精品解析：2025年江苏省淮安市红军中学中考数学二模试卷

2025年江苏省淮安市红军中学中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 农历年是乙巳蛇年，数字的相反数是（　　） A B. C. D. 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 4. 若一组数据1，2，3，x，5，6的众数为5，则这组数据的中位数为( ) A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 5. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5° 6. 弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A. 17 B. 17.5 C. 18 D. 18.5 7. 如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知关于x的方程（m、n为常数，且）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A. 一个实数根 B. 两个实数根 C. 三个实数根 D. 没有实数根 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 某种细菌直径是，数据用科学记数法表示为_____． 10. 若二次根式有意义，则x取值范围是______． 11. 一个质地均匀的正方体骰子，六个面分别标着数字1、2、3、4、5、6，将它投掷一次，正面朝上的数字大于4的概率是__________． 12. 若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是___． 13. 如图，，平分．若，则的度数为______． 14. 在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是______． 15. 如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为______． 16. 如图，在四边形中，，，，，若线段在边上运动，且，则最小值是______． 三、解答题：本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17 （1）计算：． （2）解不等式组：． 18. 先化简，再求值：，其中． 19. 如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，与交于点H．求证：． 20. 某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手． （1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是________； （2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）． 21. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价． 22. 4月23日是“世界读书日”，今年是联合国教科文组织确定“世界读书日”三十周年．某校以此为契机开展了主题教育活动．九年级（1）班班主任王老师对本班学生寒假至今的课外阅读情况进行了调查．首先制作调查问卷，对每位同学寒假至今阅读的课外书籍数量进行调查；然后将所有问卷全部收回，整理数据并绘制成如下统计图（不完整）： 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）九年级（1）班共有______名学生；并补全条形统计图； （2）九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是______本； （3）为了鼓励学生们主动阅读，班主任王老师给寒假至今课外读书量高于全班平均数的学生颁发了“阅读之星”奖章．学生小华找到王老师说：“全班有一半以上的同学课外读书量小于或等于2本，所以全班平均数肯定小于2本．我的课外读书数量为2本，为什么我没拿到奖章？”假如你是王老师，请给出合理解释． 23. 如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离，无人机在处测得北大门上方标志物的俯角为，南大门上方标志物的俯角为，无人机沿方向继续飞行到处，此时测得北大门上方标志物的俯角为．图中，点、、、、、在同一竖直平面内，和均与地面平行．求、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，， 24. 甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）的值为______；甲车的速度为______千米时； （2）求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 25. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段AD和DE的长． 26. 已知二次函数经过点（m是常数，且）． （1）用m的代数式表示字母b，则______； （2）当m=3时，求函数的顶点坐标； （3）当时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围； （4）如图，在矩形中，，，点C、D在y轴上，抛物线的一部分图象经过矩形的内部，若点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，请直接写出满足条件的m的取值范围______． 27. 在菱形中，，，点E在边上，将沿折叠到上． 尝试： （1）如图1，过点D的直线，交于点Q，交的延长线于点P，．显然，是______三角形（按边分类），若．则______； 探究： （2）在（1）的条件下，当时，求和的长； 操作： （3）把沿折叠到的过程中，当点F落在上时，用无刻度的直尺和圆规在图2中画出折痕，并在上作一点K，使得直线平分四边形的周长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） 拓展： （4）如图3，若，点G在的延长线上，，的延长线交于点H．求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年江苏省淮安市红军中学中考数学二模试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 农历年是乙巳蛇年，数字的相反数是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了相反数的定义，根据相反数的定义作答即可，解题的关键是熟练掌握相反数的定义，只有符号不同的两个数是互为相反数，正数的相反数是负数，的相反数是，负数的相反数是正数． 【详解】解：的相反数是， 故选：． 2. 下列图形中，不是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，熟练掌握轴对称图形的定义是解答本题的关键．根据轴对称图形的定义判断即可． 【详解】解：选项B不能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形． 选项A、C、D都能找到一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 故选：B． 3. 下列运算正确的是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘除法、幂的乘方与积的乘方进行计算，逐一判断即可． 【详解】解：A．原式，故本选项符合题意； B．原式，故本选项不符合题意； C．原式不能合并同类项，故本选项不符合题意； D．原式，故本选项不符合题意； 故选：A． 4. 若一组数据1，2，3，x，5，6的众数为5，则这组数据的中位数为( ) A. 3 B. 3.5 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】根据众数和中位数的概念求解． 【详解】解：∵数据1、2、3、x、5、6的众数为5， ∴， 则数据重新排列为1、2、3、5、5、6， ∴中位数为，故C正确． 故选：C． 【点睛】本题考查了众数和中位数概念，一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数． 5. 如图，点A、B、C是⊙O上的三点，且AB＝OB，则∠ACB的度数为（　　） A. 60° B. 45° C. 30° D. 22.5° 【答案】C 【解析】 【分析】由AB＝OB，OA＝OB，可得△OAB是等边三角形，即可得∠AOB＝60°，又由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可求得∠ACB的度数． 【详解】解：∵AB＝OB，OA＝OB， ∴OA＝OB＝AB， 即△OAB是等边三角形， ∴∠AOB＝60°， ∴∠ACB＝∠AOB＝30°． 故选C． 【点睛】此题考查了圆周角定理与等边三角形的判定与性质．此题比较简单，注意掌握在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半定理的应用． 6. 弹簧原长（不挂重物），弹簧总长与重物质量的关系如表所示： 弹簧总长 11 12 13 14 重物重量 0.5 1.0 1.5 2.0 当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧总长是（　　） A. 17 B. 17.5 C. 18 D. 18.5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查一次函数的实际应用，解题的关键是求出弹簧长度与重物质量的关系式．根据表格观察可发现：重量每增加1千克，弹簧增长2厘米，满足一次函数关系，根据待定系数法求解析式即可得解． 【详解】解：设L与x的关系式为：， 把，代入解析式得， 解得， ∴L与x的关系式为， 当时，， 故选：C． 7. 如图，将绕着点A顺时针旋转得到，点B、C的对应点分别为点D、E，点C、D、E恰好在一条直线上．若，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，由旋转得，，，推出是等腰直角三角形，，过点A作于点H，得到，利用勾股定理求出的长． 【详解】解：由旋转得，，， ∴是等腰直角三角形，， 过点A作于点H， ∴， ∴， 故选：C． 8. 已知关于x的方程（m、n为常数，且）的根的情况，下列结论中正确的是（　　） A. 一个实数根 B. 两个实数根 C. 三个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，反比例函数的图象与方程等知识，把关于x的方程（m、n为常数，且），看作是两个函数设，，利用两个函数的交点的个数即可解答． 【详解】解：∵x的方程（m、n为常数，且）， ∴， 设，， ①当，时，如图1，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； ②当，时，如图2，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； ③当，时和当 ，时，两个函数有一个交点，即关于x的方程有一个实数根； 故选：A． 二、填空题：本题共8小题，每小题3分，共24分． 9. 某种细菌的直径是，数据用科学记数法表示为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可．熟练掌握科学记数法的表示方法，是解题的关键． 【详解】解：； 故答案为： 10. 若二次根式有意义，则x的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，直接利用二次根式有意义的条件得出的取值范围，进而求出答案． 【详解】解：∵二次根式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 11. 一个质地均匀的正方体骰子，六个面分别标着数字1、2、3、4、5、6，将它投掷一次，正面朝上的数字大于4的概率是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率公式，一共有6个面，其中数字大于4的有2面，代入公式，即可作答． 【详解】解：∵六个面分别标着数字1、2、3、4、5、6， ∴一共有6个面，其中数字大于4的有2面 ∴正面朝上的数字大于4的概率是 故答案为： 12. 若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是___． 【答案】6 【解析】 【分析】根据圆锥的侧面积＝πrl，列出方程求解即可． 【详解】解：∵圆锥的侧面积为18π，底面半径为3， 3πl＝18π． 解得：l＝6， 故答案为：6． 【点睛】本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解． 13. 如图，，平分．若，则的度数为______． 【答案】##110度 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先求出，然后根据角平分线的定义，得到，最后根据平行线的性质，即可求得答案． 【详解】解：， ， 平分， ， ， ， ． 故答案为：． 14. 在平面直角坐标系中，将点向下平移5个单位长度得到点，若点恰好在反比例函数的图像上，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】将点向下平移5个单位长度得到点，再把点B代入反比例函数，利用待定系数法进行求解即可． 【详解】将点向下平移5个单位长度得到点，则， ∵点恰好在反比例函数的图像上， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题考查了坐标与图形变化—平移，待定系数法求反比例函数的解析式，熟练掌握知识点是解题的关键． 15. 如图，有一块长、宽的矩形木板在桌面上按顺时针方向无滑动地翻滚，木板上顶点A的位置变化为．其中，第二次翻滚时被桌面上一个小木块挡住，使木板边沿与桌面成角，则点A翻滚到点的位置经过的路径长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是弧长的计算及矩形的性质，解答本题的关键是找准所旋转的弧的圆心和半径及圆心角的度数．第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到，矩形的对角线长为，此次A点走过的路径为弧，第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到，此次A点走过的路径为弧，走过的总路径为两段弧长之和． 【详解】解：连接， 第一次是点A以C为旋转中心，顺时针旋转得到， 矩形的对角线长为， 此次A点走过的路径为弧，弧长； 第二次是点以E为旋转中心，顺时针旋转得到， ∵的长为，与桌面成角， ∴， ∴此次A点走过的路径为弧，弧长 ， ∴点A翻滚到点的位置路径为， 故答案为：． 16. 如图，在四边形中，，，，，若线段在边上运动，且，则的最小值是______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、平行线的性质、二次函数的性质以及含角的直角三角形的性质等知识，过B作于点F，过C作于点E，需使最小，显然要使得和的值最小，设，，求得关于x的二次函数关系式，利用二次函数的性质即可求解． 【详解】解：如图，过B作于点F，过C作于点E， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 要使的值最小，则和的值最小， 设，， ∴ ， ∵， ∴当时，有最小值． 故答案为：． 三、解答题：本题共11小题，共102分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 17. （1）计算：． （2）解不等式组：． 【答案】（1）2；（2） 【解析】 【分析】本题考查的是实数的运算与解一元一次不等式组，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）先化简二次根式，计算特殊角的三角函数值、零指数幂和绝对值，再计算即可； （2）分别求出每个不等式的解集，再依据口诀“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”确定不等式组的解集． 【详解】解：（1） ； （2）， 由x，得， 由，得， 则不等式组的解集为． 18. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题考查的是分式的混合运算，先计算括号内的分式的减法，再计算除法运算得到化简的结果，最后把代入化简后的代数式进行计算即可. 【详解】解： ； 当时， 原式； 19. 如图，点A，F，C，D在同一条直线上，，，，与交于点H．求证：． 【答案】证明见解析． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角对等边，先判定，得到，再利用等角对等边的性质即可得出结论，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 20. 某校计划举行校园歌手大赛．九（1）班准备从A、B、C三名男生和D、E两名女生中随机选出参赛选手． （1）若只选1名选手参加比赛，则女生D入选的概率是________； （2）若选2名选手参加比赛，求恰有1名男生和1名女生的概率（用画树状图或列表法求解）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式求解； （2）画树状图展示所有等可能的结果数，找出选中1名男生和1名女生的结果数，然后根据概率公式求解． 【小问1详解】 解：只选1名选手参加比赛，女生D入选的概率 故答案为：； 【小问2详解】 画树状图为如下： 共有20种等可能的结果数，其中选中1名男生和1名女生的有12种，，，，，，，，，，，， 所以恰好选中1名男生和1名女生的概率． 【点睛】本题考查了利用概率公式求概率，列表法与树状图法，利用列表法或树状图法展示所有可能的结果数，再从中选出符合事件的结果数，然后根据概率公式计算事件的概率． 21. 春节期间，电影《哪吒之魔童闹海》在某影院推出了和三种放映版式．小颖调查了解到多数人选择版或版，在该影院购买某时段的《哪吒之魔童闹海》电影票，5张电影票的费用和4张电影票的费用一样；2张电影票和1张电影票共需130元．请你帮助小颖求出该影院《哪吒之魔童闹海》该时段的版和版的电影票单价． 【答案】3D版电影票单价为40元，IMAX版电影票单价为50元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用．根据题意设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元，再列式计算即可． 【详解】解：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为x元，版电影票单价为y元， 根据题意，得： 解得： 答：设该影院《哪吒之魔童闹海》该时段版电影票单价为40元，版电影票单价为50元． 22. 4月23日是“世界读书日”，今年是联合国教科文组织确定“世界读书日”三十周年．某校以此为契机开展了主题教育活动．九年级（1）班班主任王老师对本班学生寒假至今的课外阅读情况进行了调查．首先制作调查问卷，对每位同学寒假至今阅读的课外书籍数量进行调查；然后将所有问卷全部收回，整理数据并绘制成如下统计图（不完整）： 请你根据以上提供的信息，解答下列问题： （1）九年级（1）班共有______名学生；并补全条形统计图； （2）九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是______本； （3）为了鼓励学生们主动阅读，班主任王老师给寒假至今课外读书量高于全班平均数的学生颁发了“阅读之星”奖章．学生小华找到王老师说：“全班有一半以上的同学课外读书量小于或等于2本，所以全班平均数肯定小于2本．我的课外读书数量为2本，为什么我没拿到奖章？”假如你是王老师，请给出合理解释． 【答案】（1）50；补全图形见解析 （2）2 （3）见解析 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图，扇形统计图，以及用样本估计总体，弄清题中的数据是解本题的关键． （1）由2本人数及其所占百分比可得总人数；总人数乘以3本人数所占百分比得出其人数，据此可补全图形； （2）根据中位数的定义求解即可； （3）求出数据的平均数即可得出答案． 【小问1详解】 解：九年级（1）班学生总人数为（名）， 故答案为：50； 读3本的人数为（名）， 补全图形如下： 【小问2详解】 解：九年级（1）班学生寒假至今的课外读书量的中位数是（本）， 故答案为：2； 【小问3详解】 解：（本）， ∵学生小华未达平均数， ∴不能获得奖章． 23. 如图，利用无人机测量某小区南北大门之间的距离，无人机在处测得北大门上方标志物的俯角为，南大门上方标志物的俯角为，无人机沿方向继续飞行到处，此时测得北大门上方标志物的俯角为．图中，点、、、、、在同一竖直平面内，和均与地面平行．求、之间的距离．（结果保留整数，参考数据：，，，，，，，， 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用-仰角俯角问题，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 过点作，垂足为，过点作，垂足为，根据题意可得：，，然后设，则，分别在和中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而列出关于的方程，进行计算可求出和的长，最后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，从而利用线段的和差关系进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，垂足为， 由题意得：，， 设米， ， ， 在中，， ， 在中，， ， ， 解得：， ∴ ， 在中，， ， ， 、之间的距离约为． 24. 甲、乙两车从地出发沿同一路线驶向地，甲车先出发匀速驶向地，分钟后，乙车出发，匀速行驶一段时间后，在途中的货站装货耗时半小时，由于满载货物，为了行驶安全，速度减少了千米时，结果与甲车同时到达地．甲、乙两车距地的路程（千米），（千米）与乙车行驶时间（小时）之间的函数图象如图所示．请结合图象信息解答下列问题： （1）的值为______；甲车的速度为______千米时； （2）求乙车减速前的速度，以及图中线段所表示的与的函数关系式． 【答案】（1），； （2）乙车减速前的速度为千米小时，． 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，从函数图象获取信息，一元一次方程的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据图象求出的值，由速度路程时间求出甲车的速度即可； （）设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时，根据乙车减速前后路程之和为两地之间的距离，据此列关于的一元一次方程并求解，求出点的坐标和减速后乙车的速度，根据路程速度时间求出所表示的与的函数关系式． 【小问1详解】 解：（小时）， ∴， 甲车的速度为（千米小时）， 故答案为：，； 【小问2详解】 解：设乙车减速前的速度为千米小时，则减速后的速度为千米小时， 根据图象，得， 解得， ∴乙车减速前速度为千米小时， （千米）， ∴， ∴， 乙车减速后的速度为（千米小时）， 则， ∴线段所表示的与的函数关系式为． 25. 如图，在△ABC中，∠C=90°，点O在AC上，以OA为半径的⊙O交AB于点D，BD的垂直平分线交BC于点E，交BD于点F，连接DE． （1）求证：直线DE是⊙O的切线； （2）若AC=6，BC=8，OA=2，求线段AD和DE的长． 