精品解析：河北黄骅中学等校2025-2026学年高二上学期2月期末数学试题

高二数学卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 2. 直线与直线的距离为（ ） A. 1 B. C. D. 3. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 4. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知双曲线的焦距为6，则为（ ） A. 5 B. C. D. 32 6. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C 若，则 D. 若，则 10. 已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在k，使得的倾斜角为90° B. 对任意的k，与都有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 11. 已知双曲线的渐近线分别为，，为双曲线上一个动点，，，斜率为的直线与双曲线交于两点，平面内动点满足分别与，平行，则下面结论正确的是（ ） A. 点到渐近线的距离为2 B. 的最小值为 C. 在直线上 D. 的最小值为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________． 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________． 14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则双曲线E的离心率为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：，点P（1，4），且直线l经过点P． （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l倾斜角为，求l被圆C截得的弦长． 16. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 18. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为. （1）求抛物线的准线方程； （2）设过焦点直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程. 19. 已知双曲线的离心率为2，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高二数学卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知为空间的一组基底，能与组成基底的向量是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据空间向量共面基本定理可得结果. 【详解】由于，，， 由空间向量共面基本定理知，，，均与共面， 不能构成一组基底，故ABD均错误. 故选：C. 2. 直线与直线距离为（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用平行线的距离公式求距离即可. 【详解】由，显然与平行， 所以它们的距离为. 故选：D 3. 圆的圆心坐标是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标. 【详解】圆，即， 所以圆心为. 故选：D 4. 下列方程表示的椭圆中，形状最接近于圆的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据离心率越小，越接近于圆，写出各项椭圆的离心率并比较大小，即可得答案. 【详解】由椭圆性质知，离心率越小，越接近于圆， 对于，， 对于，， 对于，， 对于，， 显然的离心率最小. 故选：D 5. 已知双曲线的焦距为6，则为（ ） A. 5 B. C. D. 32 【答案】A 【解析】 【分析】由双曲线的相关概念求解即可. 【详解】因为双曲线的焦距为6， 所以，即，且，， 所以，故， 故选：A 6. 设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果. 【详解】因为直线与抛物线交于两点，且， 根据抛物线对称性可以确定，所以， 代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为， 故选：B. 【点睛】该题考查是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目. 7. 已知，，若直线上存在点P，使得，则t的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设，根据，得出的轨迹方程，再结合条件为直线上的点，得到直线与圆的位置关系，即可求解. 【详解】设，则，， 因为，所以， 即，所以点在以为圆心，4为半径的圆上. 点在直线上， 所以直线与圆有公共点， 则，解得 故选:B. 8. 椭圆的左、右焦点分别是，，斜率为1的直线过左焦点，交于，两点，且的内切圆的面积是，若椭圆的离心率的取值范围是，线段的长度的最小值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题可求得，，即可得出，再根据离心率范围即可求出. 【详解】 设的内切圆的圆心为，半径为，则，解得， ， 又 ， ，， ，，则，即， 所以线段的长度的最小值为. 故选：D. 二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求. 9. 已知直线l的一个方向向量为，平面α的一个法向量为，则下列说法正确的有（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】根据直线与平面的位置关系，推断直线方向向量与平面法向量的关系，进而用空间向量的坐标表示，最后求出参数关系. 【详解】若，则，故，即，化简得. 故选项正确，选项错误. 若，则，故存在实数使得，即，化简得. 故选项错误，选项正确. 故选： 10. 已知直线：，动直线：，则下列结论正确的是（ ） A. 不存在k，使得的倾斜角为90° B. 对任意的k，与都有公共点 C. 对任意的k，与都不重合 D. 对任意的k，与都不垂直 【答案】BD 【解析】 【分析】根据两直线的位置关系求解判断. 【详解】A错，当时，：，符合倾斜角为90°； B对，：过定点，而点也在：上，所以对任意的k，与都有公共点； C错，当时，：，然与：重合； D对，要使与垂直，则，即，显然不存在这样的k值． 故选：BD. 11. 已知双曲线的渐近线分别为，，为双曲线上一个动点，，，斜率为的直线与双曲线交于两点，平面内动点满足分别与，平行，则下面结论正确的是（ ） A. 点到渐近线的距离为2 B. 的最小值为 C. 在直线上 D. 的最小值为 【答案】AD 【解析】 【分析】选项A，由点到直线的距离公式可得；选项B，由双曲线的定义，得，进而可得；选项C：分别设，，联立两直线方程可得点坐标，再分别联立双曲线方程可得，，由可得，进而可得；选项D：设与双曲线C相切，则的最小值为与的距离，由与双曲线C相切求得的值，进而可得. 【详解】对于A，双曲线，其渐近线方程为，即， 点到渐近线的距离，故A正确； 对于B，由图可得，要取最小值，则点在第一象限， 由题知双曲线的焦点为，， 由双曲线定义知，则， 则 当且仅当三点共线且在之间时，取最小值，故B错误； 对于C，双曲线的渐近线为，设：，：， 设，， 联立，可得，即. 联立，即，解得， 将代入，得， 所以. 联立，即，解得， 将代入，得， 所以. 所以 ， 由，得，所以T在直线上，故C错误； 对于D，设与双曲线C相切， 联立，得，即， 所以，解得， 当时，的最小值为与的距离， 即与的距离，即为， 同理当时，的最小值为与的距离， 即为 综上所述，的最小值为，故D正确． 故选：AD 【点睛】关键点点睛：选项C中，可从直线两直线出发，求出三点坐标，再利用直线的斜率得到的横纵坐标的关系即可. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量，，，若向量，，共面，则实数的值为________． 【答案】1 【解析】 【分析】依题意可得存在实数，使得，从得到方程组，解得即可. 【详解】解：因为向量，，共面，所以存在实数，使得， 即，所以，解得． 故答案： 13. 已知椭圆的左、右焦点分别为，若椭圆上存在一点使，则该椭圆的离心率的取值范围为__________． 【答案】 【解析】 【详解】试题分析：在△PF1F2中，由正弦定理得：，则由已知得：， 即：a|PF1|=|cPF2| 设点（x0，y0）由焦点半径公式， 得：|PF1|=a+ex0，|PF2|=a-ex0,则a（a+ex0）=c（a-ex0） 解得：x0=，由椭圆的几何性质知：x0＞-a则>-a 整理得e2+2e-1＞0，解得：e＜--1或e＞-1，又e∈（0，1）， 故椭圆的离心率：e∈(-1，1)，故答案为(-1，1)． 考点：本题主要考查了椭圆的定义，性质及焦点三角形的应用，特别是离心率应是椭圆考查的一个亮点，多数是用a，b，c转化，用椭圆的范围来求解离心率的范围． 点评：解决该试题的关键是能通过椭圆的定义以及焦点三角形的性质得到a,b,c的关系式的转换，进而得到离心率的范围． 14. 如图1所示，双曲线具有光学性质：从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：（，）的左、右焦点分别为，，从发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且，，则双曲线E的离心率为________． 【答案】## 【解析】 【分析】设，由三角函数表达出其他边长，由双曲线定义求出，从而利用勾股定理求出，从而得到离心率. 【详解】如图，由⊥，，可得， 在Rt中，由，不妨设，则， 由勾股定理得， 又由双曲线的定义可得，， 根据可得，解得， 所以，， 故在中，，即， 故， 故双曲线E的离心率为． 故答案为：. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15. 已知圆C：，点P（1，4），且直线l经过点P． （1）若l与C相切，求l的方程； （2）若l的倾斜角为，求l被圆C截得的弦长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对直线l的斜率不存在和存在两种情况进行讨论，根据点到直线的距离等于半径即可求解.； （2）根据点到直线的距离公式及垂径定理即可求解. 【小问1详解】 由知，圆C的圆心坐标为，半径为5. 当直线l的斜率不存在时，即直线的方程为：， 圆心C到直线l的距离为，故与圆C不相切，不满足题意； 当直线l的斜率存在时，设直线为：，即， 则圆C的圆心到直线l的距离，解得， 故直线l的方程为， 综上：直线l的方程为 【小问2详解】 由l的倾斜角为， 所以直线l的方程为， 圆C的圆心到直线l的距离为， 由垂径定理得，l被圆C截得的弦长为， 16. 已知椭圆的焦距为，离心率为. （1）求椭圆的方程； （2）若过点的直线交椭圆于，两点，且为线段的中点，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据椭圆的焦距为，离心率为，由，求解； （2）设，，则，，利用点差法求解. 【小问1详解】 解：，， 所以，， 又， 所以， 椭圆的标准方程为. 【小问2详解】 设，， 则，， 两式相减可得， 为线段的中点， 则，， ， ， 直线的方程为， 整理得：. 17. 如图，四棱锥中，底面ABCD，，． （1）若，证明：平面； （2）若，且二面角的正弦值为，求． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）先证出平面，即可得，由勾股定理逆定理可得，从而 ，再根据线面平行的判定定理即可证出； （2）过点D作于，再过点作于，连接，根据三垂线法可知，即为二面角的平面角，即可求得，再分别用的长度表示出，即可解方程求出． 小问1详解】 因为平面，而平面，所以， 又，，平面，所以平面， 而平面，所以. 因为，所以， 根据平面知识可知， 又平面，平面，所以平面． 【小问2详解】 如图所示，过点D作于，再过点作于，连接， 因为平面，所以平面平面，而平面平面， 所以平面，又，所以平面， 根据二面角的定义可知，即为二面角的平面角， 即，即． 因为，设，则，由等面积法可得，， 又，而为等腰直角三角形，所以， 故，解得，即． 18. 已知抛物线的焦点到其准线的距离为. （1）求抛物线的准线方程； （2）设过焦点的直线与抛物线交于两点，为坐标原点，记的面积为，当时，求直线的方程. 【答案】（1） （2）或. 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求出，进而求出准线方程； （2）联立直线与抛物线方程，结合韦达定理将的表达式求出来，进而可求得直线方程. 【小问1详解】 抛物线焦点为，准线为， 由题意得，故准线方程为. 【小问2详解】 由（1）可得抛物线的方程为，焦点， 显然直线的斜率不可能为零，故可设直线的方程为， 代入抛物线方程整理得，， 设，则， ， ， 由，得，解得， ∴直线的方程为或. 19. 已知双曲线的离心率为2，且过点． （1）求双曲线的标准方程； （2）过的右焦点的直线与的左、右两支分别交于两点（异于顶点）， ①证明：以为直径的圆恒过定点，并求出的坐标； ②对于①中的，设过的中点且与轴平行的直线与的右支交于点，直线与的交点为，证明：． 【答案】（1） （2）①证明见解析， ；②证明见解析 【解析】 【分析】（1）根据题意可得关于的方程组，求解即可得双曲线的方程； （2）（i）设点，直线方程为，与双曲线方程联立方程组可得，设，利用对恒成立可求得定点的坐标；（ii）求得的坐标，可求得，进而可得四点共圆，可证得结论． 【小问1详解】 由题意． 将点代入双曲线方程得，解得． 所以，双曲线的方程为； 【小问2详解】 （i）设点，直线方程为， 联立方程，得， 所以，， ． 设，则 ， 即对任意恒成立． 所以，解得 所以，以为直径的圆恒过点． （ii）． 由题意可知，代入双曲线方程可得， 设的中点为，则 ， 所以，所以． 又，所以四点共圆． 由相交弦定理得． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $