河北保定市部分校2025-2026学年高二下学期6月阶段检测数学试题

高二数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合 题目要求的. l.“Vx∈R,sin66x≤66x”的否定为 A.3x∈R,sin6x≤66x B.]x∈R,sin66x>66.x C.Vx∈R,sin66x>66.x D.]x∈R,sin6x≥66.x 2.已知集合A={x|x<4},B={x|x2-2x<3x2},则A∩B= A.(-1,4) B.(0,4) C.(-o∞，0)U(1,4) D.(-∞，-1)U(0,4) 3.(-)°的展开式中常数项为 A.252 B.264 C.248 D.240 4.已知随机变量X~N(6,σ)，Y~N(8,σ)，o1>0,o2>0,且其密度曲线如图所示，则 A.01<02 B.P(X≤6)<P(Y≤8) C.P(X≤6)>P(Y≤6) D.P(X≤10)=P(Y≤10) 6810 5.通俗歌曲记谱常采用简谱，do,re,mi,fa,sol,la,si为基础音级，对应简谱数字记号分别为1， 2,3,4,5,6,7.现截取一段经典乐曲片段，统计各音级出现的频次，如下表所示，整段乐谱共 20个音级.若从该段乐谱中随机抽取2个音级进行练习，则恰好是1个sol和1个la的概率 为 音级 do(1) re(2) mi(3) fa(4) sol(5) la(6) si(7) 频次/次 2 3 2 5 3 1 A品 a局 c n最 6.某农业科研团队连续7年对某新品农作物第x(x=1,2,3,4,5,6,7)年的亩产量y(单位：百 公斤)进行跟踪记录，用最小二乘法得到y关于x的经验回归方程为y=0.5x十m,且 含含，=2.1，则m A.1.9 B.2.1 C.2.3 D.2.5 7.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=k(k十2)k=2,4,6,8,10),则m= 号 c是 B易 【高二数学第1页（共4页）】 8.若关于x的不等式2x-3z2-12x+2-m≤0在x∈[-1，十o©)上有解，则m的最小 值为 A-20+号 B.-10-1 e c-10- D-20- 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要 求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分 9.袋中有n(n∈N*)个白球和4个黑球，从中任取1个球，记事件W为取到白球.设p:P(W) 2 <3,9:0<n<6,则 A当n=2时，P(w)=号 B.p是q的充分不必要条件 C.当n=7时，p为假命题 D.q是饣的充分不必要条件 10.若(1-6.x)2026=a0十a1x十a2.x2+…十a226x2o2s,则 A.ao=0 a号+餐++…+ 620e6=-1 C.ao|+|a1+|a2+…+la226l=722s D.2(ao十a1十a2十…十a22s)能被1250整除 11.给定非空数集P,设集合A={x|x=s+t,s∈P,t∈P},B={x|x=s一t,s≥t,s∈P, t∈P,card(P)为P中元素的个数.设集合M={x∈N|x-r≤0，r为常数，r∈R}, card(M)=999.若Vλ∈P,则入∈M;若Vu∈A,则μB.下列结论正确的是 A.PCM B.card(P)的值可能为669 C.B的最大元素不大于665 D.card(P)的值可能为666 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12.若随机变量X~B(40,2),则D(X)=▲一D(9X+9)=▲一· l3.已知函数f(x)=sinx一sin2x一(1十a)x为减函数，则a的取值范围是▲ 14.某建筑材料实验室有5份（编号分别为1,2,3,4,5）同批次的仿古青砖试样，其中仅1份含 有符合明代官窑标准的矿物成分（检测员知道是哪一份）.实习生先随机选取1份试样做编 号登记，暂不开展检测；检测员再从剩余4份试样中随机取出1份不含目标矿物的试样，用 于常规成分演示检测.已知实习生选了1号试样，则在检测员检测2号试样的情况下，目标 矿物在3号试样的概率为▲ 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤， 15.(13分) 某批古琴琴轸的直径X(单位：mm)服从正态分布N(9,0.2), (1)从这批古琴琴轸中随机抽取一件，求其直径在[8.6,9.2]内的概率； (2)设直径在[8.4,9.6]之外的古琴琴轸被判定为不合格，若从这批古琴琴轸中随机抽取一 件，求其不合格的概率 参考数据：若X~N(μ，o2),则P(μ一o≤X≤十o)=0.6827,P(μ-2o≤X≤+2o) =0.9545,P(4-36≤X≤4+3o)=0.9973. 【高二数学第2页（共4页）】 16.(15分) 钟表匠要修复7台(A,B,C,D,E,F,G)不同的古董钟表 (1)若A,B,C这3台古董钟表的修复顺序互不相邻，则共有多少种不同的修复顺序？ (2)若B在A之后修复，在C之前修复，则共有多少种不同的修复顺序？ (3)若C不能作为首台修复，且B,D必须连续修复，则共有多少种不同的修复顺序？ 17.(15分)》 某环境监测站对一款水质检测设备进行算法优化，规定检测误差率低于3%的检测结果为合 格.技术人员分别采集该设备优化前、优化后对同一批水样的检测数据并加以统计，得到如下 2X2列联表： 单位：份 检测结果 设备 合计 合格 不合格 优化前 82 18 100 优化后 98 2 100 合计 180 20 200 (1)根据表中数据，依据小概率值α=0.001的独立性检验，能否认为该设备算法优化与检测 结果的准确性有关联？ (2)用样本分布的频率估计总体分布的概率，若现在随机抽取该设备算法优化后的水样 1000份，记其中检测结果为合格的份数为Y,求使事件“Y=k”的概率最大时的值。 参考公式及数据：X2= n(ad-bc)2 (a+b)(c+d)(a+c)(6+d,其中n=a+b+c+d. a 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 【高二数学第3页（共4页）】 18.(17分) 设函数g(x)=2(1一x)e十x2,且关于x的方程g(x)+(n一1)x2=0有两个不相等的根 x1,x2, (1)证明：g(x)无极值. (2)求n的取值范围. 10. (3)证明：1 x1 x2 19.(17分) 微纳机器人集群靶向药物输送技术中，微纳机器人的运动状态直接影响药物输送效率，某科 研团队对6台微纳机器人的运动状态进行动态调控. 1.动态调控按初始运动模式分为三类，每类对应固定的输送效能值： ①低速巡航模式：4台微纳机器人，处于基础巡航状态，单台输送效能值记为1. ②中速靶向模式：2台微纳机器人，处于精准寻靶状态，单台输送效能值记为2. ③高速渗透模式：初始0台，处于病灶渗透状态，单台输送效能值记为3. 2.调控规则：控制系统每次等可能随机选取1台微纳机器人发送调控指令，机器人接收指令 后按以下规则切换运动模式 ①若选取低速巡航模式机器人：接收指令后维持原模式，运动状态不改变， ②若选取中速靶向模式机器人：成功接收渗透指令，切换为高速渗透模式，状态更新， ③若选取高速渗透模式机器人：已达最优输送状态，模式保持稳定，不再变更， 定义第n(n∈N)次调控完成后，6台微纳机器人的总输送效能值为随机变量Xm,其所有可能 取值为8,9,10.记pn=P(Xn=8),9m=P(Xn=9),rn=P(Xn=10),且pm十qm十rn=1. (1)求p2,92,r2; (2)用pm,qm,rm表示E(Xm+1)； (3)求E(Xn). 【高二数学第4页（共4页）】高二数学参考答案 题序 2 3 4 5 6 7 9 10 11 12 13 14 答案 B D Γ17 A A A D AD BCD ACD 10;810 16,+o 15 【评分细则】 【1第18题，凡与答案不符的均不得分. 【2】第9题，全部选对的得6分，有选错的不得分，每选对一个得3分；第10,11题，全部选对的 得6分，有选错的不得分，每选对一个得2分 【3】第12题第一空3分，第二空2分， 【4第13题的答案也可以写为ae>. 【5】第14题，其他结果均不得分. 1.B【解析】本题考查全称量词命题的否定，考查逻辑推理的核心素养. “Vx∈R,sin66x≤66x”的否定为“]x∈R,sin66x>66x” 2.D【解析】本题考查集合的交集运算，考查数学运算的核心素养 由题意得B=(-∞，-1)U(0,十∞)，所以A∩B=(-∞，一1)U(0,4). 3.A【解析】本题考查二项式定理，考查数学运算的核心素养。 (3-x°展开式的通项T+1=C(3)”（-x)r=(-1rC3-x%,r∈0,123,4， 5,67,8.令4r-24=0,得r=6,所以(3-x)°的展开式中常数项为C×32=252. 4.C【解析】本题考查正态分布，考查逻辑推理与直观想象的核心素养 由图可知，>，所以a1>,A结误.P(X≤6)=P(Y<8)-7,B结误. P(Y≤6)<P(X≤6)=2，C正确.P(X<10)<P(Y≤10)，D错误， 5.A【解析】本题考查超几何分布，考查逻辑推理的核心素养， 记事件A为“抽取的这2个音级恰好是1个sol和1个1a”,则P(A)= CC 3 C8.38 6.C【解析】本题考查经验回归方程，考查数学运算的核心素养。 由表中数据得容，=1十2+3十4十5十6+7=28，所以名，=301.x-公-4-01 7 4.3,则4.3=0.5×4十m,解得m=2.3. 7.A【解析】本题考查分布列的性质，考查数学运算的核心素养。 【高二数学·参考答案第1页（共7页）】 根器分布列的件质有2设6十及880十0受2号×（日）m=1,架得m _24 8.D【解析】本题考查导数的应用，考查逻辑推理的核心素养 依题意得m≥(2x-3x2-12x+1号）令fx)=2x-3x2-12x+号(x≥-10则 f'(x)=6x2-6r-12+-2=(z-2).(6x+6)e+ .因为x∈[-1，十∞)，所以(6x十 e 6)e+1>0,则当-1≤x<2时，f'(x)<0,f(x)单调递减，当x>2时，f'(x)>0,f(x)单 调递增，所以f(x)≥f(2)=一20专则m≥-20是· 1 9.AD【解析】本题考查充分必要条件、命题真假的判断及概率，考查逻辑推理的核心素养， 当n=2时，P(W=2子号A正确若P(W<号则，g<号解得0C<8,所以p是 21 q的必要不充分条件，q是p的充分不必要条件，B错误，D正确.当n=7时，p为真命题，C 错误。 10.BCD【解析】本题考查二项式定理，考查逻辑推理与数学运算的核心素养。 令=0，则a,=1,A错误令石得a,十号+器十…十器-0，所以号+十十 2=-1,B正确.令x=-1,得722s=ao-a1十a2-…十a22s,所以ao|+|a1十a2 62026 十…+a226=72o26,C正确.令x=1,得52026=a0十a1十a2十…十a226,则2(a0十a1十a2 +…十a226)=1250X5222,D正确. 11.ACD【解析】本题考查集合的新定义，考查数学抽象与逻辑推理的核心素养 由题意可得M={x∈Nx≤998}.因为Hλ∈P,λ∈M,所以P二M,A正确. 设P={y1,y2,…,y:}(0≤y1<y2<<y:≤998，y:∈N,i∈N,i≤999). 由2y1<y1+y2<y1+y3<…<y1+y:<y2十y:<y3+y:<…<y:-1十y:<2y:,得 card(A)≥2i-1,由0-y1-y1<y2-y1<y3-y1<<y:-y1,得card(B)≥i.因为Hμ ∈A,μtB,所以card(AUB)≥3i-1.因为0∈B,2y:∈A,所以0∈(AUB),2y:∈ (AUB),所以card(AUB)≤2y:+1,所以3i-1≤2y:十1≤2×998+1，所以i≤666. 设P={ξ，+1，+2，…，998}，∈N,则A={2,2ξ+1,2ξ十2，…，1996}，B={0,1,2,…, 98-,所以98-<2解得>9，所以的最小值为33，则98-≤65，C正确 当=333时，可取P={333,334,335,…,998},此时card(P)取得最大值，最大值为998- 333+1=666,B错误，D正确. 12.10;810【解析】本题考查二项分布的方差及方差的性质，考查数学运算的核心素养。 【高二数学·参考答案第2页（共7页）】 依题意得D(X)=40×2×(1-2)=10,所以D(9X+9)=81D(X)=810. 16+o) 【解析】本题考查导数与函数的单调性，考查逻辑推理的核心素养 由题意得f'(x)=cosx-2cos2x一1一a,则f'(x)≤0在R上恒成立，即a≥cosx 2cos2x-1.因为cosx-2cos2x-1=cosx-2(2cos2x-1)-1=-4cos2x十cosx+1,所 以令：=eo,则：∈[-1，，设g)=-4++1=-4(:-日》广+名≤品所以 洛 14. 【解析】本题考查全概率公式和贝叶斯公式，考查逻辑推理与数学运算的核心素养 设事件A:(i=1,2,3,4,5)表示编号为i的试样含有符合明代官窑标准的矿物成分，事件B, (i=1,2,3,4,5)表示检测员检测i号试样，则P(A1)=P(A2)=P(A3)=P(A4)=P(A) -写，P(B,A,)=子，P(B,A)=0,P(B:1A,）-P(B:A,)=P(B:A)=3所以 PB,)-含P(B,A,)PA,)=号×日+号x0+号×号+号×号+号xg-子，所以 1、1 P(A:lB2)= P(B2|A3)P(A3) 3×5 4 P(B2) 1 151 15.【解析】本题考查正态分布的实际应用，考查应用意识. 解：1根据题意可得P(8.6≤X≤9.2》=0.9545+0.6827=0.8186.…7分 2 2 (2)P(X<8.4)+P(X>9.6)=1-P(8.4≤X≤9.6)=1-0.9973=0.0027， 所以这件古琴琴轸不合格的概率为0.0027.…13分 【评分细则】 第(2)问中，直接写出这件古琴琴轸不合格的概率为1一0.9973=0.0027，不扣分. 16.【解析】本题考查排列组合的实际应用，考查应用意识， 解：(1)D,E,F,G的修复顺序有A=24种，…2分 由插空法可知共有24A=1440种不同的修复顺序.…5分 (2)这7台古董钟表的修复顺序有A7=5040种， 6分 其中A,B,C这3台的修复顺序有A=6种，…7分 所以共有衫040840种不同的修复顺序，0 10分 (3)将B,D捆绑的修复顺序有A=2种， 11分 首台修复的钟表有C=5种选择， 13分 所以共有2×5A=1200种不同的修复顺序. 15分 【高二数学·参考答案第3页（共7页）】 【评分细则】 【1】第(2)问还可以这样解答： 先排A,B,C的修复顺序有1种， …6分 再依次将其他钟表插入进去的修复顺序有4×5×6×7=840种. 10分 【2】第(3)问还可以这样解答： 关于B,D连续修复的修复顺序有A经Ag=1440种，…12分 若C作为首台修复，且B,D连续修复，则修复顺序有AA=240种，…14分 所以C不能作为首台修复，且B,D必须连续修复的修复顺序有1440一240=1200种. …15分 【3】若学生作答未作任何文字说明，但结果正确的，每问扣1分 17.【解析】本题考查独立性检验与二项分布，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， 獬：(1)零假设为H。:该设备算法优化与检测结果的准确性无关联.…1分 X2=200X(82X2-98X182 100×100×180×20 =14.222>Z001=10.828, 5分 故依据小概率值α=0.001的独立性检验，我们推断H。不成立，即依据小概率值α=0.001 的独立性检验，认为该设备算法优化与检测结果的准确性有关联，此推断犯错的概率不大于 0.001. 6分 (2)依题意，因为该设备算法优化后的水样的检验合格率为100一50， 9849 …7分 所以YB(100,8 ,则P(Y=)=Cm().(》 000-3 ,k=0,1,2,…,1000.… …9分 c品(8·( 999 P(Y=k+1) 1000-k X49=49000-49k P(Y=k) …12分 000- k+1 k+1 ）·（50 由4900二49k1,解得k<979.98,因为k∈N,所以当0≤5≤979时，PY=k)<PY= k+1 +1)； …13分 由4900,49胞1，解得k>979.98,即当k≥980时，PY=)>PY=+1D.…14分 k+1 故当事件“Y=k”的概率最大时，k=980. 15分 【评分细则】 【1】第(1)向中，学生写“X2-200×(82×2-98×18) 100×100×180×20 >x0.0o1=10.828”,不扣分. 【2]第(2)向中，学生直接由P=+1) P(Y=k) 1000-k >1,得出0≤k≤979， Com（50） 【高二数学·参考答案第4页（共7页）】 999-k ()( <1,得出≥980，均不扣分；若学生未写出当0 c(·(w ≤k≤979时，P(Y=k)<P(Y=k+1),当k≥980时，P(Y=k)>P(Y=k+1),扣1分 18.【解析】本题考查导数与函数零点的综合运用，考查逻辑推理与数学运算的核心素养， (1)证明：由题意得g(x)=一2e2+2(1一x)e十2x=2x(1-e2).…1分 当x<0时，g'(x)<0,g(x)单调递减；… 2分 当x>0时，g'(x)<0,g(x)单调递减.故g(x)无极值.…3分 (2)解：设函数h(x)=g(x)+(n-1)x2=2(1-x)e+nx2,则h(x)有两个零点 当x=0时，h(x)=2,所以0不是h(x)的零点.… …4分 当x≠0时，令h(x)=0,即m=2x-1)e x2 …5分 设u(x)=2(x-1)e ,则k'(x)=2(x2-2x十2)e 6分 当x<0时，'(x)<0,μ(x)单调递减；当x>0时，μ'(x)>0,(x)单调递增。…7分 当x<0时，μ(x)<0,因为4(1)=0，所以当0<x<1时，μ(x)<0,当x>1时，μ(x)>0. 8分 因为h(x)有两个零点，所以n<0,即n的取值范围为（一∞，0）.…9分 (3)证明：由(2)得n<0,不妨设x1<0<x2,所以x1x2<0. 要证2十1>0，即证x1十x2<0,即证x<一x1.…10分 2℃2 因为x2>0,一x1>0,4(x)在(0，十∞)上单调递增，所以只需证μ(x2)<μ(-x1). 因为(x1)=以(x2)=n,所以只需证(x1)μ(-x1).…11分 设kx）=u(x)-u(-x)(x<0),则k'(x)=k(x)十4'(-x)=2x2-2x+2)e 2心 2(x2+2x+2)e_2(x2-2x+2)e2-2(x2+2x+2) …12分 x3 设ω(x)=2(x2-2x+2)e2x-2(x2+2x+2)(x<0), 则w'(x)=4(x2-x十1)e2-4(x+1). 设r(x)=4(x2-x+1)e2x-4(x+1)(x<0),则r'(x)=4(2x2+1)e2x-4. 设m(x)=4(2x2+1)e2x-4(x<0),则m'(x)=8(2x2+2x+1)e2>0,所以m(x)在 (一o∞，0)上单调递增，则m(x)<m(0)=0,… …13分 所以r(x)<0,则r(x)在（一∞，0）上单调递减，所以r(x)>r(0)=0,·14分 则w'(x)>0,所以w(x)在(-o∞，0)上单调递增，所以w(x)<w(0)=0,…15分 所以k'(x)>0在（一∞，0）上恒成立，即k(x)在（一∞，0）上单调递增，所以k(x)<k(0)= 0,…16分 【高二数学·参考答案第5页（共7页）】 所以u(x)<u(一x)在(-∞，0)上恒成立.因为x1∈（一∞，0），所以μ(x1)<μ（一x1),得 证 ……17分 【评分细则】 【1】第(2)问中，学生直接令h(x)=0,得m=2(x-1)e ,未说明x≠0，扣1分. 【2】第(3)问中，未说明u(x)在(0，十∞)上单调递增，直接得出需证(x2)<μ（一x1), 扣1分. 19.【解析】本题考查随机变量的期望与数列的综合，考查逻辑推理与数学抽象的核心素养. 解：1由题意得1=P(X1=8)=号91=P(X,=9)=分1=P(X=10)=0,…1分 则-PX-8》-号×号- 2分 …3分 =P(X:=10=x名- …4分 (2②)若X.=8,则E0X-1X.=8)=8X号+9×号+10X0 25 3 5分 若X,=0,则ExX,=9》=8x0+9×号+10x日-要， 6分 若Xm=10,则E(Xm+1X.=10)=8×0+9×0+10×1=10. …7分 所以E(X)二25.十55g+10r …9分 (3)由题意得E(X)=8p.+9gn十10rn,由(2)得E(Xn+1) 50pn+55g.十607，则可设 6 E(Xnt1)=A(8p.+9g.十10r)+u(p十q.+r,) 6 10分 所以8入十μ=50,9以十μ=55,10以十μ=60，…11分 解得入=5，以=10，…12分 所以EX)-哥5X.)+ 3 …13分 则E(X+1)-10=[E(X,)-10]. …14分 因为E(X,)-8×号+9X号+10X0=5,E0x)-10=-8 3, …15分 所以E(X,)-10是以-号为首项，号为公比的等比数列，所以E(X,)-10= 5 3十 …16分 【高二数学·参考答案第6页（共7页）】 即E(X)=10-号×()=10-2×()”. …17分 【评分细则】 【篇(1间中，学生写“p:=PX:=8)-青g:=P(X,=9》=r=P(X&=10)=”, 结果正确，但没有过程，扣1分. 【21第(2)间中，学生写“E(X)=(8×号+9×号+10×o)p.+(8×0+9×号+10× 吉)a,+(8x0+9X0+10X1D,-空.+百.+10m”,不知分 【3筛(3)向中，学生未说明数列B(X,)一10的首项和公比，直接得出E(X.)一10=一号 ×(合)，不扣分；结果未化简为10-2×（日）”，不扣分. 【高二数学·参考答案第7页（共7页）】