【答案】（1）见解析；（2），AD=，DE=4.75 【解析】 【分析】（1）连接OD，由EF垂直平分BD可得EB=ED，从而可得∠B=∠EDB，由OA=OD可得 ∠ODA=∠A，结合∠A+∠B=90°可得∠EDB+∠ODA=90°，由此可得∠ODE=90°，从而证得DE是⊙O的切线； （2）连接OE，作OH⊥AD于H，由已知可得：AB=10，再证△AOH∽△ABC，从而可得，由此即可求得：AH=，AD=，设DE=BE=x，则可得CE=8-x，结合OE2=DE2+OD2=EC2+OC2即可列出关于x方程，解方程即可求得DE的值. 【详解】（1）连接OD， ∵EF垂直平分BD， ∴EB=ED， ∴∠B=∠EDB， ∵OA=OD， ∴∠ODA=∠A， ∵∠C=90°， ∴∠A+∠B=90°， ∴∠EDB+∠ODA=90°， ∴∠ODE=90°， ∴OD⊥DE， ∴DE是⊙O的切线． （2）连接OE，作OH⊥AD于H． ∵OA=OD=2， ∴则AD=2AH. ∵在△ABC中，∠C=90°，AC=6、BC=8， ∴AB=， ∵∠C=∠OHA=90°，∠A=∠A， ∵△AOH∽△ABC， ∴， ∴， ∴AH=，AD=， 设DE=BE=x，则CE=8﹣x， ∵OE2=DE2+OD2=CE2+OC2， ∴，解得x=4.75， ∴DE=4.75． 【点睛】本题是圆的综合，考查了切线的判定，线段垂直平分线的性质定理，相似三角形的判定与性质，勾股定理，借助勾股定理建立一元一次方程，构造适当的辅助线是本题的难点． 26. 已知二次函数经过点（m是常数，且）． （1）用m的代数式表示字母b，则______； （2）当m=3时，求函数的顶点坐标； （3）当时，函数y的值总小于等于9，求m的取值范围； （4）如图，在矩形中，，，点C、D在y轴上，抛物线的一部分图象经过矩形的内部，若点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，，请直接写出满足条件的m的取值范围______． 【答案】（1） （2） （3） （4）或 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数图象与性质，二次函数与矩形的综合应用，解题的关键是熟练掌握二次函数的性质，利用数形结合的思想求解问题． （1）将点代入二次函数表达式即可求得答案； （2）利用配方法或公式法即可求得顶点坐标； （3）分三种情况：①时，②当时，③当时，分别运用二次函数的性质列不等式求解即可； （4）设抛物线交y轴于M，交于N，则，，根据题意列不等式组求解即可． 【小问1详解】 解：将点代入二次函数，得：， 化简得：， 故答案为：； 【小问2详解】 解：当时，， ∴， ∴函数的顶点坐标为； 【小问3详解】 解：∵， ∴该抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为， ①时，， 解得：， ∴； ②当时， 由，得， ∴， 解得：， ∴； 由，得， ∴， 解得：， ∴； ∴当时，都成立； ③当时，当时函数取得最大值， ∴， 解得：， ∴都成立； 综上，m的取值范围为； 【小问4详解】 解：∵， ∴， 如图，设抛物线交y轴于M，交于N， 则，， ∵点，是矩形内部的抛物线上的两个点，且满足，， ∴或， 解得：或； 故答案为：或． 27. 在菱形中，，，点E在边上，将沿折叠到上． 尝试： （1）如图1，过点D的直线，交于点Q，交的延长线于点P，．显然，是______三角形（按边分类），若．则______； 探究： （2）在（1）的条件下，当时，求和的长； 操作： （3）把沿折叠到的过程中，当点F落在上时，用无刻度的直尺和圆规在图2中画出折痕，并在上作一点K，使得直线平分四边形的周长；（要求：不写作法，保留作图痕迹） 拓展： （4）如图3，若，点G在的延长线上，，的延长线交于点H．求的长． 【答案】（1）等边，；（2），；（3）见解析；（4） 【解析】 【分析】（1）根据折叠得出，进而得出是等边三角形，根据，得出结果； （2）作于W，设，可证得，从而，从而得出，可表示出，，，，，根据列出方程，从而得出a的值，进一步得出结果； （3）作的垂直平分线交于E，则就是求作的折痕，在上截取，作的中点，连接，则平分四边形的周长； （4）作，交的延长线于W，作于V，可得出，设，，在中，由勾股定理得列出关于m的方程，求得m的值，从而求得，，从而得出，作于R，从而得出，设，，从而得出，根据得，求得n的值，进一步得出结果． 【详解】解：（1）∵沿折叠到， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：等边；； （2）如图1， 作于W， 设， 由（1）知，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， 由勾股定理得，， ∴， ∴（舍去）， ∴，； （3）如图， ∵沿折叠到， ∴，， ∵点F在上， ∴， 连接， ∵四边形是菱形， ∴， ∵， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴点F在点C处， 作的垂直平分线交于E，则就是求作的折痕， 在上截取，作的中点，连接，则平分四边形的周长，理由如下： ∵， ∴， 又， ∴平分四边形周长； （4）如图3， 作，交的延长线于W，作于V， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， 由折叠得，， ∴， ∴， ∴， 设，， ∴， 在中，由勾股定理得， ∴， ∴，（舍去）， ∴，， ∴， 作于R， ∴， 设，， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了菱形的性质，轴对称的性质，解直角三角形，相似三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造直角三角形． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$