山东济南历城第二中学2026届高三下学期考前适应性测试数学试题

济南历城第二中学2026届高三高考前适应性测试 数学试题 2026.5 本试卷共4页，19小题，满分150分．考试时间120分钟． 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上． 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效． 3．考试结束后，监考员将试卷、答题卡一并交回． 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．已知为全集，集合，是的子集，若，则 A． B． C． D． 2．现有一组数据2，4，5，2，3，6，8，4，5则这组数据的第80百分位数与中位数分别是 A．6，4 B．5，4 C．4，6 D．6，5 3．已知是奇函数，是偶函数，其定义域均为，且，则 A． B． C． D． 4．已知向量，，若实数满足，则 A． B． C． D． 5．过正方体的任意两条棱的中点作直线，其中与平面平行的直线共有 A．6条 B．8条 C．12条 D．16条 6．已知，，则 A． B． C． D． 7．点在圆上，点是抛物线的焦点，点是抛物线上的动点，则的最小值为 A．2 B．3 C．4 D．5 8．现有一支队伍，设其全长为，以速度匀速前进，排尾的传令兵因传达命令需赶赴排头，到达后立即返回，往返速度均为，如果传令兵回到排尾时，全队正好前进了，则的最小值为 A． B．2 C． D．4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．设是的共轭复数，下列说法正确的是 A． B． C．是实数 D．是纯虚数 10．定义：当且时，恒成立，则称是同号增函数，下列函数是同号增函数的是 A． B． C． D． 11．已知正向数列满足，，则 A． B． C． D． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．已知随机变量，若，则________． 13．从集合中任取两个不同的数，组成一个新的数，则的取值范围为________． 14．方程的整数解的组数为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 15．（13分） 在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． （1）求； （2）求的值． 16．（15分） 已知等差数列的前项和为，，，数列的前项和为． （1）求数列的通项公式； （2）若，求的最小值． 17．（15分） 如图①，在平面内，正方形的边，分别为两等腰直角，的腰．将，分别沿，折起，使，两点重合，记为点，得到一个四棱锥，点，分别是线段，的中点，如图②． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成的角的正弦值； （3）若平面，求的值． 18．（17分） 已知双曲线：，的离心率为，，分别为的左、右焦点，，分别为的左、右顶点． （1）若点的坐标为，求此时的方程； （2）过点的直线交双曲线的右支于，两点，其中点在轴上方，，分别为，两点处的切线，分别过点，作，的垂线，，，两点分别为点关于直线，的对称点． （i）证明：切线平分； （ii）若直线，且，直线与双曲线的两条渐近线分别在第一、四象限交于，两点，点为线段的中点，问：是否为定值？ 附：双曲线：，上任一点处的切线方程为． 19．（17分） 已知函数，，． （1）若函数图象在点处的切线与函数图象在点处的切线平行，求的值； （2）设，用表示函数和； （3）求证：． 学科网（北京）股份有限公司 $参考答案 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 2 3 4 5 6 > P A A D B A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求.全部选对得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9 10 11 ABC ACD CD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.0.2 13.(1,2) 14.12 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 15.(13分) 在△ACF中，由余弦定理知AFAC+CP2-24AC-CP,c0 SLACE 所以AF=V ,(3分) 2 在△ACF中，由正弦定理知 CF AF in0sin∠ACF 13 所以sin0 CF-sim∠4CF-2x2-2 14· (7分) AF V7 2 (2)因为sin0= V2 14 ,所以c0s0=5 14,(8分) 在△ACE中，∠AEC=30°，AC=1, 由正弦定理知 AE AC ,(10分) sin∠4CE sin∠AEC 所以AE=4Cstn∠ACE=2sin150-6)=cos0+N5sin0=4y sin∠AEC 7 .13分) 16.(15分) 解：(1)设等差数列{an}的首项为a,公差为d, 因为S8=64,a。=11, 所以 8×d=64,解得a=1,d=2,5分》 8a+2 a,+5d=11 所以数列{an}的通项公式为an=2n-1.(6分) 2》由1得，9=1+2n-=,(7分 2 所以 1 1-111 (a,+l)yS2m(n+2)4n n+2) ,(8分) 所u-r台-6六日中 051程本 因为Tn≥ 小好 25 、25 84 解得n≥5，所以n的最小值为5.(15分) 17.(15分) 解：(1)如图1，设DM的中点为Q,连接QG,QE, Q,G分别为DM,CM的中点， :QGIDC,QG=号DC,1分) 2 又~EH/DC,EH=,DC,:QGIEH且QG=EH, 2 ∴.四边形EQGH为平行四边形..GH/EQ.(2分) 又：GH丈平面DEM,EQc平面DEM,∴.GH∥平面DEM.(3分) D 图1 (2)如图2，因为△MEF为等边三角形，H为线段EF的中点， 所以MH⊥EF, 又CF⊥EF,CF⊥MF,MF∩EF=F,MF,EFC平面MEF, 所以CF⊥面MEF,过H作直线HKI∥CF.(4分) 以HM,HF,HK为x,y,z轴建立空间直角坐标系H-xyz,如图所示. M 图2 不妨设EF=2,则 raa.wa0小Faua,c4ala小s-0.pg-a.c个9 .co-(5-1-).m- HD=(0,-1,2.(7分) 设平面DGH的法向量为i=(x,y,z), n⊥HG .「n-HG=0 则 x+5y+z=0 n⊥HD “n而=0 2 -y+2z=0 令z=V3,则y=25,x=-4. 则n=（-4,25,5(9分) 设直线CM与平面DGH所成的角为O, CM.n V3x(-4)+(-1)×2W3+(-2)×V3 则sin0=cos(CM,m) 2W186 CM丽 V(3)2+(-1)2+(-2)2×V(-4)2+(23)2+(3)2 31 ÷直线CM与平面DGH所成的角的正弦值为2186 .(11分) 31 (3)设点F,M到平面DGH的距离分别为d,d2, HF=(0,l,0),HM=（5,0,0, d=IFcos(匝，m HF.n 23 (13分) d,=HM cos(HM,n) HM.45 FN 1 MN d, MN 的值215分) 18.(17分) 解：(1)因为双曲线 京=1的左顶点A的坐标为(-V2,0）,所以a=V2, x2 y2 因为双曲线 y2 =1的离心率e= 2，所以=1 ,所以c=5, 又c2=a2+b2,故b=5,(3分) 所以双前线C的方程为。二=1.4分) 23 (①)设M(o,%),由题可知M点处的切线方程为-=1， a2 b2 散直线m的斜率化，-，且k=为，k=。,（5分) ayo xo+c xo-c 记直线m与直线MF,的夹角为o,记直线m与直线MF,的夹角为B, 直线m与x轴交于点E,而o=∠MEF,-∠MEE,B=∠MEE-∠ME,E, 放ama=am(∠MER-∠MF间-1+k.ky.d'c+cO可 k。-km-b(a2+c）_b2 tanB=tan(∠MEE-∠MF,E)= 6,+ks-(e,-ab -,(8分) 1+kkye Yo c'xo-a'c)cyo 则tano=tanB, 故a=B,即切线m平分∠FMF,;(9分) AB 由(i)切线m平分∠F,MF, 因为点P为点F,关于直线s的对称点，所以直线s平分∠FMP, 又m⊥s,所以F,M,P三点共线， 且由(i)的证明过程可知N点处也成立这一性质，即切线n平分∠FNF, 故可推知F,N,Q三点共线，(10分) 因为PM⊥MN,所以△NMF,为直角三角形，如图， 因为sin∠MNO-号，所以sin∠MNK=sin∠MNQ- 可令lMF=3t(t>0),则NE=5t,MN=4t, 由双曲线的定义可得(MEME+（NF-NF=4a, 即MF+NF-MN=4a,即3t+5t-4t=4a,所以t=a, 所以MEl=3a,NFl=5a,MN=4a, 所以MFMF2a=a,(12分) 在直角△FME,中，tan∠MFE= MF=3, MF, 所以直线MF,(即直线I)的方程为y=-3(x-c, 由MF+ME,=EF,得9a2+a2=4c2, 所以c2=5a2=a2+b2,所以3a2=262, 所以两条渐近线的方程为y2= ,且双前线C的离心率e= 2 2 由题可知直线y=-3(x-c,与双曲线C的两条渐近线都相交， y=-3(x-c 联立 ,得5x2-12cx+6c2=0,(14分) 2 方程5x2-12cx+6c2=0的判别式△=144c2-4×5×6c2=24c2>0, 12c 设G(x,),H(x2,y2),则x+x2= 6c2 5，=5 故+=++6c=智所以答》 √0 所以E、 52 、101为定值。·17分 -×e= AB 2a 10 ，所以 2 AB 19.(17分) 解：(1)因为f'(x)=cos3x,g'(x=cos4x,所以依题意可知：f'(xo)=g'(x), 即c0s3x。=c0s4xg·(2分) 所以3x,=-4x+2km或3x,=4x+2km,k∈Z, 又因为0小，所以5=速钙我钙4分) 7 (2)=f(x)=cos3x cos(2x+x)=cos2xcosx-sin2xsinx =(2cos2x-1)cosx-2sin2xcosx =(2cos2x-1)cosx-2(1-cos2x)cosx =4cos3x-3cosx,(6分) 再由c0sx=1,可得y,=4t3-3t: 同理y2=g'(x)=cos4x=2cos22x-1=2(2c0s2x-12-1 =8cos4x-8cos2x+1,再由c0sx=t,可得y2=8t4-8t2+1.(10分) (3》:6+87=2π，c0s 77 =cms8.4cos2-3cos 7 2=8c0s2π-8c0s2+1 7 7 7 2=x,∈(0,1)，则，是方程8x-4r2-8x2+3x+1=0的限 令co 7 又：8x4-4x3-8x2+3x+1=(x-1)8x3+4x2-4x-1, x。是函数h(x)=8x3+4x2-4x-1的零点.(13分) 到=46r2+2x-小，由国到=0，解5=15.为= 6 6 ∴.h(x)在(-0，x),（x2,+0)上单调递增，在(x,x2)上单调递减.(14分) h(0)=-1<0,∴.当x∈(0，x2)时，h(x)<0,h(x)没有零点. 于老必区同6+树上又：名动创到 「317 50'10 上单调递增， 且h 3 50) 472<0,h=113>0 (10-125 31,7）.即3 由零点存在定理可知：X,气50'10”50 2π7 <COS- 710 .(17分)