甘肃白银市第十中学2025-2026学年高一第二学期6月月考数学试卷

**基本信息** 以现实情境为载体，如汽车时速统计、海上营救、征文年龄分布等问题，融合频率分布、解三角形、立体几何等知识，考查数学眼光观察现实世界与数学语言表达能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|8|频率分布直方图、复数、向量、解三角形|结合时速违章等实际场景，基础巩固与概念辨析并重| |多选题|3|空间直线位置关系、三角函数性质|多角度考查数学思维的推理能力| |填空题|3|向量垂直、函数值域、复数运算|聚焦核心知识的简洁应用| |解答题|5|统计与百分位数计算、三角恒等变换、立体几何折叠证明、解三角形综合|分层设计，如征文年龄统计综合考查数据处理，立体几何折叠问题提升空间观念，体现能力梯度与创新应用|

高一数学参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 B D C A B A D B AC 题号 10 11 答案 ABD ACD 1．B 【详解】由直方图的数据可知，时速在的汽车的频数30， 频率为， 故总车辆数为100，故违章汽车为辆. 2．B 【详解】设与的夹角，因为所以 解得，所以， 3．A 【详解】因为，，，所以， ， 故向量在向量上的投影向量为， 4．B 【详解】因为的面积等于，可得， 整理得，即，即，因为，所以. 5．A 【详解】解：设甲乙相遇在点B处，需要的时间为t小时，则， 又， 在△ABC中，由余弦定理得：， 则，即，解得或（舍去）， 6．D 【详解】如图，过点作的平行线交于点，过点作的平行线交于点， 过点作的平行线交于点，易知点都在截面内， 且都是其所在棱的中点，从而所得截面是边长为的正六边形， 所求面积. 7．C 【详解】因为所以原中，，且轴方向长度不变， 因此， 已知面积为16，由直角三角形面积公式： ， 在斜二测画法中，轴方向长度变为原来的​，因此， 因为轴与轴夹角为，轴， 所以在直角三角形中：，因此的长为. 8．B 【详解】因为，当时，因为，则， 因为函数在上存在最值，则，解得， 当时，，因为函数在上单调， 则， 所以 其中，解得，所以，解得， 又因为，则．当时，；当时，；当时，． 又因为2，因此的取值范围是． 9．AC 【详解】已知表示空间中三条不同的直线， 若，则，A选项正确； 若，则可以相交，平行或异面，B选项错误； 若，则，C选项正确； 若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误. 10．ABD 【详解】，对于A，的最小正周期是，所以A正确， 对于B，因为，所以的图像关于点中心对称，所以B正确， 对于C，，令， 则，所以不是偶函数，故C错误， 对于D，由，得， 所以，或，得或， 因为，所以，，，，所以在上恰有4个零点，所以D正确， 11．ACD 【详解】如图，以为原点，所在的直线为轴，以过与垂直的直线为轴，建立平面直角坐标系，设，过作于，过作于， 因为等腰梯形，，，所以， 所以，所以， 所以，所以 因为，所以，化简得， 设直线AB的方程为，则，得，由，得， 所以点的轨迹与直线交于点，恰为线段的中点， 对于，当时，， 得点的轨迹与交于点，恰为线段的中点，所以∥， 所以点的轨迹方程为， 对于A，因为， 所以，所以A正确， 对于B，因为点的轨迹为线段，∥，为的中位线， 所以，所以B错误， 对于C，因为，所以， 因为，所以，所以C正确， 对于D，因为，所以， 因为，所以，所以，所以D正确.    12．/ 13． 14． 15．(1) (2)人 (3)，第百分位数为 【详解】（1），. （2）应从选出参加座谈会的人数为：人. （3）由题意得：； 假设第百分位数为，则， 解得：，即第百分位数为. 16．（1），（2） 【详解】（1）由，可得， 由，可得，则， ， （2）由，可得，由，则， ， 由于，故 17．(1)证明见解析 (2) 【详解】（1）连接，由菱形内角，得是正三角形， 由M为的中点，得，由，得， 而平面，则平面，又平面，所以； （2）连接，则为正的重心，， 在上取点，使，则， ， 于是是直线和所成角或其补角， 在中，， 由余弦定理得， 所以直线和所成角的余弦值为. 18．(1) (2) 【详解】（1）在中，，． 由及正弦定理得，， 整理得． 由于，，则．又，故． （2）如图1，在中，， 且， 由正弦定理得，，即，得． 由于，则与B互补，故． 方法1：单变量法 设，则，，，． 则．当时，， 所以DE取得最小值为． 方法2：四点共圆 如图1，由，，故P，E，B，D四点共圆，且BP为该圆直径． 由正弦定理得， 故求DE的最小值等价于求BP的最小值．当时，BP最小， 此时，， 故DE取得最小值为． 方法3：建系坐标法 以AB的中点O为坐标原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系， 如图2，则，， 直线BC：，直线AC：． 设，则，直线PE：． 联立方程，得， ． 当时，，所以DE取得最小值为． 19．(1)； (2) (3) 【详解】（1），由正弦定理可得， 因为， 所以代入可得， 即， 因为，所以， 化简可得，即， 解得，因为，所以， 因此，即. （2）由正弦定理可得，即， 所以， ， 因为，所以， 代入可得， 因为为锐角三角形，， 所以，即，解得， 所以，即， 所以， 即的面积的取值范围为． （3）由余弦定理可得， 因为，代入可得，化简可得， 因此 ， 当且仅当，即时等号成立， 因此当的周长最小时，的值为． 答案第6页，共7页 答案第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期高一数学学科6月月考试卷 一、单选题 1．如图是H城市某路段监测到的上午7：00至8：00通过该路段的所有汽车的时速频率分布直方图，若汽车通过该路段的时速大于等于70则属于违章行驶，已知时速在的汽车的频数是30，则本次统计中违章行驶的汽车有（    ）辆    A．10 B．20 C．30 D．40 2．下列关于复数的命题中（其中为虚数单位），说法正确的是（    ） A．若复数，的模相等，则，是共轭复数 B．已知复数，，，若，则 C．若关于x的方程（）有实根，则 D．是关于x的方程的一个根，其中为实数，则 3．若，，且，则与的夹角为（   ） A． B． C． D． 4．已知向量与向量均为单位向量，且，，则向量在向量上的投影向量为（    ） A． B． C． D． 5．已知的内角的对边分别为，若的面积等于，则角（    ） A． B． C． D． 6．甲在A处收到乙在航行中发出的求救信号后，立即测出乙在方位角（是从某点的正北方向线起，依顺时针方向到目标方向线之间的水平夹角）为45°、距离A处为10n mile的C处，并测得乙正沿方位角为105°的方向，以6n mile/h的速度航行，甲立即以14n mile/h的速度前去营救，甲最少需要（    ）小时才能靠近乙． A．1 B．2 C．1.5 D．1.2 7．在正方体中，分别为的中点，若，则平面截正方体所得截面的面积为（    ） A． B． C． D． 8．已知函数在上存在最值，且在上单调，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 9．已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若共面，共面，则共面 10．已知函数，则（    ） A．的最小正周期是 B．的图象关于点中心对称 C．是偶函数 D．在上恰有4个零点 11．已知等腰梯形，，，P是该梯形内一点（含边界），，则（    ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 三、填空题 12．．已知向量，且，则实数的值为_________ 13．函数的值域是_____. 14．复数满足，，则__________. 四、解答题 15．南京市某报社发起过建党周年主题征文活动，报社收到了来自社会各界的大量文章，打算从众多文章中选取篇文章以专栏形式在报纸上发表，其参赛作者年龄集中在之间，根据统计结果，作出频率分布直方图如图： (1)求频率分布直方图中的值； (2)为了展示不同年龄作者心中的党的形象，报社按照分层抽样的方法，从这篇文章中抽出篇文章，并邀请相应作者参加座谈会．求从年龄在的作者中选出参加座谈会的人数； (3)根据频率分布直方图，求这位作者年龄的样本平均数（同一组数据用该区间的中点值作代表）和百分位数（结果保留一位小数）． 16．（1）已知，且，求的值； （2）已知，且及，求的值. 17．如图1，四边形为边长为2的菱形，，，M为的中点，将沿边折起，使，连接，如图2. (1)证明：； (2)求直线和所成角的余弦值. 18．在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求角A的大小； (2)若，，过边AC上一点P作AB，BC的垂线，垂足分别为D，E，求DE的最小值． 19．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且． (1)求的值； (2)若为锐角三角形，且，求面积的取值范围． (3)若，当的周长最小时，求的值． 试卷第6页，共7页 试卷第7页，共7页 学科网（北京）股份有限公司 $