1.2. 反比例函数的性质 讲义 2026-2027学年苏科版九年级数学上册

本讲义聚焦初中数学反比例函数的性质这一核心知识点，系统涵盖过点坐标、图形象限、性质分析、与一次函数/正比例函数综合、实际应用、k值及面积问题等十二类题型。前承反比例函数概念，后接函数综合应用，通过基础到综合的题型设计构建学习支架，帮助学生逐步掌握性质及应用。 该资料以“题型+例题+变式”模式为特色，覆盖反比例函数从基础到综合的关键考点。通过实际应用题型（如矩形面积、压强问题）培养模型意识，结合图形分析（如象限判断、交点问题）发展几何直观与推理能力。课中辅助教师分层教学，课后助力学生针对性练习，有效查漏补缺，提升解决函数问题的综合思维。

1.2反比例函数的性质（十二题型） 目录 题型一：反比例函数过点坐标 2 题型二：反比例函数图形经过象限问题 2 题型三：反比例函数中的性质问题 3 题型四：反比例函数与一次函数图形共存问题 4 题型五：反比例函数的简单实际应用 5 题型六：反比例函数k值可能性问题 7 题型七：反比例函数与正比例函数交点问题 8 题型八：反比例函数过象限取值范围问题 9 题型九：反比例函数增减性问题 10 题型十：反比例函数经典取值范围问题 11 题型十一：反比例函数过点坐标 12 题型十二：反比例函数与k值有关的面积综合问题 13 题型一：反比例函数过点坐标 例1．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将各选项点的坐标代入解析式验证即可． 【详解】解：∵反比例函数解析式为， 对选项A，点，当时，， ∴点不在函数图象上，A不符合题意； 对选项B，点，当时，，等式成立， ∴点在函数图象上，B符合题意； 对选项C，点，当时，， ∴点不在函数图象上，C不符合题意； 对选项D，点，当时，， ∴点不在函数图象上，D不符合题意． 变式1.1若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查反比例函数的图象与性质，关键是掌握“反比例函数图象上任意一点的横、纵坐标的乘积等于比例系数”．先通过已知点求出反比例函数的比例系数，再分别计算各选项中点的横纵坐标乘积，与值对比，相等则该点在函数图象上． 【详解】解：∵反比例函数经过点， ∴将，代入中，得， 解得， ∴该反比例函数的解析式为，即函数图象上的点满足横、纵坐标的乘积为． A选项：，故该点不在函数图象上； B选项：，故该点在函数图象上； C选项：，故该点不在函数图象上； D选项：，故该点不在函数图象上； 故选：B． 变式1.2反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查反比例函数图象上点的坐标特征，通过将各点坐标代入函数关系式 进行验证，满足等式的点即为图象所经过的点. 【详解】解：∵ 点 在反比例函数 图象上当且仅当 ， 对于选项 A：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 B：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 C：， ∵ ， ∴ 点 不在图象上； 对于选项 D：， ∵ ， ∴ 点 在图象上； 故选 ：D. 变式1.3若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的解析式、图象和性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．设反比例函数的解析式，利用待定系数法求出解析式，再根据反比例函数的图象和性质，即可解答． 【详解】解：设反比例函数的解析式为：， 反比例函数的图象经过点， ， 该反比例函数的图象分别位于第二、第四象限， 故选：D． 题型二：反比例函数图形经过象限问题 例2．反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象的性质，根据反比例函数的，可知反比例函数的图象是双曲线且在第一、三象限，根据各选项的图象和图象所在的象限判断即可． 【详解】解：反比例函数的大致图象是双曲线，且在第一、三象限， A选项，是正比例函数图象，故A选项不符合题意； B选项：是正比例函数图象，故B选项不符合题意； C选项：是双曲线，且在第一、三象限，故C选项符合题意； D选项：是双曲线，但是在第二、四象限，故D选项不符合题意． 故选：C． 变式2.1反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了反比例函数的图像与性质，理解函数与图像的关系是解题的关键； 根据反比例函数的比例系数，得出函数图像是位于第二四象限的双曲线，据此判断即可． 【详解】解：由知，， ∴反比例函数经过第二、四象限， 故选：A． 变式2.2函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了反比例函数的图象，函数图象平移规律，熟练掌握反比例函数的图象是解题关键． 根据反比例函数的判断函数的图象经过的象限和增减性，再根据图象平移规律判断即可求解． 【详解】解：， 函数图象经过第二、四象限，且随的增大而增大， 函数的图象为函数的图象向上平移个单位长度． 故选：C． 变式2.3下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，分别得到表达式即可求解． 【详解】解：当时，，图象在第四象限； 当时，，图象在第三象限； ∴与函数图象相符的是： ． 题型三：反比例函数中的性质问题 例3．关于反比例函数下列说法不正确的是 (     ) A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第一、三象限 D．当时，随的增大而增大 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数的图象和性质，熟练掌握这些知识点是解题关键． 根据反比例函数性质，，图象在第二、四象限，关于原点对称，且在每个象限内随增大而增大，依次对各选项进行判断． 【详解】C3选项A: 当时，，则图象经过点，故A正确，不符合题意； 选项B: 反比例函数图象均关于原点对称，故B正确，不符合题意； 选项C: ，图象在第二、四象限，不在第一、三象限，故C不正确，符合题意； 选项D: ，当时，随增大而增大，故D正确，不符合题意； 故选C． 变式3.1对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 【答案】D 【详解】解：∵， ∴反比例函数图象位于第二、第四象限，且在每一象限内，随的增大而增大，故选项正确，选项错误； ∵， ∴图象经过点，故选项正确． 变式3.2下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 【答案】D 【详解】解：∵反比例函数中， ∴该函数图象经过第一、三象限，而非第二、四象限，故A选项错误； 反比例函数在每一个象限内随的增大而减小，不连续，并非随的增大而减小．故B选项错误； 在反比例函数中，，且， ∴函数图象与轴、轴均无交点，故C选项错误； 当时，， ∴点在该函数图象上，故D选项正确． 故选：D． 变式3.3.探究函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 【答案】D 【分析】本题主要考查了函数的图象、反比例函数的图象和性质等内容，由函数解析式可得，所以该函数可以看作向上平移1个单位得到的，进而判断求解即可． 【详解】解：， 该函数可以看作向上平移1个单位得到的， 函数图象如图， 由图象可知其关于对称，故C选项正确； 函数与直线无交点，因此该函数的函数值不可能为1，故A选项正确； 该函数图象不经过第三象限，故B选项正确； 当或时，y随x增大而增大，所以D选项错在没有强调自变量x的范围； 故选D． 题型四：反比例函数与一次函数图形共存问题 例4．一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数的图象性质，熟练掌握一次函数中、的符号对图象的影响，以及反比例函数中的符号对图象所在象限的影响是解题的关键． 根据一次函数的图象，判断出、的符号，进而判断的符号，再与反比例函数的图象特征进行比对，逐一排除矛盾选项． 【详解】解：选项A：∵一次函数图象经过一、二、三象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除A． 选项B：∵一次函数图象经过二、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴矛盾，排除B． 选项C：∵一次函数图象经过一、三、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在一、三象限， ∴， ∴矛盾，排除C． 选项D：∵一次函数图象经过一、二、四象限， ∴，， ∴， ∵反比例函数图象在二、四象限， ∴， ∴一致，成立． 故选：D． 变式4.1在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的图象综合分析，掌握一次函数与反比例函数的图象与性质是解题的关键．根据一次函数与反比例函数图象经过的象限判断即可． 【详解】解：∵中，，， ∴的函数图象过第一、二、四象限， ∵， ∴的函数图象过第二、四象限， 只有选项D同时满足的函数图象过第一、二、四象限，的函数图象过第二、四象限， 故选：D． 变式4.2函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查正比例函数与反比例函数的性质，掌握正比例函数与反比例函数图象与比例系数的关系，是解题的关键． 根据正比例函数与反比例函数的性质解题． 【详解】解：当时，正比例函数的图象经过第一、三象限，反比例函数的图象经过第一、三象限，无正确选项； 当时，正比例函数的图象经过第二、四象限，反比例函数的图象经过第二、四象限，D正确． 故选：D． 变式4.3函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】此题主要考查了反比例函数图象和一次函数图象，从图象上把握有用的条件，准确确定图象位置，正确记忆一次函数与反比例函数的区别是解决问题的关键． 根据一次函数与反比例函数的性质对各选项进行逐一分析即可． 【详解】解：对一次函数解析式进行变形，可得． 当时，，则反比例函数的图象在第一、三象限，一次函数一定经过第一、三、四象限，故A、C错误； 当时，，则反比例函数的图象在第二、四象限，一次函数一定经过第一、二、四象限，故B错误，D正确． 故选：D． 题型五：反比例函数的简单实际应用 例5．矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（    ） A．第一象限的直线 B．第一象限的双曲线 C．第一、三象限的双曲线 D．第二象限的曲线 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数在几何图形中的应用，矩形的性质根据矩形面积公式得出y与x的反比例关系，再结合反比例函数的图象性质判断． 【详解】解：∵矩形面积为，相邻两边长为和， ∴，即， ∴y是x的反比例函数， 矩形的边长为正数， ，， ∴y与x的函数图象大致是第一象限的双曲线， 故选：B． 变式5.1在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的应用，根据压强公式，代入，即可求出反比例函数，进而判断出函数图像． 【详解】解：根据压强公式，可知当，时， 故， 即， 与的函数关系式为， 当时，， 故B，C选项不符合题意； 当时，， 故D选项不符合题意； P与S之间的函数图像可能是选项A中的图像． 故选：A． 变式5.2一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数的图象，熟练掌握反比例函数图象和性质是解此题的关键．根据三角形的面积公式，得到一边a和高h之间的关系式，再结合的范围逐项判断即可． 【详解】解：由题意得， ∴a与h的函数关系式为， ∴此函数是一个以为自变量的反比例函数， 边上的高为， ∴， 故选：B． 变式5.3一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   【答案】D 【分析】本题主要考查了函数图象辨别．熟练掌握一次函数的图象和性质，反例函数的图象和性质，是解决问题的关键． 根据“时间=路程÷速度”,得到相应的函数解析式,看属于哪类函数,得到相应图象即可． 【详解】设甲乙两地之间的距离为s， 则（定值）， ， 符合反比例函数的一般形式，且速度和时间均为正数, 图象应为在第一象限的曲线. 故选：D． 题型六：反比例函数k值可能性问题 例6．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】根据，，且，即可作答． 【详解】解：根据反比例函数的图象性质可知，， 结合图象得， 只有A选项在此范围内． 变式6.1如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数的图象和性质.由题意可得：k的取值应该满足，进而可得答案. 【详解】解：由题意可得：k的取值应该满足：，即， 所以k的值可能是6； 故选：D. 变式6.2反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，观察函数图象利用反比例函数图象上点的坐标特征找出的取值范围是解题的关键． 根据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征，即可得出，再对照四个选项即可得出结论． 【详解】解：据点、的坐标结合函数图象以及反比例函数图象上点的坐标特征， 观察函数图象可知：，即． 故选：C． 变式6.3反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象性质，根据，且，即可作答． 【详解】解：∵， 结合图象，得， 故选：A 题型七：反比例函数与正比例函数交点问题 例7．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，根据反比例函数及一次函数图象的对称性即可解决问题． 【详解】解：由题意知， ∵反比例函数与一次函数的图象都关于坐标原点成中心对称， ∴两个函数图象的交点关于坐标原点成中心对称， ∵直线与双曲线的一个交点坐标为， ∴另一个交点的坐标为， 故选：D． 变式7.1如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，掌握反比例函数图象的对称性是解题的关键．由题意可得点、关于原点对称，进而根据关于原点对称的点的坐标特征解答即可求解． 【详解】解：双曲线与直线相交于，两点， 点、关于原点对称， 点的坐标为， 点的坐标为． 故选：A． 变式7.2如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了反比例函数图象的中心对称性：反比例函数的图象是中心对称图形，则它与经过原点的直线的两个交点一定关于原点对称，熟练掌握相关知识点是解题关键． 根据题意得出点A与点B关于原点对称进而求解即可． 【详解】解：由题意得，点A与点B关于原点对称， ∵点A的坐标是， ∴点B的坐标为． 故选B． 变式7.3如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 【答案】B 【分析】本题考查了反比例函数系数k的几何意义及等腰三角形的判定与性质，过点A作于点E，设点，则点，再分别表示出点C、点D的坐标，进而得出答案． 【详解】解：如图，过点A作于点E， 设点，则点， ∴， ∵， ∴是等腰三角形， ， ∴， ∵轴， ∴点， ∵轴， ∴点D的横坐标为，纵坐标为， ∴， ∵， ∴，解得：， 故选：B． 题型八：反比例函数过象限取值范围问题 例8.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 【答案】A 【分析】本题考查反比例函数的性质，根据反比例函数图象所在象限判断比例系数的符号，求出的取值范围后，即可选出符合要求的选项． 【详解】反比例函数的图象位于第二、四象限， ，解得，选项中只有，符合的要求， 故k的取值可以是A项． 变式8.1若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 【答案】C 【分析】根据反比例函数图象的性质，当反比例函数的图象位于第一、第三象限时，比例系数，据此列不等式求解的取值范围即可. 【详解】反比例函数的图象在第一、第三象限， ， 解得． 变式8.2若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 【答案】D 【分析】根据一次函数系数的符号判断图像经过的象限． 【详解】解：∵一次函数 ，， ∴一次函数的图像经过第二、三、四象限． 变式8.3数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 【答案】C 【分析】利用反比例函数的性质得到比例系数的符号，求解得到的取值范围，再结合数轴上数的大小关系判断点的位置即可． 【详解】解：∵反比例函数的图象在第二、四象限， ∴， ∴， ∵数轴上点表示的数为， ∴点一定在的左侧． 题型九：反比例函数增减性问题 例9.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据反比例函数的性质得出的图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小，进行判断即可． 【详解】解：∵中，， ∴图象在一、三象限，在各象限，随的增大而减小， ∵，， ∴，， ∴． 变式9.1已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据比例系数的符号判断函数图象所在象限及增减性，再结合已知的范围比较的大小. 【详解】解：∵ 反比例函数 的比例系数 ， ∴ 函数图像位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小， ∵ ， ∴  . 变式9.2反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 【答案】A 【分析】本题考查了反比例函数的性质．对于反比例函数，当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小；当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而增大． 根据反比例函数的性质：当时，在每一个象限内，函数值随着自变量的增大而减小即可解答． 【详解】解：由图可知，图象在第三象限， ∴， ∴函数值随着自变量的增大而减小． 故选：A． 变式9.3已知反比例函数的图象在第二、四象限内，图象上有两个点分别为，，则与的大小关系为（   ） A. B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了反比例函数的性质． 反比例函数图象在第二、第四象限，说明，因此在时，y随x的增大而增大，进而判断即可． 【详解】解：∵图象在第二、第四象限， ∴， ∴在时，y随x的增大而增大， ∵和的横坐标都大于0，且， ∴． 故选：C． 题型十：反比例函数经典取值范围问题 例10.如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是反比例函数的图象与性质，直接根据反比例函数的图象即可得出结论． 【详解】解：∵反比例函数的图象经过点， ∴由图象可得，当时，或． 故选：B． 变式10.1在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了反比例数的性质，根据反比例函数性质，将不等式转化为关于的范围求解． 【详解】解：∵，，当时，随的增大而减小， 当时，， 当时， ∴当时，， 故选：B． 变式10.2如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了正方形的性质、坐标与图形、反比例函数与不等式等知识点，掌握数形结合思想是解题的关键． 由题意可设点B的坐标为，易得，即点B的坐标为，再结合反比例函数图象即可解答． 【详解】解：∵四边形是面积为4的正方形，设点B的坐标为， ∴，解得：（已舍弃负值）． ∴点B的坐标为， ∵函数的图象经过点， ∴满足的的取值范围为． 故选A． 变式10.3反比例函数的图象经过，两点，其中，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小不确定 【答案】B 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，根据反比例函数的增减性，逐一进行判断即可．熟练掌握该知识点是关键． 【详解】解：根据可得反比例函数图象过二，四象限，在每一个象限，y随x的增大而增大， 当时，在第二象限，在第四象限， ， 故选：B． 题型十一：反比例函数过点坐标 例11．反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 【答案】B 【分析】直接根据值的几何意义，即可得出结果. 【详解】解：∵点是反比例函数图象上一点，轴于点， ∴的面积是. 变式11.1．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】A 【详解】解：连接、，线段交y轴于点D， ，， ， ， 由反比例函数中k的几何意义知，，， ． 变式11.2如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 【答案】A 【分析】连接，，设与轴交于点，将 面积转化为 的面积，然后结合反比例函数系数 的几何意义求解． 【详解】解：如图，连接 ，，设 与 轴交于点 ， 轴， ， 点 ， 分别为反比例函数 ，的图象上的点， ，， ． 变式11.3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 【答案】14 【分析】根据平行四边形的性质证明，进而可得，再根据反比例函数的性质可得，进而可求出的面积，问题随之得解． 【详解】过A作于点M，过C作于点N，如图， ∵在平行四边形中，，， ∴， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 同理可得：， ∵顶点在反比例函数的图象上， ∴， ∵， ∴， 同理可得：， ∴，， ∴． 题型十二：反比例函数与k值有关的面积综合问题 例12．如图，过原点的直线和反比例函数相交于A、B，延长至C，使得点A是中点，过C作轴于D，交反比例函数第一象限图象于E，连接，若的面积为32，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查反比例函数与一次函数图象性质、中点坐标公式、三角形面积公式，熟练掌握反比例函数图象上点的坐标特征是解题的关键． 设，则，根据中点坐标公式求出点C的坐标，进而求出点E的坐标，通过表示出的底边的长和对应的高，利用面积公式建立方程求解的值． 【详解】解：设，则， 点A是中点， ， 过C作轴于D，交反比例函数第一象限图象于E， 点的横坐标为、， ， ， 的面积为32、点B到的距离为， ， 解得：． 变式12.1如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由，可得，由，可得，可得，即反比例函数解析式为，再验证点的坐标即可判断． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴， ∴， ∴反比例函数解析式为， A、当时，，则点在反比例函数的图象上，故选项符合题意； B、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； C、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意； D、当时，，则点不在反比例函数的图象上，故选项不符合题意． 变式12.2如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 【答案】D 【分析】连接，根据等底同高三角形面积相等得出，从而求出，设点坐标，利用中点性质及反比例函数性质表示出和的面积，建立方程求解. 【详解】解：连接， ， ， ， 设点坐标为，则， 为中点， 点坐标为， 轴， 点坐标为，点横坐标为， 在双曲线上， 点纵坐标为， ， ， ， ， ， . 变式12.3如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 【答案】C 【分析】作轴于点，于点，可证得，从而将转化为，再利用反比例函数几何意义列式求出k的值． 【详解】解：过点作轴于点，过点作轴于点． 轴，轴， ， 与互为对顶角， ， 又， ， ， 点在反比例函数图象上， 由反比例函数几何意义可得， ， ，， ， ， ， ， ， 点在第一象限内反比例函数的图象上， ， ， ， 解得． 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 1.2反比例函数的性质（十二题型） 目录 题型一：反比例函数过点坐标 2 题型二：反比例函数图形经过象限问题 2 题型三：反比例函数中的性质问题 3 题型四：反比例函数与一次函数图形共存问题 4 题型五：反比例函数的简单实际应用 5 题型六：反比例函数k值可能性问题 7 题型七：反比例函数与正比例函数交点问题 8 题型八：反比例函数过象限取值范围问题 9 题型九：反比例函数增减性问题 10 题型十：反比例函数经典取值范围问题 11 题型十一：反比例函数过点坐标 12 题型十二：反比例函数与k值有关的面积综合问题 13 题型一：反比例函数过点坐标 例1．反比例函数的图象一定经过的点是（     ） A． B． C． D． 变式1.1若反比例函数经过点，那么下列四个点中，也在这个函数图象上的点是（  ） A． B． C． D． 变式1.2反比例函数的图象一定经过的点是（   ） A． B． C． D． 变式1.3若反比例函数的图象经过点，则该反比例函数的图象分别位于（   ） A．第一、第三象限 B．第一、第四象限 C．第二、第三象限 D．第二、第四象限 题型二：反比例函数图形经过象限问题 例2．反比例函数的大致图象是（   ） A． B． C． D． 变式2.1反比例函数的图像大致是（　　） A． B． C． D． 变式2.2函数的图象大致是（    ） A． B． C． D． 变式2.3下列图象与函数图象相符的是（    ） A． B． C． D． 题型三：反比例函数中的性质问题 例3．关于反比例函数下列说法不正确的是 (     ) A．函数图象经过点 B．函数图象关于原点成中心对称 C．函数图象分别位于第一、三象限 D．当时，随的增大而增大 变式3.1对于反比例函数，下列说法错误的是（　　） A．图象位于第二、四象限 B．图象经过点 C．当时，随的增大而增大 D．当时，随的增大而减小 变式3.2下列关于反比例函数的说法正确的是（   ） A．图象经过第二、四象限 B．随的增大而减小 C．图象与轴有交点 D．点在该函数图象上 变式3.3.探究函数的性质，下面说法不正确的是（ ） A．该函数的函数值不可能为1 B．该函数图象不经过第三象限 C．该函数的图象关于点对称 D．函数值y随x的增大而增大 题型四：反比例函数与一次函数图形共存问题 例4．一次函数与反比例函数（m，n为常数且均不等于0）在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式4.1在同一平面直角坐标系中，函数与的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式4.2函数与在同一平面直角坐标系中的图象可能是（   ） A． B． C． D． 变式4.3函数与，在同一坐标系中的大致图象是（    ） A．   B．   C．   D．   题型五：反比例函数的简单实际应用 例5．矩形面积为，相邻两边长为和，则y与x的函数图象大致是（    ） A．第一象限的直线 B．第一象限的双曲线 C．第一、三象限的双曲线 D．第二象限的曲线 变式5.1在综合实践课上，小明利用恒定的压力测定压强与受力面积的关系．经测定，当时，，则与之间的函数图像可能是（　　） A． B． C． D． 变式5.2一个三角形花坛的面积是，它的一边a（单位：m）是这边上的高h（单位：m）的函数，此函数的图象大致为（   ） A． B． C． D． 变式5.3一辆出租车从甲地到乙地，当平均速度为时，所用时间为，则t关于v的函数图象大致是（    ） A．   B．   C．   D．   题型六：反比例函数k值可能性问题 例6．反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A．6 B．10 C． D． 变式6.1如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（    ） A． B．1 C．2 D．6 变式6.2反比例函数的图象如图所示，则这个反比例函数的解析式可能是（   ） A． B． C． D． 变式6.3反比例函数的图象如图所示，则的值可能是（   ） A．5 B．10 C． D． 题型七：反比例函数与正比例函数交点问题 例7．如图，若直线与双曲线的一个交点坐标为，则其另一个交点坐标是（    ） A． B． C． D． 变式7.1如图，双曲线与直线相交于，两点，若点的坐标为，则点的坐标为（    ） A． B． C． D． 变式7.2如图所示，双曲线 与直线 相交于A，B两点，若A 点坐标为，则 B 点坐标为（     ） A． B． C． D． 变式7.3如图，在中，，过原点O，轴，双曲线过A，B两点、过点C作轴交双曲线于点D，连接．若的面积为16，则k的值为（   ） A．4 B．6 C．8 D．10 题型八：反比例函数过象限取值范围问题 例8.若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值可以是（     ） A． B．1 C．2 D．3 变式8.1若反比例函数的图象在第一、第三象限内，则的取值范围是（    ） A． B． C． D．任意实数 变式8.2若反比例函数 的图像在第二、四象限，则一次函数的图像经过 （    ） A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限 C．第一、三、四象限 D．第二、三、四象限 变式8.3数轴上点表示数为，若反比例函数的图象在第二、四象限，则关于点位置描述一定正确的是（　　） A．一定在原点左侧 B．一定在原点右侧 C．一定在1的左侧 D．一定在1的右侧 题型九：反比例函数增减性问题 例9.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（    ） A． B． C． D． 变式9.1已知点，在反比例函数的图象上．若，则（   ） A． B． C． D． 变式9.2反比例函数的图象如图所示，随着值的增大，值（   ）． A．减小 B．增大 C．不变 D．先增大后减小 变式9.3已知反比例函数的图象在第二、四象限内，图象上有两个点分别为，，则与的大小关系为（   ） A． B． C． D．无法确定 题型十：反比例函数经典取值范围问题 例10.如图，反比例函数的图象经过，当时，的取值范围是（   ） A． B．或 C． D． 变式10.1在反比例函数中，若，则（   ） A． B． C． D． 变式10.2如图，在平面直角坐标系中，A，C两点在坐标轴上，四边形是面积为4的正方形．若函数的图象经过点，则满足的的取值范围为（   ） A． B． C． D． 变式10.3反比例函数的图象经过，两点，其中，则下列选项正确的是（   ） A． B． C． D．与的大小不确定 题型十一：反比例函数过点坐标 例11．反比例函数的图象如图所示，点是反比例函数图象上一点，过点作轴于点，连接，则的面积是（     ） A．1 B．2 C．5 D．6 变式11.1．如图，两点分别在函数和的图像上，线段轴，点在轴上，则的面积为（    ） A．3 B．4 C．6 D．9 变式11.2如图，点，分别为反比例函数（）与（）图象上的点，轴，点在轴上，连接、，则的面积为（   ）． A．6.5 B．8.5 C．11 D．13 变式11.3如图，在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点在轴上，顶点在反比例函数的图象上，顶点在反比例函数的图象上，则平行四边形的面积是___________． 题型十二：反比例函数与k值有关的面积综合问题 例12．如图，过原点的直线和反比例函数相交于A、B，延长至C，使得点A是中点，过C作轴于D，交反比例函数第一象限图象于E，连接，若的面积为32，则k的值为（     ） A．3 B．4 C．6 D．8 变式12.1如图，分别过反比例函数图象上的两点，作轴的垂线，垂足分别为，，连接，，与相交于点，且．若梯形的面积为2，则下列坐标表示的点，在函数图象上的是（    ） A． B． C． D． 变式12.2如图，轴，为垂足，双曲线与的两条边，分别相交于、两点，，的面积为9，则等于（     ） A．4 B．6 C．8 D．12 变式12.3如图，A是反比例函数图象上一点，B是反比例函数图象上一点，连接交y轴于点C，若，，则k的值为（   ） A． B．3 C．4 D． 2 学科网（北京）股份有限公司 $