精品解析：2026年河南鹿邑县涡北初级中学等学校初中学业水平模拟数学试题

2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 2. 截至2026年3月，郑州——卢森堡“空中丝绸之路”累计执飞航班8300余班，贡献国际货运量超136万吨．数据“136万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 4. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（ ） A. 0 B. C. D. 6. 如图，在平行四边形中，，，，点E在上且，连接．若点F，G分别是和的中点，则FG的长为（ ） A. B. C. D. 3 7. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3 8. 如图是理化实验仪器：试管夹、U形磁铁、透镜、锥形瓶．小颖要从这四个理化实验仪器（假设均放在完全相同的密闭盒子里）中随机选取其中两个，则恰好选中的实验仪器一个主视图和左视图不同，另一个主视图和左视图相同的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在中，，．将边绕点C顺时针旋转得到，旋转角小于．连接，此时恰有．若，则点P到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 10. 通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）（单位：）随时间（单位：）的变化而变化，如图是某人第一次服用某药后的血药浓度和时间的函数关系．则下列说法中错误的是（ ） A. 自变量是时间 B. 第一次服用该药后小时时，血药浓度为 C. 当时，每增加，的增加量不同 D. 当该药的血药浓度不低于时，视为强效治疗，则第一次服用该药后的强效治疗时间为 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个立方根不大于2的整数：________． 12. 如图所示的宋月白釉玉壶春瓶为宋代耀州窑的瓷器，博物馆工作人员7次测得它的高度（单位：）分别为29.08，29.06，29.05，29.05，29.04，29.06，29.06．这组数据的众数为________． 13. 按一定规律排列的分式：，，，，，…，则第10个分式是________． 14. 如图，，半圆O分别与，切于E、D两点，若直径，则图中阴影部分的面积为________． 15. 在矩形中，，，点为射线上一动点，连接，将沿翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长度为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解答 （1）计算：； （2）解不等式组： 17. 技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组针对校内学生开展了对某种软件使用满意度调查，并进行评分（百分制），从中随机抽取若干名学生的评分，进行整理、描述和分析，评分分成五个等级（每组数据包括最低分，不包括最高分）：A（50～60），B（60～70），C（70～80），D（80-90），E（90～100），并绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中________，并补全左侧的条形统计图； （2）抽取学生的评分中位数落在________等级； （3）若该校共有学生2000人，如果评分达到80分及以上为“满意”，请你估计该校学生对这种软件“满意”的有多少人． 18. 如图，内接于，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与相交于点D，与的另一个交点为E，连接．求证：． 19. 文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，塔五层八面，周长40米，文峰塔的建筑，富有独特的风格，具有上大下小的特点，为全国重点文物保护单位、如图，某综合实践学习小组的同学想利用测角仪和皮尺测量文峰塔的高度．他们先在文峰塔底B的正东方的点M处测得塔顶A的仰角为，然后从点M处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点N（B，M，N三点位于同一平面内），且点N在点B的南偏东方向上． （1）根据以上信息，求文峰塔的高度；（结果精确到．参考数据；，，，） （2）已知文峰塔的高度为，求本次测量的误差；并说出一条产生误差的原因． 20. 如图、在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点和顶点，是的中线． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点的纵坐标为，求的面积． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买劳动工具花费最少 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布、劳动课正式成为中小学的一门独立的课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 某校为促进学生树立正确的劳动观念，提高劳动能力，在校园内开辟了一块绿植园．计划用不超过600元的总费用购买铁锹和锄头两种劳动工具，根据实际需要购买锄头的数量不超过30把． 素材2 该校数学兴趣小组成员收集到如下信息： ①每把铁锹的单价比每把锄头多7元； ②用300元购买铁锹的数量与用160元购买锄头的数量相同． 问题解决 任务1 确定物品单价 任务2 探究购买方案 （1）分别求铁锹和锄头的单价． （2）若该校需要购买铁锹和锄头共50把，有几种购买方案？哪种购买方案花费最少？ 22. 定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“等值点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“反值点”，把函数图象经过“等值点”和“反值点”的函数称为“等反值函数”．已知二次函数是“等反值函数”，其图象经过“反值点”． （1）________；并求a的值； （2）在求二次函数的图象经过的“反值点”时，小亮说：“首先根据‘反值点’的定义可知，它们均落在某个正比例函数的图象上，其次联立该正比例函数和二次函数的表达式，求它们的交点坐标，即为‘反值点’的坐标．” ①该正比例函数的表达式为________； ②求二次函数的图象经过的“反值点”． 23. 综合与实践 在菱形中，，点M是菱形内一点，平分，作射线，连接，过点D作于点N，． （1）【初步探究】如图1，若，，则的度数为________；与的数量关系是________ （2）【类比探究】如图2，若，，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，将沿直线平移得到，连接．若，，请直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年河南初中学业水平模拟 数学 注意事项：共8页，三个大题，满分120分，时间100分钟． 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 的相反数是( ) A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相反数，根据只有符号不同两个数互为相反数，进行判断即可． 【详解】解∶的相反数是3； 故选D． 2. 截至2026年3月，郑州——卢森堡“空中丝绸之路”累计执飞航班8300余班，贡献国际货运量超136万吨．数据“136万”用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】136万． 3. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此逐一判断即可． 【详解】解：A、选项图形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意； B、选项图形既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意； C、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意； D、选项图形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意． 4. 二元一次方程组的解是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先利用代入消元法解方程组，然后根据方程组的解结合各选项即可解答． 【详解】解：， 将代入中，得，解得， 将代入，得， ∴方程组的解为． 5. 如图，在小正方形内分别填入整式，若要使横向三个整式之和与纵向三个整式之和相等，则“？”处应填的整式为（ ） A. 0 B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先求出纵向三个整式之和，然后列式表示出“？”并用整式的加减运算化简即可． 【详解】解：纵向三个整式之和为：， 由题意可得：“？”为． 6. 如图，在平行四边形中，，，，点E在上且，连接．若点F，G分别是和的中点，则FG的长为（ ） A. B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】如图：连接，利用平行四边形的性质以及已知条件可证明是等边三角形，，易证为的中位线，最后利用三角形中位线的性质求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵在平行四边形中，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ， 又∵点F，G分别是和的中点， ∴为的中位线， ． 7. 关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则代数式的值为（ ） A. 4 B. C. D. 3 【答案】D 【解析】 【分析】先根据根的判别式得到：，再将代数式变形后把整体代入计算即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， ∴． 8. 如图是理化实验仪器：试管夹、U形磁铁、透镜、锥形瓶．小颖要从这四个理化实验仪器（假设均放在完全相同的密闭盒子里）中随机选取其中两个，则恰好选中的实验仪器一个主视图和左视图不同，另一个主视图和左视图相同的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】记试管夹、U形磁铁、透镜、锥形瓶为A、B、C、D．再根据题意画树状图可知，共有12种等可能的结果，符合要求的结果有6种，再利用概率公式求解即可． 【详解】解：试管夹、U形磁铁、透镜的左视图和主视图不同，锥形瓶的左视图和主视图相同， 记试管夹、U形磁铁、透镜、锥形瓶为A、B、C、D．画树状图如图如下： 从树状图看出共有12种等可能的结果，选取的两个实验仪器中一个主视图和左视图不同（A、B、C），另一个主视图和左视图相同（D）的结果有6种， ∴恰好选中的实验仪器中一个主视图和左视图不同，另一个主视图和左视图相同的概率是． 9. 如图，在中，，．将边绕点C顺时针旋转得到，旋转角小于．连接，此时恰有．若，则点P到的距离为（ ） A. 3 B. 4 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由旋转的性质可知，，根据等边对等角、三角形内角和定理以及可得；如图，过点P作于点Q，易证，再利用相似三角形的性质列比例式求解即可． 【详解】解：由旋转的性质可知，， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 如图，过点P作于点Q， ∴ ， ，即， ． 10. 通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度（简称血药浓度）（单位：）随时间（单位：）的变化而变化，如图是某人第一次服用某药后的血药浓度和时间的函数关系．则下列说法中错误的是（ ） A. 自变量是时间 B. 第一次服用该药后小时时，血药浓度为 C. 当时，每增加，的增加量不同 D. 当该药的血药浓度不低于时，视为强效治疗，则第一次服用该药后的强效治疗时间为 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的定义，函数图象的变化逐项判断即可作答． 【详解】根据随的变化而变化可知，自变量是时间，故A正确，不符合题意； 当时，，故B正确，不符合题意； 根据图象可知，当时，的变化并不是线性关系，故每增加，的增加量不同，故C正确，不符合题意； 当该药的血药浓度不低于时，根据图象可知，，故强效治疗时间为，故D错误，符合题意． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 写出一个立方根不大于2的整数：________． 【答案】1（答案不唯一） 【解析】 【详解】解：， ∴小于或等于8的整数均可， ∴这个整数可以是1（答案不唯一）． 12. 如图所示的宋月白釉玉壶春瓶为宋代耀州窑的瓷器，博物馆工作人员7次测得它的高度（单位：）分别为29.08，29.06，29.05，29.05，29.04，29.06，29.06．这组数据的众数为________． 【答案】29.06 【解析】 【详解】解：出现次数最多的是29.06， ∴众数是29.06． 13. 按一定规律排列的分式：，，，，，…，则第10个分式是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题干中的分式总结规律即可． 【详解】解：由题可得，符号规律为：奇数项为负、偶数项为正，符号可表示为； 分子的规律为：的指数是连续奇数，可表示为，分子为； 分母规律为：分母恒含，系数依次是，因此分母可表示为； ∴第n个分式是， 则第10个分式是． 14. 如图，，半圆O分别与，切于E、D两点，若直径，则图中阴影部分的面积为________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，，证明，根据计算即可． 【详解】解：如图，连接，，， ∵半圆O分别与，切于E、D两点， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ， ∵， ∴， 在中，， ∴， ， ， ， ， ． 15. 在矩形中，，，点为射线上一动点，连接，将沿翻折得到，当点恰好落在直线上时，的长度为________． 【答案】或 【解析】 【分析】由矩形的性质可得，，，再分点在线段上和点在延长线上两种情况，分别利用折叠的性质以及勾股定理列方程求解即可． 【详解】在矩形中，，， ，，， 如图1，当点在线段上时， 将沿翻折得到， ，， ， ， 设，则， 在中，，即，解得， ； 如图2，当点在延长线上时， 同理可得， ， 设，则， 在中，，即，解得， ． 综上，的长度为或． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. 解答 （1）计算：； （2）解不等式组： 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解：， 由①，得， 由②，得． ∴不等式组的解集为． 17. 技术已渗透至社会各领域，某校综合实践小组针对校内学生开展了对某种软件使用满意度调查，并进行评分（百分制），从中随机抽取若干名学生的评分，进行整理、描述和分析，评分分成五个等级（每组数据包括最低分，不包括最高分）：A（50～60），B（60～70），C（70～80），D（80-90），E（90～100），并绘制出如下不完整的统计图． 请你根据图中的信息，解答下列问题： （1）扇形统计图中________，并补全左侧的条形统计图； （2）抽取学生的评分中位数落在________等级； （3）若该校共有学生2000人，如果评分达到80分及以上为“满意”，请你估计该校学生对这种软件“满意”的有多少人． 【答案】（1）40 （2）C （3）估计该校学生对这种AI软件“满意”的有（人 【解析】 【分析】（1）先根据A等级的人数及占比求出样本容量，再求出C等级的人数，即可求C等级人数的百分比，即可得的值，再补全条形统计图； （2）根据中位数的定义求解； （3）用80分及以上人数所占比例乘以该校总学生人数即可． 【小问1详解】 解：抽取的学生人数：（人）， C等级的人数：（人）， ， ， 补全条形统计图如图所示； 【小问2详解】 解：一共抽取了20名学生，按从小到大排列后，中位数是第10、11个数据的平均数，由题意可知第10、11个数据在C等级， ∴中位数落在C等级； 【小问3详解】 解：抽取学生中评分达到80分及以上的有5人， ∴估计该校学生对这种软件“满意”的有（人）． 18. 如图，内接于，，． （1）请用无刻度的直尺和圆规作的平分线（保留作图痕迹，不写作法）； （2）若（1）中所作的角平分线与相交于点D，与的另一个交点为E，连接．求证：． 【答案】（1）的平分线如图所示； （2）如图． ，， ， ∵CE平分， ， 根据同弧所对的圆周角相等可知：， ， ． 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的尺规作图方法，以点C为圆心，适当长度为半径画弧，分别交、于两点，再分别以这两点为圆心，大于两点间距离一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，过点C与该交点作射线，即为的平分线； （2）先根据等腰三角形性质和三角形内角和求出各内角的度数，再结合角平分线的定义、圆周角定理，得，即可得出结论． 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 略 19. 文峰塔位于河南省安阳市古城内西北隅，塔五层八面，周长40米，文峰塔的建筑，富有独特的风格，具有上大下小的特点，为全国重点文物保护单位、如图，某综合实践学习小组的同学想利用测角仪和皮尺测量文峰塔的高度．他们先在文峰塔底B的正东方的点M处测得塔顶A的仰角为，然后从点M处出发，沿着南偏西的方向行进了到达点N（B，M，N三点位于同一平面内），且点N在点B的南偏东方向上． （1）根据以上信息，求文峰塔的高度；（结果精确到．参考数据；，，，） （2）已知文峰塔的高度为，求本次测量的误差；并说出一条产生误差的原因． 【答案】（1）文峰塔的高度约为 （2），原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等． 【解析】 【分析】（1）如图，过点N作于点P，解直角三角形可得、、，易得，再在中，利用正切函数求解即可； （2）先根据误差的定义求误差，然后再分析原因即可． 【小问1详解】 解：根据题意，得，， 如图，过点N作于点P， 在中，，， ，， 在中，， ， ， 在中，，即，解得． 答：文峰塔的高度AB约为． 【小问2详解】 解：， 原因可能是：①皮尺未拉直；②测角仪摆放不平衡等． 20. 如图、在平面直角坐标系中，反比例函数的图象经过的顶点和顶点，是的中线． （1）求反比例函数的表达式； （2）若点的纵坐标为，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）待定系数法求解析式即可； （2）分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为点，，由反比例函数的性质可知，根据，进而根据三角形中线的性质，即可求解． 【小问1详解】 解：∵点在反比例函数的图象上， ． 故反比例函数的表达式为． 【小问2详解】 点为反比例函数图象上的点，且纵坐标为， ， 点的坐标为． 如图，分别过点，点作轴的垂线，垂足分别为点，， ∵点，点， ，，，， ， 由反比例函数的性质可知 ∵ ∴， 是的中线， ． 21. 根据以下素材，探索完成任务． 学校如何购买劳动工具花费最少 问题背景 自《义务教育劳动课程标准（2022年版）》的发布、劳动课正式成为中小学的一门独立的课程．劳动教育是学生设计能力、问题解决能力、合作能力、实践能力以及社会责任感提升的重要手段． 素材1 某校为促进学生树立正确的劳动观念，提高劳动能力，在校园内开辟了一块绿植园．计划用不超过600元的总费用购买铁锹和锄头两种劳动工具，根据实际需要购买锄头的数量不超过30把． 素材2 该校数学兴趣小组成员收集到如下信息： ①每把铁锹的单价比每把锄头多7元； ②用300元购买铁锹的数量与用160元购买锄头的数量相同． 问题解决 任务1 确定物品单价 任务2 探究购买方案 （1）分别求铁锹和锄头的单价． （2）若该校需要购买铁锹和锄头共50把，有几种购买方案？哪种购买方案花费最少？ 【答案】（1）铁锹的单价为15元，锄头的单价为8元 （2）9种，购买铁锹20把，锄头30把时，花费最少 【解析】 【分析】（1）设铁锹的单价为x元，锄头的单价为元，再根据“用300元购买铁锹的数量与用160元购买锄头的数量相同”列方程求解即可； （2）设学校购买锄头m把，则购买铁锹把，总花费w元，然后根据题意列不等式求得且m为正整数，根据m的取值情况即可确定购买方案的数量；再根据总费用以及一次函数的性质确定花费最少的方案即可． 【小问1详解】 解：设铁锹的单价为x元，锄头的单价为元， 根据题意得，解得． 经检验是方程的解，且符合题意， ． 答：铁锹的单价为15元，锄头的单价为8元． 【小问2详解】 解：设学校购买锄头m把，则购买铁锹把，总花费w元， ， ∵总费用不超过600元， ，解得， ∵购买锄头的数量不超过30把， 且m为正整数， ∴m可取22，23，24，25，26，27，28，29，30，即有9种购买方案． ，w随m的增大而减小， ∴当时，花费最少．当时，． ∴购买铁锹20把，锄头30把时，花费最少． 22. 定义：在平面直角坐标系中，横、纵坐标相等的点称为“等值点”，横、纵坐标互为相反数的点称为“反值点”，把函数图象经过“等值点”和“反值点”的函数称为“等反值函数”．已知二次函数是“等反值函数”，其图象经过“反值点”． （1）________；并求a的值； （2）在求二次函数的图象经过的“反值点”时，小亮说：“首先根据‘反值点’的定义可知，它们均落在某个正比例函数的图象上，其次联立该正比例函数和二次函数的表达式，求它们的交点坐标，即为‘反值点’的坐标．” ①该正比例函数的表达式为________； ②求二次函数的图象经过的“反值点”． 【答案】（1）， （2）①；②和 【解析】 【分析】（1）根据“反值点”即可得；再将点代入二次函数解析式求a的值； （2）①根据横、纵坐标互为相反数的点称为“反值点”，即可得该正比例函数的表达式； ②联立①中的正比例函数和二次函数的表达式求出交点坐标即可． 【小问1详解】 解：∵二次函数是“等反值函数”，其图象经过“反值点”， ∴3与m互为相反数， ； 将代入中，得， 解得； 【小问2详解】 解：①∵横、纵坐标互为相反数的点称为“反值点”， ∴该正比例函数的表达式为； ②由（1）得，则二次函数的表达式为； 得， 解得或， 当时，， 当时，． ∴二次函数的图象经过的“反值点”为和． 23. 综合与实践 在菱形中，，点M是菱形内一点，平分，作射线，连接，过点D作于点N，． （1）【初步探究】如图1，若，，则的度数为________；与的数量关系是________ （2）【类比探究】如图2，若，，（1）中与的数量关系是否仍然成立？请说明理由． （3）【拓展延伸】在（2）的条件下，将沿直线平移得到，连接．若，，请直接写出的长． 【答案】（1）； （2）不成立； 理由：∵在菱形中，， ∴四边形是正方形， ∴， ∵平分， ， 又， ， ，， ∵． ∴， ， ， ∴在中，， ，， ∵， ，． （3）的长为或 【解析】 【分析】（1）根据角平分线的定义即可求的度数；证明，得，，由三角形内角和定理得，进而可得，根据含30度角的直角三角形的性质得，即可得出结论； （2）由题意得：四边形是正方形，，证明，则，，，即可得与的数量关系，则可得出结论； （3）过点B作于点O，则，，进而可求出、，分两种情况讨论：①当点在线段上时；②当点在射线上时，分别根据勾股定理求解． 【小问1详解】 解：∵四边形是菱形， ， ∵平分， ， 又， ， ，， ∴， ， ， 在中，，， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图，过点B作于点O， 则， ， ， 在中，， ， 在中，， ， 解得， 由（2）可知，， ，， 分两种情况： ①如图，当点在线段上时， ， ∴由平移的性质可知，点与点N重合，则， 在中，； ②如图，当点在射线上时， ， ， 在中，． 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $