第20章《勾股定理》期末单元复习卷（二）2025-2026学年人教版数学八年级下册

**基本信息** 以勾股定理为核心，整合基础判定、实际应用与综合拓展，构建从概念到迁移的逻辑训练体系，渗透几何直观与推理意识。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础判定|选择1-3、填空11-12|直角三角形判定、勾股数规律|从三边关系到勾股定理逆定理的概念生成| |概念应用|选择4-6、填空13-14|数轴表示无理数、方位角、面积计算|结合几何直观，体现勾股定理的直接应用| |综合拓展|选择7-10、解答19-25|垂美四边形、动态最值、数形结合|通过跨图形整合，深化推理能力与模型意识|

…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第20章 勾股定理 期末综合复习卷 (二) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（       ） A.1，1，2 B.1，2，3 C.1，1， D.2，3，4 2.的三条边长分别为a，b，c，下列条件能判断是直角三角形的是（       ）． A. B. C. D.，， 3.三角形的三边满足，则这个三角形是（       ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 4.如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（       ） A. B. C. D. 5.如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（     ） A.北偏西方向上 B.北偏东方向上 C.北偏西方向 D.北偏西方向上 6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（     ） A. B. C. D. 7.如图，以为斜边的和位于直线的同侧，连接．若，则的长为（       ） A. B. C. D. 8.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（       ） A. B. C. D. 9.如图，在直角梯形中，点E是边的中点，若，，则梯形的面积为（ ） A. B. C. D.25 10.如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（       ） A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.①②④ 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：__________． 12.在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则_____． 13.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则__________． 14.学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为______． 15.如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，P是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于_____． 16.在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为_______． 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.（6分）在中，，，求的长． 18.(6分) 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______； （2）连接，求的度数． 19.(6分) 如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． 20.(7分) 天沐河贯穿横琴岛，西接磨刀门水道，东接十字门水道，南北为大小横琴山．如图，在天沐河笔直的河流一侧有一旅游地A，河边有两个景点B，C．其中，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在河边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 21.(7分) 如图，四边形中，，，，，且， （1）的长为 ； （2）求证：是直角三角形； （3）求四边形的面积． 22.(9分) 如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点，，在同一条直线上，，，，． （1）填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． （2）求证：． 23.(9分) 如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． （1）求证：． （2）若，，秋的面积． 24.(10分) 如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为6，，求的长． 25.(12分) 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为_____． ②代数式的最大值为_____． 学科网（北京）股份有限公司 $…………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… ※※请※※不※※要※※在※※装※※订※※线※※内※※答※※题※※ …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… …………○…………内…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 学校:___________姓名：________班级：________考号：________ …………○…………外…………○…………装…………○…………订…………○…………线…………○………… 八年级数学下册 第20章 勾股定理 期末综合复习卷 (二) 考试总分：120 分 考试时间： 120 分钟 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息; 2．请将答案正确填写在答题卡上，选择题请用2B铅笔填涂。 卷Ⅰ（选择题） 一、单选题（本题共计 10 小题 ，每题 4 分 ，共计40分 ）   1.下列长度的三条线段能组成直角三角形的是（       ） A.1，1，2 B.1，2，3 C.1，1， D.2，3，4 【答案】 C 【解析】 根据勾股定理的逆定理依次计算并判断. 【解答】 解：A、 此三条线段不能构成直角三角形，故不符合题意； B、 此三条线段不能构成直角三角形，故不符合题意； C、 此三条线段不能构成直角三角形，故不符合题意； D、 此三条线段不能构成直角三角形，故不符合题意； 故选：C. 2.的三条边长分别为a，b，c，下列条件能判断是直角三角形的是（       ）． A. B. C. D.，， 【答案】 C 【解析】 本题考查的是勾股定理的逆定理：如果三角形的三边长，，满足，那么这个三角形就是直角三角形，也考查了三角形内角和定理，熟知以上知识是解答此题的关键．根据勾股定理的逆定理及三角形内角和定理对各选项进行逐一判断即可． 【解答】 解：A. 去括号后是 ，不符合勾股定理逆定理，故本选项不符合题意； B. 设 ， ， ，解得 ， ， 此三角形不是直角三角形，故本选项不符合题意； C. ， 此三角形是直角三角形，故本选项符合题意； D. ，不符合勾股定理逆定理，故本选项不符合题意. 故选：C.  3.三角形的三边满足，则这个三角形是（       ） A.直角三角形 B.等边三角形 C.锐角三角形 D.钝角三角形 【答案】 A 【解析】 本题考查了勾股定理的逆定理，由题意得，推出即可求解； 【解答】 解：， ， ， 故这个三角形是直角三角形； 故选： 4.如图所示，数轴上点A所表示的数为a，则a的值是（       ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 先根据勾股定理求出图中直角三角形的斜边长度，再结合数轴上的位置确定点 A表示的数. 【解答】 解：根据勾股定理，斜边长度为 又 该线段DA的一端在数轴上表示-2的点，另一端为点A， 点A表示的数 5.如图，某海域有相距的A岛和C岛．甲船先由A岛沿北偏东方向走了到达B岛，然后再从B岛走了到达C岛，此时甲船位于B岛的（     ） A.北偏西方向上 B.北偏东方向上 C.北偏西方向 D.北偏西方向上 【答案】 A 【解析】 先用勾股定理的逆定理推出 ，再结合方位角和平行线的性质求出 的度数，即可确定C相对于B的方位角. 【解答】 解：如图，由题意，得AD//BE， AB=8nmile，BC=6nmile，AC=10nmile. 是直角三角形， 此时甲船位于B岛的北偏西20°方向上.  6.如图，在平面直角坐标系中，的顶点，，均在正方形网格的格点上，则在边上的高为（     ） A. B. C. D. 【答案】 B 【解析】 本题主要考查勾股定理以及三角形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键．根据勾股定理求出 ，再由三角形的面积即可计算出答案． 【解答】 解： 在AC边上的高为 故选B. 7.如图，以为斜边的和位于直线的同侧，连接．若，则的长为（       ） A. B. C. D. 【答案】 C 【解析】 取的中点，连结，，根据直角三角形的性质可得，可得，，，在四边形中，根据四边形的内角和为，，可得出，由，可证得是等腰直角三角形，由，根据勾股定理，即可得出的长． 【解答】 取的中点，连结，， 和的斜边为， ，， ， ，，， 在四边形中，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， ， 故选：Ｃ． 8.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示的“垂美”四边形，对角线交于点．若，，则等于（       ） A. B. C. D. 【答案】 D 【解析】 本题考查了勾股定理的逆定理，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 根据勾股定理的逆定理计算即可得到答案． 【解答】 解：，， ，， ， 故选： ． 9.如图，在直角梯形中，点E是边的中点，若，，则梯形的面积为（ ） A. B. C. D.25 【答案】 A 【解析】 延长BE和AD交于点F，先证明 ，得到FD=BC，EF=BE ，结合AB=AD+BC，得AB=AF，进而得到 是等腰直角三角形，则 ，再利用梯形的面积公式即可求解. 【解答】 解：如图，延长BE和AD交于点F， 点E是边CD的中点， 又 四边形ABCD是直角梯形， 是等腰直角三角形， 梯形ABCD的面积 10.如图，在中，，，点、为上两点，点为外一点，且，，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是（       ） A.①②③ B.①②③④ C.①③④ D.①②④ 【答案】 D 【解析】 本题考查了全等三角形的判定与性质，掌握勾股定理、全等三角形的判定与性质以及等腰直角直角三角形的性质是解题的关键． 根据等腰直角三角形的性质，判断出，即可得出，根据勾股定理与等量代换可得②正确，根据在等腰三角形中，角平分线与中线为一条直线即可得出④，再根据勾股定理即可得出③． 【解答】 解：，，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 故①正确； 由①中证明， ， ，， ， ， 连接， ， ， ，， ， 故②正确； 设与的交点为， ，， ，， ， 故④正确； ，， ， 故③不正确， 故选：． 卷Ⅱ（选择题） 二、 填空题（本题共计 6 小题 ，每题 3 分 ，共计18分 ）   11.勾股数，①，，；②，，；③，，；④，，；…根据你发现的规律，请你写出有以上规律的第⑤组勾股数：_____，，________． 【答案】 ，， 【解析】 本题考查了勾股数，解题的关键是根据所给的勾股数找出规律，按照规律进行解答．根据所给的几组勾股数可找出规律，根据此规律即可求出第⑤组勾股数． 【解答】 解：①，，， ②，，， ③，，， …… 第⑤组勾股数：，，， 故答案为：，，． 12.在中，a，b，c分别是，，的对边，若，则____90°___． 【答案】 90° 【解析】 先利用平方差公式化简已知等式，再根据勾股定理的逆定理判断 的形状，即可得到 的度数. 【解答】 解：对已知等式利用平方差公式展开得： 移项得： 根据勾股定理的逆定理可知， 是直角三角形， 为斜边， 是 所对的角， 因此 . 13.对角线互相垂直的四边形叫做“垂美”四边形，现有如图所示“垂美”四边形，对角线交于点，若，则____136________． 【答案】 【解析】 在和中，根据勾股定理得，， 在和中，根据勾股定理得，，进一步得，最后求得． 【解答】 解：， ， 在和中，根据勾股定理得，， 在和中，根据勾股定理得，， ， ， ； 故答案为：． 14.学校操场边上一块空地（阴影部分）需要绿化，测出CD=6m，AD=8m，BC=24m，AB=26m，AD⊥CD，那么需要绿化部分的面积为____96____． 【答案】 96 【解析】 由 ，则 为直角三角形，即可求解. 【解答】 解： , , , 为直角三角形， 需要绿化部分 , 故答案是：96. 15.如图，在，，以的三边为边向外作正方形，正方形，正方形，P是上一点，记正方形和正方形的面积分别为，，若，，则四边形的面积等于____18.5____． 【答案】 18.5 【解析】 先求出 的边长，再利用进四边形ACBP的面积 解题即可得到答案. 本题考查了勾股定理，正确掌握勾股定理是解题的关键. 【解答】 正方形ACDE和正方形AHIB的面积分别为 且 正方形CBGF的面积 四边形ACBP的面积 故答案为：18.5. 16.在中，已知，，的垂直平分线分别交，于点D，E，点F和点G分别是线段和边上的动点，则的最小值为___6_____． 【答案】 6 【解析】 作AH BC于点H，由等腰三角形的性质可得BH=CH ，由勾股定理可得AH=6，连接AF、AG，由线段垂直平分线的性质可得 AF=CF，则CF+FG=AF+FG≤AG，由垂线段最短可得，当点G与点H重合时，此时 AG最短为6，即可得出结果. 【解答】 解：如图，作AH BC于点H， BC=6, 连接AF、AG 垂直平分 AC， 由垂线段最短可得，当点G与点H重合时，此时AG最短为6 的最小值为6. 三、 解答题（本题共计 9 小题 ，共计72分 ）   17.（6分）在中，，，求的长． 【答案】 或 【解析】 本题主要考查了勾股定理，在直角三角形中，两直角边的长的平方和等于斜边的平方，据此列式求解即可. 【解答】 解：（1） 当AB为斜边时，在Rt 中， ， ， ， . （2）当AC为斜边时，在Rt 中， ， ， ， . 18.(6分) 如图，四边形的四个顶点都在网格上，且网格中每个小正方形的边长都为1． （1）请直接写出以下线段的长度：______，______，______，______； （2）连接，求的度数． 【答案】 【解析】 （1）因为在方格纸中且给出小正方形边长可放在直角三角形中用勾股定理求出线段长度， （2）先求出三条边的长度，进而利用用勾股定理的逆定理判断是否为直角三角形，若是则可得出 的度数. 【解答】 （1）解： （2） DC BD 为直角三角形， 19.(6分) 如图，在等腰中，，点是上一点，作等腰，且，连接． （1）求证：； （2）求证：． 【答案】 证明见解析 证明见解析 【解析】 （1）根据等腰直角三角形的性质得出，，，再证明，即可得出结论； （2）根据全等三角形的性质结合勾股定理可得出结论． 【解答】 （1）解：证明：在等腰中，，在等腰中， ， ，，， ， ． ． （2）由知， 在等腰中，， ． ， ． ． ， ． 20.(7分) 天沐河贯穿横琴岛，西接磨刀门水道，东接十字门水道，南北为大小横琴山．如图，在天沐河笔直的河流一侧有一旅游地A，河边有两个景点B，C．其中，由于某种原因，从A到B的路现在不通，为让游客有更好的体验，现决定在河边新建一个景点D（B，C，D三点在同一直线上），并修建一条公路，测得千米，千米，千米． （1）判断的形状，并说明理由； （2）求原路线的长． 【答案】 是直角三角形；理由见解析； 千米. 【解析】 （1）利用勾股定理的逆定理即可判断； （2）设BD=x千米，则BA=BC=(x+6)千米，利用勾股定理即可求解. 【解答】 （1）解：是直角三角形，理由如下： 千米，千米，千米， ，， ， 是直角三角形； （2）解：由(1)可知ADBC， 设BD=x千米，则BA=BC=(x+6)千米， 在Rt中，， ， 解得x=千米， 千米. 21.(7分) 如图，四边形中，，，，，且， （1）的长为 5 ； （2）求证：是直角三角形； （3）求四边形的面积． 【答案】 见解析 【解析】 （1）连接，由勾股定理解答； （2）利用勾股定理的逆定理解答； （3）由，结合三角形面积公式解答． 【解答】 （1）解：连接 是直角三角形 在中，，，根据勾股定理得 （2），  ，   是直角三角形 （3） ＝ ＝ ＝ 答：四边形的面积是平方米． 22.(9分) 如图，将两个全等的直角三角形按照如下的位置摆放，使点，，在同一条直线上，，，，． （1）填空：______，根据三角形面积公式，可得的面积______；根据割补法，由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积______． （2）求证：． 【答案】 ，， 见解析 【解析】 （1）根据全等三角形的判定和性质以及三角形的面积公式即可得到结论； （2）用两种不同的方法表示梯形的面积，计算化简后，即可得出． 【解答】 （1）解：，，， ， ， ， ， ， 的面积， 由梯形的面积减去阴影部分的面积，可得的面积， 故答案为：，，； （2）证明： ， ，， ， ， ， ， 是等腰直角三角形， ， ， 即， ， ． 23.(9分) 如下图，将长方形纸片折叠，使点与点重合，点落在点处，折痕分别与，交于点，． （1）求证：． （2）若，，秋的面积． 【答案】 见解析 78 【解析】 （1）根据折叠的性质以及长方形的性质，运用ASA即可判定 ； （2）设未知数，将问题转化到Rt 中利用勾股定理建立方程求出结果即可. 【解答】 （1）解： 四边形ABCD是长方形， . 由折叠的性质，得 . 在 和 中， (ASA). （2）解：由折叠的性质，得 . 设 ，则 . 在Rt 中， ，解得 . ， ， . 24.(10分) 如图，在正方形中，点E为边上一点，连接，过点D作于点F，连接，过点C作于点G． （1）求证：； （2）若正方形的边长为6，，求的长． 【答案】 见详解 CG 【解析】利用正方形相关性质及勾股定理求解. 【解答】（1）证明： 四边形ABCD是正方形， CG （2）解：过点B作 ，如图所示： 四边形ABCD是边长为6的正方形， 四边形ABCD是边长为6的正方形， (AAS) 在Rt 中，由勾股定理得： 25.(12分) 著名数学家希尔伯特曾说：“算式是算出来的图形，图形是画出来的公式”，构造图形是为了运用几何图形的直观性，数形结合来简化解决一些复杂代数问题： （1）如图1，铁路上、两点（看作直线上的两点）相距千米，、为两个村庄（看作两个点），，，垂足分别为、，千米，千米，求两个村庄的距离； （2）在（1）的条件下，要在上建造一个供应站，使得，求的距离； （3）借助上面的思考过程与几何模型，请思考下列代数式的构图并直接写出最值（其中） ①代数式（）的最小值为__20___． ②代数式的最大值为__5___． 【答案】 干米 (3) ①20; ②5 16千米 【解析】 （1）连接CD，过点C作CE AD交于点E，由题意根据勾股定理求出CD的长即可； （2）连接CD，作CD的垂直平分线交AB于点P，则点P即为所求，设AP=x千米，则BP=（40-x）千米，根据勾股定理列出方程，解方程即可； （3）①参考（1）的几何模型，构造AD AB，BC AB，垂足分别为A、B，其中AD=9，AB=16，BC=3，PB=x，AP=16-x，作点C关于AB的对称点F，连接DF，交AB于点P，连接PC，BF，过点F作FE DA的延长线，交于点E，根据勾股定理求出 ，得出点D、P、F三点共线时，DF的长就是代数式 的最小值，借助勾股定理求出DF的长即可求解； （3） ①参考（1）的几何模型，构造AD AB，BC AB，垂足分别为A、B，其中AD=9，AB=16，BC=3，PB=x，AP=16-x，作点C关于AB的对称点F，连接DF，交AB于点P，连接PC，BF，过点F作FE DA的延长线，交于点E，根据勾股定理求出 ，得出点D、P、F三点共线时，DF的长就是代数式 的最小值，借助勾股定理求出DF的长即可求解； ②构造Rt 与Rt ，其中CD=BC=4，AD=x，DE=1，且AC=AD+CD=x+4，过点E作EF BC交于点F，连接BE，根据勾股定理得出AB-AE ，借助三角形的三边关系得出当点A、E、B三点共线时，BE的长就是代数式 【解答】 （1）解：如图，连接CD，过点C作CE AD交于点E， 故CE=AB=40千米，DE=AD-AE=AD-BC=24-16=8（千米）， ERt 中，CD= （千米） （2）解：由题意可知，点P在CD的垂直平分线上，如图，连接CD，作CD的垂直平分线交AB于点P，则点P即为所求， 设 千米，则 千米， 在Rt 中， 在Rt 中， 解得 即AP的距离为16千米 （3）解： ①如图，AD AB，BC AB，垂足分别为A、B，其中 AD=9，AB=16，BC=3，PB=x，AP=16-x，作点C关于AB的对称点F，连接DF，交AB于点P，连接PC，BF，过点F作FE DA的延长线，交于点E， 则四边形AEFB是矩形， ， 点C、点F关于AB对称， 故 AB是CF的垂直平分线， 在Rt 中，PC= 在Rt 中，PD= 则PC+PD=PF+PD= 故求代数式 的最小值，即为求PC+PD的最小值. 当点D、P、F三点共线时，PC+PD的值最小，最小值为DF的长； 即此时DF的长就是代数式 的最小值. 在Rt 中，DE=DA+AE=9+3=12，EF=AB=16， 故DF= 故代数式 的最小值为20. ②如图，作Rt 与Rt ，其中CD=BC=4，AD=x，DE=1，且AC=AD+CD=x+4，过点F作EF上BC交于点F，连接BF. 过点E作EF BC交于点F 则四边形EDCF是矩形， 在Rt 中， 在Rt 中， 则 故求代数式 的最大值，即为求AB-AE的最大值. 在 中， 如图，当点A、E、I三点共线时，AB-AE的值最大，最大值为BE的长； 即此时BE的长就是代数式 的最大值 在Rt 中， 故代数式 的最大值为5. 学科网（北京）股份有限公司 $