专题15.2 互斥事件和独立事件重难点题型讲义（1个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

该高中数学讲义以“1个知识点+7大题型”系统构建互斥事件与独立事件的知识体系，通过知识框架图梳理事件相互独立性的定义、性质、应用及推广，结合互斥与独立事件的对比分析，清晰呈现重难点分布与内在逻辑联系。 讲义亮点在于分层题型设计，从基础的互斥事件概率加法公式到复杂的独立事件实际应用，每个题型配套经典例题与即时训练，培养数学思维的推理能力和数学语言的模型观念。如“利用对立事件求概率”题型引导学生转化问题，支持不同层次学生提升，助力教师实施精准复习教学。

专题15.2 互斥事件和独立事件重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 互斥事件的概率加法公式 题型二 利用互斥事件的概率公式求概率 题型三 写出某事件的对立事件 题型四 利用对立事件的概率公式求概率 题型五 独立事件的判断 题型六 相互独立事件与互斥事件 题型七 独立事件的乘法公式 题型八 独立事件的实际应用 拓展训练一 各种事件的相关求解 知识点一： 事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 【即时训练】 1．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.5，和棋的概率为0.2，则乙获胜的概率为_____． 【经典例题一 互斥事件的概率加法公式】 【例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件为“抽到的是一等品”，事件为“抽到的是二等品”，事件为“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率： (1)事件为“抽到的是一等品或三等品”； (2)事件为“抽到的是二等品或三等品”． 1．（25-26高二上·湖北·期中）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项一定正确的是（    ） A．与是互斥事件 B． C． D．是必然事件 2．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）（多选）已知事件发生的概率分别是，则下列结论正确的是（　　） A．若发生，必然发生，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 3．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______ 4．（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【经典例题二 利用互斥事件的概率公式求概率】 【例1】（24-25高二下·天津·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是．问：从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率是多少？ 1．（2025高三·全国·专题练习）羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在二局比赛中，甲先发球．则比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率为（    ） A．0.144 B．0.336 C．0.304 D．0.216 2．（24-25高一下·河南三门峡·期末）（多选）已知，，则下列说法中正确的是（   ） A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则 C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则 3．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 4．（24-25高一下·湖南长沙·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）. (1)已知，. （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，试判断事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并给出理由. (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 【经典例题三 写出某事件的对立事件】 【例1】（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）从某大学数学系图书室中任选一本书，设{数学书}，{中文版的书}，{2021年后出版的书}，问： (1)表示什么事件？ (2)在什么条件下，有？ (3)表示什么意思？ (4)如果，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？ 1．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 2．（25-26高一上·河南濮阳·阶段检测）（多选）中任取两数，下列事件是对立事件的是（　　）. A．至少有一个偶数和两个数都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个数都是奇数 C．至少有一个奇数和两个数都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 3．（2024高一下·全国·专题练习）同时抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为_____．（填序号） ①一个是5点，另一个是6点； ②一个是5点，另一个是4点； ③至少有一个是5点或6点； ④至多有一个是5点或6点． 4．（24-25高一下·河南新乡·期末）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； （2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率. 【经典例题四 利用对立事件的概率公式求概率】 【例1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，则乙不输的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 1．（25-26高二上·山东临沂·期末）甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为，乙成功的概率为，则甲乙至少有一人成功的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 3．（2026·湖南湘西·三模）甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 4．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【经典例题五 独立事件的判断】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (2)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 1．（2026·河南许昌·三模）“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知事件，且，则（   ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 3．（24-25高二·上海·课堂例题）一个口袋中装有3个白球和3个黑球． ①事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第一次摸出的是黑球； ②摸出后放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球； ③摸出后不放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球； ④一次摸两个球，共摸两次，事件A：第一次摸出颜色相同的球，事件B：第一次摸出颜色不同的球． 以上各组事件是独立事件的序号为________． 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 【经典例题六 相互独立事件与互斥事件】 【例1】（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【例2】（24-25高一下·浙江湖州·期末）为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为. (1)甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？ (2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率. 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 2．（24-25高一下·贵州遵义·期末）（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 3．（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机事件A，B相互独立，且则的值为__________. 4．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【经典例题七 独立事件的乘法公式】 【例1】（25-26高二上·湖南湘潭·期末）若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二上·海南·阶段检测）甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响 (1)求甲只答对第二题的概率； (2)求甲乙两人答对题目数之和为1的概率. 1．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 2．（2026·广东·模拟预测）（多选）已知事件为一组相互独立的事件，且，则（    ） A． B． C． D． 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 4．（25-26高二上·福建泉州·期末）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员在梦天实验舱中演示了球形火焰等实验．某中学组织“天宫课堂•科学问答”挑战赛，每轮比赛由甲和乙各回答一个与“天宫课堂”相关的问题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，两人答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求首轮比赛中至少有一人答对的概率； (2)求前两轮比赛中，甲答对的次数多于乙的概率. 【经典例题八 独立事件的实际应用】 【例1】（24-25高三·全国·课后作业）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于( ) A． B． C． D． 【例2】（24-25高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 1．（2024·海南·模拟预测）在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（    ） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）（多选）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6．0.5．0.4，则（    ） A．该棋手三盘三胜的概率为0.12 B．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26 D．记该棋手连赢2盘为事件A，则当该棋手在第二盘与甲比赛最大 3．（25-26高二上·浙江·阶段检测）临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 4．（24-25高一下·全国·单元测试）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 【拓展训练一 各种事件的相关求解】 【例1】（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 【例2】（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 2．（25-26高二上·湖北·期末）（多选）下列对于概率的说法正确的有（    ） A．若事件与事件互斥，则事件与事件对立 B．若事件、满足，则 C．若事件与事件相互独立，且，则 D．小明将一枚质地均匀的硬币掷了100次，经统计有51次正面向上，则将这枚硬币再掷一次，出现正面朝上的概率是 3．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 4．（25-26高一上·安徽·期末）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C． D．的概率一定等于0.5 2．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 3．（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（    ） A． B． C．事件“”与“”互斥 D．事件“”与“”相互独立 7．（25-26高二下·甘肃白银·期中）（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 8．（2025·湖南岳阳·模拟预测）（多选）已知是三个随机事件，下列说法中正确的有（    ） A．若，则相互独立 B．若相互独立，，则相互独立 C．“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件 D．若相互独立，相互独立，互斥，，则事件中至少有一个发生的概率为 9．（2026·河南濮阳·二模）（多选）在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（   ） A．只有一个小组受到奖励的概率等于 B．技术难题被攻克的概率为 C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 10．（25-26高一上·河南焦作·期末）（多选）投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 11．（2026·河南开封·模拟预测）某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 12．（24-25高二下·浙江·期中）在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立．第一门大炮射击的命中率为0.4．第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6．根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6．则弹药库被摧毁的概率为______． 13．（2026·福建泉州·三模）甲抛掷质地均匀的硬币2次，乙抛掷质地均匀的硬币3次，则甲得到的正面向上的次数比乙得到的正面向上的次数少的概率是______． 14．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得分，负者得分，约定一方比另一方多分或满局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则这次比赛经过局结束的概率为_________． 15．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 16．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 17．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 18．（24-25高二上·湖北·期中）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等． (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值． 19．（25-26高一下·全国·课堂例题）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 20．（24-25高二上·四川成都·期中）A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立．已知A闯关成功的概率是，A，B，C三人闯关都成功的概率是，A，B，C三人闯关都不成功的概率是． (1)求B，C两人各自闯关成功的概率； (2)求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率； (3)求A，B，C三人中至少一人闯关成功的概率． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题15.2 互斥事件和独立事件重难点题型专训 （1个知识点+7大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 互斥事件的概率加法公式 题型二 利用互斥事件的概率公式求概率 题型三 写出某事件的对立事件 题型四 利用对立事件的概率公式求概率 题型五 独立事件的判断 题型六 相互独立事件与互斥事件 题型七 独立事件的乘法公式 题型八 独立事件的实际应用 拓展训练一 各种事件的相关求解 知识点一： 事件的相互独立性 (1)定义 对任意两个事件A与B，如果P(AB)=P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立. (2)性质 若事件A与B相互独立，则与B，A与，与也相互独立. (3)应用 因为“A与B相互独立”是“P(AB)=P(A)P(B)”的充要条件，所以如果已知两个事件是相互独立的，则由它 们各自发生的概率可以迅速得到它们同时发生的概率.在实际问题中，我们常常依据实际背景去判断事件之间是否存在相互影响，若认为事件之间没有影响，则认为它们相互独立. (4)推广 两个事件的相互独立性可以推广到n(n>2，n∈)个事件的相互独立性，即若事件，，，相互独立，则这n个事件同时发生的概率P()=P()P()P(). 【即时训练】 1．（25-26高二下·上海·期中）设事件是互斥事件，，，则下列说法错误的是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】事件互斥，则不能同时发生． A选项：，所以A正确； B选项：，所以B正确； C选项：互斥事件，所以，所以C错误； D选项：互斥，，所以D正确. 2．（25-26高一下·全国·课堂例题）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.5，和棋的概率为0.2，则乙获胜的概率为_____． 【答案】0.3/ 【分析】根据互斥事件和对立事件的概率公式进行求解即可, 【详解】设甲获胜为事件，乙获胜为事件， 由于和棋的概率为0.2， 因此甲、乙有一人获胜的概率为， 于是有．又，于是． 故答案为：0.3 【经典例题一 互斥事件的概率加法公式】 【例1】（25-26高三下·陕西西安·阶段检测）已知随机事件A，B，C满足A与B互斥,B与C对立，且，，则（    ） A．0.5 B．0.6 C．0.7 D．0.9 【答案】C 【详解】因为，事件与对立，所以， 又，与互斥，所以. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）从一箱产品中随机地抽取一件产品，设事件为“抽到的是一等品”，事件为“抽到的是二等品”，事件为“抽到的是三等品”，且已知，，，求下列事件的概率： (1)事件为“抽到的是一等品或三等品”； (2)事件为“抽到的是二等品或三等品”． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）应用互斥事件的概率加法公式计算求解； （2）应用互斥事件的概率加法公式计算求解. 【详解】（1）∵事件与事件是互斥事件．∴由互斥事件的概率加法公式得： （2）∵事件与事件是互斥事件，∴由互斥事件的概率加法公式得： 1．（25-26高二上·湖北·期中）在一次随机试验中，三个事件，，发生的概率分别是0.4，0.5，0.6，则下列选项一定正确的是（    ） A．与是互斥事件 B． C． D．是必然事件 【答案】C 【分析】通过举反例说明A和D不正确；通过交事件的性质、并事件的概率的求法判断B和C. 【详解】对于A，若，则.故A不正确； 对于B，， 解得，故不一定等于，故B不正确； 对于C，由得，故C正确； 对于D，若，则.故D不正确. 故选：C. 2．（25-26高二上·四川达州·阶段检测）（多选）已知事件发生的概率分别是，则下列结论正确的是（　　） A．若发生，必然发生，则 B．若与互斥，则 C．若与相互独立，则 D．若与相互独立，则 【答案】ABD 【分析】逐个分析各选项，结合事件的包含、互斥、独立关系，计算对应概率判断正误. 【详解】选项A：若发生则必然发生，说明，故， 因此，A正确. 选项B：若与互斥，则，B正确. 选项C：若与相互独立，则， 故，C错误. 选项D：若A与B相互独立，则， 故，D正确. 故选：ABD 3．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则_______ 【答案】 【分析】根据给定条件，利用概率的基本性质及互斥事件的概率公式列式求解. 【详解】由，得，解得， 由，得，解得， 由，得，解得， 所以. 故答案为： 4．（25-26高一下·全国·单元测试）西安世园会志愿者招聘正如火如荼进行着，甲、乙、丙三名大学生跃跃欲试，已知甲能被录用的概率为，甲、乙两人都不能被录用的概率为，乙、丙两人都能被录用的概率为且甲、乙、丙三名大学生能否被录用相互独立． (1)乙、丙两人各自能被录用的概率； (2)求甲、乙、丙三人至少有两人能被录用的概率． 【答案】(1)，； (2). 【分析】（1）分别设乙、丙被录用的概率为，根据题目描述条件列出方程组求解即可； （2）该事件包含四种情况，即三人都被录取（1种情况）、三人中两人被录用（3种情况），分别求概率后相加即可. 【详解】（1）设乙、丙能被录用的概率分别为， 则有，解得， 所以乙、丙能被录用的概率分别为，． （2）设甲、乙、丙能被录用的事件分别为，则，，，且相互独立， 则三人至少有两人能被录用包括， 四种彼此互斥的情况，则其概率为： . 【经典例题二 利用互斥事件的概率公式求概率】 【例1】（24-25高二下·天津·期末）甲、乙两人下棋，两人下成和棋的概率是 ，甲获胜的概率是 ，则甲不输的概率为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据互斥事件概率加法公式计算即可. 【详解】由题意，“甲不输”包括“甲获胜”和“两人下成和棋”两种情况，两者互斥， 所以甲不输的概率. 故选：A. 【例2】（25-26高二·上海·课堂例题）盒子中有散落的黑白棋子若干粒，已知从中取出2粒都是黑子的概率是，从中取出2粒都是白子的概率是．问：从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率是多少？ 【答案】 【分析】任意取出2粒棋子，一共有2粒都是黑子、2粒都是白子和一粒黑子一粒白子3种可能，其概率之和为1，由此可以求解. 【详解】由题意, 任意取出2粒棋子, 不考虑先后顺序,一共有 2 粒都是黑子、 2 粒都是白子和一粒黑子一粒白子 3 种可能, 设事件 : 取出 2 粒都是黑子, 事件 : 取出 2 粒都是白子, 事件 : 取出 2 粒恰好是一粒黑子一粒白子， 则 两两互斥, 由已知有 , 从中任意取出2粒恰好是同一种颜色表示为, 故从中任意取出 2 粒恰好是一粒黑子一粒白子的概率是 . 1．（2025高三·全国·专题练习）羽毛球比赛中采用每球得分制，即每回合中胜方得1分，负方得0分，每回合由上回合的胜方发球．设在甲、乙的比赛中，每回合发球，发球方得1分的概率为0.6，各回合发球的胜负结果相互独立．若在二局比赛中，甲先发球．则比赛进行3个回合后，甲与乙的比分为的概率为（    ） A．0.144 B．0.336 C．0.304 D．0.216 【答案】B 【分析】记“第回合发球，甲胜”为事件，且事件相互独立，记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件，则事件发生表示事件或或发生，利用事件的独立性和互斥事件即可求解. 【详解】记“第回合发球，甲胜”为事件，且事件相互独立． 记“3个回合后，甲与乙比分为2比1”为事件， 则事件发生表示事件或或发生，且，，互斥． 又，， ． 由互斥事件概率加法公式可得 ． 综上，3个回合后，甲与乙比分为2比1的概率为0.336， 故选：B． 2．（24-25高一下·河南三门峡·期末）（多选）已知，，则下列说法中正确的是（   ） A．若A，B互斥，则 B．若A，B互斥，则 C．若A，B独立，则 D．若A，B独立，则 【答案】ACD 【分析】根据事件互斥和独立的概率公式以及概率的性质逐项判断即可. 【详解】对于A，，所以A正确； 对于B，若互斥，则，所以B错误； 对于C，若独立，则， 所以，C正确； 对于D，，D正确， 故选：ACD. 3．（25-26高一上·上海普陀·期末）已知事件与事件互斥，它们都不发生的概率为，且，则_____． 【答案】/0.9375 【分析】根据所给条件，利用互斥事件和对立事件的概率公式求解即可. 【详解】因为事件与事件互斥，且， 所以， 又因为事件与事件都不发生的概率为， 所以，解得， 所以， 故答案为： 4．（24-25高一下·湖南长沙·期末）在信道内传输0，1信号，信号的传输相互独立.发送0时，收到1的概率为，收到0的概率为；发送1时，收到0的概率为，收到1的概率为.现有两种传输方案：单次传输和三次传输.单次传输是指每个信号只发送1次，三次传输是指每个信号重复发送3次.收到的信号需要译码，译码规则如下：单次传输时，收到的信号即为译码（例如，若收到1，则译码为1，若收到0，则译码为0）；三次传输时，收到的信号中出现次数多的即为译码（例如，若依次收到1，0，1，则译码为1，若依次收到1，1，1，则译码为1）. (1)已知，. （i）若采用单次传输方案，重复发送信号0两次，求至少收到一次0的概率； （ii）若采用单次传输方案，依次发送0，0，1，试判断事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”是否相互独立，并给出理由. (2)若发送1，采用三次传输方案时译码为0的概率大于采用单次传输方案时译码为0的概率，求的取值范围. 【答案】(1)（i）；（ii）不相互独立，理由见解析 (2) 【分析】（1）（i）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式计算即可求出至少收到一次0的概率； （ii）利用相互独立事件的定义判断并证明即可； （2）利用相互独立事件、互斥事件的概率公式求出两个事件的概率，列不等式即可求解的取值范围. 【详解】（1）（i）记事件为“至少收到一次0”，则. （ii）不相互独立，理由如下：记事件为“第三次收到的信号为1”，则. 记事件为“三次收到的数字之和为2”，则. 因为， 所以事件“第三次收到的信号为1”与事件“三次收到的数字之和为2”不相互独立. （2）记事件为“采用三次传输方案时译码为0”，则. 记事件为“采用单次传输方案时译码为0”，则. 根据题意可得，即. 因为，所以，即，解得， 故的取值范围为. 【经典例题三 写出某事件的对立事件】 【例1】（25-26高一上·安徽·期末）连续抛掷一枚硬币4次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（    ） A．有3次或4次出现反面 B．只有3次出现反面 C．有3次或4次出现正面 D．只有1次出现正面 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用对立事件的定义判断即可. 【详解】连续抛掷一枚硬币4次，共有5种结果：4正0反，3正1反，2正2反，1正3反，0正4反， 事件“至少2次出现正面”包含了4正0反，3正1反，2正2反， 则其对立事件包含1正3反，0正4反，即有3次或4次出现反面. 故选：A 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）从某大学数学系图书室中任选一本书，设{数学书}，{中文版的书}，{2021年后出版的书}，问： (1)表示什么事件？ (2)在什么条件下，有？ (3)表示什么意思？ (4)如果，那么是否意味着图书室中的所有的数学书都不是中文版的？ 【答案】(1){2021年或2021年前出版的中文版的数学书} (2)图书室中所有数学书都是2021年后出版的且为中文版 (3)2021年或2021年前出版的书全是中文版的 (4)是 【分析】（1）利用交事件和对立事件的定义求解即可； （2）利用交事件的定义求解即可； （3）（4）利用对立事件的定义求解即可. 【详解】（1）{2021年或2021年前出版的中文版的数学书}． （2）在“图书室中所有数学书都是2021年后出版的且为中文版”的条件下， 才有． （3）表示2021年或2021年前出版的书全是中文版的． （4）是．意味着图书室中的非数学书都是中文版的， 而且所有的中文版的书都不是数学书，同时又可化成， 因而也可解释为图书室中所有数学书都不是中文版的， 而且所有不是中文版的书都是数学书． 1．（25-26高二上·河北邢台·开学考试）从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，则与事件“取出的是红球”互为对立事件的是（   ） A．“取出的是白球” B．“取出的是黄球” C．“取出的是红球” D．“取出的不是红球” 【答案】D 【分析】根据对立事件的概念即可求解. 【详解】从装有1个红球、1个白球和1个黄球的口袋中任取1个球，结果有“取出的是红球”， “取出的是白球” 和“取出的是黄球”，故与事件“取出的是红球”互为对立事件的是“取出的不是红球”. 故选：D. 2．（25-26高一上·河南濮阳·阶段检测）（多选）中任取两数，下列事件是对立事件的是（　　）. A．至少有一个偶数和两个数都是奇数 B．至少有一个是奇数和两个数都是奇数 C．至少有一个奇数和两个数都是偶数 D．至少有一个奇数和至少有一个偶数 【答案】AC 【分析】利用对立事件的定义逐项判断即可. 【详解】从中任取两数,其中可能的情况有：“两个奇数”，“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”三种情况. 对A选项：至少有一个偶数即包括“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”两种情况，与两个数都是奇数是对立事件，故A选项正确； 对B选项：至少有一个是奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，所以至少有一个是奇数和两个数都是奇数不是对立事件，故B选项不正确； 对C选项：至少有一个奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，与“两个偶数”是对立事件，故C选项正确； 对D选项：至少有一个奇数包括“两个奇数”，“一个奇数与一个偶数”，至少有一个偶数包括“两个偶数”，“一个奇数与一个偶数”，所以至少有一个奇数和至少有一个偶数不是对立事件，故D选项不正确； 故选：AC 3．（2024高一下·全国·专题练习）同时抛掷甲、乙两枚均匀的骰子，事件“都不是5点且不是6点”的对立事件为_____．（填序号） ①一个是5点，另一个是6点； ②一个是5点，另一个是4点； ③至少有一个是5点或6点； ④至多有一个是5点或6点． 【答案】③ 【分析】根据对立事件的概念求解. 【详解】同时掷甲、乙两枚骰子，“都不是5点且不是6点”，其对立事件是“至少有一个是5点或6点”. 故答案为：③. 4．（24-25高一下·河南新乡·期末）盒子里放有外形相同且编号为1，2，3，4，5的五个小球，其中1号与2号是黑球，3号、4号与5号是红球，从中有放回地每次取出1个球，共取两次. （1）求取到的2个球中恰好有1个是黑球的概率； （2）求取到的2个球中至少有1个是红球的概率. 【答案】（1）；（2）. 【详解】分析：（1）先求出全体基本事件共有25种情形，再求出取到的2个球中恰好有1个是黑球的情况有12种，即可得到答案； （2）求对立事件没有一个红球，即全是黑球的情况，从而即可求出. 详解：全体基本事件共有25种情形， （1）2个球中恰好1个黑球为13，14，15，23，24，25，再交换一下，共有12种情形， 故概率. （2）取到的2个球中至少有1个是红球的对立事件为没有一个红球， 即全是黑球为11，12，21，22，共4种情形， 即. 【经典例题四 利用对立事件的概率公式求概率】 【例1】（25-26高二上·四川宜宾·期末）甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为0.3，则乙不输的概率为（    ） A．0.2 B．0.3 C．0.7 D．0.8 【答案】C 【分析】根据对立事件的概率公式运算求解即可, 【详解】因为事件“甲获胜”与“乙不输”互为对立事件， 所以乙不输的概率为. 故选：C. 【例2】（25-26高一下·全国·课堂例题）一盒中装有除颜色外其余均相同的12个小球，从中随机取出一个球，取出红球的概率为，取出黑球的概率为，取出白球的概率为，取出绿球的概率为． (1)求取出的1个球是红球或黑球的概率； (2)求取出的1个球不是绿球的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互斥事件的概率加法公式计算即可. （2）根据对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）记事件任取1球为红球，事件任取1球为黑球，事件任取1球是绿球， 显然彼此互斥． 所以取出1个球是红球或黑球的概率为． （2）取出一个球不是绿球与是绿球为对立事件，． 1．（25-26高二上·山东临沂·期末）甲乙两人独立地参加一项闯关游戏，甲成功的概率为，乙成功的概率为，则甲乙至少有一人成功的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用独立事件的概率公式和对立事件的概率公式可求得结果. 【详解】记事件甲成功闯关，事件乙成功闯关，事件至少有一人成功闯关， 则事件、相互独立，且，，， 所以 . 故选：C. 2．（25-26高二下·浙江·阶段检测）（多选）设随机事件，的对立事件分别为，，且，，，则下列结论正确的有（   ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【详解】选项A：； 选项B：; 选项C：； 选项D：. 3．（2026·湖南湘西·三模）甲、乙、丙三人依次进行投篮，一人投不中则换为下个人投，直到有人投中或三人都投过一次为止．已知甲、乙、丙三人投中的概率分别为，若每个人是否投中相互独立，则有人投中的概率为___________． 【答案】/0.9375 【分析】根据相互独立事件及对立事件的概率公式计算可得答案． 【详解】“有人投中”的对立事件为“三人投篮都不中”， 故所求概率为． 4．（25-26高一下·北京·期末）某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案． 方案一：考试三门课程，至少有两门及格为考试通过； 方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过． 假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别是，，，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求： (1)该应聘者用方案一考试通过的概率； (2)该应聘者用方案二考试通过的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用相互独立事件概率乘法公式及互斥事件的加法公式直接计算即可； （2）分情况结合乘法公式即互斥事件加法公式即可得解． 【详解】（1）记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为，，， 则，，， 应聘者用方案一考试通过的概率： ； （2）应聘者用方案二选择任意两科的概率为， 考试通过的概率： . 【经典例题五 独立事件的判断】 【例1】（25-26高一下·全国·课堂例题）一袋中装有100只球．其中有20只白球，在有放回的摸球中，记“第一次摸得白球”，“第二次摸得白球”，则事件与是（   ） A．相互独立事件 B．对立事件 C．互斥事件 D．无法判断 【答案】A 【分析】根据相互独立事件的定义判断. 【详解】由于采用有放回地摸球，所以每次是否摸到白球互不影响， ，， ， ， 所以事件与是相互独立事件. 故选：A. 【例2】（24-25高一下·全国·课堂例题）判断下列各对事件是不是相互独立事件： (1)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”； (2)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”． 【答案】(1)不是 (2)是 【分析】（1）根据独立事件的定义结合题意分析判断即可； （2）记“出现偶数点”，“出现3点或6点”，根据题意求出，再根据独立事件的定义判断即可. 【详解】（1）“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为， 若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为， 若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为． 可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件． （2）记“出现偶数点”，“出现3点或6点”，则，，， 所以，，， 所以，所以事件A与B相互独立． 1．（2026·河南许昌·三模）“事件相互独立”是“”的（   ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 【答案】D 【详解】由，结合公式，可得，即事件互斥。 事件相互独立的定义为. 充分性：若相互独立，无法推出，即无法推出. 必要性：若，即互斥，无法推出相互独立. 综上，“事件相互独立”是“”的既不充分也不必要条件. 2．（2025·湖北武汉·模拟预测）（多选）已知事件，且，则（   ） A．事件与事件互为对立事件 B．若事件与事件互斥，则 C．若事件与事件互斥，则 D．若，则事件与事件相互独立 【答案】BD 【分析】根据对立事件的定义，互斥事件概率公式、相互独立事件的性质及概率公式计算判断作答即可. 【详解】对于A,由于对立事件概率和为1，但，A错误， 对于B、C,由事件与事件互斥，，, 所以B正确 ,C错误 对于D,因为，，故事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立,D正确. 故选:BD 3．（24-25高二·上海·课堂例题）一个口袋中装有3个白球和3个黑球． ①事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第一次摸出的是黑球； ②摸出后放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球； ③摸出后不放回，事件A：第一次摸出的是白球，事件B：第二次摸出的是黑球； ④一次摸两个球，共摸两次，事件A：第一次摸出颜色相同的球，事件B：第一次摸出颜色不同的球． 以上各组事件是独立事件的序号为________． 【答案】② 【分析】本题根据独立事件、互斥事件的概念逐项判断即可得出答案. 【详解】对①，第一次摸出的是白球与第一次摸出的是黑球是互斥事件，故事件A与事件B不是独立事件； 对②，摸出后放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，两者不受影响，故事件A与事件B是独立事件； 对③，摸出后不放回，第一次摸出的是白球，第二次摸出的是黑球，第二次受第一次的影响，故事件A与事件B不是独立事件； 对④，一次摸两个球，共摸两次，第一次摸出颜色相同的球与第一次摸出颜色不同的球是互斥事件，故事件A与事件B不是独立事件. 故答案为：② 4．（25-26高一下·全国·课堂例题）假定生男、生女是等可能的，一个家庭中有若干个小孩，事件表示“一个家庭中既有男孩又有女孩”，事件表示“一个家庭中最多有一个男孩”．对下列两种情形，判断事件与事件是否相互独立． (1)一个家庭中有2个小孩； (2)一个家庭中有3个小孩． 【答案】(1)事件与事件不相互独立 (2)事件与事件相互独立 【分析】（1）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可； （2）列举所有可能性，求出对应概率，根据独立事件概念判断即可. 【详解】（1）若家庭中有2个小孩，样本空间为{（男，男），（男，女），（女，男），（女，女）}，共有4个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，女），（女，男）（男，女），（女，男），（女，女）， 而（男，女），（女，男）， 则，，． 显然， 故在一个家庭中有2个小孩的前提下，事件与事件不相互独立． （2）若家庭中有3个小孩，样本空间为｛（男，男，男），（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）}，共有8个样本点． 由等可能性，知每个样本点发生的概率都为． 此时（男，男，女），（男，女，男），（女，男，男），（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女），（女，女，女）， 而（男，女，女），（女，女，男），（女，男，女）， 则，，． 显然，故在一个家庭中有3个小孩的前提下，事件与事件相互独立． 【经典例题六 相互独立事件与互斥事件】 【例1】（25-26高二下·陕西咸阳·阶段检测）已知是两个概率大于0的随机事件，则下列说法错误的是（    ） A．若是对立事件，则是互斥事件 B．若事件相互独立，则与也相互独立 C．若事件相互独立，则与不互斥 D．若事件互斥，则与相互独立 【答案】D 【分析】根据互斥，对立事件的定义，以及事件的相互独立性，即可判断选项. 【详解】A.两个事件是对立事件，则一定是互斥事件，故A正确； B.若事件相互独立，则与也相互独立，故B正确； C.若事件相互独立，则与可以同时发生，不互斥，故C正确； D. 若事件互斥，则与不能同时发生，即事件是否发生，对另一个事件是有影响的，所以两个事件不相互独立，故D错误. 故选：D 【例2】（24-25高一下·浙江湖州·期末）为抗击新冠肺炎，某单位组织中､老年员工分别进行疫苗注射，共分为三针接种，只有三针均接种且每针接种后经检测合格，才能说明疫苗接种成功（每针接种后是否合格相互之间没有影响）.根据大数据比对，中年员工甲在每针接种合格的概率分别为；老年员工乙在每针接种合格的概率分别为. (1)甲､乙两位员工中，谁接种成功的概率更大？ (2)若甲和乙均参加疫苗接种，求两人中至少有一人接种成功的概率. 【答案】(1)中年员工甲接种成功的概率更大 (2) 【分析】分别记“中年员工甲、老年员工乙接种成功”为事件、，且、相互独立， （1）甲、乙接种成功，即两人每针接种均合格，由独立事件概率的乘法公式，计算可得、比较可得答案； （2）记“记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为”为事件，即，由独立事件概率的乘法公式，计算可得答案；或利用间接法，确定对立事件，计算，进而得C事件的概率． 【详解】（1）解：记中年员工甲接种成功的事件为，老年员工乙接种成功的事件为B，则， ，故中年员工甲接种成功的概率更大. （2）法一：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为C， 则 法二：记甲和乙两人中至少有一人接种成功的事件记为， 则， 两人中至少有一人接种成功的概率为. 1．（25-26高二下·辽宁沈阳·期中）已知事件A，B满足，，若A与B互斥，记，若A与B相互独立，记，则（    ） A．0 B．0.1 C．0.14 D．0.24 【答案】D 【详解】当A与B互斥，则， 当A与B相互独立，可知也相互独立，则， 所以. 2．（24-25高一下·贵州遵义·期末）（多选）现有6个分别标有数字1，2，3，4，5，6的相同小球，从中有放回地随机抽取两次，每次取1个球，记事件甲：第一次取出的球的数字是3，事件乙：第二次取出的球的数字是6，事件丙：两次取出的球的数字之和是8，事件丁：两次取出的球的数字之差的绝对值是3，则（   ） A．甲与丙相互独立 B．甲与丁相互独立 C．乙与丙相互对立 D．丙与丁互斥 【答案】BD 【分析】利用样本空间法，分别计算4个事件的概率，以及选项中两个事件同时发生是概率，再结合独立事件，互斥事件的定义，即可判断选项. 【详解】，事件丙包含，共5个基本事件，所以，，所以，甲与丙不相互独立，故A错误； 事件丁包含共6个基本事件，所以，，所以，甲与丙相互独立，故B正确； ，，所以，乙与丙不相互独立，故C错误； 事件丙和丁没有公共事件，不可能同时发生，所以丙和丁互斥，故D正确. 故选：BD 3．（24-25高三上·山东济南·期末）已知随机事件A，B相互独立，且则的值为__________. 【答案】 【分析】利用求解. 【详解】解：由题意得：， 故答案为： 4．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙、丙三人进行乒乓球比赛，比赛规则如下：先通过抛掷两枚质地均匀的骰子的结果来决定第一局谁作为裁判，裁判外的两人比赛．一局结束后，败者作为下一局裁判，原裁判与胜者进行下一局比赛，按此规则共进行三局比赛，每局比赛结果相互独立且每局比赛无平局． (1)设事件“两个骰子点数和能被3整除”，求事件A的概率； (2)若在每一局比赛中，甲胜乙、甲胜丙的概率均为．现已决定出乙作为第一局的裁判，求甲恰好胜一局的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由题意可得样本总共有36个，符合的有12个，再利用古典概率即可求解； （2）记事件为第局甲胜，，记事件为甲恰好胜一局，有如下两种情况：①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜，再结合概率的乘法公式即可求解. 【详解】（1）因为骰子的质地均匀，所以各个样本点出现的可能性相等，因此这个试验是古典概型， 样本空间：共个样本点， 事件A含有： 共12个样本点，故； （2）记事件为第i局甲胜，，由题意知，记事件B为甲恰好胜一局，有如下两种情况： ①第1局甲胜，第2局甲败，②第1局甲败，第3局甲胜， 因为每局比赛结果相互独立，所以事件与与也独立， 则， ， 因为，且事件与互斥， 所以， 所以甲恰好胜一局的概率为 【经典例题七 独立事件的乘法公式】 【例1】（25-26高二上·湖南湘潭·期末）若事件相互独立，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由题意得， 由独立事件性质得， 则，而， 可得，故C正确. 【例2】（25-26高二上·海南·阶段检测）甲、乙两人参加面试，每人需回答2道难度相当的题目，甲答对每道题目的概率都是0.7，乙答对每道题目的概率都是0.6，不同题目能否答对是独立的，且甲、乙两人答题互不影响 (1)求甲只答对第二题的概率； (2)求甲乙两人答对题目数之和为1的概率. 【答案】(1)0.21 (2) 【分析】（1）根据相互独立事件的概率乘法公式即可求解， （2）根据相互独立事件以及互斥事件的概率性质即可求解. 【详解】（1）设 “甲只答对第二题”，则, （2）记 “甲只答对一道题”， “乙只答对一道题”， “甲两道题都答错”， “乙两道题都答错”， 故,, ,, 记 “甲乙两人答对题目数之和为1”， 由于事件相互独立，事件相互独立， 则 1．（2026·广东佛山·一模）甲和乙进行一个游戏：初始时每人各持有2枚徽章．根据游戏规则，每局由丙负责投掷一枚均匀的骰子，出现奇数点则甲胜，出现偶数点则乙胜，胜负概率均为．输的一方需将自己的1枚徽章交给赢的一方．游戏进行到其中一人拥有全部徽章时立即终止，且各局结果相互独立．则游戏恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】根据题意知恰好进行4局终止且甲拥有全部徽章， 则第3，4局必有甲胜，乙负，且前2局中，甲胜一局乙胜一局， 所以所求概率为. 2．（2026·广东·模拟预测）（多选）已知事件为一组相互独立的事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】根据事件相互独立的定义可判断A正确，利用概率加法公式直接计算可得B错误，D正确；利用相互独立事件性质可得C错误. 【详解】对于A：因为事件与事件相互独立，所以，故A正确； 对于B：因为，故B错误； 对于C：因为，所以， 因为事件与事件相互独立，所以事件与事件相互独立， 于是，故C错误； 对于D：因为，故D正确. 故选：AD. 3．（2026·内蒙古呼和浩特·一模）事件A与事件B相互独立．，则的最大值为______． 【答案】/ 【分析】由独立事件概率乘法公式及二次函数性质即可求解. 【详解】由事件相互独立，得， 代入已知条件得：， 二次函数的图象为开口向下，对称轴为的抛物线， 故 . 4．（25-26高二上·福建泉州·期末）2023年9月21日，“天宫课堂”第四课在中国空间站开讲，航天员在梦天实验舱中演示了球形火焰等实验．某中学组织“天宫课堂•科学问答”挑战赛，每轮比赛由甲和乙各回答一个与“天宫课堂”相关的问题，甲每轮答对的概率为，乙每轮答对的概率为，两人答对与否互不影响，各轮结果也互不影响． (1)求首轮比赛中至少有一人答对的概率； (2)求前两轮比赛中，甲答对的次数多于乙的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）令事件，由题意写出，由独立事件的并事件公式求得答案. （2）分析满足题意得情况，然后分别求出对应概率即可求得结果. 【详解】（1）令“甲答对”为事件，“乙答对”为事件， 则， 则， （2）满足甲答对的次数多于乙的情况如下：①甲答对1次，乙答对0次，②甲答对2次，乙答对0或1次， . 所以甲答对的次数多于乙的概率为 【经典例题八 独立事件的实际应用】 【例1】（24-25高三·全国·课后作业）设两个独立事件A和B都不发生的概率为,A发生B不发生的概率和B发生A不发生的概率相同,则事件A发生的概率P(A)等于( ) A． B． C． D． 【答案】D 【详解】 【例2】（24-25高一下·广东湛江·期末）Matlab是一种数学软件，用于数据分析、无线通信、深度学习、图象处理与计算机视觉、信号处理、量化金融与风险管理、人工智能机器人和控制系统等领域，推动了人类基础教育和基础科学的发展，某中学举行了Matlab科普讲座后进行了问答比赛，已知甲乙两个同学互不影响地参加比赛，甲、乙答对每一道题的概率分别为与，乙连续2次答错的概率为． (1)求乙答对题的概率； (2)若甲、乙两人各回答2次，求两人共答对3次的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据题意列出关于的方程解得即可. （2）两人共答对3次，只可能为甲答对2次乙答对1次或甲答对1次乙答对2次，列式解得即可. 【详解】（1）设“甲答对每题的概率”为事件，“乙答对每题的概率”为事件， 由已知， 则乙连续2次答错的概率， 由题意得，解得或（舍去）， 乙答对题的概率为． （2）事件甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次，可表示为事件：甲答对一次、乙2次全部答对， 与事件：乙只答对一次、甲2次全部答对的和事件． 甲答对一次、乙2次全部答对的概率为， 乙只答对一次、甲2次全部答对的概率为， 故两人共答对3次的概率为． 所以甲、乙两人各回答2次，两人共答对3次的概率为． 1．（2024·海南·模拟预测）在高二选科前，高一某班班主任对该班同学的选科意向进行了调查统计，根据统计数据发现：选物理的同学占全班同学的80%，同时选物理和化学的同学占全班同学的60%，且该班同学选物理和选化学相互独立.现从该班级中随机抽取一名同学，则该同学既不选物理也不选化学的概率为（    ） A．0.125 B．0.1 C．0.075 D．0.05 【答案】D 【分析】借助相互独立事件的性质与乘法公式计算即可得. 【详解】设事件“选物理”，“选化学”， 则有，， 由该班同学选物理和选化学相互独立， 即，则， 故，, 则. 故选：D. 2．（24-25高二下·山东青岛·期中）（多选）某棋手与甲、乙、丙三位棋手各比赛一盘，各盘比赛结果相互独立．已知该棋手与甲、乙、丙比赛获胜的概率分别为0.6．0.5．0.4，则（    ） A．该棋手三盘三胜的概率为0.12 B．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手在赢得第一盘比赛的前提下连赢三盘的概率为0.4 C．若比赛顺序为甲乙丙，则该棋手连赢2盘的概率为0.26 D．记该棋手连赢2盘为事件A，则当该棋手在第二盘与甲比赛最大 【答案】ACD 【分析】对A，根据独立事件乘法公式即可判断，对B，转化为求连赢后两盘的概率，对C，分情况计算即可，对D，分别计算出第2盘与甲、乙、丙比赛连胜两盘的概率，比较大小即可. 【详解】对于A，棋手胜三盘的概率为，故A正确； 对于B，棋手在胜甲的前提下连胜3盘的事件就是余下两盘连胜乙，丙的事件， 其概率为，故B错误； 对于C，连胜两盘事件的概率为，故C正确； 对于D，第2盘与甲比赛连胜两盘的概率， 第2盘与乙比赛连胜两盘的概率， 第2盘与丙比赛连胜两盘的概率， 因此，故D正确. 故选：ACD. 3．（25-26高二上·浙江·阶段检测）临平是生态宜居的福地，地处杭嘉湖平原，大运河、上塘河沿境流淌，临平区一望平畴、塘漾棋布，是典型的江南水乡、鱼米之乡，是文学大师丰子恺笔下的“江南佳丽地”，境内拥有江南三大赏梅胜地之一超山、塘栖古镇、艺尚小镇等风景名胜和人文景观，现有甲、乙两个同学准备周末分赴这三个景点打卡，已知每人都只去1个景点，且甲、乙两个同学前往三地打卡的概率分别是，，和，，，则甲、乙打卡不相同景点的概率为________． 【答案】 【分析】先求出甲、乙打卡同一地点的概率，则根据事件的互补性即可求出甲、乙打卡不相同景点的概率． 【详解】设三个景点分别为、、， 则甲前往、、的概率分别为，，， 乙前往、、的概率分别为，，， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率为， 甲、乙都打卡景点的概率：， 所以甲、乙打卡相同景点的概率为，则甲、乙打卡不相同景点的概率为． 故答案为：． 4．（24-25高一下·全国·单元测试）溺水、校园欺凌等与学生安全有关的问题越来越受社会的关注和重视，为了普及安全教育，某市组织了一次有关安全知识的竞赛.在某次淘汰赛中，甲、乙两个中学代表队（每队3人）狭路相逢，规定每队每人回答一个问题，答对得1分，答错得0分.假设甲队每人回答正确的概率分别为，，，乙队每人回答正确的概率均为，且各人回答正确与否相互之间没有影响. (1)分别求乙队总得分为3分与1分的概率； (2)求甲队得分与乙队得分为的概率. 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）分析乙队总得分为3分与1分的答题情况，再此利用相互独立事件概率乘法公式即可得解； （2）根据题意分析得甲乙两队的得分情况，再利用相互独立事件概率乘法公式即可得解. 【详解】（1）记“队总得分为3分”为事件，“乙队总得分为1分”为事件. 乙队得3分，即三人都回答正确，其概率. 乙队得1分，即三人中只有1人答对，其余两人都答错， 其概率. （2）依题意可知甲队总得分为1分，乙队总得分为2分， 记“甲队总得分为1分”为事件，“乙队总得分为2分”为事件. 事件即甲队三人中只有1人答对，其余2人答错， 则， 事件即乙队三人中只有2人答对，剩余1人答错， 则， 则甲队得分与乙队得分为的概率. 【拓展训练一 各种事件的相关求解】 【例1】（2026·重庆·三模）甲、乙两人进行乒乓球比赛，采取三局两胜制（当一人赢得两局胜利时，该人获胜，比赛结束），已知每局比赛甲获胜的概率为0.6（没有平局），且每局比赛结果相互独立，则两人进行第三局比赛的概率为（    ） A．0.16 B．0.36 C．0.48 D．0.52 【答案】C 【分析】根据相互独立事件同时发生的概率公式及互斥事件的概率求解. 【详解】只进行两局比赛结束的概率为， 则两人进行第三局比赛的概率为． 【例2】（2026·江苏常州·模拟预测）甲、乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投，先投中者获胜，直到有人获胜或每人都已投三次结束，设甲每次投篮投中的概率为，乙每次投篮投中的概率为，且各自投篮互不影响. (1)求比赛结束但仍没有决出胜负的概率； (2)求甲获胜的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件“甲在第次投篮投中”，设事件“乙在第次投篮投中”， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则，利用独立事件和互斥事件的概率公式即可得解； （2）记“甲获胜”为事件，由题意，根据概率的加法公式和独立事件的概率公式即可得解. 【详解】（1）设事件“甲在第次投篮投中”， 事件“乙在第次投篮投中”，， 则，，，， 记“比赛结束但仍没有决出胜负”为事件，则， 可得， 所以比赛结束但仍没有决出胜负的概率为 （2）记“甲获胜”为事件，则， 可得， 所以甲获胜的概率为． 1．（24-25高三上·江苏南京·开学考试）如图，甲乙做游戏，两人通过划拳（剪刀、石头、布）比赛决胜谁首先到达第3格，并规定从0格出发，每次划拳赢的一方往右前进一格，输的一方原地不动，平局时两人都往右前进一格．如果一方连续赢两次，那么他将额外获得右前进一格的奖励，除非已经到达第3格，当有任何一方到达第3格时游戏结束，则游戏结束时恰好划拳3次的概率为（    ） 0 1 2 3 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】游戏结束时，有可能是甲到达第3格，也有可能是乙到达第3格，根据每一步的情况，结合独立事件和互斥事件概率公式，即可求解. 【详解】设事件“第次划拳甲赢”为，事件“第次划拳甲平局”为，事件“第次划拳甲输”为， 则， 则游戏结束时恰好划拳3次的概率为 故选：D 2．（25-26高二上·湖北·期末）（多选）下列对于概率的说法正确的有（    ） A．若事件与事件互斥，则事件与事件对立 B．若事件、满足，则 C．若事件与事件相互独立，且，则 D．小明将一枚质地均匀的硬币掷了100次，经统计有51次正面向上，则将这枚硬币再掷一次，出现正面朝上的概率是 【答案】BC 【分析】根据互斥事件与对立事件的定义可判断A错误，由概率基本性质可得B正确，结合独立事件性质直接计算可得C正确，由概率和频率的关系可知D错误. 【详解】选项A：若事件互斥，则， 若事件对立，则，且，所以互斥事件不一定是对立事件，A错误； 选项B：因为，所以，又，所以，B正确； 选项C：事件与事件相互独立，所以与也相互独立，则，C正确； 选项D：频率是概率的估计值，概率是频率的固定值，是历史统计结果， 单次试验的结果不受之前频率的影响所以再掷一次出现正面朝上的概率仍然是，而不是，D错误. 故选：BC. 3．（25-26高二下·湖北武汉·开学考试）甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制（当一队赢得四场胜利时，该队获胜，决赛结束）．根据前期比赛成绩，甲队的主客场安排依次为“主主客客主客主”．设甲队主场取胜的概率为，客场取胜的概率为，且各场比赛结果相互独立，则乙队以获胜的概率是______． 【答案】 【分析】乙队以获胜的概率，则甲队可能在第一场到第四场中任意胜一场，再根据各场比赛结果相互独立计算出乙队获胜的概率，再相加可求出乙队以获胜的概率. 【详解】由题可知乙在甲主场取胜概率为，乙在甲客场取胜概率为， 前五场主客安排为：（甲）主主客客主 则甲胜第一场（主）：， 则甲胜第二场（主）：， 则甲胜第三场（客）：， 则甲胜第四场（客）：， 乙队以获胜的概率. 故答案为： 4．（25-26高一上·安徽·期末）甲、乙两位同学独立地参加某大学少科班的入学面试，入学面试共有3道题目，答对2道题则通过面试（前2道题都答对或都答错，第3道题均不需要回答）.已知甲答对每道题目的概率均为，乙答对第1道和第2道题目的概率都是，答对第3道题目的概率是，且甲、乙两人对每道题能否答对相互独立.记“甲只回答2道题就结束面试”为事件，记“乙3道题都回答且通过面试”为事件. (1)求事件“甲只回答2道题且通过”的概率； (2)求事件和事件同时发生的概率； (3)求甲、乙两人恰有一人通过面试的概率. 【答案】(1) (2) (3) 【分析】（1）由题意直接计算即可； （2）先由题意求出即可由独立事件概率乘法公式计算求解； （3）先依次分析计算求出甲、乙通过面试的概率，再由独立事件概率乘法公式和互斥事件概率加法公式计算即可求解. 【详解】（1）由题可得（甲只回答2道题且通过）； （2）由题可得， 若事件发生，则乙前两题对一题，错一题，第三题答对， ， 由题意可知事件相互独立， 所以； （3）记甲没有通过面试为事件， 包括前两道回答对一道且最后一道错误或前两道均回答错误两种情况， 则甲没有通过面试的概率为 则甲通过面试的概率为， 乙通过面试的事件记为，则概率为， 乙没有通过面试概率为， 由题意可知事件相互独立，甲、乙两人恰有一人通过面试的事件记为， 则概率为. 1．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）已知某随机试验中，事件，，发生的概率分别是，，，则下列说法正确的是（   ） A．与是互斥事件，且是对立事件 B．一定是必然事件 C． D．的概率一定等于0.5 【答案】C 【分析】结合概率运算公式和互斥事件、对立事件、必然事件的概念，求解即可. 【详解】选项A：若与是互斥事件，则，若是对立事件，则（样本空间）， 题干中未说明事件，，之间的关系，无法确定与是否互斥、对立，故A错误. 选项B：若事件，，互斥，则， 若事件，，存在包含关系，则概率会小于1，因此不一定是必然事件，故B错误. 选项C：. 又，所以． 该结果满足，故C正确. 选项D：. 只有当事件，互斥时，，此时， 因此的概率不一定等于0.5，故D错误. 2．（25-26高二下·重庆·期中）甲、乙、丙三人轮流独立射击一个目标，三人的命中率分别为，射击顺序为甲、乙、丙，则目标在三次射击中恰好被击中两次的概率为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先明确甲、乙、丙的命中率与不命中率，再利用独立事件乘法公式，分别计算 “恰好击中两次” 的三种互斥情况的概率； 最后通过互斥事件加法原理，将三种情况的概率相加，最终得到总概率即可. 【详解】设甲击中为事件A，乙击中为事件B，丙击中为事件C， 甲、乙、丙三人轮流独立射击，命中率分别为： 甲：，不命中 ， 乙：，不命中 ， 丙：，不命中 ， 所以共有3种可能的情况： 甲、乙击中，丙未击中概率为： ， 甲、丙击中，乙未击中概率为： ， 乙、丙击中，甲未击中概率为： ， 将三种情况的概率相加： . 3．（2026·重庆·模拟预测）在荷花池中，有一只蜻蜓在呈品字形的三片荷叶上飞来飞去（每次飞时，均从一叶飞到另一叶），而且逆时针方向飞的概率是顺时针方向飞的概率的3倍，如图所示，假设现在蜻蜓在叶上，则跳三次之后停在叶上的概率为（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据条件先求出逆时针和顺时针跳的概率，然后根据跳3次回到A，则应满足3次逆时针或者3次顺时针，根据概率公式即可得到结论． 【详解】由题意，知蜻蜓沿逆时针方向跳的概率是，沿顺时针方向跳的概率是. 蜻蜓跳三次要回到叶上只有两条途径： 第一条，按，此时停在叶上的概率； 第二条，按，此时停在A叶上的概率. 所以跳三次之后停在叶上的概率. 4．（25-26高二下·辽宁沈阳·阶段检测）如图，一个系统由4个部件组成，当甲、乙都正常工作，或丙、丁都正常工作时，系统就能正常工作.若每个部件的可靠度均为，而且这四个部件互不影响，则系统的可靠度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】D 【分析】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件，计算出、，利用对立事件的概率公式可求得系统的可靠度为. 【详解】记甲、乙都正常工作为事件，记丙、丁都正常工作为事件， 因为每个部件的可靠度均为 所以，， 当且仅当事件或事件发生时，系统正常工作， 当且仅当事件和事件都不发生时，系统不工作. 因此，系统的可靠度为 5．（25-26高三下·浙江杭州·阶段检测）甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定打6局，每局必分胜负，无平局．每局比赛中，获胜方得1分，失败方得0分．已知甲在每局比赛中获胜的概率是，乙在每局比赛中获胜的概率为，且各局结果相互独立．在整个比赛过程中，甲的累计得分始终不小于乙的累计得分的概率是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意分甲赢3局，乙赢3局、甲赢4局，乙赢2局、甲赢5局，乙赢1局、甲赢6局，乙赢0局，结合要求计算出每种情况的排列数，再独立事件的乘法和概率加法公式求解． 【详解】情况一：甲赢3局，乙赢3局，且甲的累计得分始终不小于乙的累计得分， 符合题意的获胜情况有：甲乙甲乙甲乙、甲乙甲甲乙乙、甲甲乙乙甲乙、甲甲乙甲乙乙、 甲甲甲乙乙乙共5种，此时概率； 情况二：甲赢4局，乙赢2局， 从6局中选4局甲赢，有种， 其中不符合题意的获胜情况有：乙乙甲甲甲甲、 乙甲乙甲甲甲、乙甲甲乙甲甲、 乙甲甲甲乙甲、乙甲甲甲甲乙、甲乙乙甲甲甲共6种， 则符合题意的获胜情况有9种，此时概率； 情况三：甲赢5局，乙赢1局， 符合题意的情况有种，此时概率； 情况四：甲赢6局，乙赢0局，此时概率； 综上，概率． 6．（2026·江苏南京·模拟预测）（多选）袋子中有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．记第一次取出球的数字为，第二次取出球的数字为．设，其中表示不超过的最大整数，则（    ） A． B． C．事件“”与“”互斥 D．事件“”与“”相互独立 【答案】AC 【详解】总样本点数为种， 满足的情况数为种，由对称性可知， 又，，解得，故A正确， 由可知， 当时，；当时，；当时，； 当时，；当时，；当时，，满足条件的情况数有种， ，故B错误. 由可知，若，则，，所以矛盾，故C正确， 记事件为“”， 事件为“”，则， 满足的情况数为种，， 又，，，故D错误. 7．（25-26高二下·甘肃白银·期中）（多选）已知事件，满足，，则下列结论正确的是（    ） A． B．如果，那么 C．如果与互斥，那么 D．如果与相互独立，那么 【答案】BCD 【分析】根据独立事件的乘法公式及互斥事件的加法公式判断各选项. 【详解】对于A，只有当与相互独立时，，故A错误； 对于B，若，则，故B正确； 对于C，与互斥，则， 那么，故C正确； 对于D，如果与相互独立， 那么，故D正确. 8．（2025·湖南岳阳·模拟预测）（多选）已知是三个随机事件，下列说法中正确的有（    ） A．若，则相互独立 B．若相互独立，，则相互独立 C．“两两独立”是“”的既不充分也不必要条件 D．若相互独立，相互独立，互斥，，则事件中至少有一个发生的概率为 【答案】AC 【分析】根据选项所给条件，结合相应的概率公式和概念进行判断. 【详解】A选项：，A正确； B选项：，但不能说明与，与独立，B错误； C选项： 一方面，设，则， 且，故充分性不成立； 另一方面，设， 则，，，故必要性不成立，C正确； D选项：，D错误. 故选：AC. 9．（2026·河南濮阳·二模）（多选）在当今科技迅速发展的时代，人工智能（AI）已经成为科技创新的核心驱动力．当前AI正处于从生成式向智能体跃进的关键阶段，同时也面临着算力、数据、安全与可解释性等核心难题．某公司成立了甲、乙、丙三个科研攻关小组，决定对其中某个技术难题进行技术攻关，攻克该技术难题的小组都会受到奖励．已知甲、乙、丙三个小组各自独立进行科研攻关，且攻克该技术难题的概率分别为，则（   ） A．只有一个小组受到奖励的概率等于 B．技术难题被攻克的概率为 C．只有甲、丙小组受到奖励的概率为 D．甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为 【答案】BD 【分析】运用独立事件概率的乘法公式，结合对立事件的概率公式逐一判断即可. 【详解】A：设甲、乙、丙三个小组各自攻克该技术难题为事件， 所以， 只有一个小组受到奖励的概率等于 ，所以本选项说法不正确； B：技术难题被攻克的概率为，所以本选项说法正确； C：只有甲、丙小组受到奖励的概率为，所以本选项说法不正确； D：甲、乙、丙三个小组均受到奖励的概率为，所以本选项说法正确. 10．（25-26高一上·河南焦作·期末）（多选）投掷一枚正四面体骰子，其各面的数字分别为1，2，3，4，记其投出后落地与水平面接触的数字为点数，连续投出两次，第一次得到的点数为，第二次得到的点数为，记事件“为偶数”，事件“为奇数”，事件“为偶数”，则下列正确的有（   ） A．与互斥 B．与相互独立 C．与相互独立 D． 【答案】AD 【分析】根据事件的互斥与独立的定义对选项一一验证即可. 【详解】对于A选项，显然，不会同时发生，故二者互斥，A正确； 对于B选项，此时，B错误； 对于C选项，事件：，，，，，，，，故， 事件：，，，，故， 而事件：，，，， 所以，C错误； 对于D选项，若为奇数，显然，一奇一偶，此时为偶数，显然，D正确. 故选：AD. 11．（2026·河南开封·模拟预测）某科技公司为提升员工的编程技能，举办了一场“算法挑战赛”，若甲、乙、丙三名员工进入决赛，他们获一等奖的概率分别为，，，且获奖相互独立，则至少两人获一等奖的概率为________． 【答案】 【详解】设事件甲、乙、丙获奖分别为A，B，C，至少两位员工获奖有如下情况： 甲、乙获奖丙未获奖，甲、丙获奖乙未获奖，乙、丙获奖甲未获奖，甲、乙、丙三人均获奖， 则． 12．（24-25高二下·浙江·期中）在一场军事演习中，我方炮兵阵地接到命令，需要用三门大炮同时对敌方一处隐蔽的弹药库进行一次射击，各门大炮精度不同，是否命中目标相互独立．第一门大炮射击的命中率为0.4．第二门大炮射击的命中率为0.5，第三门大炮射击的命中率为0.6．根据情报，只要命中目标，就有概率摧毁弹药库：若仅命中1发炮弹，弹药库被摧毁的概率为0.2；若命中2发，摧毁概率提升至0.4；若3发全部命中，摧毁概率可达0.6．则弹药库被摧毁的概率为______． 【答案】 【分析】设“弹药库被摧毁”为事件，先求三门大炮恰好命中发、恰好命中发、恰好命中发的概率，再乘上对应的摧毁概率，最后相加即可. 【详解】设三门大炮命中目标的概率分别为， 则未命中的概率分别为， 恰好命中1发的概率， ， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 恰好命中2发的概率， ， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 三门全部命中的概率， 此时弹药库被摧毁的概率为，因此这一部分对总概率的贡献为， 所以弹药库被摧毁的概率为， 即. 13．（2026·福建泉州·三模）甲抛掷质地均匀的硬币2次，乙抛掷质地均匀的硬币3次，则甲得到的正面向上的次数比乙得到的正面向上的次数少的概率是______． 【答案】/0.5 【分析】设事件表示甲抛掷后正面朝上次，，事件表示乙抛掷后正面朝上次，，计算，设事件表示甲得到的正面朝上的次数比乙得到的正面朝上的次数少，即，代入计算即可. 【详解】设事件表示甲抛掷后正面朝上次，， 事件表示乙抛掷后正面朝上次，， 所以，， 设事件表示甲得到的正面朝上的次数比乙得到的正面朝上的次数少， 所以. 14．（2026·黑龙江哈尔滨·二模）甲、乙二人进行一次围棋比赛，每局胜者得分，负者得分，约定一方比另一方多分或满局时比赛结束，并规定：只有一方比另一方多三分才算赢，其它情况算平局，假设在每局比赛中，甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立，则这次比赛经过局结束的概率为_________． 【答案】 【详解】若比赛经过局结束，则甲胜局负局，且前局负局或乙胜局负局，且前局负局， 又甲获胜的概率为，乙获胜的概率为，各局比赛结果相互独立， 所以比赛经过局结束的概率为. 15．（25-26高二上·四川成都·阶段检测）已知随机事件，，中，与互斥，与对立，且，，则________． 【答案】/ 【分析】先根据对立事件的概率关系求出，再利用互斥事件的概率加法公式计算. 【详解】根据题意，因为，事件与事件对立， 所以， 又事件与事件互斥，， 所以. 故答案为： 16．（25-26高二下·上海闵行·期中）小王，小李参加闯关游戏比赛，该闯关游戏一共两关，且第一关闯关成功与否均参与第二关．若小王，小李第一关闯关成功的概率分别为，，第二关闯关成功的概率分别为，，且两人在闯关过程中互不影响，两关之间互不影响． (1)若小李第二关闯关成功的概率，求小李恰好有一关闯关成功的概率； (2)若小王，小李各有一关闯关成功的概率为，小王，小李两关都闯关成功的概率为，求小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，则事件小李恰好有一关闯关成功，由条件结合概率加法公式和独立事件概率乘法公式求结论； （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件，由条件结合概率公式列方程求，分别求出两人两关都通过的概率，再求结论． 【详解】（1）设事件小李第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 由已知相互独立，且， ， 则，， 设事件小李恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 所以， 所以当时，， 所以小李恰好有一关闯关成功的概率为． （2）设事件小王第一关闯关成功为事件，第二关闯关成功为事件， 则结合（1）知事件相互独立，且，，，，， 因为小王，小李两关都闯关成功的概率为，即，得①， 设事件小王恰好有一关闯关成功为，则， 所以， 由（1）有， 因为小王，小李各有一关闯关成功的概率为，即，得②， 联立①，②得，解得或， 又，所以，， 所以小王两关都闯关成功的概率为， 小李两关都闯关成功的概率为， 所以小王，小李两人至少有一人两关都闯关成功的概率为. 17．（25-26高一下·贵州遵义·阶段检测）甲､乙两名同学在遵义会议会址“红色研学趣味挑战赛”中轮流进行“投弹模拟”（每人每次模拟投弹一次），约定甲先投且先击中目标者获胜，一直到有人获胜或每人都已投弹3次时挑战结束.设甲每次投弹命中的概率为，乙每次投弹命中的概率为，且各次模拟投弹互不影响. (1)求甲在本次挑战赛中获胜的概率； (2)求挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）根据互斥事件和的概率公式及独立事件同时成立的概率公式求解即可； （2）写出投弹结束时乙只投了2个球的事件，由互斥事件的和的概率公式，独立事件概率公式求解. 【详解】（1）设Ak，Bk分别表示甲、乙在第k次投弹时击中，， 则，， 记“甲在本次挑战赛中获胜”为事件C，则 ， 所以甲在本次挑战赛中获胜的概率为. （2）记“挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟”为事件D， 则 ， 所以挑战结束时，乙只进行了2次投弹模拟的概率为. 18．（24-25高二上·湖北·期中）“猜灯谜”又叫“打灯谜”，是元宵节的一项活动，出现在宋朝．南宋时，首都临安每逢元宵节时制迷，猜谜的人众多．在一次元宵节猜灯谜活动中，共有20道灯谜，三位同学独立竞猜，甲同学猜对了15道，乙同学猜对了8道，丙同学猜对了n道．假设每道灯谜被猜对的可能性都相等． (1)任选一道灯谜，求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； (2)任选一道灯谜，若甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对的概率为，求n的值． 【答案】(1) (2)16 【分析】（1）由题设求出甲、乙、丙猜对或错的概率值，应用独立事件乘法公式、互斥事件加法求甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率； （2）利用对立事件的概率求法及独立事件乘法公式列方程求. 【详解】（1）设“任选一道灯谜甲猜对”，“任选一道灯谜乙猜对”，“任选一道灯谜丙猜对”. 则，，， 可得，，. “甲，乙两位同学恰有一个人猜对”，且与互斥. 每位同学独立竞猜，故A，互相独立，则A与，与，与均相互独立. 所以， 所以甲，乙两位同学恰有一个人猜对的概率为. （2）设“甲，乙，丙三个人中至少有一个人猜对”，则. 所以，解得， 所以n的值16. 19．（25-26高一下·全国·课堂例题）某校田径队有三名短跑运动员，根据平时的训练情况统计甲、乙、丙三人100m跑（互不影响）的成绩在13s内（称为合格）的概率分别为，，．若对这三名短跑运动员的100m跑的成绩进行一次检测，则： (1)三人都合格的概率与三人都不合格的概率分别是多少？ (2)出现几人合格的概率最大？ 【答案】(1)， (2)出现恰有一人合格的概率最大． 【分析】（1）先设事件并明确已知概率，由事件独立性计算三人都合格和三人都不合格的概率； （2）分别计算恰有一人和恰有两人合格的概率，比较概率大小确定最大概率的情况. 【详解】（1）设甲、乙、丙三人100m跑合格分别为事件，显然相互独立， 表示三人都合格，表示三人都不合格， 则，，， ，，， 设恰有人合格的概率为． 三人都合格的概率为， 三人都不合格的概率为， 所以三人都合格的概率与三人都不合格的概率均为． （2），，两两互斥， ∴恰有两人合格的概率为 ， 恰有一人合格的概率为：， 结合（1）可知中最大，所以出现恰有一人合格的概率最大. 20．（24-25高二上·四川成都·期中）A，B，C三人参加知识闯关比赛，三人闯关成功与否相互独立．已知A闯关成功的概率是，A，B，C三人闯关都成功的概率是，A，B，C三人闯关都不成功的概率是． (1)求B，C两人各自闯关成功的概率； (2)求A，B，C三人中恰有两人闯关成功的概率； (3)求A，B，C三人中至少一人闯关成功的概率． 【答案】(1)B，C两人各自闯关成功的概率都是． (2) (3) 【分析】（1）记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F，三人各自独立闯关，由题意结合独立事件的概率公式可列出方程组，从而解得B，C两人各自闯关成功的概率； （2）三人中恰有两人闯关成功为事件，利用独立事件和互斥事件的概率公式计算即可； （3）利用对立事件的概率公式计算即可. 【详解】（1）记A，B，C三人各自闯关成功分别为事件D，E，F， 三人闯关成功与否得相互独立，且满足， 解得，，所以B，C两人各自闯关成功的概率都是． （2）设A，B，C三人中恰有两人闯关成功为事件G， 则， 所以三人中恰有两人闯关成功的概率为． （3）设A，B，C三人中无人闯关成功为事件H，则， 故设A，B，C三人至少有一人闯关成功的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $