河北沧州市黄骅中学2025-2026学年第二学期高二第二次月考数学试卷

河北黄骅中学2025-2026学年度第二学期高二第二次月考 数学试卷 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷两部分．第Ⅰ卷1至3页，第Ⅱ卷3至6页．共150分．考试时间120分钟． 第Ⅰ卷（客观题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8小题，共40分． 1．已知全集，集合，，则（ ） A．{1} B． C． D． 2．设，则“”是“”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 3．对四组数据进行统计，获得以下散点图，关于其相关系数的比较，正确的是（ ） A． B． C． D． 4．若，的否定为真命题，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 5．已知，，则下面正确的为（ ） A． B． C． D． 6．已知函数满足对任意实数，都有成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 7．“狼来了”的故事大家小时候应该都听说过：小孩第一次喊“狼来了”，大家信了，但去了之后发现没有狼；第二次喊“狼来了”，大家又信了，但去了之后又发现没有狼；第三次狼真的来了，但是这个小孩再喊狼来了就没人信了．从数学的角度解释这一变化，假设小孩是诚实的，则他出于某种特殊的原因说谎的概率为0.1；小孩是不诚实的，则他说谎的概率是0.5．最初人们不知道这个小孩诚实与否，所以在大家心目中每个小孩是诚实的概率是0.9．已知第一次他说谎了，那么他是诚实的小孩的概率是（ ） A． B． C． D． 8．在自然界中，对称性无处不在．从蝴蝶翅膀的美丽图案到雪花晶体的完美结构，对称性展现了自然界的和谐与平衡．数学作为描述自然规律的语言，同样充满了对称之美．函数图像的对称性，例如轴对称和中心对称，关于函数的相关对称性质是数学中研究的重要概念．已知函数，使得不等式成立的实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本大题共3小题，共18分． 9．已知a，b为正实数，，则下列选项正确的是（ ） A．的最小值为2 B．的最小值为 C．的最小值为8 D．的最小值为2 10．下列说法正确的是（ ） A．设随机变量服从二项分布，则 B．已知随机变量服从正态分布，且，则 C．； D．已知随机变量满足，，若，则随着的增大而减小 11．已知函数，则下列结论正确的是（ ） A．的图象关于点对称 B．在上单调递减 C．若，则实数的取值范围是 D．若实数a，b满足，则的取值范围是 第Ⅱ卷（主观题共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 12．将两个1，两个3，一个5排成一行，则不同的排法种数为_____．（用数字作答） 13．已知一系列样本点（）的回归方程为，若样本点与的残差相等，则_____． 14．设函数存在最小值，则的取值范围是_____． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题13分）定义在上的函数满足，，且时，． （1）判断并证明的奇偶性； （2）求关于的不等式的解集． 16．（本小题15分）随着我国经济发展，医疗消费需求增长，人们健康观念转变以及人口老龄化进程加快等影响，医疗器械市场近年来一直保持了持续增长的趋势．某医疗器械公司为了进一步增加市场影响力，计划改进技术生产某产品．已知生产该产品的年固定成本为400万元，最大产能为120台，每生产台，需另投入成本万元，且由市场调研知，该产品每台的售价为240万元，且全年内生产的该产品当年能全部销售完． （1）写出年利润（单位：万元）关于年产量（单位：台）的函数解析式（利润=销售收入-成本）． （2）当该产品的年产量为多少时，公司所获利润最大？最大利润是多少？ 17．（本小题15分）已知展开式的二项式系数和为512，且（结果用数字表示） （1）求的值； （2）求的值； （3）求被6整除的余数． 18．（本小题17分）某医疗科研小组为研究某市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B的关系，从该市市民中随机抽查了100人，得到如表数据．（注：用表示的对立事件） 疾病A 生活习惯B 具有 不具有 患病 25 15 未患病 20 40 （1）依据的独立性检验，能否认为该市市民患有疾病A与是否具有生活习惯B有关? （2）从该市市民中任选一人，M表示事件“选到的人不具有生活习惯B”，N表示事件“选到的人患有疾病A”，试利用该调查数据，求的估计值； （3）从该市市民中任选3人，记这3人中具有生活习惯B，且未患有疾病A的人数为X，试利用该调查数据，求的数学期望的估计值． 附：，其中． 0.10 0.05 0.010 0.001 2.706 3.841 6.635 10.828 19．（本小题17分）今年立秋以后，我国西南地区持续性高温登上热搜，引发关注讨论．根据专家推测，主要是由于大陆高压和西太平洋副热带高压呈现非常强大，在高压的控制下，西南地区上空晴朗少云，在太阳辐射增温和气流下沉增温的共同作用下，两个地区的气温出现了直接攀升的状态．西南地区某城市一室内游泳馆，为给顾客更好的体验，推出了A和B两个套餐服务，顾客可自由选择A和B两个套餐之一；该游泳馆在平台上推出了优惠券活动，下表是App平台统计某周内周一至周五销售优惠券情况． 星期 1 2 3 4 5 销售量（张） 218 224 230 232 236 经计算可得，，． （1）已知关于的经验回归方程为，求关于的经验回归方程； （2）若购买优惠券的顾客选择A套餐的概率为，选择B套餐的概率为，并且A套餐包含两张优惠券，B套餐包含一张优惠券，记平台累计销售优惠券为张的概率为． （ⅰ）求、及； （ⅱ）求及的最值． 参考公式：，． 学科网（北京）股份有限公司 $ 答案和解析 1.【答案】  【解析】解：由题可知，．故选：． 2.【答案】  【解析】前面不等式的解为，后面不等式的解为根据小范围能推大范围得到答案A 3.【答案】  【解析】由散点图可知第图表示的正相关，且第个图中的点比第个图中的点分布更为集中，故第图表示的负相关，且第个图中的点比第个图中的点分布更为集中，故，，且，故．综上，可得． 4.【答案】  【解析】解：当时，不等式为，即，显然在有解，符合题意； ，命题“”为真命题， 当时，对于抛物线，开口向下， 显然在有解，符合题意； 当时，对于抛物线，开口向上， 只需，解得或， 又，所以或， 综上，实数的取值范围是或，即． 故选：． 5.【答案】  【解析】解：因为，，对于选项A：可得，故A错误；对于选项B：因为，所以，故B错误；对于选项C：因为，则，所以，故C错误；对于选项D：因为，则，所以，故D正确；故选：． 6.【答案】  【解析】由题意知函数单减，需保证分段单减和整体单减，可得解得C 7.【答案】  【解析】解：设事件表示“小孩诚实”，事件表示“小孩说谎”， 则，，，， 则，， 故，故．故选：． 8.【答案】  【解析】解：令，则， 函数， 可化为，定义域为， 令， 因为， 所以函数是偶函数，其图象关于轴对称， 那么函数的图象关于直线对称， 当时，， 易得和都在上单调递增， 则在上单调递增，上单调递减， 所以等价于， 两边平方得， 移项化为，因式分解得， 解得， 所以实数的取值范围是．故选：． 9.【答案】  【解析】解：因为，为正实数，所以，当且仅当时取等号，所以，故A错误；由题意可得，，所以，当且仅当，即，时取等号，故B正确；因为，且，根据二次函数的性质可知，当时，上式取得最小值，故C正确；因为，所以，所以，当且仅当时取等号，故D正确． 故选：． 10.【答案】  【解析】解：对于，由随机变量服从二项分布， 则，所以A正确； 对于，由随机变量服从正态分布，且， 可得， 根据正态分布曲线的对称性，可得，所以B正确； 对于，根据期望和方差的性质，可得，，所以不正确； 对于，由随机变量满足， 可得， 根据二次函数的性质可知：当时，随的增大而增大， 所以不正确．故选：． 11.【答案】  【解析】对于，设函数，其定义域是，关于原点对称，那么函数，因此函数是奇函数，而函数，的图象向上平移个单位得到的图象，因此函数的图象关于点对称，故A正确；对于，对函数求导可得，其中，当且仅当，即时等号成立，此时，因此导函数恒成立，因此函数在上单调递增，故B错误；对于，由于函数的图象关于点对称，因此那么不等式可化为又函数在上单调递增，因此，解得，故C正确；对于，由于，，因此可得，即设，，则其中，所以，故D正确故选ACD． 12.【答案】  【解析】第一步选个空给两个有种选法，第二步从剩下的个空中选个空给两个有种选法，最后剩一个空排即可，根据分步乘法计数原理有种排法． 13.【答案】  【解析】由题意得，整理得 14.【答案】  【解析】解：当时，，故函数在上单调递增，因此不存在最小值； 当时，， 当时，，故函数存在最小值； 当时，，故函数在上单调递减， 当时，；当时，． 若，则不存在最小值，故，解得． 此时满足题设； 当时，，故函数在上单调递减， 当时，；当时，． ，， 因此不存在最小值． 综上，的取值范围是．故答案为：． 15.【答案】解：为奇函数，证明如下： 令，可得，所以， 令，可得，所以， 又的定义域为，关于原点对称，故为奇函数； 任取，，且，则， 于是， 因为，所以， 由题意， 又为奇函数，所以， 所以，即，在上单调递减， 因为为奇函数，所以在上单调递减， 所以在上单调递减， 由，可知， 所以不等式，等价于， 所以，解得， 所以，原不等式的解集为．  16.【答案】解：当时， ， 当时，， 综上，年利润函数解析式为： 当时，， 当时，最大值； 当时，， 有，当且仅当，即在定义域内时取等号， 因此， 第一段最大值为万元，第二段最大值为万元， 故当年产量为台时，全年利润最大，为万元．  17.【答案】解：由展开式的二项式系数和为， 可得，即， 由，得； 令，得， 令，得， 所以； 由， 因为能被整除，被整除后余数为． 所以被整除的余数为．  18.【答案】解：由已知得列联表如下： 疾病 生活习惯 合计 具有 不具有 患病 未患病 合计 零假设为：该市市民患有疾病与是否具有生活习惯无关． 根据列联表中的数据，经计算得到： ． 依据的独立性检验，推断不成立，即认为该市市民患有疾病与是否具有生活习惯有关，此推断犯错误的概率不大于． 由数据可得：，， 所以． 由题意知可用估计的分布， 所以的估计值为．  19.【答案】解：由题意，， 则， ， 所以关于的经验回归方程为． 由题意，可知， ， ． 求解另一种方法： 当时，，即， 又， 所以当时，数列为各项都为的常数列， 即， 所以，， 又， 所以数列为首项为，公比为的等比数列， 所以，即． 当为偶数时，，且随的增大而减小， 因此的最大值为 当为奇数时，，且随的增大而增大， 因此的最小值为， 综上所述，的最大值为，最小值为．  第1页，共1页 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $