山东济南市历城第二中学2026届高三下学期考前自测数学试题

金榜题名卷——高三数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．若，则（ ） A．i B．-i C．3i D．-3i 2．已知集合，则集合的子集个数为（ ） A．4 B．7 C．8 D．16 3．设向量，满足，，则等于（ ） A． B． C． D． 4．已知，则的值为（ ） A． B． C． D． 5．在平行四边形中，设，，，沿将平行四边形折成一个直二面角，则与所成的角的余弦值是（ ） A． B． C． D． 6．把分别写有1，2，3，4，5的五张卡片全部分给甲、乙、丙三个人，每人至少一张，若分得的卡片超过一张，则必须是连号，那么不同的分法种数为（ ） A．40 B．36 C．30 D．12 7．记无穷等比数列的前项和为，若，则“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 8．已知函数，若实数，（）满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．已知曲线：，其中，则下列结论正确的是（ ） A．若，则是圆 B．若，则是一条直线 C．若，则是椭圆，其离心率为 D．若，则是双曲线，其渐近线方程为 10．已知函数，其在上的零点从小到大依次为下列说法正确的是（ ） A．是最小正周期为偶函数 B．的值域为 C． D． 11．在直三棱柱中，，，，，分别是，的中点，在线段上，则（ ） A．平面 B．直线与平面所成角的正弦值为 C．直线与直线所成角最小时，线段长为 D．直线与直线所成角最小时，三棱锥的外接球半径为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．现有一箱中装有6个红球和4个白球，从中依次不放回随机摸出2个球，则在第一次摸到红球的条件下，第二次摸到白球的概率等于________． 13．设，分别是椭圆：（）的左、右焦点，过的直线交椭圆于、两点，且，，则椭圆的离心率为________． 14．在一个有穷数列的每相邻两项之间插入这两项的差（前项减后项），形成新的数列，我们把这样的操作称为该数列的一次“差扩充”．如数列2024，2026第1次“差扩充”后得到数列2024，-2，2026，第2次“差扩充”后得到的数列2024，2026，-2，-2028，2026．设数列2024，2026经过第次“差扩充”后所得数列的项数为，所有项的和为，则的值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13分） 如图，在四棱锥中，底面为正方形，底面，，和分别为线段和上的动点． （1）当为线段的中点时，证明：平面平面； （2）当时，求多面体体积的最小值． 16．（本小题满分15分） 已知函数 （1）讨论在区间上的单调性； （2）在锐角中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，求周长的最大值． 17．（本小题满分15分） 已知函数 （1）当时，，求的取值范围； （2）函数有两个不同的极值点，（其中），证明：． 18．（本小题满分17分） 袋子里有编号（）的个小球，除编号外完全一样，现随机从中取出个，记取出个小球的最大编号为． （1）当，时，求的分布列； （2）当时，求； （3）求． 19．（本小题满分17分） 设抛物线：（），过点的直线与抛物线交于，两点，原点在以为直径的圆上． （1）求抛物线的标准方程； （2）直线与直线相交于，过作的平行线交轴与，判断直线与抛物线的位置关系并证明； （3）抛物线上是否存在三点M，N，P构成面积为15的等腰直角三角形？若存在求出直角顶点的坐标，若不存在，说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $ 金榜题名卷-------数学试题参考答案 一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D A D A B B C 二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 题号 9 10 11 答案 AC BC ACD 部分解析 1.【解析】若，则,.故选C. 3.【解析】因为|a+b|2=(a+b)2=a2+b2+2a·b=8，|a-b|2=(a-b)2=a2+b2-2a·b=6， 两式相减得a·b=[(a+b)2-(a-b)2]=. 4.【解析】 6.【解析】由题得 ，，所以，， ，，因为，，所以，根据比例参数大于分为品级1；因为，根据比例参数在到之间的为品级2；，根据比例参数在到之间的为品级3；，根据比例参数小于分为品级4，因为该产品参数为，则他的品级是2.故选：B. 7.【解析】（充分性）反例：时，首项，则数列为······ 此时前项和为：为奇数时，；为偶数时，； 显然取，则对所有，都有，所以充分性不成立. （必要性）当时，前项和为，由于恒成立 则恒成立，取，则对所有，都有，必要性得证. 所以“存在正数，使得对任意正整数，都有”是“公比”的必要不充分条件. 10. 【解析】选项A：，所以是偶函数；，因此最小正周期是，不是A错误 选项B：由二倍角公式：,令，则. 当时， 当时，为.求导：可知在上不单调，B正确, 选项C： 令，即，解得（另一根，舍去）.在内，的两个根满足（余弦函数的对称性），C正确，选项D由方程，可知和是方程的根，但只有符合，所以，D错误最终正确选项：. 11. 【解析】以 为坐标原点,、、 所在直线分别为 、、 轴,建立空间直角坐标系.由已知 ,,可得各点坐标：,,,,, 由中点坐标公式： 为 中点,则 . 为 中点,则. 对于选项 ： 平面 的一个法向量为 , . 又 平面 ,因此 ∥ 平面 , 正确. 对于选项 ： 平面 的一个法向量为 , . 设直线 与平面 所成的角为 ,则 .而选项 给出的正弦值为 ,两者不相等,错误. 对于选项 ： 点 ,,，由 在线段 上,设 ,其中 ,,则 , . 直线 与直线 所成角的余弦值为： 令 ,求导得 ，令.解得 . 当 时，；当 时， .故当 时 , 取得最大值,由余弦函数单调性知此时异面直线所成角最小. 此时 ，正确. 对于选项 ：由选项可知，当时，的坐标为.为等腰三角形，其外接圆圆心为中点,外接圆半径.设三棱锥的外接球球心为,半径为，则.由列方程： =. , , ,. 因此，外接球半径：,正确. 综上所述,正确答案为 ACD. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.【答案】 【解析】在第一次摸到红球的条件下，箱中剩余9个球，其中红球5个，白球4个， 所以在第一次抽到红球的条件下，第二次取到白球的概率是. 13.【答案】 【解析】设，则，，根据椭圆定义，，，又因为，所以在中， 即，解得，则，，则在中，即，所以故. 14.【答案】1013 【解析】由题意，，，所以， 即数列是以为首项，为公比的等比数列，所以，，.由题意，，，即数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， .所以，. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15.【解析】 （1）证明：如图 底面ABCD，平面ABCD， 又底面ABCD为正方形，，而，PA,AB⊂平面PAB 平面PAB ................................................................................... 2分 平面PAB，.，E为PB的中点， .而,PB,BC⊂平面PBC 平面PBC. ................................................................................. 4分 平面AEP，∴平面平面PBC. ................................................................... 6分 （2）因为CF:CB=BE:BP 设BF=x，则 ....................................................................... 8分 ∴ ............................................. 10分 =(2-x)=[x(x-2)+8].............................................................. 12分 当x=1时，多面体AEFCPD体积取最小值. .......................................................... 13分 16．【解析】 17.【解析】(1)函数，.......................................1分 ①当时，因为，故恒成立，此时单调递增，所以成立； ..................................3分 ②当时，令，得， 当时，此时单调递减，故，不满足题意； .....................5分 综上可知：，即的取值范围为．. .............................6分 (2) 由， 故， 因为函数有两个不同的极值点，（其中），故，，........8分 要证：，只要证：， 因为，于是只要证明即可， 因为，，故， 因此只要证，等价于证，.................................. .......10分 即证，令，等价于证明，.........................11分 令，， 因为，所以，... ..............................................................................13分 故在上单调递增，所以，即. ...........................................................................................................................................15分 18.【解析】（1）共有种情况，的可能取值为2，3，4，...................................1分 ，，，分布列如表所示 2 3 4 ......................................................................4分 （2）的可能取值为或，5分 ，，................................................7分 所以，8分 因此．.............10分 （3）选取个不同的元素，有种方法， 要满足，则需取出元素，其余个元素是从小于的个元素中选出的，所以，......................................................................12分 ．...........................................................13分 因为，...................................15分 所以 ．............................................................................................17分 19.【解析】设,AB的方程为:(mR),联立抛物线和直线的方程得:,则,......................................................................................................3分 因为O在以AB为直径的圆上.所以,代入得p=2,所以抛物线的标准方程为:............................................................................................................................................5分 (2)直线BO的方程为:,与直线联立得,又,所以,........................................................................................................................................7分 设E(t,0),由题可得:,又,所以 ,则,则直线EA的斜率为,直线EA的方程为: ..........................................................................................................9分 与抛物线C的联立得:,,则直线AE与抛物线相切 ..........................................................................................................10分 (3)不存在,理由如下 :.............................................................................................................11分 如果存在满足条件的三角形,设为直角顶点,由题,不妨设,则,又M,N在抛物线上,所以 ,化简得: ........................................................................................................13分 消得,因为, 所以,即(当且仅当时取等 所以,故不存在面积为15的等腰直角三角形. ........................................................................................................17分 1 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $