专题13.1 棱柱、棱锥和棱台重难点题型专训（3个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年高一下学期数学重难点专题提升精讲精练（苏教版必修第二册）

专题13.1 棱柱、棱锥和棱台重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱的结构特征和分类 题型二 正棱柱及其有关计算 题型三 棱柱的展开图及最短距离问题 题型四 棱柱及其有关计算 题型五 棱锥的结构特征和分类 题型六 正棱锥及其有关计算 题型七 棱锥的展开图 题型八 棱锥中截面的有关计算 题型九 棱台的结构特征和分类 题型十 正棱台及其有关计算 拓展训练一 棱柱、棱锥和棱台的相关计算 知识点一： 棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知集合正四棱柱，为直平行六面体，为长方体，为正方体，则这四个集合之间的关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据正四棱柱，直平行六面体，长方体，正方体的定义结合集合的包含关系分析判断即可. 【详解】直平行六面体是底面为平行四边形，侧棱与底面垂直的四棱柱； 长方体是底面为矩形的直平行六面体； 正四棱柱是底面为正方形的直平行六面体； 正方体是侧棱长和底面边长相等的正四棱柱． 分析可知. 故选：C 2．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 【答案】5 【分析】将直三棱柱侧面展开为长方形，结合题意计算求解即可； 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，， 因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 知识点二： 棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即时训练】 1．（2025高二上·上海·专题练习）下列棱锥有6个面的是（　　） A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 【答案】C 【分析】根据棱锥的定义，即可得出选项. 【详解】由棱锥的结构特征可知，三棱锥有4个面，四棱锥有5个面，五棱锥有6个面，六棱锥有7个面； 故选：C 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为______． 【答案】2 【分析】画出正四棱锥的侧面展开图，得到A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最长最短距离. 【详解】画出正四棱锥的侧面展开图，如图所示． 当A，M，N，E共线时，小虫走过的路线最短，最短为的长． 因为，，所以， 则是边长为2的等边三角形，则，即小虫走过的最短路线的长为2． 故答案为：2. 知识点三： 棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 【即时训练】 1．（25-26高一·江苏·课后作业）棱台不具备的特点是（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点 【答案】C 【分析】根据棱台的定义结构特征求解. 【详解】根据棱台的定义知，棱台底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点， 但是侧棱长不一定相等， 故选：C 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为__________． 【答案】 【分析】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，等腰梯形的腰长为棱台的侧棱长，然后根据已知数据求解即可. 【详解】由题意得正四棱台的对角面为等腰梯形，其中上底长为，下底长为，高为3， 所以侧棱长为． 故答案为： 【经典例题一 棱柱的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 【答案】D 【分析】根据长方体、直四棱柱、平行六面体的定义、性质和关系判断即可得解. 【详解】平行六面体是底面为平行四边形的四棱柱，故A正确；正方体的对面平行，是平行六面体，故B正确； 长方体的对面平行，是平行六面体，故C正确；直四棱柱的侧棱垂直底面，当底面不是矩形时直四棱柱不是长方体，故D错误； 故选：D. 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）搬家公司想把长，宽，高的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形窗口的边长为，则至少是多少？ 【答案】 【分析】根据题意，画出示意图，设（其中），得到方程组，求得的值，进而得到正方形的边长的值. 【详解】如图所示，由于长方体各个面中宽和高所在的面的面积最小， 所以应由这个面对称地穿过窗口才能使正方形窗口的边长尽量地小， 设（其中）， 则有， 由题意得，解得， 所以，即正方形的边长至少为米.    1．（24-25高一下·广东深圳·期中）从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是（    ） A．三个面是直角三角形的正三棱锥 B．有一个面是钝角三角形的四面体 C．每个面都是等边三角形的四面体 D．每个面都是直角三角形的四面体 【答案】B 【分析】作图，根据图形分析. 【详解】 如图 是正方体，三棱锥 是三个面为直角三角形的正三棱锥，A正确； 三棱锥是四个面都是直角三角形的四面体，D正确； 三棱锥 是四个面都是等边三角形的四面体，C正确； 对于B，先选取A点，与剩下的7个顶点的任意两个都不可构成钝角三角形，B错误； 故选：B. 2．（2024·湖北·模拟预测）（多选）平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 【答案】ACD 【分析】根据平行六面体的性质考察矩形个数的可能情况即可. 【详解】平行六面体的六个面都是平行四边形，且相对的平行四边形全等， 所以六个平行四边形中的矩形个数可能为， 所以各个表面的直角个数之和可能为. 故选：ACD 3．（2025高一·全国·专题练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为_________． 【答案】 【分析】根据新定义运算即可. 【详解】正十二面体在每个顶点有3个面角，每个面角是， 所以正十二面体在各顶点的曲率为， 由于正十二面体有20个顶点，故其总曲率为. 故答案为： 4．（2025高三·全国·专题练习）若平行六面体的四条对角线长为定值且相交于点，以为球心的球的半径为，则球面上任意一点到该平行六面体的各顶点连线的距离的平方和为定值． 【答案】证明见解析 【详解】利用平行四边形中，对角线的平方和等于平行四边形四边的平方和即可得证. 【分析】如图5所示，设，，，． 在中可证． 同理可得，，， 所以（定值）． 【经典例题二 正棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】取的中点为，连接，结合勾股定理即可求解； 【详解】 取的中点为，连接， 由正三棱柱的性质易知：平面, 又面， 所以，又， 所以， 故选：A 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）正六棱柱底面边长为2，最长的对角线长为5，求正六棱柱的高． 【答案】3 【分析】根据正六棱柱的结构特征可得，，，利用勾股定理即可求出棱柱的高． 【详解】正六棱柱的底面边长为2，最长的一条对角线长为，如图， 底面，底面，， 又，正六棱柱的高． 1．（25-26高二上·北京·期末）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 【答案】A 【分析】作出几何图形，利用正三棱柱的结构特征及勾股定理列式求出答案. 【详解】如图，正三棱柱中，， 点分别在棱上， 且是以为斜边的等腰直角三角形， 设，则， 作于，于，于， 则，， ， 在中，， 即，解得， 所以该三角形的面积为. 故选：A    2．（24-25高三上·山东潍坊·月考）（多选）在棱长为的正方体中，点是正方体的棱上一点，，则（    ） A．时，满足条件的点的个数为 B．时，满足条件的点的个数为 C．时，满足条件的点的个数为 D．若满足的点的个数为，则的取值范围为 【答案】BC 【分析】根据各棱上的点到两点距离之和对选项进行逐一分析，由此确定正确选项. 【详解】设分别是的中点，， ，. 由于，所以，所以A选项错误. ，满足的点为共个，所以B选项正确. ，满足的点为共个，所以C选项正确. 当在正方形（不包括）上运动时，，此时棱与棱上，也存在点使. 所以当时，满足的点的个数为，所以D选项错误. 故选：BC 3．（24-25高一下·北京·期末）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______. 【答案】 【分析】作出图形，分析得到中的四边形为正方形，对角线，均为等边三角形，取两个等边三角形的中心，连接，即为正方体的一条棱，并根据比例关系求出棱长. 【详解】正方体各面中心为顶点的凸多面体为正八面体， 如图，中的四边形对角线， 且⊥，且对角线互相平分，故四边形为正方形， 以各个面的中心为顶点的图形为正方体， 取的中点，连接，则， 均为等边三角形，取两个等边三角形的中心，连接， 分别在上，且， 所以即为正方体的一条棱，且.      故答案为： 4．（24-25高二上·安徽合肥·月考）如图，正三棱柱中底面边长为a，D、E分别在与上，且. （1）求截面的面积； （2）上是否存在一点P，使得面？若不存在，说明理由；若存在，指出P的位置. 【答案】（1）；（2）存在，P为中点. 【分析】（1）取的中点，连接，求出三角形的三边即可得面积； （2）取，中点，连接，，，证明面即可得结论. 【详解】（1）如图所示，取的中点，连接， ∵，∴,， ∴，，， 在等腰三角形中，高为， ∴. （2）存在，P为中点，证明如下： 取，中点，连接，，， ∵，，，， ∴，， ∴四边形为平行四边形， 由正三棱柱的性质可得，， ∵，∴面， ∴面 【经典例题三 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【答案】C 【分析】直接把正方体的展开面图复原为空间图，结合正方体的结构特征，即可求解． 【详解】根据正方体的表面展开图，翻折成正方体，如图所示： 其中“成”在最下面，“拼”在最上面，构成对面关系． 故选：C． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 【答案】10cm． 【详解】将长方体展开，连接， 因为，，． 根据两点之间线段最短，得所用细线最短需要10cm． 1．（25-26高一下·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 【答案】C 【详解】 将所在平面与所在平面展平至同一平面内，如右图 在左图中，由于，，得是等边三角形，故． 在右图中，． 两点之间线段最短，连接，最小为． 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）（多选）正方体的棱长为2，M是棱上的一个动点（含端点），则的取值可以为（   ） A． B． C． D．5 【答案】ABC 【分析】将绕翻折至与共平面，当、、共线时，最小，与（或）重合时最大，可得结论. 【详解】由正方体的性质可得为等边三角形，边长为， 为等腰直角三角形，其直角边长为， 将左图中绕翻折至与共平面（如右图）， 因为，， 所以当、、共线时最小， 此时为中点，，， 此时，， 则最小值为； 当与（或）重合时最大，最大值为. 故选：ABC. 3．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 【答案】 【详解】根据正方体结构，将面以为轴旋转展开，与面在同一个平面内， 易知：要使最小，即为上述所得平面内． 4．（2025高二上·上海·专题练习）（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；    （2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    【答案】（1）答案见解析（2） 【分析】（1）依题意画出即可； （2）借助勾股定理，分别计算以为轴展开、以为轴展开、以为轴展开所得矩形的对角线的长度，取其中最小即可. 【详解】（1）平面展开图如图所示：    （2）沿长方体的一条棱剪开，有三种剪法： ①如图（1），以为轴展开，； ②如图（2），以为轴展开，； ③如图（3），以为轴展开，；    综合以上，蚂蚁爬行的最短路线长：. 【经典例题四 棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）n棱柱（）的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【答案】D 【分析】由n棱柱的顶点数，棱数，面数可得答案. 【详解】由题可得，n棱柱的顶点数为，棱数为，面数为，则. 故选：D 【例2】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，长方体中，，，，求线段的长． 【答案】． 【分析】连结BD    ，利用勾股定理求出BD，在直角三角形BDD1中细节里有勾股定理即可求出. 【详解】 因为在长方体中，，，， 连接，在中，有， 又因为在长方体中，平面， 所以，在中， ． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 【答案】D 【分析】作出图形，在五棱柱中，找出一个端点为的对角线，即可得解. 【详解】如下图所示： 在五棱柱中， 若对角线的一个端点为，则满足条件的对角线为、， 同理可知，有一个端点分别为、、、的对角线各有两条， 综上所述，一个五棱柱的对角线共有条. 故选：D. 2．（24-25高一下·广东佛山·月考）（多选）已知长方体同一顶点的3条棱长度分别为2，3，4，现从该长方体的12条面对角线及4条体对角线中选出3条线段（不考虑原位置关系）构造三角形，则构成的三角形可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 【答案】ACD 【分析】根据已知条件，求出面对角线，体对角线的长度，逐个选项验证即可. 【详解】根据已知条件有长方体的面对角线长度有： ，，共可能， 其中每种可能长度都有条面对角线与之对应， 体对角线有共种可能，即条体对角线长度均为， 对于A，若所选的条边长度相同，例如都为，构成等边三角形，所以A正确； 对于B，先检验有两边相同的情况， ，，，， 没有与之对应满足勾股定理的长度， 再检验三边各不相同的情况， ，，， ，，， 没有与之对应满足勾股定理的长度，所以B错误； 对于C，若所选长度为，、、时， 检验可以构成三角形，最大角为所对的角设为， ，因为，所以为钝角， 所以C正确； 对于D，若所选的条边长度相同，例如都为，构成三角形为锐角三角形， 所以D正确. 故选：ACD. 3．（24-25高一下·全国·课后作业）长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为______． 【答案】 【分析】由长方体的三个面的面积求出同一点出发的三条棱长，根据长方体的结构特征即可求出结果. 【详解】 设长方体从顶点B出发的三条棱长分别为，且，，，则，，， 所以长方体中线段的长等于. 故答案为： 4．（24-25高一下·河北·期中）如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 【答案】(1)答案见解析 (2) 【分析】（1）如图所示，五边形即为所求截面，得到答案. （2）根据相似得到各线段长度，再计算周长得到答案. 【详解】（1）如图所示，五边形即为所求截面. 作法如下：连接并延长交的延长线于点E，连接交于点F， 交的延长线于点H，连接交于点Q，连接，， 所以五边形即为所求截面. （2）因为，所以，得. 因为，所以，得， 则，，所以， ，， 则截面的周长为. 【经典例题五 棱锥的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【答案】B 【分析】根据棱锥的结构特征进行判断即可. 【详解】由棱锥的定义，知棱锥的各侧面都是三角形，故①正确； 四面体就是由四个三角形所围成的几何体， 因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥，故②正确； 棱锥的侧棱交于一点，故③错误． 故选：B. 【例2】（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥，4个面 (2)为等腰三角形，为等腰直角三角形，和均为直角三角形，，，. 【分析】（1）根据棱锥的定义判断该几何体的形状，再判断该几何体的面数， （2）根据各面的相关数据判断其形状特征，结合三角形面积公式求各面面积. 【详解】（1）如图，折起后的几何体是三棱锥， 这个几何体共有4个面. （2）由已知，，，， 所以， ， 所以为等腰三角形，为等腰直角三角形， 和均为直角三角形. ， ， . 1．（25-26高二上·重庆·月考）空间内存在三点，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与可以组成正四棱锥，则满足要求的取法种数为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 【答案】B 【分析】根据题意，可分为两种情况：当为正四棱锥的侧面时和当为正四棱锥的对角面时，分别求得满足条件的正四棱锥的个数，即可求解. 【详解】空间内存在三点，满足， 在空间内取不同两点，使得这两点与可以组成正四棱锥的五个顶点， 可分为两种情况： 第一种：当为正四棱锥的侧面时，如图（1）所示， 此时可分别充当底面正方形的一边，对应的情况显然相同， 不妨以为底面正方形的一边，符合要求的另两个点， 如图（1）所示，此时有两种情形； 考虑到三边的对称性，共有6种情况； 第二种：当为正四棱锥的对角面时，如图（2）所示， 此时分别充当底面正方形的一条对角线时，对应的情况显然也相同， 不妨以为底面正方形对角线，符合要求的另两个点， 如图（2）所示，显然只有一种情况， 考虑到三边的轮换对称性，共有3种情况， 综上所述，共有9种情况. 故选：B. 2．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）（多选）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 【答案】AD 【分析】根据题意，结合空间几何体的结构特征，逐项判定，即可求解. 【详解】对于A中，由三棱锥的顶点数为4个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意； 对于B中，由四棱锥的顶点数为5个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为11个，不符合题意； 对于C中，由四棱锥的顶点数为5个，四棱柱的顶点数为8个， 所以两个几何体的顶点数之和为13个，不符合题意； 对于D中，由五棱锥的顶点数为6个，三棱柱的顶点数为6个， 所以两个几何体的顶点数之和为12个，符合题意. 故选：AD. 3．（2025·福建福州·模拟预测）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是____________（用数字作答）． 【答案】24 【分析】要确定以长方体顶点为顶点的阳马个数，需要考虑长方体的面与顶点的关系，通过分析每个面作为阳马底面的情况来计算总数. 【详解】长方体有6个面. 以其中一个面为底面，比如底面. 当以底面为阳马的底面时，从顶点中任选一个顶点作为垂直于底面的侧棱的顶点， 都可以构成1个阳马，这样就有4个阳马. 因为长方体有6个面，每个面都可以像底面这样构成4个阳马. 所以阳马的总个数为.   故答案为：24. 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？    【答案】（1）三棱锥；（2）见解析；（3）见解析 【详解】试题分析：（1）棱锥侧面为三角形，几棱锥决定于底面边数（2）三个侧面加上一个底面，都是直角三角形（3）根据直角情况，分别求对应直角边，再根据直角三角形面积公式求各自面积 试题解析：(1)如图，折起后的几何体是三棱锥.      (2)这个几何体共有4个面，其中△DEF为等腰三角形，△PEF为等腰直角三角形，△DPE和△DPF均为直角三角形. (3)S△PEF=a2，S△DPF=S△DPE=×2a×a=a2， S△DEF=S正方形ABCD-S△PEF-S△DPF-S△DPE=(2a)2-a2-a2-a2=a2. 【经典例题六 正棱锥及其有关计算】 【例1】（24-25高一上·江苏·暑假作业）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据题意分析可知平面平面，可知平面，再结合等体积法，即可求解． 【详解】底面为正方形，边长为4，当相邻的棱长相等时， 不妨设，， 分别取，的中点，，连接，，， 如图所示：    则，，且，，平面， 故平面，且平面， 所以平面平面， 过作的垂线，垂足为，即， 由平面平面，平面， 所以平面， 由题意可得：，，， 则，即， 则， 故， 所以四棱锥的高为，当相对的棱长相等时，不妨设，， 因为，此时不能形成三角形，与题意不符，这样情况不存在． 故选：D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，，求： （1）正六棱锥的高； （2）正六棱锥的斜高； （3）正六棱锥的侧棱长. 【答案】（1）6；（2）；（3）. 【分析】（1）在中求出的长度，即为正六棱锥的高； （2）在中求出的长度，即为正六棱锥的斜高； （3）在中求出的长度，即为正六棱锥的侧棱长. 【详解】∵正六棱锥的底面周长为24， ∴正六棱锥的底面边长为4. 在正六棱锥中，，H为中点，∴. ∵O是正六边形的中心， ∴为正六棱锥的高. （1）在中，，又，∴. （2）在中，. （3）在中，，∴. 故该正六棱锥的高为6，斜高为，侧棱长为. 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正三棱锥几何关系得出边长计算求解. 【详解】在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点， 将分别沿折起，使得三点重合记为，如图所示， 因为，所以，因为，所以， 所以是等腰三角形， 因为是中点，所以，所以，所以. 故选：B. 2．（2025高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 【答案】A 【分析】根据题意画出图象，结合图象利用勾股定理求解. 【详解】如图：正四棱锥的底面积为64，则， 又顶点在在底面上的射影是四边形的中心， 过点作于，连接， 则，又侧棱长为， 所以该四棱锥的高为. 故选：A. 3．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 【答案】/ 【分析】作出几何体的直观图，作出三棱锥的高，求得相关线段的长，即可求得答案. 【详解】如图，正三棱锥中，底面是边长为4的等边三角形， 设侧棱长为， 设O为的中心， 取中点D，连接，则O在上，为三棱锥的高， 则，， 故， ∴正三棱锥的侧棱长为， 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知正四面体的棱长都为1，点M，N分别是的中点，求M，N这两点间的距离. 【答案】 【分析】连接，，则，故而，利用勾股定理计算即可． 【详解】连接，，如图， 正四面体棱长为1，是的中点， ， 是的中点，， ． 即M，N这两点间的距离为. 【经典例题七 棱锥的展开图】 【例1】（2026高一·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将正三棱锥沿剪开，并展开，形成三个全等的等腰三角形，，找到三角形的周长的最小值的线段，根据勾股定理逆定理求出，从而求出答案. 【详解】把正三棱锥沿剪开，并展开， 形成三个全等的等腰三角形，， 连接，交于，交于， 则线段就是的最小周长，即，    又， 根据勾股定理，， 所以是等腰直角三角形， ， 所以侧棱的夹角为. 故选：A. 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 【答案】(1)三棱锥 (2)答案见解析 【分析】（1）根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，即得到一个三棱锥； （2）由（1）知，其中、和都为直角三角形，为等腰三角形，结合三角形的面积公式，即可求解. 【详解】（1）解：根据题意，将正方形，沿图中虚线将3个三角形折起，使得三点重合，可得如图所示的一个三棱锥. （2）解：由（1）知，其中为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为直角三角形，面积为； 为等腰三角形，且，可得边上的高为， 所以面积为. 1．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】把沿展开后，，，三点共线时，最小，计算即可得. 【详解】如图，把沿展开，使，，，，五点共面． 当，，三点共线时，的值最小， 由正四棱锥性质可得， 则展开图中到的距离， 又，则， 此时． 故选：B. 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将三棱锥由展开，根据勾股定理进行求解即可. 【详解】设过点作截面与、侧棱分别交于、两点， 将三棱锥由展开，则，虫子爬行从点沿侧面到棱上的点处，再到棱上的点处，然后回到点的最短距离， 由勾股定理可得．虫子爬行的最短距离． 故选：A    3．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 【答案】 【详解】依题意，正三棱锥侧面沿剪开，将展开置于同一平面内，连接， 则线段就是绳的最短长度，此时，由， 得，解得，所以该三棱锥的侧棱长为. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知三棱锥的底面是等边三角形，侧棱长都是，，过点A作截面AEF，求周长的最小值． 【答案】6 【分析】作出三棱锥侧面展开图，根据两点间距离直线最短，利用勾股定理，求得三角形周长的最小值. 【详解】展开三棱锥的侧面，如图所示， 则周长的最小值就是的长． 在中，，，过作，交于，则，. 也即三角形周长的最小值为. 【经典例题八 棱锥中截面的有关计算】 【例1】（24-25高一下·河南·月考）刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（    ）    A．11 B． C．9 D． 【答案】A 【分析】延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点，即可得到过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形，求出其周长即可得解． 【详解】如图，延长交于点，取的中点，连接，，易得为的中点， ∴，∵，∴，即过点，，的平面截该刍甍所得的截面为四边形， ∵，， ∴过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为．    故选：A 【例2】（25-26高一·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，求周长的最小值． 【答案】. 【分析】沿侧棱把三棱锥展开在一个平面内，利用两点之间线段最短即可求解. 【详解】将三棱锥沿侧棱剪开，并将其侧面展开平铺在一个平面上，如图，线段的长为所求周长的最小值． ∵，∴． 又，∴． ∴周长的最小值为． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】截得截面与底面多边形相似，故边长比就是相似比为，所以侧棱上、下两部分长度之比为． 2．（24-25高二上·辽宁锦州·期中）已知三棱锥中，，，两两垂直，且，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据，，两两垂直，利用勾股定理得到，，再根据，分别是，的中点，直角三角形和中位线的性质得到，，最后在等腰三角形中利用勾股定理求即可. 【详解】 取中点，连接， ∵，，两两垂直，，， ∴，， ∵，分别是，的中点， ∴， ， ∴三角形为等腰三角形， ∵为中点， ∴，. 故选：B. 3．（25-26高二上·辽宁·月考）如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为_________.    【答案】18 【分析】根据题意可知，女孩头顶的影子轨迹所围成的图形是一个正方形，由此可求得女孩头顶的影子轨迹所围成的图形面积. 【详解】把路灯看作一个点光源，女孩走一圈时头顶影子的轨迹与点光源构成一个四棱锥，    头顶轨迹为截面，与底面距离为，截面是正方形， 底面即女孩走一圈时头顶影子的轨迹也是正方形，相似比为， 截面面积与底面面积之比为相似比的平方，截面边长为， 设底面面积为，则，解得. 故答案为：18. 4．（25-26高一下·全国·课后作业）如果平行于一个三棱锥底面的截面的面积是底面面积的，那么截面截一条侧棱所得两条线段的长度之比是多少？ 【答案】 【分析】根据可得出，进而可得出的值，即可得出结果. 【详解】如图，根据题意可知，而，所以， 所以，故， 即截面截一条侧棱所得两条线段的长度之比为． 【经典例题九 棱台的结构特征和分类】 【例1】（25-26高一下·广东广州·期中）棱台不具有的性质是（   ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱延长后交于一点 D．侧棱长都相等 【答案】D 【详解】根据棱台的定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫做棱台， 所以棱台具有的性质是：上、下底面多边形相似；每个侧面都是梯形；侧棱延长后交于一点； 故选项A,B,C都是棱台具有的性质，棱台的侧棱有的相等，有的不相等，故选项D是棱台不具有的性质. 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的三棱台，如何把它分成：    (1)一个三棱柱和另一个多面体； (2)三个三棱锥，并用字母表示． 【答案】(1)答案见解析 (2)答案见解析 【分析】（1）可以根据三棱柱的特点，先将三棱台中截去一个三棱柱，剩下的几何体就是题中需要的多面体； （2）根据棱台的几何特征和棱锥的几何特征，先将棱台分成一个三棱锥和四棱锥，再把四棱锥沿对角面切开，可得答案． 【详解】（1）如图①所示，三棱柱是棱柱，另一个多面体是． （2）如图②所示，三个三棱锥分别是，，．    1．（24-25高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 【答案】B 【分析】把四边形，展开至同一个平面，求出长即可得解. 【详解】把四边形，展开至同一个平面，连接，，， 过点作，则，又，则， 在中，，，则， 此时线段中点到点的距离，即线段与相交， 因此的最小值就是展开图中的长，点为与的交点， 所以的最小值为. 故选：B    2．（24-25高二上·海南海口·开学考试）（多选）棱台具备的特点有（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点 【答案】ABD 【分析】根据棱台是由平行棱锥底面的平面截得的判断. 【详解】解：因为棱台是由平行棱锥底面的平面截得的， 所以棱台的两底面相似，侧面都是梯形，侧棱延长后都交于一点， 故选：ABD 3．（25-26高一·全国·课后作业）若棱台的上、下底面的面积之比为1∶2，则上，下底面的周长之比为_____________． 【答案】 【分析】根据棱台的特征可得面积之比为对应边之比的平方，可得上，下底面的对应边长之比，从而可求解. 【详解】解：由棱台的结构特征可知，棱台的上下底面是相似多边形， 所以面积之比为对应边之比的平方，即上，下底面的对应边长之比为. 所以上，下底面的周长之比为. 故答案为: . 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长. 【答案】 【分析】根据正三棱台的结构特征，用上下底面边长表示出正三棱台的斜高，进而得侧面积表达式即可得解. 【详解】依题意，，则， 设上底面的边长为，则， 如图所示，连接，过作于点H，则四边形为矩形，且， 于是得，在中，， 因四边形的面积为，则，即，解得， 所以上底面的边长为. 【经典例题十 正棱台及其有关计算】 【例1】（24-25高一下·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用小三棱锥和大三棱锥的比例求解即可. 【详解】    如图，根据题意可得所得棱台为正三棱台， 该棱台的高等于大正三棱锥的高的. 设大正三棱锥的高为DH，则： 因为大正三棱锥的高为:， 所以该棱台的高为. 故选：A 【例2】（24-25高二上·江西南昌·月考）正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，求该正三棱台的斜高． 【答案】. 【分析】分别取，的中点，，连接，，，在，分别取上下底的中心，，然后在直角梯形中可算出答案. 【详解】分别取，的中点，， 连接，，，在，分别取上下底的中心，， 连接， ∵，∴ 同理：， ∵，∴． 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由正棱台的性质确定侧面为等腰梯形，结合已知条件求斜高即可. 【详解】由题意，正棱台侧面为上下底边长分别为的等腰梯形，    所以棱台的斜高为. 故选：C 2．（多选）（24-25高三上·湖南·开学考试）在正四棱台中，，，则（    ） A．该棱台的高为 B．该棱台的表面积为 C．该棱台的体积为 D．该棱台外接球的表面积为 【答案】ABD 【分析】由题意可知，，则可求出正四棱台的高，斜高，即可求出其侧面积为，表面积，体积，设棱台外接球的球心到上底面的距离为，半径为，则可列出方程组，即可解出，则可求出外接球的表面积. 【详解】由题可知，， 所以正四棱台的高，故A正确， 正四棱台的斜高， 所以正四棱台的侧面积为， 上、下底面的面积分别为4，16，即正四棱台的表面积，故B正确， 正四棱台的体积，故C错误， 设该棱台外接球的球心为，半径为，点到上底面的距离为， 所以，解得， 所以该棱台外接球的表面积为，故D正确. 故选：ABD. 3．（2025·河北保定·二模）某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为米，米，米．为举办特展，某策展团队计划以地面顶点为起点安装一条灯带（忽略灯带的厚度与弹性），灯带沿正四棱台的表面经过侧棱后到达顶点C，则所需灯带的长度的最小值为___________米． 【答案】/ 【分析】将侧面和展开到同一个平面，利用两点之间线段最短求解即可. 【详解】如图1，设灯带经过侧棱上的E点. 如图2，连接，将侧面和展开到同一个平面， 则，当且仅当线段与线段有交点时等号成立， 即当灯带的长度取得最小值时，交点即为点E. 因为四边形是等腰梯形，所以， 由余弦定理可得==米， 则>，所以，即， 因为，所以， 即线段与线段有交点. ==，可得=， 而，可得=， 所以, 由余弦定理可得==米， 则所需灯带的长度的最小值为米. 故答案为： 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解； （2）过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、，利用勾股定理计算出的长，即可得解. 【详解】（1）解：过点、分别在平面内作，， 垂足分别为点、，如下图所示： 根据正四棱台的性质可知四边形为等腰梯形， 因为四边形为正方形，且，则，同理， 在等腰梯形内，因为，，， 所以，四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 所以，， 所以，该正四棱台的侧棱长为. （2）解：过点、分别在平面内作，，垂足分别为点、， 在等腰梯形中，，，， 则四边形为矩形，所以，，， ，，，所以，， 则，所以，. 因此，直线与的距离为. 【拓展训练一 棱柱、棱锥和棱台的相关计算】 【例1】（24-25高一下·吉林·期中）在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设，连接，先证明，得，再求出即可求解. 【详解】如图所示，设，连接． 因为， 且几何体为正四棱柱， 所以． 因为平面与交于点， 所以， 所以， 所以， 因为， 所以， 所以． 故选：C.    【例2】（25-26高二·全国·课后作业）已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高. 【答案】高为，斜高为. 【分析】在正四棱锥中，作底面于点，取中点，连接、、，计算出底面的边长，结合勾股定理可计算出该正四棱锥的高和斜高. 【详解】如图，在正四棱锥中，作底面于点， 取中点，连接、、， 由正四棱锥的底面面积为可得，所以，. 因为，都是直角三角形，侧棱， 所以高为，斜高. 1．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 【答案】A 【分析】根据题意画出正四棱台，结合正四棱台相关性质直接计算即可. 【详解】如图所示，设该正四棱台为，上下底面中心分别为， 分别取的中点，连接， 在平面内，作交于， 则，，， 显然四边形是矩形，则，， 所以， 在直角中，， 即该墩台的斜高约为9.1m. 故选：A 2．（多选）（2025·福建·模拟预测）（多选）正方体绕直线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 【答案】AC 【分析】由正方体的特点，对角线垂直于平面，且三角形为等边三角形得答案． 【详解】解：如图， 正方体中，对角线垂直于平面，且三角形为等边三角形， 正方体绕对角线旋转能与原正方体重合． 故选：． 3．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）若一个正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为，则侧棱长为______． 【答案】4 【分析】根据题意，求出对角线的长度，构造直角三角形，求出侧棱长. 【详解】如图，四棱锥的底面是边长为4的正方形，则， 高 所以侧棱长． 故答案为：4. 4．（25-26高一·全国·课后作业）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，求的值． 【答案】 【分析】设正四棱锥的棱长为，正三棱锥的棱长也为，可知，计算出、，由此可求得结果. 【详解】根据题意，四棱锥为正四棱锥，三棱锥为正三棱锥，且棱长均相等， 设正四棱锥和正三棱锥的棱长均为， 点在底面的射影为正方形的中心，且， 所以，， 点在底面的射影为等边的中心，由正弦定理可得， 所以，，因此，. 1．（25-26高一下·北京·期中）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】画出棱柱的侧面展开图，由图可得最短距离为对角线的长，利用勾股定理即可求. 【详解】正三棱柱的侧面展开图是如图所示的矩形，矩形的长为，宽为， 则其对角线的长为的最小值， 即最小值为. 2．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 【答案】B 【分析】取的中点，连接，得平面为平面截正方体的截面，由梯形的面积公式即可求解. 【详解】取的中点，连接，易知，所以平面与交点为， 则平面为平面截正方体的截面，四边形为等腰梯形， 过做，由，， 所以,， ，, 所以其面积为. 故选：B.    3．（2025·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（   ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】取AB，CD的中点E，F，连结E，F两点，根据正四面体的性质可得EF即为平面和平面的交线，再由几何关系求出线段EF的长度即可. 【详解】如图所示， 分别取的中点，连结E，F， 则由正四面体的性质，EF过正四面体的中心O， 所以平面即平面，平面即平面， 又因为平面，平面， 所以平面和平面位于正四面体内部的交线为线段， 又因为正四面体的棱长为1， 则由勾股定理可得， 所以在等腰三角形FAB中： ． 故选：A． 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（   ） A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 【答案】B 【详解】将图形沿折痕折起后，成一个四棱锥形的"走马灯" 根据四棱锥图形，正好看到“新年快乐”的字样， 可知顺序为②年①③， 则在①、②、③处可依次写上快、新、乐 5．（25-26高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ） A．棱台的侧面可以是平行四边形 B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 【答案】D 【分析】用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分，这样的多面体叫做棱台,结合选项逐一验证得出正确选项. 【详解】对于A, 棱台的侧面是梯形,错误; 对于B, 两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体，若侧棱的延长线不能交于一点，则该几何体不是棱台,错误; 对于C, 棱台的底面是两个相似的多边形,错误; 对于D, 由棱台的性质得棱台的侧棱延长后必交于一点,正确; 故选:D. 【点睛】本题考查命题真假的判断，是基础题，解题时要认真审题，注意棱台的定义及性质的合理运用． 6．（多选）（25-26高一下·河南商丘·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．正四棱柱的侧面都是正方形 B．棱台的侧棱延长后交于一点 C．正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D．四面体的每个侧面都是等边三角形 【答案】BC 【分析】根据棱锥，棱柱，棱台的定义和性质判断选项. 【详解】正四棱柱的底面为正方形，侧棱垂直于底面，则其侧面为矩形，不一定为正方形，A错误； 用平行于棱锥底面的平面去截棱锥，把底面和截面之间那部分多面体叫做棱台，所以棱台的侧棱延长后交于一点，B正确； 正六棱锥的底面为正六边形，侧棱都相等，所以侧面都是全等的等腰三角形，C正确； 四面体的每个侧面都是三角形，不一定为等边三角形，D错误. 7．（多选）（25-26高一下·河北雄安·月考）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．棱台的侧面都是等腰梯形 【答案】BC 【分析】依据棱柱定义判断选项A，依据正四面体的定义判断选项B，一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和可以，判断C，依据棱台的定义判断选项D. 【详解】对于A，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，且每相邻两个四边形的公共边都互相平行的几何体是棱柱， 而满足选项A条件的几何体可能是组合体，如图所示，故A错误； 对于B，四个面都是等边三角形的四面体是正四面体，故六条棱长均相等的四面体是正四面体，故B正确； 对于C，一个n棱锥的各个侧面都是等边三角形时，顶角之和，即，故C正确； 对于D，棱台的侧面都是梯形，不一定是等腰梯形，故D错误. 8．（多选）（2025·海南儋州·模拟预测）（多选）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 【答案】ABC 【分析】画出正方体的相关截面判断A、B、C，结合平面的基本性质判断D. 【详解】如下图，正方体中均为中点， 所以四边形为平行四边形，也是菱形，四边形为梯形，A、B、C对； 用任意平面截正方体，所得截面为四边形，必有一对边在一对平行的侧面上， 所以四边形必有一对边平行，D错. 故选：ABC 9．（多选）（24-25高二上·四川内江·月考）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形. C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点. 【答案】AD 【分析】根据棱锥、棱台的有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案. 【详解】A选项，正四面体的四个面都是等边三角形，是正三棱锥，A选项正确. B选项，棱锥的侧面是三角形，不一定全等，B选项错误. C选项，正三棱锥的侧棱长和底面棱长不一定相等， 所以正三棱锥不一定是正四面体，C选项错误. D选项，根据棱台的定义可知，延长棱台所有侧棱，它们会交于一点，D选项正确. 故选：AD 10．（多选）（25-26高一下·河北衡水·期中）（多选）已知正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体为三棱柱，则另外一个几何体可能为（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．四棱台 D．五棱柱 【答案】ABD 【详解】在正方体中， 如图①，可得另外一个几何体也是三棱柱，A正确； 如图②，可得另外一个几何体是四棱柱，不可能是四棱台，B正确，C错误； 如图③，可得另外一个几何体是五棱柱，D正确. 11．（2025·上海黄浦·二模）某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米）    【答案】 【分析】设正方体的中心为，连接，得到平面，由三角形是正三角形，得到外接圆的半径为米，利用勾股定理求得米，设米，结合，即可得到对答案. 【详解】解：由正方体的棱长米， 因为平面平面，且平面，平面，平面， 如图所示，设正方体的中心为，连接，交平面于点，则平面， 在正方体中，底面是正三角形，其外接圆的半径为米， 又由勾股定理，可得米， 设米，因为点到平面的距离为2米， 所以米. 故答案为：.    12．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 【答案】 【分析】将长方体的表面展开为平面图，将原问题转化为平面问题，利用两条直线之和共线时长度最小即可求解. 【详解】将平面与平面沿直线翻折为一个平面（如下图所示），将原问题转化为平面问题. 本题所求必在下图所示的图中，从而连接，为线段上的一个动点（不含端点）， 则，当且仅当在线段上时等号成立， ，则四边形为正方形， 由可得， 则， 所以的最小值为. 13．（25-26高二上·广东广州·期中）已知正四面体的棱长为2，分别为的中点，则的长为________． 【答案】 【分析】连接,利用勾股定理求解. 【详解】如图，连接, 在等边三角形中, 在等边三角形中, 所以，所以, 所以, 故答案为: . 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如果正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，则它的中截面（过侧棱中点）的截面面积是________． 【答案】 【详解】正四棱台中截面边长为，且为正方形，所以面积为． 15．（25-26高一·全国·课后作业）已知三棱台的上、下两底面均为正三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱从上到下分为长度之比为的两部分，则截面的面积为_____． 【答案】 【分析】作出原来三棱锥，根据已知长度关系推得截面三角形的边长，即可根据三角形的面积公式，得出答案. 【详解】 如图所示，延长，，交于点，设截面为． 由题意知， 由棱截的截面性质得， 所以，所以. 由，可得， 所以，所以， 所以. 因为，截面为等边三角形，所以 . 故答案为：． 16．（24-25高一下·安徽滁州·周测）已知长方体中，，，，E，F分别为，的中点，求过D，E，F三点截得长方体的截面的周长. 【答案】 【分析】利用确定平面的公理，作延长以及平行，可得截面，根据中位线以及勾股定理，可得答案. 【详解】延长EF分别交，的延长线于点M，N，连接MD，ND，分别交，于点Q，P， 连接PF，EQ，则过D，E，F三点截得长方体的平面为五边形. 过F点作，过点作，所以是的中点，是的中点.    在中，，，所以. 在中，，所以，， 则，，. 同理在中，，在中，，， 所以，，所以截面周长为. 17．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，将图中的正方体截去一角，得到一个三角形截面，求证：是锐角三角形．    【答案】证明见解析 【分析】设出所有边长，借助余弦定理计算角度可得中每个角都为锐角. 【详解】设、、、、、， 由正方体性质可得两两垂直， 故， 故 ∴为锐角． 同理可证，和同样也是锐角， 因此，为锐角三角形． 18．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·开学考试）若正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成的角为，求正四棱锥的侧棱长和斜高. 【答案】,. 【分析】在正四棱锥中，，则为底面的中心，，从而得到，作于，连接，则，由此能得到答案． 【详解】如图所示，在正四棱锥中，，则为底面的中心， 则即为和所成的角，故， 所以， 作于，连接，则，所以即为正四棱锥的斜高， 在中，，所以正四棱锥侧棱长为，斜高为． 【点睛】本题主要考查了正四棱锥的结构特征的应用，其中熟记空间几何体的结构特征和准确作出运算是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题． 19．（24-25高一·全国·假期作业）长方体中，，，，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线． 【答案】 【分析】将长方体沿三个不同的方向展开,根据两点间距离最短,结合勾股定理即可求得最短路线. 【详解】沿长方体的一条棱剪开.使A和展在同一平面上.求线段的长即可,有如图所示的三种剪法： （1）若将剪开,使面与面共面 可求得 （2）若将AD剪开.使面AC与面共面.可求得 （3）若将剪开,使面与面共面,可求得 比较三种方式,可知第（3）中蚂蚁爬行的距离最短,最短路线长为 【点睛】本题考查了空间几何体的展开图是简单应用,最短距离的求法,要有很好的空间理解能力,属于中档题. 20．（2026高三·全国·专题练习）单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？ 【答案】答案见解析 【分析】首先作出图形，分析题意得出，此时截面为菱形，但它不会是正方形．进行下一步解答得出， 当，时，此时截面为五边形，但不可能是正五边形，再进一步分析得出结论. 【详解】如图，设截面和或其延长线交于G．    当时，∵，，∴，此时截面为菱形，但它不会是正方形． 事实上，作，与交于M（或其延长线），连接AG，EF，BD，AC， 由知，，而，， 由此可见菱形AEGF的对角线不相等，∴此菱形不可能是正方形． 当，时，此时截面为五边形，但不可能是正五边形（见前例）（如图）．    当时，截面是正． 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题13.1 棱柱、棱锥和棱台重难点题型专训 （3个知识点+10大题型+1大拓展训练+自我检测） 题型一 棱柱的结构特征和分类 题型二 正棱柱及其有关计算 题型三 棱柱的展开图及最短距离问题 题型四 棱柱及其有关计算 题型五 棱锥的结构特征和分类 题型六 正棱锥及其有关计算 题型七 棱锥的展开图 题型八 棱锥中截面的有关计算 题型九 棱台的结构特征和分类 题型十 正棱台及其有关计算 拓展训练一 棱柱、棱锥和棱台的相关计算 知识点一： 棱柱 1、定义：一般地，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面围成的多面体叫棱柱。 （1）有两个互相平行的面叫做棱柱的地面，它们是全等的多边形； （2）其余各面叫做棱柱的侧面，他们都是平行四边形； （3）相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点。 2、棱柱的分类： （1）按底面多边形的边数：可以把棱柱分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等等； （2）按侧棱与底面的位置关系：可以把棱柱分为直棱柱和斜棱柱； 其中直棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱． 斜棱柱：侧棱不垂直于底面的棱柱． 正棱柱：底面是正多边形的直棱柱． 平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱． 【即时训练】 1．（24-25高一下·全国·课后作业）已知集合正四棱柱，为直平行六面体，为长方体，为正方体，则这四个集合之间的关系是（   ） A． B． C． D． 2．（25-26高一下·山东枣庄·期中）已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 知识点二： 棱锥 1、定义：一般地，有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的多面体叫做棱锥。 （1）这个多边形面叫做棱锥的底面； （2）有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱； （4）各个侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点。 2、棱锥的分类： 按底面多边形的边数，可以把棱锥分成三棱锥、四棱锥和五棱锥。 【注意】底面为正多边形的棱锥叫做正棱锥，如正三棱锥、正四棱锥…… 【即时训练】 1．（2025高二上·上海·专题练习）下列棱锥有6个面的是（　　） A．三棱锥 B．四棱锥 C．五棱锥 D．六棱锥 2．（24-25高一下·湖南衡阳·期中）如图，在正四棱锥中，，，一小虫从顶点A出发，沿该棱锥的侧面爬一圈回到点A，则小虫走过的最短路线的长为______． 知识点三： 棱台 1、定义：用一个平行与棱锥底面的平面去截棱锥，我们把底面与截面之间的部分叫做棱台。 （1）原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面； （2）其他各面叫做棱台的侧面； （3）相邻侧面的公共边叫做棱台的侧棱； （4）侧面与底面的公共顶点叫做棱台的定点。 【注意】（1）棱台上下底面是互相平行且相似的多边形； （2）侧面都是梯形； （3）各侧棱的延长线交于一点。 2、棱台的分类：由三棱锥、四棱锥、五棱锥……截得的棱台分别叫做三棱台、四棱台、五棱台…… 【即时训练】 1．（25-26高一·江苏·课后作业）棱台不具备的特点是（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱长都相等 D．侧棱延长后都交于一点 2．（24-25高一下·全国·课后作业）若正四棱台的上、下底面边长分别是5和7，高为3，则该棱台的侧棱长为__________． 【经典例题一 棱柱的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·内蒙古赤峰·月考）下列说法不正确的是（　　） A．平行六面体是四棱柱 B．正方体是平行六面体 C．长方体是平行六面体 D．直四棱柱是长方体 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）搬家公司想把长，宽，高的长方体家具从正方形窗口穿过，正方形窗口的边长为，则至少是多少？ 1．（24-25高一下·广东深圳·期中）从正方体的8个顶点上任取4个顶点，则这4个顶点构成的几何图形不可能是（    ） A．三个面是直角三角形的正三棱锥 B．有一个面是钝角三角形的四面体 C．每个面都是等边三角形的四面体 D．每个面都是直角三角形的四面体 2．（2024·湖北·模拟预测）（多选）平行六面体中，各个表面的直角个数之和可能为（   ） A．0 B．4 C．8 D．16 3．（2025高一·全国·专题练习）刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容．用曲率刻画空间弯曲性，规定：多面体顶点的曲率等于与多面体在该点的面角之和的差（多面体的面的内角叫做多面体的面角，角度用弧度制），多面体面上非顶点的曲率均为零，多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如：正四面体在每个顶点有3个面角，每个面角是，所以正四面体在各顶点的曲率为，故其总曲率为，则正十二面体的总曲率为_________． 4．（2025高三·全国·专题练习）若平行六面体的四条对角线长为定值且相交于点，以为球心的球的半径为，则球面上任意一点到该平行六面体的各顶点连线的距离的平方和为定值． 【经典例题二 正棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高二上·北京海淀·期末）正三棱柱的所有棱长都为，分别是的中点，则的长是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）正六棱柱底面边长为2，最长的对角线长为5，求正六棱柱的高． 1．（25-26高二上·北京·期末）一个等腰直角三角形的三个顶点分别在正三棱柱的三条侧棱上，已知正三棱柱的底面边长为2，则该三角形的面积为（　　） A．3 B．4 C．2 D．2 2．（24-25高三上·山东潍坊·月考）（多选）在棱长为的正方体中，点是正方体的棱上一点，，则（    ） A．时，满足条件的点的个数为 B．时，满足条件的点的个数为 C．时，满足条件的点的个数为 D．若满足的点的个数为，则的取值范围为 3．（24-25高一下·北京·期末）以棱长为1的正方体各面的中心为顶点，构成一个正八面体，再以这个正八面体各面的中心为顶点构成一个小正方体，那么该小正方体的棱长为______. 4．（24-25高二上·安徽合肥·月考）如图，正三棱柱中底面边长为a，D、E分别在与上，且. （1）求截面的面积； （2）上是否存在一点P，使得面？若不存在，说明理由；若存在，指出P的位置. 【经典例题三 棱柱的展开图及最短距离问题】 【例1】（24-25高一下·江西宜春·期末）如图是一个正方体的表面展开图，则图中“拼”字所在的面，在原正方体中的对面上的字为（    ） A．梦 B．就 C．成 D．想 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，长方体的底面相邻边长分别为1cm和3cm，高为6cm．如果用一根细线从点开始经过4个侧面缠绕一圈到达点，那么所用细线最短需要多长？ 1．（25-26高一下·重庆渝北·期中）直四棱柱的所有棱长均为1，为棱上的动点，，则的最小值为（    ） A． B． C． D．3 2．（24-25高一下·陕西榆林·期中）（多选）正方体的棱长为2，M是棱上的一个动点（含端点），则的取值可以为（   ） A． B． C． D．5 3．（25-26高一下·湖北襄阳·期中）如图，在棱长为的正方体中，点为线段上的动点，则线段的最小值为_______． 4．（2025高二上·上海·专题练习）（1）画出如图所示的几何体的平面展开图（画出其中一种即可）；    （2）如图，在长方体中，，，，一只蚂蚁从点出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线长.    【经典例题四 棱柱及其有关计算】 【例1】（24-25高一下·贵州贵阳·月考）n棱柱（）的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则（    ） A． B．0 C．1 D．2 【例2】（24-25高一下·贵州铜仁·期末）如图，长方体中，，，，求线段的长． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）在五棱柱中，不同在任何侧面且不同在任何底面的两顶点的连线称为它的对角线，那么一个五棱柱的对角线的条数共有（   ） A．条 B．条 C．条 D．条 2．（24-25高一下·广东佛山·月考）（多选）已知长方体同一顶点的3条棱长度分别为2，3，4，现从该长方体的12条面对角线及4条体对角线中选出3条线段（不考虑原位置关系）构造三角形，则构成的三角形可能为（    ） A．等边三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．锐角三角形 3．（24-25高一下·全国·课后作业）长方体的同一顶点处的相邻三个面的面积分别为12，6，8，则长方体的体对角线长为______． 4．（24-25高一下·河北·期中）如图，正方体的棱长为6，M是的中点，点N在棱上，且. (1)作出过点D，M，N的平面截正方体所得的截面，写出作法； (2)求（1）中所得截面的周长. 【经典例题五 棱锥的结构特征和分类】 【例1】（24-25高一下·全国·课堂例题）下列说法中正确的是（    ） ①棱锥的各个侧面都是三角形； ②四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面； ③棱锥的侧棱平行． A．① B．①② C．② D．③ 【例2】（24-25高一下·云南昆明·月考）如图，在边长为8的正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？这个几何体共有几个面？ (2)每个面的三角形有何特点？每个面的三角形面积为多少？ 1．（25-26高二上·重庆·月考）空间内存在三点，满足，在空间内取不同两点（不计顺序），使得这两点与可以组成正四棱锥，则满足要求的取法种数为（   ） A．6 B．9 C．12 D．15 2．（24-25高二上·广西柳州·开学考试）（多选）若空间几何体的顶点数和空间几何体的顶点数之和为12，则和可能分别是（    ） A．三棱锥和四棱柱 B．四棱锥和三棱柱 C．四棱锥和四棱柱 D．五棱锥和三棱柱 3．（2025·福建福州·模拟预测）陈嘉豪发现，《九章算术》中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马．已知长方体，若阳马以该长方体的顶点为顶点，则这样的阳马的个数是____________（用数字作答）． 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图，在边长为2a的正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. 问：(1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)这个几何体共有几个面，每个面的三角形有何特点？ (3)每个面的三角形面积为多少？    【经典例题六 正棱锥及其有关计算】 【例1】（24-25高一上·江苏·暑假作业）已知以边长为4的正方形为底面的四棱锥，四条侧棱分别为，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高一下·全国·课后作业）如图所示，正六棱锥的底面周长为24，H是的中点，O为底面中心，，求： （1）正六棱锥的高； （2）正六棱锥的斜高； （3）正六棱锥的侧棱长. 1．（25-26高二上·内蒙古巴彦淖尔·期末）如图，在边长为4的等边中，分别是的中点，分别为的中点，将分别沿折起，使得三点重合，此时（    ） A． B． C． D． 2．（2025高三·全国·专题练习）已知正四棱锥的底面积为64，侧棱长，则该四棱锥的高为（    ） A． B． C．8 D． 3．（25-26高二上·上海嘉定·月考）已知正三棱锥的底面边长为4，高为，则该三棱锥的侧棱长为______ 4．（25-26高二·全国·课后作业）已知正四面体的棱长都为1，点M，N分别是的中点，求M，N这两点间的距离. 【经典例题七 棱锥的展开图】 【例1】（2026高一·全国·专题练习）如图，是正三棱锥且侧棱长为分别是上的动点，的周长的最小值为，则侧棱的夹角为（    ）    A． B． C． D． 【例2】（25-26高一·全国·课后作业）如图在正方形中，E，F分别为AB，BC的中点，沿图中虚线将3个三角形折起，使点A，B，C重合，重合后记为点P. (1)折起后形成的几何体是什么几何体？ (2)若正方形边长为，则每个面的三角形面积为多少？ 1．（25-26高三上·安徽·期中）如图，在正四棱锥中，，，是棱上一动点，是棱上一点，且，则两线段，的长度的和的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（2024高三·全国·专题练习）如图，在正三棱锥中，，，一只虫子从点出发，绕三棱锥的三个侧面爬行一周后，又回到点，则虫子爬行的最短距离是（    ）    A． B． C． D． 3．（25-26高一下·河北保定·期中）如图，在正三棱锥中，，从点拉紧一条无弹性的细绳绕过侧棱，回到点，若细绳的最短长度为，则该三棱锥的侧棱长为__________. 4．（25-26高一·全国·课后作业）已知三棱锥的底面是等边三角形，侧棱长都是，，过点A作截面AEF，求周长的最小值． 【经典例题八 棱锥中截面的有关计算】 【例1】（24-25高一下·河南·月考）刍（chú）甍（méng）是中国古代算数中的一种几何体，是底面为矩形的屋脊状的楔体．现有一个刍甍如图所示，底面ABCD为矩形，平面，和是全等的正三角形，，，，为的重心，则过点，，的平面截该刍甍所得的截面周长为（    ）    A．11 B． C．9 D． 【例2】（25-26高一·江苏·课后作业）如图，在三棱锥中，，，过点作截面，求周长的最小值． 1．（25-26高一下·全国·课后作业）一个棱锥被平行于底面的平面所截，若截面面积与底面面积之比为，则此棱锥的侧棱被分成的上、下两部分长度之比为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高二上·辽宁锦州·期中）已知三棱锥中，，，两两垂直，且，，，，分别是，的中点，则点到直线的距离为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26高二上·辽宁·月考）如图，水平的广场上有一盏路灯挂在高9m的电线杆顶上，记电线杆的底部为点.把路灯看作一个点光源，身高1.5m的女孩站在离点5m的点处，若女孩沿方向前行5m到达点，此时为的中点，然后从点出发沿着以为对角线的正方形走一圈，则女孩走一圈时头顶影子的轨迹围成图形的面积为_________.    4．（25-26高一下·全国·课后作业）如果平行于一个三棱锥底面的截面的面积是底面面积的，那么截面截一条侧棱所得两条线段的长度之比是多少？ 【经典例题九 棱台的结构特征和分类】 【例1】（25-26高一下·广东广州·期中）棱台不具有的性质是（   ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱延长后交于一点 D．侧棱长都相等 【例2】（24-25高一下·全国·课后作业）如图所示的三棱台，如何把它分成：    (1)一个三棱柱和另一个多面体； (2)三个三棱锥，并用字母表示． 1．（24-25高一下·福建龙岩·期中）在正四棱台中，，点为棱上的动点（含端点），则的最小值是（    ） A．6 B． C．8 D． 2．（24-25高二上·海南海口·开学考试）（多选）棱台具备的特点有（    ） A．两底面相似 B．侧面都是梯形 C．侧棱都相等 D．侧棱延长后都交于一点 3．（25-26高一·全国·课后作业）若棱台的上、下底面的面积之比为1∶2，则上，下底面的周长之比为_____________． 4．（25-26高一·全国·课后作业）如图所示，在正三棱台中，已知，棱台一个侧面的面积为，，O分别为上、下底面正三角形的中心，连接并延长，分别交于点，D，，求上底面的边长. 【经典例题十 正棱台及其有关计算】 【例1】（24-25高一下·辽宁铁岭·期末）所有棱长均为6的正三棱锥被平行于其底面的平面所截，截去一个底面边长为2的正三棱锥，则所得棱台的高为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25高二上·江西南昌·月考）正三棱台上底面边长2，下底面边长为4，高为3，求该正三棱台的斜高． 1．（24-25高一下·北京延庆·期末）已知一个正六棱台的两底面边长分别为，高是，则该棱台的斜高为（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（24-25高三上·湖南·开学考试）在正四棱台中，，，则（    ） A．该棱台的高为 B．该棱台的表面积为 C．该棱台的体积为 D．该棱台外接球的表面积为 3．（2025·河北保定·二模）某艺术展览馆的一座雕塑底座是正四棱台，记为米，米，米．为举办特展，某策展团队计划以地面顶点为起点安装一条灯带（忽略灯带的厚度与弹性），灯带沿正四棱台的表面经过侧棱后到达顶点C，则所需灯带的长度的最小值为___________米． 4．（25-26高二·全国·课后作业）如图，正四棱台的高是，上、下底面边长分别为和. (1)求该棱台的侧棱长； (2)求直线与的距离. 【拓展训练一 棱柱、棱锥和棱台的相关计算】 【例1】（24-25高一下·吉林·期中）在正四棱柱中，，，，，平面与交于点G，则（    ） A． B． C． D． 【例2】（25-26高二·全国·课后作业）已知正四棱锥的底面面积为，一条侧棱长为，求它的高与斜高. 1．（2024·江西·模拟预测）光岳楼位于山东聊城古城中央，主体结构建于明洪武七年（1374年），它是迄今为止全国现存古代建筑中最古老、最雄伟的木构楼阁之一，享有“虽黄鹤、岳阳亦当望拜”之誉.光岳楼的墩台为砖石砌成的正四棱台，如图所示，该墩台上底面边长约为32m，下底面边长约为34.5m，高约为9m，则该墩台的斜高约为（参考数据：）（    ） A．9.1m B．10.9m C．11.2m D．12.1m 2．（多选）（2025·福建·模拟预测）（多选）正方体绕直线旋转之后与其自身重合，则的值可以是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高二下·湖南衡阳·期末）若一个正四棱锥的底面是边长为4的正方形，高为，则侧棱长为______． 4．（25-26高一·全国·课后作业）一个四棱锥和一个三棱锥恰好可以拼接成一个三棱柱，这个四棱锥的底面为正方形，且底面边长与各侧棱长相等，这个三棱锥的底面边长与各侧棱长也都相等．设四棱锥、三棱锥、三棱柱的高分别为、、，求的值． 1．（25-26高一下·北京·期中）如图，正三棱柱的底面边长为，侧棱长为，点，分别为棱和上的动点，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高一下·广西南宁·期末）如图，已知正方体的棱长为4，是棱的中点，则平面截正方体所得截面图形的面积为（    ）    A． B．18 C． D．36 3．（2025·江西景德镇·一模）甲烷是最简单的有机化合物，其分子式为，它是由四个氢原子和一个碳原子构成，甲烷在自然界分布很广，是天然气、沼气、煤矿坑道气及可燃冰的主要成分之一.甲烷分子是正四面体空间构型，如图，四个氢原子分别位于正四面体的顶点处，碳原子位于正四面体的中心处.若正四面体的棱长为1，则平面和平面位于正四面体内部的交线长度为（   ） A． B． C． D．1 4．（25-26高一下·全国·课后作业）某人用如图所示的纸片沿折痕折后粘成一个四棱锥形的“走马灯”，正方形做灯底，且有一个三角形面上写上了“年”字，当灯顺时针旋转时，正好看到“新年快乐”的字样，则在①、②、③处可依次写上（   ） A．乐、新、快 B．快、新、乐 C．新、乐、快 D．乐、快、新 5．（25-26高一·全国·课后作业）下列命题中正确的是（    ） A．棱台的侧面可以是平行四边形 B．两个底面平行且相似，其余各面都是梯形的多面体是棱台 C．棱台的底面是两个相似的正方形 D．棱台的侧棱延长后必交于一点 6．（多选）（25-26高一下·河南商丘·期中）（多选）下列说法正确的是（    ） A．正四棱柱的侧面都是正方形 B．棱台的侧棱延长后交于一点 C．正六棱锥的侧面都是全等的等腰三角形 D．四面体的每个侧面都是等边三角形 7．（多选）（25-26高一下·河北雄安·月考）（多选）下列命题中正确的是（   ） A．有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱 B．六条棱长均相等的四面体是正四面体 C．如果一个棱锥的各个侧面都是等边三角形，那么这个棱锥可能为五棱锥 D．棱台的侧面都是等腰梯形 8．（多选）（2025·海南儋州·模拟预测）（多选）用一个平面去截正方体，得到的截面图形可以是三角形，四边形，……，若得到的截面图形是四边形，那么这个截面四边形可能是（   ） A．平行四边形 B．菱形 C．梯形 D．对边都不平行的四边形 9．（多选）（24-25高二上·四川内江·月考）（多选）下列说法中正确的有（    ） A．正四面体是正三棱锥. B．棱锥的侧面是全等的三角形. C．正三棱锥是正四面体. D．延长棱台所有侧棱，它们会交于一点. 10．（多选）（25-26高一下·河北衡水·期中）（多选）已知正方体被一个平面截成两个几何体，其中一个几何体为三棱柱，则另外一个几何体可能为（   ） A．三棱柱 B．四棱柱 C．四棱台 D．五棱柱 11．（2025·上海黄浦·二模）某商场要悬挂一个棱长为2米的正方体物件作为装饰，如图，、、、为该正方体的顶点，、、为三根直绳索，且均垂直于屋顶所在平面．若平面与平面平行，且点到的距离为2米，则直绳索的长度约为________米．（结果精确到0.01米）    12．（25-26高一下·浙江宁波·期中）如图，在长方体中，，，，为线段上的一个动点（不含端点），则的最小值为______． 13．（25-26高二上·广东广州·期中）已知正四面体的棱长为2，分别为的中点，则的长为________． 14．（25-26高一下·全国·课后作业）如果正四棱台两底面边长分别为3cm和5cm，则它的中截面（过侧棱中点）的截面面积是________． 15．（25-26高一·全国·课后作业）已知三棱台的上、下两底面均为正三角形，边长分别为3和6，平行于底面的截面将侧棱从上到下分为长度之比为的两部分，则截面的面积为_____． 16．（24-25高一下·安徽滁州·周测）已知长方体中，，，，E，F分别为，的中点，求过D，E，F三点截得长方体的截面的周长. 17．（2025高三·全国·专题练习）如图所示，将图中的正方体截去一角，得到一个三角形截面，求证：是锐角三角形．    18．（24-25高二上·黑龙江鹤岗·开学考试）若正四棱锥的底面边长为，侧棱与底面所成的角为，求正四棱锥的侧棱长和斜高. 19．（24-25高一·全国·假期作业）长方体中，，，，一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点，求蚂蚁爬行的最短路线． 20．（2026高三·全国·专题练习）单位正方体中，和上各有一点E，F，且，过A，E，F作正方体的截面，是否可能是正三角形？正方形？ 学科网（北京）股份有限公司 $