【内蒙古专用】2025-2026学年人教版七年级数学下册期末综合达标巩固卷

**基本信息** 覆盖七年级下册全册内容，以基础概念为起点，通过代数运算、几何应用、统计实践及探究拓展构建综合考查体系，凸显抽象能力、几何直观与模型意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础概念|选择1-5、填空9-11|考查实数、相交线、不等式等核心概念辨析|从数与形的基本属性出发，建立概念间内在关联| |代数运算|解答13|方程组与不等式组求解|体现从方程到不等式的运算逻辑延伸，强化运算能力| |几何应用|选择3、6、7，解答14、16|平行线性质判定、坐标系平移、面积计算|以平行线为核心，串联角度转化与图形变换，发展几何直观| |统计与实践|选择4、解答15、17|抽样调查、图表分析、实际问题建模|从数据收集到模型应用，培养数据意识与应用意识| |探究拓展|解答18|平行线“等角转化”功能探究|通过问题链设计，提升推理意识与创新意识|

2025-2026人教版新课标七年级下册期末综合达标巩固卷 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版七年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列实数中，最小的是(     ) A. B. C. D. 2.的立方根为(     ) A. B. C. D. 3.在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为(     ) A. B. C. D. 4.为了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽查了名运动员的年龄下列说法中错误的是(     ) A. 本次调查采用的是抽样调查 B. 每个运动员是个体 C. 样本容量为 D. 名运动员的年龄是总体的一个样本 5.下面列出的不等式中正确的是(     ) A. “不是正数”表示为 B. “不大于”表示为 C. “至少是”表示为 D. “与的差是负数”表示为 6.如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是(     ) A. B. C. D. 7.如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是(     ) A. B. C. D. 8.已知实数，满足，，则下列判断正确的是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，，则的度数是           ．  10.如图为户外坐椅的侧面图，图是它的平面示意图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则           ． 11.若是二元一次方程的一组解，则代数式的值为          ． 12.关于的不等式的解集是          ；若此不等式解集中的每个解都能使得关于的不等式 成立，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.（1）解方程组：． （2）解不等式组． 14.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，且点，，的对应点分别为，，． 请在图中画出平移后的，并写出点，，的坐标； 求的面积； 若点是内部任意一点，则平移后点的对应点坐标为          请用含，的式子表示 15. 本小题分 哪吒上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色每人只选一项把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息解决以下问题： 本次调查共抽取了______名观众； 补全条形统计图； 该电影院当天观看哪吒的观众有人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人． 16.本小题分 如图，已知． 求证：； 若，平分，求证：． 17.本小题分 年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：  信息一  型机器人台数 型机器人台数 总费用单位：万元 信息二  型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件． (1) 求、两种型号智能机器人的单价；  现该企业准备购买、两种型号智能机器人共台需要每天分拣快递不少于万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 18.本小题分 在学习完相交线与平行线后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 如图，，，求证：． 【拓展探究】 在的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 路灯维护工程车的工作示意图如图所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______． 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025-2026人教版新课标七年级下册期末综合达标巩固卷 数学学科参考答案及评分标准 第I卷（选择题） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分.在每个小题给出的四个选项中，只 有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑) 1 2 3 4 5 6 > B A B D D B C 二、填空题（本题共4小题，每小题3分，共12分)。 9.36。 10.44 11.4049 12.x<-2;a≥-1 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.(本小题10分)计算： /2x-y=7① 解： (3x+2y=0② ①×2+②，可得：7x=14, 解得：8=2， 2分 把X=2代入①，解得y=-3,4分 (x=2 :原方程组的解是y=-3 5分 2x-1≤5① 13.(2)解不等式组(5(x+3)>-x-3②· 解：将①移项，合并同类项得：2x≤6， 系数化为1得：x≤3， 2分 将②去括号得：5x+15>-x-3, 移项，合并同类项得：6x>-18, 系数化为1得：X>一3,4分 故原不等式组的解集为一3<x≤3.5分 14(本小题7分) (1)解：如图，·A1BC即为所作， 第1页，共1页 6/ 5 A 3 2 2分 B -6-5-4-3-2-10 12.3456 2 点A1,B1,C1的坐标为A1(2,4),B1(1,0),C1(4,2): (2)解：·A1BC的面积=3×4-号×1X4-号×2×2-专×2×3=5；5分 (3)(a+5,b-2)7分 15(本小题10分) 【解析】(1)45÷30%=150（名）， 故答案为：150； 3分 (②)喜欢哪吒的人数为：150×40%=60（名）， 喜欢其他角色的人数为：150-45-60-30=15（名）： 补全条形图如图： 人数调查结果的条形统计图 700 60 50 45 40 30 30 20 10 哪吒敖丙李靖其他喜欢的角色 7分 (3)2600×(30%+40%)=2600×70%=1820(人)：9分 答：估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有1820人.10分 16.(本小题12分) 解：(1)证明： :∠1+∠2=180。，∠1+∠DFE=180。 。∠2=∠DFE…2分 AB//P.4分 (2)证明：：AB//F ÷∠3=∠ADE6分 第1页，共1页 :∠B=∠3 ·ADE=∠B .DE//BC. 8分 .ACB=∠AED 又：CD平分LACB ÷ACB=2LBCD10分 ÷∠AED=2∠BCD12分 17.(本小题12分) 解：(1)设A型机器人的单价是x万元，B型机器人的单价是y万元， (x+3y=260 根据题意得：{3x+2y=360,2分 (x=80 解得：1y=60 ·4分 答：A型机器人的单价是80万元，B型机器人的单价是60万元；5分 (②)设购买m台A型机器人，则购买(10一m)台B型机器人， 根据题意得：33m+27(10-m)≥300， 7分 解得：m≥5,8分 设购买总费用为w万元，则w=80m+60(10一m), 即W=20m+600,10分 :20>0, .w随m的增大而增大，11分 :当m=5时，w取得最小值，此时10-m=10-5=5(台】 答：应该购买5台A型机器人，5台B型机器人.12分 18.(本小题13分) (1)证明：：∠CDF+∠DFE=180, :AE//D@同旁内角互补，两直线平行)， ·∠AEB=∠C, 2分 :∠C=∠DAE, ·∠AEB=∠DAE, AD//BC:3分 第1页，共1页 (②)解：∠DFE=∠ADF+∠AEB, 过点F作FG//AD, D --G E 图1 ∠DFG=∠ADF(两直线平行，内错角相等），5分 AD//BC .FG//BC ÷LGFE=∠ABB,7分 ·∠DFE=LDFG十∠EFG=LADF+∠AEB;8分 (3)211:10分 (4)解：过点E作EH//AB, D E B H A 图3 ·∠BEH=a=15°， :B=45°， ÷∠HEF=1800-B-∠BEH=120°，11分 :底部支架AB与吊线FG平行， EH//FG,12分 第1页，共1页 ·HEF+∠EFG=180°， .∠EFG=180°-HEF=60。.13分 第1页，共1页 2025-2026人教版新课标七年级下册期末综合达标巩固卷 数 学 学 科 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版七年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列实数中，最小的是(     ) A. B. C. D. 2.的立方根为(     ) A. B. C. D. 3.在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为(     ) A. B. C. D. 4.为了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽查了名运动员的年龄下列说法中错误的是(     ) A. 本次调查采用的是抽样调查 B. 每个运动员是个体 C. 样本容量为 D. 名运动员的年龄是总体的一个样本 5.下面列出的不等式中正确的是(     ) A. “不是正数”表示为 B. “不大于”表示为 C. “至少是”表示为 D. “与的差是负数”表示为 6.如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是(     ) A. B. C. D. 7.如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是(     ) A. B. C. D. 8.已知实数，满足，，则下列判断正确的是(     ) A. B. C. D. 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，，则的度数是           ．  10.如图为户外坐椅的侧面图，图是它的平面示意图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则           ． 11.若是二元一次方程的一组解，则代数式的值为          ． 12.关于的不等式的解集是          ；若此不等式解集中的每个解都能使得关于的不等式成立，则的取值范围是          ． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.（1）解方程组：． （2）解不等式组． 14.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，且点，，的对应点分别为，，． 请在图中画出平移后的，并写出点，，的坐标； 求的面积； 若点是内部任意一点，则平移后点的对应点坐标为          请用含，的式子表示 15.本小题分 哪吒上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色每人只选一项把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息解决以下问题： 本次调查共抽取了______名观众； 补全条形统计图； 该电影院当天观看哪吒的观众有人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人． 16.本小题分 如图，已知． 求证：； 若，平分，求证：． 17.本小题分 年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：  信息一  型机器人台数 型机器人台数 总费用单位：万元 信息二  型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件． (1) 求、两种型号智能机器人的单价；  现该企业准备购买、两种型号智能机器人共台需要每天分拣快递不少于万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 18.本小题分 在学习完相交线与平行线后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 如图，，，求证：． 【拓展探究】 在的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 路灯维护工程车的工作示意图如图所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______． 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026人教版新课标七年级下册期末综合达标巩固卷 数学学科全解全析 （考试时间：90分钟，分值：100分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．测试范围：新教材人教版七年级下册全部内容。 第I卷（选择题） 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。 1.在下列实数中，最小的是(     ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】解：，， 最小的实数是， 故选：． 根据实数大小比较法则作答即可． 本题考查了实数的大小比较，解题关键是掌握实数大小比较法则：正数大于零，负数小于零，正数大于一切负数；两个正数比较大小，绝对值大的数大；两个负数比较大小，绝对值大的数反而小． 2. 的立方根为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 此题考查了立方根，如果一个数的立方等于，那么这个数叫做的立方根或三次方根．这就是说，如果，那么叫做的立方根．根据立方根的定义求解可得． 【解答】 解：， 的立方根是， 故选A． 3.在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺按如图方式摆放，若，则的大小为(    ) A. B. C. D. 【答案】A  【解析】【分析】 本题考查了平行线的性质，由，可得，即可求解． 【解答】 解：如图，由题知，，， ， ， ， ， ， ， 故选：． 4.为了解参加运动会的名运动员的年龄情况，从中抽查了名运动员的年龄下列说法中错误的是(     ) A. 本次调查采用的是抽样调查 B. 每个运动员是个体 C. 样本容量为 D. 名运动员的年龄是总体的一个样本 【答案】B  【解析】解：、选项事件属于抽样调查，选项说法正确，不符合题意； B、个体是每个运动员的年龄，而非运动员本身，说法说法错误，符合题意； C、样本容量为被抽取的个体数，选项说法正确，不符合题意； D、样本是名运动员的年龄数据，属于总体的一个样本，选项说法正确，不符合题意． 故选：． 总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象．从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．据此逐项判断即可． 本题考查了全面调查与抽样调查，总体、个体、样本、样本容量，掌握全面调查与抽样调查的使用特征是关键． 5.下面列出的不等式中正确的是(     ) A. “不是正数”表示为 B. “不大于”表示为 C. “至少是”表示为 D. “与的差是负数”表示为 【答案】D  【解析】解：、“不是正数”表示为，选项成错误，不符合题意； B、“不大于”表示为，选项成错误，不符合题意； C、“至少是”表示为，选项成错误，不符合题意； D、“与的差是负数”表示为，选项正确，符合题意； 故选：． 理解各选项中的关键词语对应的数学符号，逐一判断即可． 本题考查了列不等式，理解题意是关键． 6.如图，点在的延长线上，下列条件中能判断的是(    ) A. B. C. D. 【答案】D  【解析】本题考查平行线的判定，熟练掌握该知识点是解题的关键．根据平行线的判定方法逐一进行判断即可． 【详解】解：，，不符合题意； B.，，不符合题意； C.，，不符合题意； D.，，符合题意， 故选：． 7.如图，某学校为开展劳动教育在校园农场中开垦了一块四边形菜地，测得，，，，，则这块菜地的面积是(    ) A. B. C. D. 【答案】B  【解析】本题考查了勾股定理的逆定理，勾股定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．连接，先在中，利用勾股定理求出的长，然后利用勾股定理的逆定理证明是直角三角形，从而可得，最后根据四边形的面积的面积的面积，进行计算即可解答． 【详解】解：连接， ，，， ， ，， ，， ， 是直角三角形， ， 四边形的面积的面积的面积， ， 这块菜地的面积为， 故选：． 8.已知实数，满足，，则下列判断正确的是(     ) A. B. C. D. 【答案】C  【解析】解：根据等量代换及不等式的性质依次判断如下： 由题意可得：， ， ， ，选项B错误，不符合题意； ， ， ， ， ，选项A错误，不符合题意； ， ， ， ， ，选项C正确，符合题意； ，， ，， ，选项D错误，不符合题意． 故选：． 根据等量代换及不等式的性质依次判断即可得出结果． 题目主要考查不等式的性质和解一元一次不等式组，熟练掌握不等式的性质是解题关键． 第II卷（非选择题） 二、填空题：本题共4小题，每小题3分，共12分。 9.如图，直线，相交于点，，垂足为，平分，，则的度数是          ．  【答案】 度  【解析】本题考查了角平分线的定义，垂线的定义，平角的定义． 先根据角平分线的定义得到，再根据垂线的定义得到，最后根据平角的定义计算即可． 【详解】解：平分，， ， ， ， ， 故答案为：． 10.如图为户外坐椅的侧面图，图是它的平面示意图，调整合适的靠背角度后，测得，，与地面平行，则          ． 【答案】  【解析】解：，，  ，  与地面平行，  ， ，  故答案为：． 先根据平角的定义求出的度数，再根据平行线性质得到，据此求解即可． 本题考查平行线性质的实际应用，掌握平行线的性质是解题的关键． 11.若是二元一次方程的一组解，则代数式的值为          ． 【答案】  【解析】本题考查二元一次方程的解，将已知解代入方程得，再将原式变形后整体代入计算即可． 【详解】解：已知是二元一次方程的一组解， 则， ， 故答案为：． 12.关于的不等式的解集是          ；若此不等式解集中的每个解都能使得关于的不等式成立，则的取值范围是          ． 【答案】      ； 【解析】本题考查了解不等式． 先计算不等式的解集，再求出不等式的解集，最后根据题意作答即可． 【详解】解：去分母得：， 移项合并同类项得：； 移项得：； 解集中的每个解都能使得关于的不等式成立， ， 解得， 故答案为：，． 三、解答题：本题共6小题，共64分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。 13.本小题分 （1）解方程组：． 【答案】解： ，可得：， 解得：， 把代入，解得， 原方程组的解是．  【解析】此题主要考查了解二元一次方程组的方法，要熟练掌握，注意代入消元法和加减消元法的应用． 直接用加减消元法，求出方程组的解即可． 13.（2）解不等式组． 【答案】．  【解析】解：将移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 将去括号得：， 移项，合并同类项得：， 系数化为得：， 故原不等式组的解集为． 解各不等式求得对应的解集后再求得它们的公共部分即可． 本题考查解一元一次不等式组，熟练掌握解不等式组的方法是解题的关键． 14.本小题分 如图，在平面直角坐标系中，三个顶点的坐标分别是，，将先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度，得到，且点，，的对应点分别为，，． 请在图中画出平移后的，并写出点，，的坐标； 求的面积； 若点是内部任意一点，则平移后点的对应点坐标为          请用含，的式子表示 【答案】(1)解：如图，即为所作， 点，，的坐标为，，； (2)解：的面积；  (3)  【解析】  本题主要考查了三角形面积求法以及坐标系内图形平移，正确得出对应点位置是解题关键． 利用平移的性质分别得出对应点位置进而得出答案；根据图示得出坐标即可；  直接利用所在矩形面积减去周围三角形面积进而得出答案；  直接根据点的平移规律解答即可． 解：根据点的平移规律得平移后点的对应点坐标为， 故答案为：． 15.本小题分 哪吒上映后，某影院随机调查了某天部分观众最喜欢的一个角色每人只选一项把调查结果绘制成下列不完整的条形统计图和扇形统计图，请根据图中的信息解决以下问题： 本次调查共抽取了______名观众； 补全条形统计图； 该电影院当天观看哪吒的观众有人，根据调查结果，请你估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有多少人． 【解析】名， 故答案为：； 喜欢哪吒的人数为：名， 喜欢其他角色的人数为：名； 补全条形图如图： 人； 答：估计喜欢哪吒和敖丙的观众共有人． 用喜欢敖丙的人数除以所占的比例进行求解即可； 求出喜欢哪吒和其他角色的人数，补全条形图即可； 利用样本估计总体的思想进行求解即可． 本题考查条形图和扇形图的综合应用，从统计图中有效获取信息是解题的关键． 16.本小题分 如图，已知． 求证：； 若，平分，求证：． 【答案】(1)证明：， (2)证明： 又平分 【解析】  本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． 根据，可得，从而可判断；  证明，得，由平分可得结论． 17.本小题分 年春节凸显了我国在机器人领域的强大实力，随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买、两种型号智能机器人进行快递分拣，相关信息如下：  信息一  型机器人台数 型机器人台数 总费用单位：万元 信息二  型机器人每台每天可分拣快递万件； 型机器人每台每天可分拣快递万件． 求、两种型号智能机器人的单价；  现该企业准备购买、两种型号智能机器人共台需要每天分拣快递不少于万件，且购买总费用最少，应如何选用这两种型号机器人？ 【答案】解：设型机器人的单价是万元，型机器人的单价是万元，  根据题意得：，  解得：  答：型机器人的单价是万元，型机器人的单价是万元；  设购买台型机器人，则购买台型机器人，  根据题意得：，  解得：，  设购买总费用为万元，则，  即，  ，  随的增大而增大，  当时，取得最小值，此时台  答：应该购买台型机器人，台型机器人．  【解析】设型机器人的单价是万元，型机器人的单价是万元，利用总价单价数量，结合题意，可列出关于，的二元一次方程组，解方程组即可得出结论；  设购买台型机器人，则购买台型机器人，根据需要每天分拣快递不少于万件，可列出关于的一元一次不等式，解不等式即可得出的取值范围，再设购买总费用为万元，利用总价单价数量，可找出关于的函数关系式，再利用一次函数的性质，即可解决最值问题． 本题考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据各数量之间的关系，找出关于的函数关系式． 18.本小题分 在学习完相交线与平行线后，同学们对平行线产生了浓厚的兴趣，蔡老师围绕平行线的知识在班级开展课题学习活动探究平行线的“等角转化”功能． 【问题初探】 如图，，，求证：． 【拓展探究】 在的条件下，试问，与之间满足怎样的数量关系？并说明理由． 【迁移应用】 路灯维护工程车的工作示意图如图所示，工作篮底部与支撑平台平行，已知，则______． 一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角，顶部支架与灯杆所成锐角，求的度数． 【答案】证明：，  同旁内角互补，两直线平行，  ，  ，  ，  ；  解：，  过点作，    两直线平行，内错角相等，  ，  ，  ，  ；  ；  解：过点作，    ，  ，  ，  底部支架与吊线平行，  ，  ，  ．  【解析】解：见答案；  见答案；  设，，的顶点分别为，，，    由题意可知，，作，则，  ，  ，  ，  故答案为：；  见答案． 根据同旁内角互补两直线平行，即可得，根据平行线的性质可得，结合已知条件得出，根据内错角相等两直线平行，即可得证；  过点作，根据两直线平行内错角相等得出，，进而即可求解；  根据题意以及平行线的性质可得出，，即可求解．  过点作，得到，再求出，最后根据得到，据此求解即可． 本题考查平行线的性质与判定，熟练掌握平行线的性质与判定是解题的关键． 第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 $