第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（高效培优综合训练）（全国通用）2026年高考数学一轮复习高效培优系列

第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（高效培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则n的值为（    ） A．8 B．13或8 C．13 D．8或5 2．的展开式中的系数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 3．书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（   ） A．24种 B．15种 C．12种 D．6种 4．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 5．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 6．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 7．某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不去富强社区，则不同的安排方法有（   ） A．16种 B．12种 C．7种 D．6种 8．设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为研究某种树的树高和胸径的关系，甲学习小组随机测量了100棵该品种树的胸径x（单位：cm）和树高y（单位：m）的数据，已知其中一组数据为点，且，求得线性经验回归方程为，其决定系数，并绘制了如下残差图．该小组研究发现，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则下列结论正确的是（    ） A．乙学习小组对这组数据进行分析，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲小组选取的模型拟合效果更好 B．数据点P对应的残差为0.9 C．该样本中树的平均树高为22.29m D．删除数据点P后，重新求得的回归直线的斜率变小 10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 11．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为 13．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 14．从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为 ． 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．为全面落实“健康第一”教育理念，引导学生养成良好锻炼习惯和健康生活方式，某所大学依据《国家学生体质健康标准》对录取的新生进行体质健康监测，依据各单项评分和指标权重得出每名学生的体质健康综合指标评分．现从这所大学新生中随机抽取200名学生，将他们的综合指标评分数据分成5组：，，画出了如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这所大学新生体质健康综合指标评分的众数和平均数． 16．为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 (1)求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数； (2)已知该市销售量与月份代号具有很强的线性相关关系，求y关于的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.，. 17．为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了200次动物试验，得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 患病 未患病 服用 100 未服用 40 60 100 合计 200 在服用药物A的动物中，患病的频率为0.2. (1)求x，y； (2)依据小概率值的独立性检验，是否认为服用药物A对预防疾病B有效? 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 18．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 19．已知袋中有 个白球， 个红球， 个黑球，其中 ，这些球除颜色外没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球， 直到所有小球全部取完. (1)若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； (2)记白球最先被全部取出的概率为 . （i）求 (结果用 表示)； （ii）已知 ，证明： .(参考数据： ) 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 第十章 计数原理、概率、随机变量及其分布（高效培优综合训练）（全国通用） （考试时间：120分钟 试卷满分：150分） 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第一部分（选择题 共58分） 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．若，则n的值为（    ） A．8 B．13或8 C．13 D．8或5 【答案】B 【分析】利用组合数的性质，即从个元素取个的组合数与取个的组合数相等. 【详解】由组合数的性质可得或，解得或． 故选：B． 2．的展开式中的系数是（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】利用二项式定理的通项公式求出展开式中含的项，即可求解. 【详解】多项式的展开式中含的项为， 所以的系数是4. 故选：C. 3．书架共四层，将3本不同的书放入书架，书架恰有一层空着，则不同的放法有（   ） A．24种 B．15种 C．12种 D．6种 【答案】A 【分析】利用分步乘法计数原理即可求解. 【详解】第一步，从四层书架中选一层空着，有种方法； 第二步，将3本不同的书放入剩下的3层书架中，每层一本，有种方法； 则不同的放法总数有种. 故选：A. 4．针对时下的“短视频热”，某高校团委对学生性别和喜欢短视频是否有关联进行了一次调查，其中被调查的男生､女生人数均为人，男生中喜欢短视频的人数占男生人数的，女生中喜欢短视频的人数占女生人数的.零假设为：喜欢短视频和性别相互独立.若我们推断不成立，此推断犯错误率不超过，则的最小值为（ ） 附：，附表： 0.05 0.01 3.841 6.635 A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据题意可得列联表，由已知数据计算，根据独立性检验的结论，列不等式求的取值范围，得最小值. 【详解】根据题意，不妨设男生中喜欢短视频的人数为人，男生中不喜欢短视频的人数为人，女生中喜欢短视频的人数为人，女生中不喜欢短视频的人数为人. 所以可得列联表如下： 喜欢短视频人数 不喜欢短视频人数 合计 男生人数                女生人数                合计                于是， 由于推断不成立，此推断犯错误率不超过， 所以依据的独立性检验认为喜欢短视频和性别不独立，根据表格可知，解得，且，于是最小值为. 故选：C 5．泊松分布是一种描述随机现象的概率分布，在经济生活、事故预测、生物学、物理学等领域有广泛应用，泊松分布的概率分布列为，其中e为自然对数的底数，是泊松分布的均值．若随机变量服从二项分布，当很大且很小时，二项分布近似于泊松分布，其中，即，．现已知某种元件的次品率为0.01，抽检100个该种元件，则正品率大于97%的概率约为（    ）（参考数据：） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用给定的信息，求出，再利用概率公式计算即得. 【详解】设抽检的元件中次品的个数为，则， 由题知，，，泊松分布可作为二项分布的近似， 此时，所以， 所以，， 正品率大于（即只能有0个，1个或2个次品）的概率为 ． 故选：C． 6．某物理量的测量结果服从正态分布，下列结论中不正确的是（   ） A．越小，该物理量在一次测量中在的概率越大 B．越小，该物理量在一次测量中大于10的概率为0.5 C．越小，该物理量在一次测量中小于9.99与大于10.01的概率相等 D．越小，该物理量在一次测量中落在与落在的概率相等 【答案】D 【分析】越小，正态密度曲线越“高瘦”，可知选项A正确；根据正态密度曲线的对称性，可判断BCD正误． 【详解】对于选项A：因为为数据的方差，所以越小，数据在均值附近越集中， 所以测量结果落在内的概率越大，故A正确； 对于选项B：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量大于10的概率为0.5，故B正确； 对于选项C：由正态分布密度曲线的对称性可知该物理量一次测量结果大于10.01的概率与小于9.99的概率相等，故C正确； 对于选项D：因为， ， 若越小，数据在均值附近越集中，则， 即， 所以该物理量在一次测量中落在与落在的概率不相等，故D错误. 故选：D. 7．某司法部门安排甲、乙、丙、丁四人去富强、文明、民主三个社区进行普法宣传，要求每人必须去社区且只能去一个社区，且每个社区必须有人去宣传，若甲去文明社区，乙不去富强社区，则不同的安排方法有（   ） A．16种 B．12种 C．7种 D．6种 【答案】C 【分析】由题意知可以分文明社区去2人和只有甲1人两种情况讨论，其中文明社区去2人这种情况又可以分乙去和乙不去文明社区两种情况讨论，分别列式计算再求和即可得解. 【详解】由题意可知，4个人去3个社区，每人必须去且只能去一个社区， 每个社区至少1人，有以下两种情况： 第一种情况：文明社区去2人. 已知甲去文明社区，需要从乙，丙，丁三人中再选1人去文明社区，若 ①乙去文明社区，剩下丙，丁分别去富强、民主社区有种方法； ②乙不去文明社区，也不去富强社区，则有种方法. 所以文明社区去2人共有种方法； 第二种情况：文明社区只有甲1人， 则乙只能去民主社区，丙、丁可以同去富强社区有1种方法， 也可以1人去富强社区、1人去民主社区有种方法， 所以文明社区去1人共有种方法. 综上，不同的安排方法共有种. 故选：C 8．设，且，若能被9整除，则（    ） A．0 B．1 C．7 D．8 【答案】B 【分析】由，结合二项式定理即可求解. 【详解】 因为能被9整除，所以，所以. 故选：B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9．为研究某种树的树高和胸径的关系，甲学习小组随机测量了100棵该品种树的胸径x（单位：cm）和树高y（单位：m）的数据，已知其中一组数据为点，且，求得线性经验回归方程为，其决定系数，并绘制了如下残差图．该小组研究发现，残差比较均匀地分布在以取值为0的横轴为对称轴的水平带状区域内，则下列结论正确的是（    ） A．乙学习小组对这组数据进行分析，得到非线性经验回归方程，其决定系数为，则甲小组选取的模型拟合效果更好 B．数据点P对应的残差为0.9 C．该样本中树的平均树高为22.29m D．删除数据点P后，重新求得的回归直线的斜率变小 【答案】AC 【分析】根据决定系数的含义、残差的定义、平均值以及回归方程等知识逐项计算判断即可. 【详解】对于A：决定系数越大，模型的拟合效果越好，，选项A正确； 对于B：计算数据对应的残差，当时，， 所以残差为，选项B错误； 对于C：已知，则样本中心点的横坐标：， 将代入回归方程，可得y=0.25×29.16+15=7.29+15=22.29， 所以样本中树的平均树高为，选项C正确； 对于D：删除数据后， 因为38.4大于样本中心点的横坐标29.16，且23.7小于通过回归方程计算出的38.4对应的预测值24.6， 所以删除该点后，剩下的数据整体上可能使得树高与胸径的正相关变强， 即重新求得的回归直线的斜率变大，选项D错误． 故选：AC． 10．设是一个随机试验中的两个事件，且，则（    ） A． B． C． D． 【答案】ACD 【分析】根据条件，可得，根据，代入数据，即可判断A的正误；由，可判断B的正误；根据条件概率公式，代入数据，可判断C的正误；根据概率加法公式，代入计算，可判断D的正误. 【详解】对于A：，所以． 又由，故A正确； 对于B：， 变形可得，故B错误； 对于C：，故C正确； 对于D：，则有， 故，故D正确， 故选：ACD 11．我国南宋数学家杨辉在1261年所著的《详解九章算法》就给出了著名的杨辉三角，由此可见我国古代数学的成就是非常值得中华民族自豪的．以下关于杨辉三角的说法正确的是（    ） A．第6行从左到右第4个数是20 B．第2022行的第1011个数最大 C．210在杨辉三角中共出现了6次 D．记第行的第个数为，则 【答案】ACD 【分析】选项A：根据题目所给的杨辉三角，得出每一行每一个数的表示，将第6行第4个数代入即可；选项B：根据组合数的性质，即可找到第2022行中的最大数；选项C：列举出值为210的组合数即可；选项D：使用二项式定理进行转化即可. 【详解】选项A：由题目所给的杨辉三角可知，从第1行起，第行的第个数可表示为，故第6行从左到右第4个数是，故选项A正确； 选项B：第2022行的第个数可表示为，由组合数的性质可知，最大，因此，，故第2022行的第1012个数最大，选项B错误； 选项C：210在杨辉三角中出现的情况有（第10行的第5个数），（第10行的第7个数），（第210行的第2个数），（第210行的第210个数），（第21行的第3个数），（第21行的第20个数），共6次，故选项C正确； 选项D：第行的第个数，因此，令，则，即，故选项D正确. 故选：ACD. 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。 12．样本数据5，5，6，7，9的80百分位数为 【答案】8 【分析】根据百分位数的定义计算即得. 【详解】因为， 故数据5，5，6，7，9的80百分位数应是第4个数与第5个数的平均数， 即. 故答案为：8. 13．英国数学家贝叶斯在概率论研究方面成就显著，根据贝叶斯统计理论，随机事件，存在如下关系：.若某地区一种疾病的患病率是0.05，现有一种试剂可以检验被检者是否患病.已知该试剂的准确率为，即在被检验者患病的前提下用该试剂检测，有的可能呈现阳性；该试剂的误报率为，即在被检验者未患病的情况下用该试剂检测，有的可能会误报阳性.现随机抽取该地区的一个被检验者，已知检验结果呈现阳性，则此人患病的概率为 . 【答案】 【分析】设出事件，利用条件概率和全概率公式得到，再使用贝叶斯公式得到答案. 【详解】依题意，设用该试剂检测呈现阳性为事件，被检测者患病为事件，未患病为事件， 则，，，， 故 ， 则所求概率为. 故答案为： 14．从1，2，3，…，10这10个数中任取4个不同的数，，，，则事件“存在，，使得”的概率为 ． 【答案】 【分析】根据题意，用间接法分析：先计算“、、、、这个数中任取个不同的数”的取法，排除其中不符合题意的取法，再结合古典概型概率计算公式即可求解． 【详解】根据题意，从、、、、这个数中任取个不同的数、、、，有种取法， 假设， 若不存在且、，使得， 则有， 在、、、、中任取个不同的数，依次表示、、、， 此时有种不符合题意的取法， 则有种符合题意的取法． 所以事件“存在，，使得”的概率为 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步棸。 15．为全面落实“健康第一”教育理念，引导学生养成良好锻炼习惯和健康生活方式，某所大学依据《国家学生体质健康标准》对录取的新生进行体质健康监测，依据各单项评分和指标权重得出每名学生的体质健康综合指标评分．现从这所大学新生中随机抽取200名学生，将他们的综合指标评分数据分成5组：，，画出了如图所示的频率分布直方图． (1)求的值； (2)估计这所大学新生体质健康综合指标评分的众数和平均数． 【答案】(1) (2)众数为75，平均数为72 【分析】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形的面积之和为1即可求出. （2）众数：频率分布直方图中，最高矩形对应的区间中点即为众数；平均数：用每个区间的中点值乘以对应频率，再求和. 【详解】（1）根据频率分布直方图的性质，所有矩形的面积之和为1，已知组距为10， 所以， 即，解得. （2）其中最高矩形对应区间[70,80)，该区间的中点为，因此众数为. 平均数：， 所以平均数为. 16．为研判新能源汽车的销售变化情况，现统计了某市2025年第二、三季度每个月销售量（单位：万辆）如下表： 月份 4月 5月 6月 7月 8月 9月 月份代号 1 2 3 4 5 6 销售量 1.5 2.3 2.8 3.2 3.7 4.5 (1)求这6个月销售量数据的平均数和上四分位数； (2)已知该市销售量与月份代号具有很强的线性相关关系，求y关于的经验回归方程，并预测2025年10月份的销售量. 附：经验回归方程的斜率与截距的最小二乘估计公式分别为：，.，. 【答案】(1)3；. (2)；万辆. 【分析】（1）根据平均数的概念和上四分位数的概念求值. （2）根据公式和数据求的值，可得回归方程，再令，可预测2025年10月份的销售量. 【详解】（1）这6个月销售量数据的平均数为； 因为，所以这6个月销售量数据的上四分位数为第5个数，是. （2）因为， 所以， 所以. 所以. 当时，（万辆）， 即预测2025年10月份的销售量约为万辆. 17．为了考察某种药物A对预防疾病B的效果，进行了200次动物试验，得到如下列联表： 药物A 疾病B 合计 患病 未患病 服用 100 未服用 40 60 100 合计 200 在服用药物A的动物中，患病的频率为0.2. (1)求x，y； (2)依据小概率值的独立性检验，是否认为服用药物A对预防疾病B有效? 附：，. 0.1 0.05 0.01 0.005 2.706 3.841 6.635 7.879 【答案】(1)，； (2)能认为服用药物A对预防疾病B有效. 【分析】（1）根据频率得到方程，求出，进而求出； （2）零假设，计算出卡方，与6.635比较后得到结论. 【详解】（1）服用药物A的动物中，患病的频率为0.2， 故，解得， 故； （2）能认为服用药物A对预防疾病B有效.理由如下： 零假设：药物A对预防疾病B无效， 由列联表可得， 根据小概率值的独立性检验，推断不成立， 即认为药物A对预防疾病B有效，该推断犯错误的概率不超过， 依据小概率值的独立性检验，能认为服用药物A对预防疾病B有效. 18．人工智能是研究用于模拟和延伸人类智能的技术科学，被认为是21世纪最重要的尖端科技之一，其理论和技术正在日益成熟，应用领域也在不断扩大．人工智能背后的一个基本原理：首先确定先验概率，然后通过计算得到后验概率，使先验概率得到修正和校对，再根据后验概率做出推理和决策．基于这一基本原理，我们可以设计如下试验模型；有完全相同的甲、乙两个袋子，袋子中有形状和大小完全相同的小球，其中甲袋中有9个红球和1个白球，乙袋中有2个红球和8个白球．从这两个袋子中选择一个袋子，再从该袋子中等可能摸出一个球，称为一次试验．若多次试验直到摸出红球，则试验结束．假设首次试验选到甲袋或乙袋的概率均为（先验概率）． (1)求首次试验结束的概率； (2)在首次试验摸出白球的条件下，我们对选到甲袋或乙袋的概率（先验概率）进行调整． ①求选到的袋子为甲袋的概率， ②将首次试验摸出的白球放回原来袋子，继续进行第二次试验时有如下两种方案；方案一，从原来袋子中摸球；方案二，从另外一个袋子中摸球．请通过计算，说明选择哪个方案第二次试验结束的概率更大． 【答案】(1) (2)①；②方案二 【分析】（1）根据全概率公式，解决抽签问题； （2）利用条件概率公式计算，根据数据下结论． 【详解】（1）设试验一次，“取到甲袋”为事件，“取到乙袋”为事件，“试验结 果为红球”为事件，“试验结果为白球”为事件， ． 所以试验一次结果为红球的概率为． （2）①因为是对立事件，， 所以，所以选到的袋子为甲袋的概率为． ②由①得，所以方案一中取到红球的概率为： 方案二中取到红球的概率为： 因为，所以方案二中取到红球的概率更大． 19．已知袋中有 个白球， 个红球， 个黑球，其中 ，这些球除颜色外没有其他差异. 现每次从袋中不放回的随机取一个球， 直到所有小球全部取完. (1)若 ， ， ，求在最后一次取出黑球的条件下，白球最先被全部取出的概率； (2)记白球最先被全部取出的概率为 . （i）求 (结果用 表示)； （ii）已知 ，证明： .(参考数据： ) 【答案】(1)； (2)（i）；（ii）证明见解析. 【分析】（1）设事件，再根据条件概率公式即可得到答案； （2）（i）根据全概率公式即可得到答案. （ii）变形得，再裂项求和得，等价转化为证明，再构造函数，求导得其最值即可证明； 【详解】（1）记白球最先被全部取出的事件为，最后取出红球的事件为，最后取出黑球的事件为， . 则概率为. （2）（i）显然事件与事件互斥，则， ， ， 所以， 整理得：. （ii）由（i）得：， 所以． 所以：． 裂项求和得：. 下证：，即证：※ 令， 求导得：， 由， 令， 解得，两根均小于0， 因为，所以当， 即， 所以：成立． 7 / 10学 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $