精品解析：甘肃兰州市兰州新区基础教育2025-2026学年高一下学期6月阶段检测数学试卷

贺阳教育集团兰州校区高中部高一6月月考 高 一 数 学 试 题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相交的直线 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，如果三点共线，则无法确定一个平面，所以A错误； 对于B，如果点在直线上，则无法确定一个平面，所以B错误； 对于C，如果两条直线是异面垂直，则无法确定一个平面，所以C错误； 对于D，由平面的基本性质，两条相交直线可以确定唯一的一个平面，所以D正确. 2. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】设，则， 复数在复平面内对应的点为，位于第二象限． 3. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜二测画法还原梯形，明确线段的等量关系，根据梯形的面积公式，可得答案. 【详解】过作，垂足为，如下图：    由题意可得，， 由斜二测画法，还原可得下图：    易知，，， 所以原梯形面积为. 4. ，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】。 5. 在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知找到异面直线所成角的平面角，再根据已知求其大小即可. 【详解】由长方体结构知且，则为平行四边形，故， 所以直线和直线所成角，即为或其补角，而，，， 所以，则. 故选：C 6. 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】逆用两角差的正弦公式计算即可得. 【详解】 . 7. 已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】作，垂足为，证明平面，在直角中，求出即得． 【详解】如图，作，垂足为， 因为平面，平面，所以， 又因为，平面，所以平面， 即的长即为到平面的距离， 在直角中，，，则， ， 故选：B． 8. 在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据线面角的定义得到直线在平面的夹角，再利用直角三角形即可求出该角的正弦值. 【详解】如图所示，连接，交于点，连接. 因为正方体底面是正方形，所以； 又平面，平面，故， 又因平面,故平面. 就是直线与平面所成的角. 正方体棱长为，则，. 在中：. 因此直线与平面所成角的正弦值为. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若共面，共面，则共面 【答案】AC 【解析】 【分析】应用线线位置关系，结合平行垂直及异面判断各个选项即可. 【详解】已知表示空间中三条不同的直线， 若，则，A选项正确； 若，则可以相交，平行或异面，B选项错误； 若，则，C选项正确； 若共面，共面，则可能是异面直线，D选项错误. 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出，即可判断A；计算的值，看结果是否为0，即可判断B；求出，即可判断C；根据投影向量的定义，求出在上的投影向量，即可判断D. 【详解】因为，故A正确； 因为，， ， 所以向量与不垂直，故B错误； 因为，故C正确； 因为， 所以在上的投影向量为， 故D正确. 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 【答案】AC 【解析】 【分析】利用辅助角公式化简可得，结合正弦型函数周期性可以判断A；利用求出的取值，再计算的值可以判断B；利用“整体法”判断单调区间可以判断C；结合正弦型函数对称中心的性质，代入验证即可判断D. 【详解】利用辅助角公式化简：. 选项A，最小正周期， A正确； 选项B，若，则，即， 得：，即， 因此，B错误； 选项C，当时，令， 则在上单调递增， 因此在上单调递增，C正确； 选项D，若函数关于点中心对称，则满足， 则，D错误. 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为___________． 【答案】 【解析】 【详解】因为圆台的上、下底面半径分别为，，高为 则其母线长为. 13. i是虚数单位，若复数满足，则______． 【答案】 【解析】 【详解】,得，所以. 14. 已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 【答案】5 【解析】 【分析】将直三棱柱侧面展开为长方形，结合题意计算求解即可； 【详解】将直三棱柱侧面展开如图所示： 因为，所以，， 因为， 所以结合展开图可知，从点爬到点的最近距离为. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量与的夹角为60°，，，求： （1）； （2）； （3）若，求实数k的值． 【答案】（1）； （2）； （3）． 【解析】 【分析】(1)已知模长与夹角，利用数量积的定义计算数量积即可； (2)根据模长公式列出计算式，根据向量的乘法运算计算即可； (3)根据向量相乘数量积为0列出关于参数的等式，计算即可． 【小问1详解】 因为向量与的夹角为60°，，， 故； 【小问2详解】 因为， 故； 【小问3详解】 因为，故； 整理得：，可得：，． 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】（1）根据同角三角函数关系式计算即可. （2）根据二倍角的三角函数公式以及和差的余弦公式计算即可. 【小问1详解】 ∵，∴， 可得. 【小问2详解】 由二倍角公式得， ∴． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． （1）证明：． （2）证明：平面平面． 【答案】（1）证明： 连接． 在中，因为E，F分别是，的中点， 所以是的中位线，则， 同理可得， 所以． （2）证明： 设，连接． 因为四边形为平行四边形， 所以互相平分， 在中，，O是的中点，所以， 在中，，O是的中点，所以， 又，且平面， 所以平面，又平面， 所以平面平面． 【解析】 【分析】（1）根据三角形中位线即可证明； （2）根据平行四边形及等腰三角形的性质，结合线面垂直和面面垂直的判定即可证明． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 在中，已知． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理可得出的值，结合角的取值范围可得出角的值； （2）分析可得，利用三角形的面积公式求解即可. 【小问1详解】 由余弦定理可得， 又因为，故. 【小问2详解】 因为，则，故的面积为. 19. 如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 【答案】（1）如图，连接，交于点，连接． 在长方体中，四边形是矩形， 因为对角线与交于点，所以为的中点， 又点是棱的中点，所以 ， 又平面 平面，所以平面． （2）连接． 在长方体中，四边形是矩形，所以 ， 因为点分别是棱的中点，， 所以 ，所以四边形是正方形，． 在长方体中，平面， 又平面，所以． 因为 平面， 所以平面． 【解析】 【分析】（1）根据中位线得到线线平行，再根据线线平行证明线面平行； （2）先证明线线垂直，然后得到线面垂直． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贺阳教育集团兰州校区高中部高一6月月考 高 一 数 学 试 题 考试时间：120分钟 总分：150分 注意事项： 1．答题前请填好自己的姓名、班级、考号等信息； 2．请将答案正确填写在答题卡上； 第Ⅰ卷（共58分） 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 下列条件一定能确定一个平面的是（ ） A. 空间三个点 B. 空间一条直线和一个点 C. 两条相互垂直的直线 D. 两条相交的直线 2. 复数在复平面内对应的点位于（    ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 如图，一个水平放置的梯形由斜二测画法得到的直观图是面积为2的等腰梯形OA'B'C'，则原梯形面积为（ ） A. B. C. D. 4. ，则（ ） A. B. C. D. 5. 在长方体中，，，则直线和直线所成角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 的值是（ ） A. B. C. D. 7. 已知正方体的棱长为为的中点，则到平面的距离为（ ） A. B. C. D. 8. 在棱长为2的正方体中，直线与平面所成角的正弦值为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共3小题，每小题6分，共18分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．） 9. 已知表示空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若共面，共面，则共面 10. 已知向量，，则（ ） A. B. C. D. 在上的投影向量为 11. 已知函数，则（ ） A. 的最小正周期为 B. 若，则 C. 在区间上单调递增 D. 的图象关于点中心对称 第Ⅱ卷（共92分） 三、填空题（本大题共3小题，每小题5分，共15分．将答案填在答题卡相应的位置上．） 12. 已知一个圆台的上、下底面半径分别为，，高为，则该圆台的母线长为___________． 13. i是虚数单位，若复数满足，则______． 14. 已知直三棱柱中，，，Q点为棱的中点，一只虫子由表面从Q点爬到点的最近距离为______. 四、解答题（本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 15. 已知向量与的夹角为60°，，，求： （1）； （2）； （3）若，求实数k的值． 16. 已知． （1）求的值； （2）求的值． 17. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，分别是棱，，，的中点，且，． （1）证明：． （2）证明：平面平面． 18. 在中，已知． （1）求的值； （2）若，且，求的面积． 19. 如图，在长方体中，，点，分别是棱，的中点． （1）求证：平面； （2）求证：平面． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $