精品解析：山东济南历城第二中学2026届高三考前适应性测试数学试题

济南历城第二中学2026届高三高考前适应性测试 数学试题 2026.5 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为全集，集合，是的子集，若，则（ ） A. B. C. D. 2. 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（ ） A. 4，6 B. 5，4 C. 6，4 D. 6，5 3. 已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（    ） A. 0 B. 2 C. D. 1 4. 已知向量，，若实数λ满足，则（ ） A. B. C. D. 1 5. 过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ） A. 6条 B. 8条 C. 12条 D. 16条 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 7. 点M在圆上，点F是抛物线的焦点，点是抛物线上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 8. 现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是实数 D. 是纯虚数 10. （多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ） A. B. C. D. 11. 已知正项数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则______． 13. 从集合中任取两个不同的数a，b组成一个新的数，则的取值范围为___________． 14. 方程的整数解的组数为___________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． （1）求； （2）求的值． 16. 已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的最小值． 17. 如图①，在平面内，正方形的边DE，CF分别为两等腰直角，的腰．将分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点G，H分别是线段，的中点，如图②． （1）求证：平面DEM； （2）求直线CM与平面所成的角的正弦值； （3）若平面，求的值． 18. 已知双曲线的离心率分别为C的左、右焦点，分别为C的左、右顶点． （1）若点A的坐标为，求此时C的方程； （2）过点的直线l交双曲线的右支于两点，其中M点在x轴上方，分别为两点处的切线，分别过点作的垂线两点分别为点关于直线的对称点． （i）证明：切线m平分； （ii）若直线，且，直线l与双曲线的两条渐近线分别在第一、四象限交于两点，点I为线段的中点，问：是否为定值？ 附：双曲线上任一点处的切线方程为． 19. 已知函数． （1）若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值； （2）设，用表示函数和； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 济南历城第二中学2026届高三高考前适应性测试 数学试题 2026.5 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知为全集，集合，是的子集，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】CD 【解析】 【详解】已知为全集，，，由集合运算性质：， 因为，所以. A：可以是空集，此时，满足，错误. B：已推出，错误. C：，，，正确. D：，相等集合互相包含，成立，正确. 2. 现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5，则这组数据的第百分位数与中位数分别是（ ） A. 4，6 B. 5，4 C. 6，4 D. 6，5 【答案】C 【解析】 【分析】先对数据进行升序排列，再分别求出中位数和第百分位数，进而判断选项． 【详解】这组数据按照从小到大的顺序排列为2，2，3，4，4，5，5，6，8， 这组数据个数，中位数位置为，取第5个数，即为4， ， 这组数据的第百分位数取第8个数,即为6， 这组数据的第百分位数与中位数分别是6和4，故C正确． 故选：C． 3. 已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则（    ） A. 0 B. 2 C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】利用奇偶性，结合恒等式可求解，从而可求出结果. 【详解】因为定义域均为且， 所以可得， 又因为是奇函数，是偶函数，所以 即上式可化简为， 再与相加可得， 代入可得， 所以即. 故选：A. 4. 已知向量，，若实数λ满足，则（ ） A. B. C. D. 1 【答案】A 【解析】 【分析】先表示出的坐标，然后根据垂直关系得到的方程，由此求解出结果. 【详解】因为，且， 所以， 所以， 故选：A. 5. 过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有（ ） A. 6条 B. 8条 C. 12条 D. 16条 【答案】C 【解析】 【分析】画出图形，由图形判断即可. 【详解】 由三角形的中位线易得平面， 易得平面平面， 所以平面内有6条， 平面关于平面对称的平面内有6条， 共有12条. 故选：C. 6. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】联立方程组求出，再利用两角和差的正弦公式求出. 【详解】由，得， 联立，得， 因为，所以， 故． 故选：A． 7. 点M在圆上，点F是抛物线的焦点，点是抛物线上的动点，则的最小值为（ ） A. 5 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】过及圆心分别作准线的垂线，垂足分别为，与圆交于点，先根据抛物线的定义将的最小值转化为，而的最小值为圆心到准线的距离减半径，进而求解. 【详解】因为抛物线的方程为， 所以焦点的坐标为，准线的方程为. 圆的圆心为，半径为， 过及圆心分别作准线的垂线，垂足分别为，与圆交于点，如图， 由抛物线的定义知，当且仅当三点共线（在之间）时，等号成立. 而圆上的点与准线上的点的距离的最小值为，即圆心到准线的距离减半径， 所以，所以的最小值为. 故选：C. 8. 现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为（ ） A. B. C. D. 4 【答案】C 【解析】 【分析】先通过相对运动分别求传令兵往返时间，得到总时间表达式，再结合队伍前进距离建立时间关系，解出，最后代入目标式，用基本不等式求最小值． 【详解】已知传令兵的行进速度为， 则传令兵从排尾到排头所需时间为，从排头到排尾所需时间为， 则往返共用时间，即①， 由传令兵回到排尾时，全队正好前进了，得②， 由①②得，解得，（舍去）， 所以，当且仅当时等号成立． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 设是的共轭复数，下列说法正确的是（ ） A. B. C. 是实数 D. 是纯虚数 【答案】ABC 【解析】 【分析】设（，为虚数单位），有（，为虚数单位）. 对于A， ，，由此可判断. 对于B，根据复数的除法运算和复数的模的运算可判断； 对于C，由可判断. 对于D，由，分和判断. 【详解】解：设（，为虚数单位），则（，为虚数单位）. 对于A，，，所以A选项正确. 对于B，，所以B选项正确. 对于C，，为实数，所以C选项正确. 对于D，，当时，为实数，当时，为纯虚数，故D选项错误. 故选：ABC. 10. （多选题）定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数．下列函数是同号增函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据同号增函数的定义逐一分析每个选项中的函数是否满足当且时，恒成立. 【详解】A选项，由得，由得， 又在，上单调递增，故A正确； B选项，，得， 取，则， 满足，但， 不满足的条件，故B错误； C选项，得，得， 因为在上单调递增，且， 所以在上单调递增， 则在上单调递增，故C正确； D选项，得；得， 因为在上单调递增，在上单调递增， 所以在上单调递增， 故在上单调递增，故D正确. 故选：ACD 11. 已知正项数列满足，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】AC 【解析】 【分析】先把递推式改写为．A选项直接代入；B、C选项分别证明递推函数小于、大于；D选项在上建立更强的上界，使数列按固定比例衰减． 【详解】由递推式可得 对于A，因为，所以由上述等式得故A正确． 对于B，先证明当时，． 令则，且 所以，即． 令，由及上述等式得 指数函数在实数集上单调递增，所以．故B错误． 对于C，先证明当时，， 令，，则， 且， 所以，即，， 两边同乘，得， 令，由上述等式得，所以．于是即．故C正确． 对于D，由B选项的结论可知． 下面证明当时，， 令，则，且， 再令，则． 当时，，所以， 因此，从而，故，即上述不等式成立． 令，由及上述不等式得，所以 反复使用上式，得 又由二项式定理， 所以， 结合上述估计，得，故D错误． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12. 已知随机变量，若，则______． 【答案】0.2## 【解析】 【分析】借助正态分布的对称性计算即可得. 【详解】由题意，. 故答案为：. 13. 从集合中任取两个不同的数a，b组成一个新的数，则的取值范围为___________． 【答案】 【解析】 【分析】由题可得且，设，，与的夹角为，根据向量的夹角公式得，求出范围，得解. 【详解】因为，所以，所以且. 设，，与的夹角为， 则， 因为且，所以，故， 所以. 故答案为：. 14. 方程的整数解的组数为___________． 【答案】12 【解析】 【分析】变形给定等式，再利用列举法求出整数解的组数. 【详解】原方程变形得，即， 由是整数，得或，或或， 而方程组与各有2组解，方程组与各有4组解， 所以原方程共有12组解. 故答案为：12 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15. 在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． （1）求； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理求出，再由正弦定理求即可； （2）根据正弦定理结合正弦和差公式求边长即可． 【小问1详解】 解：在中，由余弦定理知， 所以， 在中，由正弦定理知， 所以； 【小问2详解】 因为，所以， 在中，，， 由正弦定理知， 所以． 16. 已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的最小值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的前项和公式与通项公式，联立已知条件，，求出首项和公差，进而写出通项公式； （2）先由求出前项和，再将数列通项裂项为，通过裂项相消求出的表达式，最后解不等式，得到的最小值． 【小问1详解】 设等差数列的首项为，公差为， 因为，， 所以，解得，， 所以数列的通项公式为． 【小问2详解】 由（1）得，， 所以， 所以 ， 因为，所以， 化简得， 又，解得， 所以的最小值为． 17. 如图①，在平面内，正方形的边DE，CF分别为两等腰直角，的腰．将分别沿DE，CF折起，使A，B两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点G，H分别是线段，的中点，如图②． （1）求证：平面DEM； （2）求直线CM与平面所成的角的正弦值； （3）若平面，求的值． 【答案】（1）证明见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）线面平行转化为线线平行即可； （2）建立空间直角坐标系求面的法向量，代入线面角公式求解； （3）转化为点到面的距离的比值. 【小问1详解】 如图1，设的中点为，连接，， 分别为，的中点， ，， 又，， 且， ∴四边形为平行四边形． ． 又平面，平面， ∴平面． 【小问2详解】 如图2，因为为等边三角形，为线段的中点， 所以， 又，，，平面， 所以面，过作直线. 以，，为，，轴建立空间直角坐标系，如图所示． 不妨设，则 ， ． 设平面的法向量为， 则，， ． 令，则． 则 设直线与平面所成的角为， 则 ， ∴直线与平面所成的角的正弦值为； 【小问3详解】 设点，到平面的距离分别为， ， ， . ， 的值． 18. 已知双曲线的离心率分别为C的左、右焦点，分别为C的左、右顶点． （1）若点A的坐标为，求此时C的方程； （2）过点的直线l交双曲线的右支于两点，其中M点在x轴上方，分别为两点处的切线，分别过点作的垂线两点分别为点关于直线的对称点． （i）证明：切线m平分； （ii）若直线，且，直线l与双曲线的两条渐近线分别在第一、四象限交于两点，点I为线段的中点，问：是否为定值？ 附：双曲线上任一点处的切线方程为． 【答案】（1） （2）（i）证明见解析（ii）定值 【解析】 【分析】（1）由条件列关于的方程，解方程求，由此可得双曲线方程； （2）（i）设，根据所附结论求直线m的斜率为，记直线m与直线的夹角为，记直线m与直线的夹角为，结合两角差正切公式证明，由此证明结论； （ii）由（i）证明三点共线，同理可得三点共线，结合条件可得为直角三角形，根据条件结合双曲线定义证明，联立与渐近线方程求点的坐标，由此可得结论. 【小问1详解】 因为双曲线的左顶点A的坐标为，所以， 因为双曲线的离心率，所以，所以， 又，故， 所以双曲线C的方程为． 【小问2详解】 （i）设，由题可知M点处的切线方程为， 故直线m的斜率为，且， 记直线m与直线的夹角为，记直线m与直线的夹角为， 直线m与x轴交于点E，而， 故， ， 则， 且，故，即切线m平分； （ii）为定值； 由（i）切线m平分， 因为点为点关于直线的对称点，所以直线平分， 又，所以三点共线， 且由（i）的证明过程可知N点处也成立这一性质，即切线n平分， 故可推知三点共线， 因为，所以为直角三角形，如图， 因为，所以， 可令，则， 由双曲线的定义可得， 即，即，所以， 所以， 所以， 在直角中，， 所以直线（即直线l）的方程为， 由，得， 所以，所以， 所以两条渐近线的方程为，且双曲线C的离心率， 由题可知直线，与双曲线C的两条渐近线都相交， 联立，得， 方程的判别式， 设，则， 故，所以， 所以， 所以，所以为定值． 19. 已知函数． （1）若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值； （2）设，用表示函数和； （3）求证：． 【答案】（1）或或; （2） ，; （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用导数，结合余弦值相等的角满足的条件，即可求解； （2）利用余弦的和差角公式和二倍角公式化简，即可求解； （3）利用，结合四倍角公式和三倍角公式，建议方程，再结合零点存在定理即可求解. 【小问1详解】 因为所以依题意可知：， 即． 所以或，， 又因为所以或或． 【小问2详解】 因为 ，再由，可得； 同理 ，再由，可得 【小问3详解】 . ． 令，则是方程的根． 又， 是函数的零点． ，由，解得． 在上单调递增，在上单调递减． 当时，没有零点． 于是必在区间上． 又在上单调递增， 且． 由零点存在定理可知：．即． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $