《第20章勾股定理》期末复习训练题 2025-2026学年人教版八年级数学下册

**基本信息** 人教版八年级数学下册《第20章勾股定理》期末综合复习卷，通过基础巩固、能力提升、创新应用三层设计，考查勾股定理及逆定理应用，融入折叠、最短路径等情境，培养几何直观与推理能力。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |单选题|7|勾股数判断（1题）、直角三角形边长计算（2题）、数轴表示无理数（3题）|结合折叠（4题）、长方体最短路径（5题）考查空间观念| |填空题|7|两点距离（10题）、网格直角三角形判断（11题）、圆柱最短路径（13题）|以角平分线（12题）、对称求最短距离（14题）体现应用意识| |解答题|6|梯子问题（16题）、四边形面积计算（17题）、勾股定理证明（19题）|动态问题（18题）、综合探究（20题）发展推理能力与创新意识|

2025-2026学年人教版八年级数学下册《第20章勾股定理》期末综合复习训练题（附答案） 一、单选题 1．下列各组数中，是勾股数的是（   ） A．1，2，3 B．2，3，5 C．3，4，5 D．5，12，17 2．在中，，，，则的长为（    ） A．5 B． C． D． 3．如图，在数轴上，点对应的数是，点对应的数是0，线段于点，且线段长为1个单位长度，若以点为圆心，长为半径的弧交数轴于点，则点表示的数为（   ） A． B． C． D． 4．如图，在中，，，，将它的锐角A翻折，使得点A落在边的中点D处，折痕交边于点E，交边于点F，则的长为（   ） A．2 B．3 C． D． 5．如图，一长方体，在处有一只蚂蚁，它想吃到上底面点的食物，它沿长方体的侧面爬行的最短距离是（   ） A．10 B． C． D．14 6．如图，在中，，分别以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别记为，，，若图中阴影部分（）面积为定值，则下列式子也是定值的是（   ） A． B． C． D． 7．如图，有一只喜鹊在一棵高的小树上觅食，它的巢筑在与该树水平距离（）为的一棵大树上，大树高，喜鹊的巢位于树顶下方的处，当它听到巢中幼鸟的叫声，立即飞过去，如果它飞行的速度为，那么它要飞回巢中所需的时间至少是（    ） A． B． C． D． 二、填空题 8．在中，，，则________． 9．在中，，则的面积为_______． 10．点和点之间的距离是______． 11．如图，在正方形网格中，若小方格边长为1，则的形状是_______． 12．如图，在中，，平分交于D点，，，点P是线段上的一动点，则的最小值是____________ ． 13．如图，圆柱形玻璃杯高为，底面周长为，在杯内壁离杯底的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿且与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为_______．（杯壁厚度不计） 14．如图，在一条公路的同一侧有、两个村庄，、与公路的距离、分别为和，且、两地相距，若要公路旁（在上）建一个车站，则、两村庄到车站的距离之和最短是______． 三、解答题 15．如图，在中，，，，是的垂直平分线，分别交，于点E，D． (1)求证：是直角三角形； (2)求的长和的面积． 16．如图，一架长的梯子斜靠在一竖直的墙上，这时梯子的顶端与墙角的距离为． (1)求梯子底端与墙角的距离； (2)如果梯子的顶端沿墙下滑至墙体处，当沿墙下滑距离为，那么梯子底端外移多少？ 17．如图，某社区有一块四边形空地，计划用来种植草皮．经测量得到以下数据：，，，从点到边的距离（垂足为），恰好是的中点．已知购买草皮的价格为每平方米50元． (1)求边的长； (2)请你帮社区算一算购买草皮的费用为多少元？ 18．如图，在一条绷紧的绳索一端系着一艘小船．河岸上小亮拽着绳子另一端向右走，绳端从C移动到E，同时小船从A移动到B，且绳长始终保持不变，其中米，米．回答下列问题： (1)若米，求小亮需向右移动的距离；（结果保留根号） (2)若小亮以米每秒的速度收绳，请通过计算回答，他能否在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； (3)在（2）的条件下，若小亮收绳t秒后，小船到F的距离刚好等于所收绳长，求t的值． 19．【问题提出】勾股定理是几何学中一颗光彩夺目的明珠，被称为“几何学的基石”． 在我国最早对勾股定理进行证明的是汉代的数学家赵爽．如图1是著名的赵爽弦图，由四个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）拼成，用它进行证明勾股定理； 图2为美国第二十任总统加菲尔德的“总统证法”，它用两个全等的直角三角形（直角边分别为a，b，斜边为c）和直角边为c的等腰直角三角形拼成一个直角梯形，用它也可以验证勾股定理． (1)在直角三角形中，直角边分别为a，b，斜边为c，从上述两种方法中，任选一种方法证明勾股定理． (2)勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是_______； A．函数思想         B．整体思想         C．分类讨论思想         D．数形结合思想 【知识应用】 (3)如图3，在一条东西走向河流的一侧有一村庄C，河边原有两个取水点A，B，该村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H（A，H，B在同一条直线上），并新修一条路，现测得千米，千米，千米，为最大限度节省铺路的费用（保证质量的前提下），求新修路的长． 20．在中，，为直线上的一个动点（不与点重合），连接，以为直角边作，且，连接． (1)如图，当点在边延长线上时，易证，且；此时，，三者之间的数量关系为：______． (2)如图，当点在边上（点不与点重合）时，（）中，，三者之间数量关系是否仍成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． (3)类比构造：如图，在四边形中，．若，，直接写出边的长______． 参考答案 1．解：对选项A：，，，故1，2，3不是勾股数，不符合题意； 对选项B：，，，故2，3，5不是勾股数，不符合题意； 对选项C：，且三个数均为正整数，故3，4，5是勾股数，符合题意； 对选项D：，，，故5，12，17不是勾股数，不符合题意． 2．C解：∵在中，，，， ∴为斜边， ∴根据勾股定理得，． 3．B解：∵，，， ∴， ∴， ∵点在原点左侧， ∴点表示的数为． 4．C解：点D为的中点， ， 由折叠的性质可得， 设，则， ∵， ∴由勾股定理得， ， 解得：， ． 5．A解：展开长方体的侧面（如图），连接， 由勾股定理得， 图（1）中， 图（2）中， 图（3）中， 它沿长方体的侧面爬行的最短距离是10． 6．B解：∵ 以的三边为边长向外侧作正方形，面积分别为、、， ∴ ，，， ∵ 在中，， ∴ ， ∴ ， ∵ 点为以为边的正方形上与点相邻的顶点， ∴ ，且， 又∵ ， ∴ ， ∴ 点B到直线的距离等于， ∴ ， ∵ 的面积为定值， ∴ 为定值， ∵ ， ∴ 为定值． 7．解：过作于，如图所示： 由题意可知，， ， 根据两点之间线段最短，则它要飞回巢中所飞的最短路径为，由勾股定理可得， ∴它要飞回巢中所需的时间至少是． 8．解：如图，中，，， ∴， ∴． 9．解：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可知是直角三角形，为直角， 则． 10．解：． 11．解：， ， ， ， 是直角三角形． 12．解：如图，过点D作于点E，则的最小值是的长， ∵，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 即的最小值是5． 13．解：如图， 将该圆柱的侧面展开， 由题意，得，，   在中，， ∴蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为． 14．解：延长到，使，则与点A关于对称， 连接交于点P，连接，则， ∴， ∵两点之间线段最短， ∴此时最小，即最小， 过点B作的垂线，垂足为点E， 在直角中，，， 由勾股定理得： ， ∴， 故A、B两村庄到车站的距离之和最短是． 15．（1）证明：∵，，， 所以，， ∵． ∴是直角三角形． （2）解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴，． ∵是直角三角形，且． 设，则． 在中，，即， 解得，即． ∴， ∴． 16．（1）解：在中，根据勾股定理得 ， 所以． （2）解： 在中，根据勾股定理得 ， 所以， 所以． 所以梯子底端外移． 17．（1）解：， ， 在中，， 是的中点， ； （2）解：连接， ，是的中点， ， ， ， ， ， （元）， 答：购买草皮的费用为8400元． 18．（1）解：由题意可得， 在中，由勾股定理得：（米）， 由题意得，（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， ∴米， 答：小亮需向右移动的距离为米． （2）解：∵，， ∴小亮能在20秒内将船从A处移动到岸边点F的位置； （3）解：由题意可得：米，米 在中，由勾股定理可得， 即， 解得， ∴t的值为． 19．（1）解：根据赵爽弦图进行证明： ∵， ∴， ∴； 根据“总统证法”进行证明： ∵， ∴， ∴， ∴； （2）解：勾股定理的验证过程体现了一种重要的数学思想是数形结合思想． 故选：D； （3）解：当时，最小，能最大限度节省铺路的费用． 设千米，则（千米） ∵， ∴在中，， 在中，， ∴， 解得， ∴千米， ∴（千米）． 答：新修路的长为0.8千米． 20．（1）解：∵，，即， ∴在中：， ∵在中， ∴在中， ∴； （2）解：仍成立； 理由：∵中，， ∴； ∵， ∴，即， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴，即， ∴是直角三角形 ， ∴， 代入得：， 又中， ∴，原关系仍成立； （3）解：∵ ∴，， 按照前两问构造：过作，且，连接， 同（）可证， 得， ∵，， ，即是直角三角形， 在中：， ∴， 又∵等腰中，代入得，， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $