精品解析：江苏省淮安区2026年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试数学模拟试卷（二）

淮安区2026年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试 数学模拟试卷（二） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 淮安博物馆馆藏文物战国双囱熏炉，其外形可抽象为几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：由图可知，俯视图为： 3. 随着大数据、机器人与智能体普及，某城市智慧园区共部署智能设备820000台，将数据820000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：820000用科学记数法表示为． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：根据积的乘方和幂的乘方法则，，A错误； 选项B：与不是同类项，不能合并，B错误； 选项C：根据同底数幂除法法则，同底数幂相除，底数不变，指数相减，，C正确； 选项D：根据同底数幂乘法法则，同底数幂相乘，底数不变，指数相加，，D错误. 5. 一次数学测试中，甲乙两班平均分都是85分，方差分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩更稳定 B. 乙成绩更稳定 C. 甲乙一样成绩更稳定 D. 不能确定 【答案】B 【解析】 【分析】方差反映数据的波动程度，当两组数据平均数相等时，方差越小，数据波动越小，成绩越稳定，本题只需比较两方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵甲乙两班的平均分相同，且 ∴乙班成绩的波动更小，乙成绩更稳定． 6. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查从实际问题中抽出一元一次方程．根据题意可得野鸭的速度为，大雁的速度为，设经过天相遇，则相遇时野鸭的路程+大雁的路程=总路程，据此即可列出方程． 【详解】解：设经过天相遇， 可列方程为：， 故选：C． 7. 眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】先由邻补角互补求解，然后根据平行线的性质以及角的和差求解，再根据平行线的性质以及邻补角互补求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． 8. 若，且，，设，则一次函数的图象不经过（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】D 【解析】 【分析】根据已知等量关系将用表示，结合不等式求出的取值范围，再代入得到的取值范围，最后根据一次函数的性质判断图象经过的象限，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴，， ∵，， ∴，解得， ∴， 将代入得：， ∵， ∴，可得且， ∴对于一次函数，斜率，轴截距， ∴函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 分解因式：x2+6x+9=___． 【答案】（x+3）2 【解析】 【详解】试题分析：直接用完全平方公式分解即可：x2+6x+9=（x+3）2． 10. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根，则．根据根与系数的关系得到，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得，， ． 故答案为：． 11. 中国传统古建筑窗棂常用正八边形纹样装饰，则正八边形的每个外角的度数为_______． 【答案】##45度 【解析】 【分析】根据多边形的外角和定理，任意多边形的外角和均为，正八边形的个外角相等，用除以即可求解． 【详解】解：多边形的外角和等于，且正八边形的个外角都相等  正八边形的每个外角的度数为：． 12. 某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：）成反比例函数关系，已知用功率充电，需2小时充满；若使用的快充桩，充满电需要_______小时． 【答案】 【解析】 【分析】根据与成反比例关系设出函数解析式，利用已知条件求出待定系数得到完整函数解析式，再代入所求充电功率计算得到对应充电时间． 【详解】解：设与的函数解析式为 把，代入解析式得， 解得 因此函数解析式为 把代入解析式得． 13. 如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 【答案】 【解析】 【分析】利用同位角相等把转化为，设小正方形边长为，在直角三角形中按正切定义算出． 【详解】解：如图， 根据题意可知，， 则， 设小正方形的边长为， 则，， ． 14. 如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，圆内接四边形的性质，由四边形是平行四边形，则，又四边形是圆内接四边形，所以，得出，然后通过角度和差即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵四边形是圆内接四边形， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可得，进而证明，利用相似三角形对应高的比等于相似比列出方程，求解即可得出小孔到的距离 ． 【详解】解：由题意得：， ， 设小孔到的距离为， 根据相似三角形相似比等于对应高之比得到， 即， 解得， 即小孔到的距离为． 16. 如图，在菱形中，对角线、交于点，，，点为上的一个动点，点为上一点，且，点为上一点，且，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】首先根据菱形的性质求出的长，由 确定点的位置及的长． 接着过点作 ，利用相似三角形的性质求出的长，从而确定点在与平行且距离为的直线上运动． 最后作点关于该直线的对称点，连接，利用两点之间线段最短及勾股定理求出的最小值． 【详解】解：四边形是菱形，，，  ，，．   ，  ，   ，解得，  ，   ． 过点作 于点，过点作，   ，   ，  ，   ，  ，   ，  ．   ． 即点在与平行且距离为的直线上运动． 作点关于直线的对称点，连接、、，交于 由对称性可知， ，，． 在中，由勾股定理得： ． ∵， ∴， 当、、在同一直线上时， 取得最小值，最小值为线段的长． 故的最小值为． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 按要求完成各题 （1）计算； （2）解方程： 【答案】（1） （2）, 【解析】 【小问1详解】 解：原式 【小问2详解】 解：方程左边因式分解得  解得， 18. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 【答案】，当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 【解析】 【分析】根据分式混合运算法则计算即可化简，然后把符合题意的a的值代入化简式计算即可． 【详解】解： ， ∵，且为整数， ∴当时，原式；当时，原式．（选一个即可） 19. 2026年春节档电影票房火爆，根据观众推荐，现甲、乙两人决定从以下3部电影中任意选一部观看，A：《惊蛰无声》，B：《飞驰人生》，C：《镖人》．每人只选择其中一种． （1）甲选择《飞驰人生》的概率是__________． （2）请用列表或画树状图的方法，求出甲，乙2人选择同一部电影的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接由概率公式求解即可； （2）画树状图，共有9种等可能的结果，甲、乙两人选择同一部电影的结果有3种，再利用概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：由题意可知：甲选择《飞驰人生》的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 共有9种等可能的结果，其中，甲、乙两人选择同一部电影的结果有3种， ∴甲、乙两人选择同一部电影的概率为：． 20. 在浩瀚的历史长河中，中国传统文化犹如一颗璀璨的明珠，以其独特的魅力和深厚的底蕴影响着世界的每一个角落，学校为了弘扬中国传统文化，开展了丰富多彩的传统文化活动，开设了五种项目：A文学，B戏剧，C剪纸，D中国结，E象棋．为了解学生最喜欢以上哪种传统项目，随机抽取部分学生进行调查(每位学生仅选一种)，并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E象棋”的学生人数． 【答案】（1）200，36 （2）见解析 （3）该校最喜欢“E象棋”的学生人数为460名 【解析】 【分析】本题主要考查了条形统计图和扇形统计图，样本估计总体， （1）用最喜欢“D中国结”的学生人数除以其所占的百分比，可得样本容量，再用360度乘以最喜欢“C剪纸”的学生人数所占的百分比，即可求解； （2）求出最喜欢“B戏剧”的学生人数，即可求解； （3）用2000乘以最喜欢“E象棋”的学生人数所占的百分比，即可求解． 【小问1详解】 解：本次调查的样本容量是，扇形统计图中C对应圆心角的度数为． 故答案为200，36； 【小问2详解】 解：B项目的人数为， 补全条形统计图如下： 【小问3详解】 解：（名） 答：该校最喜欢“E象棋”的学生人数为460名． 21. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 【答案】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】利用线段的和差可得，再运用证明可得，最后根据内错角相等、两直线平行即可证明结论． 【详解】略 22. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中的线段上画出点，使； （2）在图2中的线段上画出点，使． 【答案】（1）如图：点Q即为所求； （2）如图：点E即为所求； 【解析】 【分析】（1）如图：取格点C、D、E、F，连接，相交于G，相交于H，过H、G作直线与的交点Q即为所求； （2）如图：取点N关于的对称点C，连接与的交点E即为所求． 【小问1详解】 解：作图略 由作图过程可知：， ∴是的垂直平分线， ∴， ∴，即点Q符合题意． 【小问2详解】 解：作图略， ∵点N关于的对称点是点C， ∴，， ∴， ∵， ∴，即点E即为所求． 23. 限速防超速是最基本的交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超速的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路，距离公路的正上方处有一个高频高清摄像头，此时摄像头探测到公路点的俯角是，探测到公路点的俯角是．（参考数据：） （1）求的长； （2）若交通规则要求测速区域的范围为，请判断该摄像头的安装距离是否符合要求，并说明理由． 【答案】（1） （2）符合要求，理由见解析 【解析】 【分析】（）过点作于，解直角三角形即可求解； （）作于，由平行线的性质得，即得，设， 可得，，，利用求出的值，进而求出的长即可判断求解； 本题考查了解直角三角形的应用方向角问题，正确作出辅助线是解题的关键． 【小问1详解】 解：如图，过点作于， 在中，，， ∴， 答：的长为； 【小问2详解】 解：摄像头的安装距离符合要求，理由如下： 如图，作于， 由题意得：， ∴， ∵， ∴， 设， 在中，， 在中，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴， ∵交通规则要求测速区域的范围为， ∴该摄像头的安装距离符合要求． 24. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 【答案】（1）跳绳和毽子的单价分别是8元，5元 （2）当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少 【解析】 【分析】此题考查了分式方程和一次函数的应用，根据题意正确列出方程和函数解析式是关键． （1）设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同．据此列出方程，解方程并检验即可； （2）设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为，根据总花费列出函数解析式，要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，据此列不等式并解不等式求出的取值范围，根据一次函数的性质求出答案． 【小问1详解】 解：设毽子的单价为元，则跳绳的单价为元， 由题意得：， 解得 经检验，是原方程的解 跳绳和毽子的单价分别是8元，5元； 【小问2详解】 解：设学校购买跳绳根，则购买毽子个，花费为， 由题意得， 跳绳的数量不少于毽子数量的3倍， ， ， ， 随着的增大而增大， 当时，有最小值， 当购买跳绳450根，毽子150个时，花费最少． 25. 如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明：如图：连接， ∵， ∴， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴是的切线． （2） 【解析】 【分析】（1）如图：连接，利用垂直的定义、圆周角定理可证明、等腰三角形三线合一的性质可证明，易得，再利用切线的判定定理即可证明结论； （2）如图：连接，过作与F，则，利用含30度直角三角形的性质、勾股定理可得、，进而得到；再说明，最后根据求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵为的直径，， ∴， 如图：连接，过作与F，则， ∵， ∴， ∴， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴． 26. 在平面直角坐标系中，对“中值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“中值”记为．函数图象上所有点的中值中最大值称为函数的“美中值”，最小值称为函数的“弱中值”．例如：点在函数（）的图象上，点的“中值”为，函数（）图象上所有点的“中值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数（）的“美中值”为6，“弱中值”为3． （1）点的“中值”为_______． （2）已知二次函数， ①当时，求二次函数的“美中值”和“弱中值”． ②已知线段，点，点，若以为横坐标，二次函数图象上所有点的中值为纵坐标的点形成的图形，沿轴上下平移后与线段只有一个交点，直接写出的取值范围或所有可能的值． （3）若二次函数（）的图象顶点在“中值”为2的函数图象上．当时，设二次函数（）的“美中值”为，“弱中值”为，且，则的值为_______． 【答案】（1） （2）“美中值”为4，“弱中值”为；②或 （3）或 【解析】 【分析】（1）根据定义即可求解； （2）①根据定义可得二次函数图象上所有点的“中值”可以表示为，即可求解； ②先可得平移后的解析式为，再根据与线段只有一个交点，利用二次函数的性质即可求解； （3）先求得二次函数的顶点坐标，再由顶点在“中值”为2的函数图象上，可得，再根据二次函数图象上所有点的“中值”可以表示为，代入可得，可得对称轴为，的最大值为6，再分，，，即可求解． 【小问1详解】 解：点的“中值”为． 【小问2详解】 解：①二次函数图象上所有点的“中值”可以表示为， ∵，对称轴为， ∴当时，取得最大值为4， ∵时，， 时，， ∴的最小值为－12， ∴二次函数的“美中值”为4，“弱中值”为． ②由①可知，二次函数图象上所有点的中值为纵坐标的点形成的图形的函数解析式为，则平移后的解析式为， ∵， ∴开口向下，图象的对称轴为，顶点坐标为， ∵，， ∴当，即时，顶点在线段上，即与线段只有一个交点； 当时，，的顶点在线段的下方， ∵，的图象开口向下， ∴与直线无交点，即与线段无交点； 当时，，的顶点在线段的上方， ∴与直线有两个交点， 当经过点时，， 解得，此时， 当时，， 解得，， ∴与的交点为，，即与线段有两个交点， ∴当时，与线段有两个交点； 当经过点时，， 解得，此时， 当时，， 解得，， ∴与的交点为，， ∴与线段只有一个交点， ∴当与线段只有一个交点时，； 当时， 当时，，即， 解得， ∵， ∴，， ∴与线段无交点； 综上所述，或． 【小问3详解】 解：∵二次函数， ∴顶点坐标为， 由题意得，“中值”为2的函数图象满足，即， ∴把代入，得，即， ∵二次函数图象上所有点的“中值”可以表示为， 把代入，得， ∵，对称轴为，的最大值为6， 当，即时，在对称轴的左边， ∴“美中值”，“弱中值”， ∵， ∴， 解得，符合； 当时，在对称轴的右边， ∴“美中值”，“弱中值”， ∵， ∴， 解得，符合； 当，即时， ∴“美中值”， ∵当时，，当时，， ∴， 当时，，则，即， ∴“弱中值”， ∵， ∴， 解得，不符合，舍去； 当时，，则，即， ∴“弱中值”， ∵， ∴， 解得，不符合，舍去； 当时，则，即， ∴“弱中值”， ∵， ∴， 解得，不符合，舍去； 综上所述，的值为或． 27. 探究与应用 [问题初探] （1）在的底边上取中点，连接，线段、、、有何数量关系？下面是小安同学的部分思路和方法，请完成填空： 如图1，过点作于点，设，， 为的中点 在中， ① 在中， _______．② 由①+②得： ，在中_______． ∴…… 根据小安同学的方法，可以得到线段、、、的数量关系是_______． [简单应用] （2）如图2，在中，、相交于点，，，，求的长． [灵活应用] （3）如图3，甲乙两机器人在矩形操场上同时同速运动，机器人甲在边上由向运动，机器人乙在边上由向运动，，．场地右侧连接一个等腰三角形区域，且．点为某时刻两机器人位置、连线的中点，为中点，则的长为_______． [深度思考] （4）如图4，菱形中，，，点为上一点，，点为边上动点，连接，将沿折叠，点落在点，连接、，直接写出的最小值． 【答案】（1），，； （2） （3） （4） 【解析】 【分析】（1）小安同学的部分思路和方法求解即可； （2）过点作于点，同（1）理可得，，即可得解； （3）连接、、，与交于点，过点作延长线于点，设，，，推出，证明全等推出点为矩形的对角线中点，得出，进而证明四边形是菱形，求出，代入求解即可； （4）取的中点，连接，过点作的延长线于点，根据菱形和锐角三角函数，求出，，，，由（3）可知，，若有最小值，则取最小值，根据题意可得点在以点为圆心，半径为2的圆上运动，当点、、三点共线时，有最小值，利用勾股定理求出，再代入求最小值即可． 【小问1详解】 解：如图1，过点作于点，设，，， 为的中点， ， 在中，， ① 在中，， ．② 由得： ，在中，． ∴， 即； 【小问2详解】 解：如图，过点作于点， 在中，、相交于点，，，， ，，， 设，， 同（1）理可得，， ， （负值舍去）， ； 【小问3详解】 解： 如图，连接、、，与交于点，过点作延长线于点， 设，，，则， 在中，， 在中，， ， 在中，， ， 矩形，，， ，，，， ，， 由题意可知，， ，即， ， ，即点为矩形的对角线中点， 在中，， ， ， ， 四边形是菱形， ，，， ， ， 为中点， ， ， （负值舍去）； 【小问4详解】 解：如图，取的中点，连接，过点作的延长线于点， 菱形中，，， ，， ， ， ，， 在中，，， 点为的中点， ， ， 由（3）可知，， 若有最小值，则取最小值， 由折叠的性质可知，， 点在以点为圆心，半径为2的圆上运动， 当点、、三点共线时，有最小值， 在中，， ， ， 即的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 淮安区2026年初中毕业暨中等学校招生文化统一考试 数学模拟试卷（二） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的，请将正确选项填涂在答题卡上） 1. 的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 2. 淮安博物馆馆藏文物战国双囱熏炉，其外形可抽象为几何体，它的俯视图是（ ） A. B. C. D. 3. 随着大数据、机器人与智能体普及，某城市智慧园区共部署智能设备820000台，将数据820000用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 一次数学测试中，甲乙两班平均分都是85分，方差分别为，，则下列说法正确的是（ ） A. 甲成绩更稳定 B. 乙成绩更稳定 C. 甲乙一样成绩更稳定 D. 不能确定 6. 《九章算术》中有一道“凫雁相逢”问题（凫：野鸭），大意如下：野鸭从南海飞到北海需要7天，大雁从北海飞到南海需要9天．如果野鸭、大雁分别从南海、北海同时起飞，经过多少天相遇？设经过天相遇，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7. 眼镜是利用了凹透镜能使光发散的特点达到矫正视力的目的．如图，平行于主光轴的光线和经过凹透镜的折射后，折射光线，的反向延长线交于主光轴上一点．若，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 8. 若，且，，设，则一次函数的图象不经过（ ）． A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分．不需要写出解答过程，请把正确答案直接写在答题卡相应的位置上） 9. 分解因式：x2+6x+9=___． 10. 已知a，b是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 11. 中国传统古建筑窗棂常用正八边形纹样装饰，则正八边形的每个外角的度数为_______． 12. 某新能源汽车品牌推出的快充技术中，电池充满电所需的时间（单位：小时）与充电功率P（单位：）成反比例函数关系，已知用功率充电，需2小时充满；若使用的快充桩，充满电需要_______小时． 13. 如图，个全等的小正方形放置在中，则的值是_______． 14. 如图，在中，过，，三点的与相交于点．若，则______． 15. 物理课上学过小孔成像的原理，它是一种利用光的直线传播特性实现图象投影的方法．如图，燃烧的蜡烛（竖直放置）经小孔在屏幕（竖直放置）上成像，设，，小孔到的距离为，则小孔到的距离为_______． 16. 如图，在菱形中，对角线、交于点，，，点为上的一个动点，点为上一点，且，点为上一点，且，则的最小值为_______． 三、解答题（本大题共11小题，共102分．请在答题卡指定区域作答，解答时应写出必要的演算步骤或文字说明） 17. 按要求完成各题 （1）计算； （2）解方程： 18. 先化简，再求值：，其中且为整数，请你选一个合适的整数并求值． 19. 2026年春节档电影票房火爆，根据观众推荐，现甲、乙两人决定从以下3部电影中任意选一部观看，A：《惊蛰无声》，B：《飞驰人生》，C：《镖人》．每人只选择其中一种． （1）甲选择《飞驰人生》的概率是__________． （2）请用列表或画树状图的方法，求出甲，乙2人选择同一部电影的概率． 20. 在浩瀚的历史长河中，中国传统文化犹如一颗璀璨的明珠，以其独特的魅力和深厚的底蕴影响着世界的每一个角落，学校为了弘扬中国传统文化，开展了丰富多彩的传统文化活动，开设了五种项目：A文学，B戏剧，C剪纸，D中国结，E象棋．为了解学生最喜欢以上哪种传统项目，随机抽取部分学生进行调查(每位学生仅选一种)，并绘制了统计图．某同学不小心将图中部分数据丢失，请结合统计图，完成下列问题： （1）本次调查的样本容量是 ，扇形统计图中C对应圆心角的度数为 ； （2）请补全条形统计图； （3）若该校共有2000名学生，请你估计该校最喜欢“E象棋”的学生人数． 21. 如图，已知点、、、在同一条直线上，，，，求证：． 22. 如图是的正方形网格，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）在图1中的线段上画出点，使； （2）在图2中的线段上画出点，使． 23. 限速防超速是最基本的交通规则，也是交通警察抓得非常严的交通规则，路边高频高清摄像是限速防超速的一个重要手段．如图所示，有一条东西走向的高速公路，距离公路的正上方处有一个高频高清摄像头，此时摄像头探测到公路点的俯角是，探测到公路点的俯角是．（参考数据：） （1）求的长； （2）若交通规则要求测速区域的范围为，请判断该摄像头的安装距离是否符合要求，并说明理由． 24. “双减”政策受到各地教育部门的积极响应，某校为增加学生的课外活动时间，现决定增购两种体育器材：跳绳和毽子．已知跳绳的单价比毽子的单价多3元，用800元购买的跳绳个数和用500元购买的毽子数量相同． （1）求跳绳和毽子的单价分别是多少元？ （2）由于库存较大，商场决定对这两种器材打折销售，其中跳绳以八折出售，毽子以七折出售．学校计划购买跳绳和毽子两种器材共600个，且要求跳绳的数量不少于毽子数量的3倍，请你求出学校花钱最少的购买方案． 25. 如图，为的直径，在中，，交于点，过点作，垂足为点． （1）求证：是的切线； （2）若，求阴影部分的面积． 26. 在平面直角坐标系中，对“中值”给出如下定义：点是函数图象上任意一点，横坐标与纵坐标的和的一半称为点的“中值”记为．函数图象上所有点的中值中最大值称为函数的“美中值”，最小值称为函数的“弱中值”．例如：点在函数（）的图象上，点的“中值”为，函数（）图象上所有点的“中值”可以表示为，当时，最大值为，最小值为，所以函数（）的“美中值”为6，“弱中值”为3． （1）点的“中值”为_______． （2）已知二次函数， ①当时，求二次函数的“美中值”和“弱中值”． ②已知线段，点，点，若以为横坐标，二次函数图象上所有点的中值为纵坐标的点形成的图形，沿轴上下平移后与线段只有一个交点，直接写出的取值范围或所有可能的值． （3）若二次函数（）的图象顶点在“中值”为2的函数图象上．当时，设二次函数（）的“美中值”为，“弱中值”为，且，则的值为_______． 27. 探究与应用 [问题初探] （1）在的底边上取中点，连接，线段、、、有何数量关系？下面是小安同学的部分思路和方法，请完成填空： 如图1，过点作于点，设，， 为的中点 在中， ① 在中， _______．② 由①+②得： ，在中_______． ∴…… 根据小安同学的方法，可以得到线段、、、的数量关系是_______． [简单应用] （2）如图2，在中，、相交于点，，，，求的长． [灵活应用] （3）如图3，甲乙两机器人在矩形操场上同时同速运动，机器人甲在边上由向运动，机器人乙在边上由向运动，，．场地右侧连接一个等腰三角形区域，且．点为某时刻两机器人位置、连线的中点，为中点，则的长为_______． [深度思考] （4）如图4，菱形中，，，点为上一点，，点为边上动点，连接，将沿折叠，点落在点，连接、，直接写出的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $