第十章 第7节 概率与统计的综合问题 专项训练-2027届高三数学一轮复习

**基本信息** 聚焦概率统计综合应用，通过现实情境问题整合频率分布、期望、回归分析等核心知识，强化数据观念与模型应用。 **专项设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计图表与分布|1题|结合条形图求均值、分布列|从数据整理到随机变量分析，体现统计推断逻辑| |独立性检验与期望|1题|2×2列联表分析+投篮得分期望|检验关联到概率计算，强化应用意识| |线性回归与决策|1题|折线图回归分析+利润决策|从相关系数判断到期望优化，培养模型观念| |正态分布与应用|1题|频率分布直方图+正态分布概率|参数估计到实际利润最大化，提升综合思维|

第7节　概率与统计的综合问题 （时间：45分钟，满分：60分） 1.（13分）某校为了落实“双减”政策，安排了25名教师参与课后服务工作，在某个星期内，他们参与课后服务的次数统计如图所示. （1）求这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数； （2）从这25名教师中任选2人，设这2人在该星期参与课后服务的次数之差的绝对值为X，求X的分布列与数学期望. 2.（15分）（2026·浙江衢州、丽水、湖州模拟）某校举办定点投篮挑战赛，规则如下：每位参赛同学可在A，B两点进行投篮，共投两次.第一次投篮点可在A，B两点处随机选择一处，若投中，则第二次投篮点不变；若未投中，则第二次切换投篮点.在A点投中得2分，在B点投中得3分，未投中均得0分，各次投中与否相互独立. （1）在参赛的同学中，随机调查50名的得分情况，得到如下2×2列联表： 得分≥3分 得分＜3分 合计 先在A点投篮 20 5 25 先在B点投篮 10 15 25 合计 30 20 50 是否有99％的把握认为投篮得分与第一次投篮点的选择有关？ （2）小明在A点投中的概率为0.7，在B点投中的概率为0.3. ①求小明第一次投中的概率； ②记小明投篮总得分为X，求X的分布列及数学期望. 3.（15分）某基地蔬菜大棚采用无土栽培的方式种植各类蔬菜.根据过去50周的资料显示，该地周光照量X（小时）都在30小时以上，其中不足50小时的有5周，不低于50小时且不超过70小时的有35周，超过70小时的有10周.根据统计，该基地的西红柿增加量y（千克）与使用某种液体肥料的质量x（千克）之间的关系为如图所示的折线图. （1）依据折线图，是否可用线性回归模型拟合y与x的关系？请计算样本相关系数r并加以说明（精确到0.01）；（若｜r｜＞0.75，则线性相关程度很高，可用线性回归模型拟合） （2）蔬菜大棚对光照要求较大，某光照控制仪商家为该基地提供了部分光照控制仪，但每周光照控制仪运行台数受周光照量X限制，并有如下关系： 周光照量 X/小时 30＜X＜50 50≤X≤70 X＞70 光照控制仪最 多可运行台数 3 2 1 若某台光照控制仪运行，则该台光照控制仪周利润为3 000元；若某台光照控制仪未运行，则该台光照控制仪周亏损1 000元.以频率作为概率，商家欲使周总利润的均值达到最大，应安装光照控制仪多少台？ 参考数据：≈0.55，≈0.95. 4.（17分）（2026·河南郑州模拟）某企业对某品牌芯片开发了一条生产线进行试产.其芯片按质量划分为五个等级，分别对应如下五组质量指标值：[45，55），[55，65），[65，75），[75，85），[85，95].根据长期检测结果，得到芯片的质量指标值X服从正态分布N（μ，σ2），并把质量指标值不小于80的产品称为A等品，其他产品称为B等品.现从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件作为样本，统计得到如图所示的频率分布直方图. （1）根据长期检测结果，该芯片质量指标值的标准差s的近似值为11，用样本平均数作为μ的近似值，用样本标准差s作为σ的估计值.若从生产线中任取一件芯片，试估计该芯片为A等品的概率（保留小数点后面两位有效数字）； （2）①从样本的质量指标值在[45，55）和[85，95]的芯片中随机抽取3件，记其中质量指标值在[85，95]的芯片件数为η，求η的分布列和数学期望； ②该企业为节省检测成本，采用随机混装的方式将所有的芯片按100件一箱包装.已知一件A等品芯片的利润是m（1＜m＜24）元，一件B等品芯片的利润是ln（25－m）元，根据（1）的计算结果，试求m的值，使得每箱产品的利润最大. 第7节　概率与统计的综合问题 1.解：（1）由统计图可知，25名教师中，参与课后服务2次的有4人，参与课后服务3次的有5人，参与课后服务4次的有10人，参与课后服务5次的有6人， 所以这25名教师在该星期参与课后服务的平均次数为＝3.72. （2）由题可知，X的所有可能取值为0，1，2，3， P（X＝0）＝＝， P（X＝1）＝＝， P（X＝2）＝＝， P（X＝3）＝＝， 所以X的分布列为 X 0 1 2 3 P 所以X的数学期望E（X）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. 2.解：（1）零假设为H0：得分与第一次投篮点选择独立，即得分无差异 χ2＝＝＞6.635， 根据小概率值α＝0.01的独立性检验，我们推断H0不成立，因此认为得分与第一次投篮点选择有关联，此推断犯错误的概率不超过0.01. （2）设第1次选择在点A投篮记为事件A，在点B投篮记为事件B，投中记为事件E， 则P（A）＝，P（B）＝，P（E｜A）＝0.7，P（E｜B）＝0.3. ①P（E）＝P（EA）＋P（EB）＝P（A）·P（E｜A）＋P（B）·P（E｜B）＝， 所以小明第一次投篮命中的概率为0.5. ②小明投篮总得分X可取0，2，3，4，6，则 P（X＝0）＝××＋××＝， P（X＝2）＝××＋××＝， P（X＝3）＝××＋××＝， P（X＝4）＝××＝， P（X＝6）＝××＝. 所以X的分布列为 X 0 2 3 4 6 P 所以E（X）＝0×＋2×＋3×＋4×＋6×＝. 3.解：（1）由已知数据可得＝＝5， ＝＝4. 因为（xi－）（yi－）＝（－3）×（－1）＋0＋0＋0＋3×1＝6， ＝＝2， ＝＝. 所以样本相关系数r＝＝＝≈0.95. 因为r＞0.75，所以可用线性回归模型拟合y与x的关系. （2）记商家周总利润为Y元，由条件可知至少需安装1台，最多安装3台光照控制仪. ①安装1台光照控制仪可获得周总利润3 000元. ②安装2台光照控制仪的情形： 当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝3 000－1 000＝2 000（元），P（Y＝2 000）＝＝0.2， 当30＜X≤70时，2台光照控制仪都运行，此时周总利润Y＝2×3 000＝6 000（元），P（Y＝6 000）＝＝0.8， 故Y的分布列为 Y 2 000 6 000 P 0.2 0.8 所以E（Y）＝2 000×0.2＋6 000×0.8＝5 200（元）. ③安装3台光照控制仪的情形： 当X＞70时，只有1台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝1×3 000－2×1 000＝1 000（元）， P（Y＝1 000）＝＝0.2， 当50≤X≤70时，有2台光照控制仪运行，此时周总利润Y＝2×3 000－1×1 000＝5 000（元）， P（Y＝5 000）＝＝0.7， 当30＜X＜50时，3台光照控制仪都运行，周总利润Y＝3×3 000＝9 000（元）， P（Y＝9 000）＝＝0.1， 故Y的分布列为 Y 1 000 5 000 9 000 P 0.2 0.7 0.1 所以E（Y）＝1 000×0.2＋5 000×0.7＋9 000×0.1＝4 600（元）. 综上可知，为使商家周总利润的均值达到最大，应该安装2台光照控制仪. 4.解：（1）由题意，估计从该品牌芯片的生产线中随机抽取100件的质量指标值的平均数为： ＝10×（0.01×50＋0.025×60＋0.04×70＋0.015×80＋0.01×90）＝69. 即μ≈＝69，σ≈s≈11，所以X～N（69，112）， 所以P（X≥80）＝＝≈＝0.158 65≈0.16， 所以从生产线中任取一件芯片，该芯片为A等品的概率约为0.16. （2）①（0.01＋0.01）×10×100＝20，所以所取样本的个数为20， 质量指标值在[85，95]的芯片件数为10件，故η可能取的值为0，1，2，3，则 P（η＝0）＝＝， P（η＝1）＝＝， P（η＝2）＝＝， P（η＝3）＝＝， 随机变量η的分布列为 η 0 1 2 3 P 所以η的数学期望E（η）＝0×＋1×＋2×＋3×＝. ②设每箱产品中A等品有Y件，则每箱产品中B等品有（100－Y）件， 设每箱产品的利润为Z元， 由题意知，Z＝mY＋（100－Y）ln（25－m）＝（m－ln（25－m））Y＋100ln（25－m）， 由（1）知每箱产品中A等品的概率为0.16， 所以Y～B（100，0.16），所以E（Y）＝100×0.16＝16， 所以E（Z）＝E[（m－ln（25－m））Y＋100ln（25－m）] ＝（m－ln（25－m））E（Y）＋100ln（25－m）＝16（m－ln（25－m））＋100ln（25－m） ＝16m＋84ln（25－m）. 令f（x）＝16x＋84ln（25－x）（1＜x＜24）， 由f'（x）＝16－＝0得，x＝， 又x∈（1，）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增，x∈（，24）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减， 所以当x＝时，f（x）取得最大值. 所以当m＝时，每箱产品利润最大. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $