示：算成第1轮3小时加第2轮6小时，得9小时。 第2轮，弟弟做2小时就已经把剩下的活干完了，不需要等到姐姐做。 28：祖孙制作灯笼 解题过程：爷效，明效 第一轮：明1h() + 爷2h( ) 共完成 + = ,剩余 第二轮：小明先做，完成剩余需要时间：÷ = 小时 总时间 = (1+2) += 3 + =（小时） 易错点提示:没有意识到小明的效率极高，第1轮就做了大半。先计算单人的工作效率，判断谁是主力，往往能简化计算。 学科网（北京）股份有限公司 $