精品解析：浙江省杭州市西湖区杭州第十五中学教育集团2025-2026学年八年级下学期5月24日阶段测试数学试卷

杭州市第十五中学教育集团5月24日阶段学力评估 八年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的相应的地方填写姓名、准考证号码、座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个人工智能的图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 3. 如图，在菱形中，交于点．若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 4. 用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（ ） A. B. C. D. 5. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 6. 已知，则实数a满足（ ） A. B. C. D. 7. 如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图1，在矩形中，要在边，上找点E，F，使四边形为菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则其中一定正确的方案是（ ） A. 甲、乙都是 B. 只有甲才是 C. 只有乙才是 D. 甲、乙都不是 9. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 10. 如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 12. 在平行四边形ABCD中，，则______°． 13. 一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 14. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 15. 若t是方程的一个根，则的值为______． 16. 如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为_______． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 18. 解方程： （1）； （2）． 19. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 20. 如图是由若干个边长为1的小等边三角形构成的钻石型网格，图中各点均在格点上，请按要求在网格中完成作图． （1）请在图1中画出一个以为边的矩形，要求点M和点N均在格点上． （2）请在图2中找到一个格点Q，连接，使得的面积被平分． 21. 如图，四边形各边的中点分别是，，，，四边形是菱形，且． （1）求证：． （2）已知，，求菱形的周长． 22. 某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． （1）若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ （2）如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ （3）如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 23. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求m的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 24. 如图1，在正方形中，点在的延长线上，连结，过点作于点，分别交对角线和边于点． （1）求证：． （2）如图2，连结，已知，设． ①求关于的函数表达式． ②当时，求四边形的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 杭州市第十五中学教育集团5月24日阶段学力评估 八年级数学试题卷 考生须知： 1．本试卷分为试题卷和答题卷两部分．满分120分，考试时间120分钟． 2．答题前，必须在答题卷的相应的地方填写姓名、准考证号码、座位号． 3．所有答案都必须做在答题卷标定的位置，务必注意试题序号和答题序号相对应． 一、选择题（本题有10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列四个人工智能的图标中，属于中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形的识别，中心对称图形是指图形绕着某个点旋转能与原来的图形重合．据此即可求解． 【详解】解：由中心对称图形的定义可知：选项B为中心对称图形，符合题意，选项A、C、D不是中心对称图形，不符合题意； 故选：B． 2. 若二次根式在实数范围内有意义，则a的取值范围是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了解不等式以及二次根式有意义的条件等知识点，根据二次根式有意义的条件，解不等式即可得解，熟练掌握二次根式有意义的条件是解决此题的关键． 【详解】解：∵二次根式在实数范围内有意义， ∴， ∴， 故选：D． 3. 如图，在菱形中，交于点．若，则的长为（ ） A. 5 B. 6 C. 8 D. 10 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了菱形的性质，勾股定理． 由菱形的性质得到，，再根据勾股定理计算即可． 【详解】解：∵在菱形中，交于点， ∴，， ∴， 故选：A． 4. 用反证法证明命题“在中，如果，那么”时，应假设（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是反证法的应用，解此题关键要懂得反证法的意义及步骤．在假设结论不成立时要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须一一否定．根据反证法的步骤中，第一步是假设结论不成立，反面成立解答即可． 【详解】解：用反证法证明命题“若在中，，则”时，首先应假设， 故选：C． 5. 如图，这是一枚2025年发行的正十二边形的纪念币，则该正十二边形一个内角的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先求一个外角的度数为，根据，求解即可； 【详解】解：根据题意，得外角的度数为， 故内角的度数为：； 6. 已知，则实数a满足（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减法，估算无理数的大小，先根据二次根式的减法运算法则计算，然后估算的范围，即可得出答案． 【详解】解：， ∵， ∴， ∴，即． 故选：A． 7. 如图，某小区有一块长，宽的矩形花园，现要修三条入口宽度相等的小路，每条小路的两边是互相平行的．若使剩余面积为．求小路的入口宽度．若设小路的入口宽度为，则根据题意所列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设小路宽为米，根据矩形的面积公式结合剩余的面积为，即可得出关于的一元二次方程，即可得出结论． 【详解】解：设小路的入口宽度为， 由题意可得：， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 8. 如图1，在矩形中，要在边，上找点E，F，使四边形为菱形，现有图2中的甲、乙两种方案，则其中一定正确的方案是（ ） A. 甲、乙都是 B. 只有甲才是 C. 只有乙才是 D. 甲、乙都不是 【答案】B 【解析】 【分析】根据菱形的判定方法，分别分析甲、乙两种方案所得四边形的性质．甲方案利用对角线互相垂直平分判定菱形；乙方案利用角平分线和平行线性质判定平行四边形，但无法判定邻边相等． 【详解】解：对于甲方案： 四边形是矩形， ， ， 是的垂直平分线， ，， 在和中， ， ， ， ，， 四边形是平行四边形， 又， 四边形是菱形，故甲方案正确； 对于乙方案： 四边形是矩形， ， ， 平分，平分， ，， ， ， 又，即， 四边形是平行四边形，但无法证明或， 四边形不一定是菱形， 故乙方案不一定正确； 综上所述，只有甲方案正确 9. 对于一元二次方程（），下列说法中正确的是（ ） ①若，则方程有一根为； ②若方程有两个不相等的实数根，则方程必有两个不相等的实数根； ③若是方程的一个根，则一定有成立； ④若，则方程有两个不相等的实数根． A. ②③④ B. ①②④ C. ①③④ D. ①②③ 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的根的定义和根的判别式的应用，解题关键是利用根的定义代入验证，结合根的判别式的符号判断每个结论的正确性，逐一定证即可． 【详解】解：①将代入方程，得，已知，因此，即是方程的根，故①正确； ②若方程有两个不相等的实数根，其判别式，对于方程，其判别式，因为，，因此，方程必有两个不相等的实数根，故②正确； ③若是方程的根，代入得，整理得，当时，等式不一定成立，故③错误； ④已知，代入方程的判别式得： ， 若，需且，可得，与题设矛盾，因此恒成立，方程有两个不相等的实数根，故④正确； 综上，①②④正确． 10. 如图，点在线段上，射线，连结，以为邻边作，连结，记的长为的长为．若，，，则在点的运动过程中，下列代数式的值不变的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理． 先根据题意求出，，再分别代入四个选项判断即可． 【详解】解：∵，， ∴在线段上，， ∵，， ∴， ∵， ∴， 即 ∵，四边形是平行四边形， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则，值随着改变； ，值随着改变； ，值随着改变； ，值不变； 故选：D． 二、填空题（本题有6小题，每小题3分，共18分） 11. 计算：______． 【答案】 【解析】 【分析】利用二次根式的性质，即可计算出结果． 【详解】解：． 12. 在平行四边形ABCD中，，则______°． 【答案】60 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质对角相等，可得∠C的值． 【详解】∵四边形ABCD是平行四边形 ∴∠A=∠C ∵∠A+∠C=120° ∴∠A=∠C=60° 故答案为：60． 【点睛】本题考查平行四边形的性质，在理解平行四边形的性质时，我们从边、角、对角线这三个方面入手． 13. 一件原价为100元的衣服经过两次降价后的价格为81元，若设每次降价的百分率都是x，则可列方程为______． 【答案】 【解析】 【详解】解：设每次降价的百分率都是，由题意可列方程为． 14. 如图，在中，，D，E分别是，的中点，连结，，过点E作交的延长线于点F，若，，则______． 【答案】2 【解析】 【分析】由题意易得是的中位线，，则有，然后可得四边形是平行四边形，则，，进而根据勾股定理可进行求解． 【详解】解：∵D，E分别是，的中点，， ∴是的中位线，， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴在中，由勾股定理可得：， ∴． 15. 若t是方程的一个根，则的值为______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的根，已知式子的值求代数式的值，先根据题意得，整理得，再运算，最后代入数值进行计算，即可作答． 【详解】解：∵t是方程的一个根， ∴， ∴， ∴， 则， 故答案为：8 16. 如图，在矩形中，，将沿对角线翻折，得到，交于点F，再将沿翻折，得到，交于点 H，若平分，则的长为_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查矩形的性质、翻折变换的性质、正方形的判定与性质、勾股定理等知识点，弄清线段间的关系成为解题的关键． 如图：连接，由矩形的性质得，由翻折得，则，所以，求得，则，可证明四边形是正方形，则，再证明，求，则，可证明，则，然后求解即可． 【详解】解：如图：连接， ∵四边形是矩形，， ∴， 由翻折得：， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，解得：． 故答案为：． 三、解答题（本题有8小题，共72分） 17. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用二次根式乘除法则计算乘除后，合并同类二次根式即可； （2）利用平方差公式化简计算即可得到结果． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 18. 解方程： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解： 或 解得：； 【小问2详解】 解： 或 解得：． 19. 如图，在中，点分别在上，且．求证：四边形是平行四边形． 【答案】 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，，， ∵， ∴， ∴，， ∴， 即， ∴四边形是平行四边形． 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，由平行四边形的性质得，，，即可证，即得，，进而得，即可求证，掌握平行四边形的判定和性质是解题的关键． 【详解】略 20. 如图是由若干个边长为1的小等边三角形构成的钻石型网格，图中各点均在格点上，请按要求在网格中完成作图． （1）请在图1中画出一个以为边的矩形，要求点M和点N均在格点上． （2）请在图2中找到一个格点Q，连接，使得的面积被平分． 【答案】（1） 如答图1所示即为所求（画出一种即可） （2） 如答图2所示：点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的性质，矩形的判定和平行四边形的性质，作图的应用与设计，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合钻石型网格是由若干个边长为1的小等边三角形构成的，以及根据矩形的判定作图即可； （2）连接，得出是的对角线的交点，再连接，与钻石型网格顶点交于，使得的面积被平分，即可作答． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 21. 如图，四边形各边的中点分别是，，，，四边形是菱形，且． （1）求证：． （2）已知，，求菱形的周长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是菱形， ∴． ∵，，分别是，，的中点， ∴，． ∴． （2） 【解析】 【分析】（1）根据菱形的性质可得，根据中位线的性质可得，，即可证明； （2）勾股定理求得，由（1）可知，进而根据菱形的性质即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ∵， ∴． ∵，， ∴． 由（1）可知， ∵四边形是菱形， ∴菱形的周长为． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，三角形的中位线的性质，熟练掌握以上知识是解题的关键． 22. 某商场销售一批服装，已知进价为150元/件，若以162元/件销售时，平均每天可销售100件．为了减少库存，商场决定降价销售．经调查发现，单价每降低1元，每天可多售出20件． （1）若以158元/件销售，平均每天可销售多少件？ （2）如果每天盈利1400元，且尽可能让消费者得到优惠，单价应降低多少元？ （3）如果每天想盈利2000元，能做到吗？若能，则此时应降低多少元；若不能，说明理由． 【答案】（1）平均每天可销售180件 （2）单价应降低5元 （3）不能做到，理由如下： 由（2）可得：， 整理得：， ∴， ∴方程无解， 即不能每天盈利2000元 【解析】 【分析】（1）根据题意可直接列式进行求解； （2）设单价应降低元，由题意得，然后进行求解即可； （3）由（2）可得：，然后根据根的判别式可进行求解． 【小问1详解】 解：由题意得：（件）； 答：以158元/件销售，平均每天可销售180件． 【小问2详解】 解：设单价应降低元，由题意得： ， 整理得：， 解得：， ∵尽可能让消费者得到优惠， ∴； 答：单价应降低5元． 【小问3详解】 略 23. 定义：如果，是一元二次方程的两个根，且，那么称这样的方程为“邻根方程”．例如：一元二次方程的两个根是，，此时，则方程是“邻根方程”． （1）下列方程中，属于“邻根方程”的是 （填序号）． ①；②；③． （2）已知方程是“邻根方程”，求m的值． （3）若方程是“邻根方程”，求证：． 【答案】（1）③ （2）或 （3） 证明：设，是方程的两个根， 由根与系数的关系得：，， 方程是“邻根方程”， ，， ， ． 【解析】 【分析】本题考查解一元二次方程，根与系数之间的关系，熟练掌握新定义，是解题的关键： （1）求出方程的解，根据新定义进行判断即可； （2）求出方程的解，根据新定义，进行求解即可； （3）根据根与系数的关系，结合新定义进行求解即可． 【小问1详解】 解：，解得：， ∴，故①不是“邻根方程”； ，解得：； ∴，故②不是“邻根方程”； ，解得：， ∴；故③是“邻根方程”； 故答案为：③ 【小问2详解】 解：方程的两根为， 方程是“邻根方程”， ，即， 或； 【小问3详解】 略 24. 如图1，在正方形中，点在的延长线上，连结，过点作于点，分别交对角线和边于点． （1）求证：． （2）如图2，连结，已知，设． ①求关于的函数表达式． ②当时，求四边形的面积． 【答案】（1） 证明：在正方形中，， ， ． ， ， ， ． ； （2）； 【解析】 【分析】（1）由正方形的性质得到相关角度与线段关系，进而由全等三角形的判定得到，从而得证； （2）①由（1）可知，设正方形边长为，由勾股定理列方程求解得到正方形边长，数形结合，，即可得到答案；②当时，，连结，过作于点，如图所示，求出相关线段长度，数形结合得到，代值求解即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：①由（1）可知，设正方形边长为， 则． ， ，即； ②当时，，即． 连结，过作于点，如图所示： 则， ． ， ， ． ， 为的中垂线， ． ． 为的中垂线，则， ， ， 在等腰中，，且平分， 由角平分线性质可知，点到的距离为． ． 【点睛】本题考查正方形综合，涉及正方形性质、等腰直角三角形性质、勾股定理、全等三角形的判定与性质、求函数表达式、垂直平分线的判定与性质、角平分线的性质定理等知识．熟练掌握相关几何判定与性质，数形结合求出相关线段长是解决问题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $