河南信阳市固始县永和高级中学2025-2026学年高一下学期数学期末考试模拟卷

**基本信息** 2026学年高一数学期末模拟卷，覆盖必修一、二，以射箭比赛、计步数据等真实情境为载体，融合向量、统计、函数等知识，考查数学抽象、数据意识与空间观念。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|向量夹角、百分位数、函数图像|结合单位向量性质，考查数学抽象| |多选题|3/18|频率分布直方图、复数、独立事件|通过灯具质检数据，培养数据意识| |填空题|3/15|复数虚部、基本不等式、向量数量积|长方形内外部半圆动点问题，提升空间观念| |解答题|5/77|三角化简、函数解析式、立体几何、统计、解三角形|第19题融入拿破仑定理，体现文化传承与创新应用|

2026学年度固始县永和高中数学期末考试模拟卷 高一数学 考试范围：必修一、二；考试时间：120分钟；分值：150 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求。 1．已知三个单位向量满足，则向量的夹角为（    ） A． B． C． D． 2．2024年某校举行一场射箭比赛，甲乙丙丁戊各射中的环数分别为：9环，6环，7环，8环，10环．则在五个人的成绩的上四分位数是（    ） A．8环 B．9环 C．7环 D．6环 3．某学生通过计步仪器，记录了自己最近30天每天走的步数，数据从小到大排序如下： 5588   6054   8799   9851   9901   10111  11029  11207  12634  12901 13001  13092  13127  13268  13562  13621  13761  13801  14101  14172 14191  14292  14426  14468  14562  14621  15061  15601  15901  19972 估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为（    ） A．14292 B．14359 C．14426 D．14468 4．函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 5．函数的部分图象如图所示，是等腰直角三角形，其中两点为图象与轴的交点，为图象的最高点，且，则（ ） A． B． C． D． 6．已知是半径为2的圆上的三个动点，弦所对的圆心角为，则的最大值为（    ） A．6 B．3 C． D． 7．函数的零点所在的区间为（    ） A． B． C． D． 8．如图，在中，为上一点，且满足，若，则的最小值是（    ） A．2 B．4 C． D． 二、单选题：本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分。 9．某灯具配件厂生产了一种塑胶配件，该厂质检人员某日随机抽取了100个该配件的质量指标值（单位：分）作为一个样本，得到如下所示的频率分布直方图，则（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）（   ） A． B．样本质量指标值的平均数为75 C．样本质量指标值的众数小于其平均数 D．样本质量指标值的第75百分位数为85 10．已知，关于的方程的一个根是，另一个根是，其中是虚数单位，则下面四个选项正确的有（    ） A．复数对应的点在第四项象限 B． C． D． 11．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球，甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则（    ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙不相互独立 D．丙与丁不相互独立 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．设O为原点，向量，对应的复数分别为，，那么向量对应的复数的虚部为_______. 13．已知，，，则的最小值为__________． 14．如图，在长方形ABCD中，，以AB为直径在长方形内作半圆E，以BC为直径在长方形外作半圆F，M，N分别是半圆E和半圆F上的动点，则的最大值为__________． 4、 解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 15． （13分）（1）化简； （2） 若已知，，求的值． 16．（15分）已知定义域为的函数满足： ①对任意；②当时，. (1)求在实数集上的解析式； (2)在坐标系中画出函数的图象； (3) 写出的单调递增区间. 17．（15分）已知三棱锥中，平面为中点，过点分别作平行于平面的直线交于点.    (1)求直线与平面所成的角的正切值； (2)证明：平面平面，并求直线到平面的距离. 18．（17分）从某企业生产的某种产品中抽取100件，测量这些产品的一项质量指标值，由测量数据得到频率分布直方图如图所示． (1)补全频率分布直方图； (2)若同一组数据用该组区间的中点值作为代表，据此估计这种产品质量指标值的平均数及方差； (3)当一件产品的质量指标值位于时，认为该产品为合格品，求样本中的产品为合格品的频率． 19．（17分）法国著名军事家拿破仑・波拿巴最早提出的一个几何定理：“以任意三角形的三条边为边向外构造三个等边三角形，则这三个三角形的外接圆圆心恰为另一个等边三角形的顶点”．如图，在中，内角的对边分别为，已知，以为边向外作三个等边三角形，其外接圆圆心依次为．    (1)求； (2)若外接圆半径为1，求的边长； (3)若，的面积为，求的周长． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 《2026学年度固始县永和高中高一数学期末考试模拟卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 C B C A D A C C ACD ABC 题号 11 答案 BCD 1．C 【分析】对等式两边同时平方即可得到，再利用向量数量积定义和向量夹角的范围即可得到答案. 【详解】，即， ，即，则， 因为，的夹角为， 故选：C. 2．B 【分析】根据第p百分位数定义计算判断即可. 【详解】将5人的比赛成绩由小到大排列依次为：6，7，8，9，10， ，5人成绩的上四分位数为第四个数:9. 故选：B. 3．C 【分析】根据给定数据，利用第75百分位数的意义求解即得. 【详解】由，得样本的第75百分位数为第23个数据， 据此估计该学生最近30天每天走的步数数据的第75百分位数为14426. 故选：C 4．A 【分析】根据函数的定义域以及奇偶性即可求得答案． 【详解】因为函数的定义域为，排除CD， 又，即为偶函数，图象关于轴对称，排除B． 故选：A． 5．D 【分析】如图，过作轴于，根据题意得到，进而可求出，再利用，得到，则有，可求出，从而，即可求出结果. 【详解】如图，过作轴于，则， 又是等腰直角三角形，所以，故，得到， 又，所以，则，所以， 所以，得到，又，得到， 所以，则， 故选：D. 6．A 【分析】将中向量进行分解，即：， 由是的中点，可将上式进行化简整理为，所以只需求最大，即的长加圆的半径即可，然后代入即可求得的最大值. 【详解】因为弦所对的圆心角为，且圆的半径为2，所以， 取的中点，所以，，如图所示： 因为, 因为是的中点，所以， ， 所以若最大，所以只需最大， 所以， 所以. 故选：A 7．C 【分析】根据题意得函数在上单调递增，然后根据零点存在性定理分析判断即可解出. 【详解】在上单调递增，在上单调递增， 函数在上单调递增， ， ， ， 函数的零点所在的区间为. 故选：C. 8．C 【分析】设，从而得到，结合已知有，应用三角形面积公式得，最后由向量数量积的运算律、基本不等式求向量模长的最值. 【详解】设，则， 所以，解得， ，则， ，当且仅当时，等号成立， 的最小值为． 故选：C 9．ACD 【分析】运用频率分布直方图中所有频率之和为1及平均数、众数、百分位数公式计算即可. 【详解】对于A项，由题意知，解得0.030，故A项正确； 对于B项，样本质量指标值的平均数为，故B项错误； 对于C项，样本质量指标值的众数是，故C项正确； 对于D项，前3组的频率之和为，前4组的频率之和为， 故第75百分位数位于第4组，设其为， 则，解得， 即第75百分位数为85，故D项正确. 故选：ACD项. 10．ABC 【分析】根据复数的几何意义可判断A；将代入方程可求的值，即可判断B；利用根与系数的关系可求出方程的另一个根，即可判断C；根据两个虚数不能比较大小，可判断D. 【详解】复数，复数对应的点为，所以，复数对应的点在第四象限，故A正确； 已知，关于的方程的一个根是， 则，整理得， 所以，；解得：，所以，，故B正确； 由得方程，又知道一个根是， 所以，结合韦达定理，可得另一个根是，所以，，故C正确； 两个虚数不能比较大小，故D错误； 故选：ABC． 11．BCD 【分析】计算各事件概率，再根据独立事件概率的关系依次判断每个选项得到答案. 【详解】两次取出的球的数字之和为8，有共5种情况， 所以；两次取出的球的数字之和为7，有共6种情况， 所以；； 对于A，，故甲与丙不相互独立，错误； 对于B，，故甲与丁相互独立，正确； 对于C，，故乙与丙不相互独立，正确； 对于D，，故丙与丁不相互独立，正确. 故选：BCD. 12．7 【分析】由向量线性运算的坐标表示结合复数的概念即可求解. 【详解】由题意得， ， 所以向量对应的复数的虚部为7. 13．/ 【分析】利用1的妙用以及基本不等式求最值. 【详解】， 当且仅当且，即时，等号成立， 故的最小值为. 故答案为：. 14． 【分析】首先根据向量坐标求出数量积的表达式，然后利用辅助角公式将其化简为只含有一个三角函数的形式，最后根据三角函数的性质以及给定的角的范围求出最大值. 【详解】如图，建立平面直角坐标系，设， 则 ， 其中，．因为，所以当时，取得最大值，最大值为． 故答案为：. 15．（1）；（2） 【分析】根据指数幂的运算性质求解. 【详解】（1）原式； （2）因为，， 所以. 16．(1) (2)答案见解析 (3)、 【分析】（1）令，则有，即可结合函数性质计算出时解析式，再计算出即可得； （2）结合所得解析式即可画出； （3）由图象结合二次函数的性质即可得. 【详解】（1）当时，有，则， 又对任意，则， 即当时，， 有，故， 即； （2）如图： （3）由图象结合二次函数的性质可得， 该函数的单调递增区间为：、. 17．(1) (2)证明见解析； 【分析】（1）根据直线与平面夹角的定义即可知即为直线与平面所成的角，然后利用线段长直接求解即可. （2）利用面面平行的判定定理直接证明即可；根据线面间的距离转化为点面距离，即可得出答案. 【详解】（1）    因为平面，连接， 则即为直线与平面所成的角， 又，，， 为中点，可得，， 所以， 即直线与平面所成的角的正切值为. （2）由题知，平面，平面， ，平面， 所以平面平面. 因为平面，平面， 所以， 又，平面，， 所以平面，又平面， 所以就是直线到平面的距离， 又为中点， 则， 即直线到平面的距离为. 18．(1)作图见解析 (2)， (3)0.95 【分析】（1）由频率分布直方图中所有小矩形的面积之和为求出对应的频率，即可补全频率分布直方图； （2）根据平均数、方差公式计算可得； （3）根据频率分布直方图求出产品的质量指标值位于的频率，即可得解. 【详解】（1）解：由频率分布直方图得对应的频率为， 由此补全频率分布直方图如图： （2）解：由频率分布直方图可得平均数 ， 方差． （3）解：质量指标值位于的频率为 ． 故样本中的产品为合格品的频率为． 19．(1)60° (2) (3)． 【分析】（1）利用正弦定理角化边，再利用余弦定理求解角度即可. （2）作出符合题意的图形，利用正弦定理求解即可. （3）依题意可得，，再利用面积公式得到，在和中分别利用余弦定理，即可得到，，从而求出，即可得解. 【详解】（1）因为， 所以由正弦定理得， 化简得，由余弦定理得， 因为，所以. （2）如图，连接，，由题意得，    若外接圆半径为1，则由正弦定理得. （3）因为，分别是以为边向外作的等边三角形的外心， 所以， 因为正面积为，所以， 解得，而，因此， 所以在中，由余弦定理得 即，因此． 又因为中，， 所以由余弦定理得，即， 因此，， 因此的周长为． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $