期末真题百练通关（114题36大常考题型）-2025-2026学年苏科版数学八年级下册

**基本信息** 以114题覆盖36大常考题型，构建“概念-性质-运算-应用”四层知识逻辑，强化统计与概率、四边形、代数模块的综合应用，培养数学眼光、思维与语言。 **综合设计** |模块|题量/典例|题型特征|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |统计与概率|6题型（1-6）|以普查抽样、统计图表、频数频率为核心，结合实际情境命题|从数据收集（普查/抽样）到数据整理（图表/频数）再到数据分析（频率概率），形成完整统计链条| |四边形|5题型（7-10）|涵盖平行四边形、特殊平行四边形、中位线、梯形的性质与判定，结合动态几何与实际应用|从一般平行四边形到特殊（矩形/菱形），再到中位线、梯形，体现从一般到特殊的几何认知逻辑| |代数|25题型（11-36）|包含因式分解（概念/提取/应用）、分式（概念/性质/运算/方程）、二次根式（概念/运算/应用），强调运算与实际问题解决|遵循“概念定义-性质法则-运算技巧-实际应用”递进逻辑，代数与几何交叉题（如四边形与二次根式结合）体现知识融合|

期末真题百练通关（114题36大常考题型） 选填题 题型1普查与抽样调查 题型12因式分解的提取 题型2统计图表的认识及应用 题型13因式分解的应用 题型3频数与频率 题型14分式的概念 题型4频数分布表和频数分布直方图 题型15分式的基本性质 题型5随机事件 题型16分式的加减运算 题型6频率与概率 题型17分式的乘除运算 题型7平行四边形的性质及判断 题型18分式方程及应用 题型8特殊的平行四边形 题型19二次根式的概念 题型9三角形的中位线求解问题 题型20二次根式的乘除 题型10梯形的性质 题型21二次根式的加减 题型11因式分解的概念 解答压轴题（计算+解答） 题型22因式分解计算 题型30分式的实际问题 题型23分式的加减乘除计算 题型31分式方程解决问题 题型24二次根式的加减乘除 题型32二次根式的实际应用 题型25解分式方程 题型33平行四边形性质的实际应用 题型26统计图表的实际应用 题型34矩形和菱形的实际问题 题型27解决频数与频率问题 题型35三角形中位线问题的实际应用 题型28解决频数分布表和直方图问题 题型36梯形的性质定理的实际应用 题型29因式分解的应用 题型1普查与抽样调查 1．下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A．了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 【答案】B 【分析】根据普查的适用场景判断即可，普查结果准确，但成本较高，适合对精度要求极高，调查对象范围有限的调查． 【详解】解：A、调查对象为无锡市民，数量多范围广，适合抽样调查，不符合题意． B、飞船零部件关乎飞行安全，每个零件都需要检查，对精度要求极高，最适合采用普查，符合题意． C、测试汽车抗撞击能力具有破坏性，不适合普查，不符合题意． D、调查对象为全国中小学，范围广数量大，适合抽样调查，不符合题意． 2．为了解某九年一贯制学校（学生人数大于1000人）学生每天的睡眠时间，下列抽样的方式比较合理的是（    ） A．在该校餐厅随机抽取10名学生进行调查 B．在该校门口随机抽取10名学生进行调查 C．在该校六年级随机抽取50名学生进行调查 D．在全校学生中抽取学号尾数为2和9的学生进行调查 【答案】D 【分析】本题考查了抽样调查的可靠性等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能熟练运用求解． 根据抽样调查的可靠性，样本需具有广泛性与代表性，即样本要覆盖各个层次的对象，据此判断即可． 【详解】解：仅在餐厅抽取10名学生，样本量过小且范围局限，不能代表全校学生， 故A不合理． 在校门口抽取10名学生，样本量过小，不具备广泛性， 故B不合理． 仅抽取六年级学生，无法代表其他年级学生的情况，不具备代表性， 故C不合理． 在全校抽取学号尾数为2和9的学生，覆盖了全校各年级、各班级的学生，样本具有广泛性和代表性， 故D合理， 故选：D． 3．某市有20万户家庭，要想了解这20万家庭的年收入情况，从中抽取300户家庭进行调查，在这个问题中，样本是：________________． 【答案】300户家庭的年收入情况 【分析】本题考查了样本的定义，从总体中抽取的一部分数据的集合，叫做总体的一个样本． 根据样本的定义作答即可． 【详解】解：某市有20万户家庭，要想了解这20万家庭的年收入情况，从中抽取300户家庭进行调查，在这个问题中，样本是：从总体中抽取的300户家庭的年收入情况． 故答案为：300户家庭的年收入情况． 4．某市环保部门为了调查居民饮用水的水源地水质情况，则采用的调查方式为______（填“普查”或“抽样调查”）． 【答案】抽样调查 【分析】本题考查了抽样调查和全面调查，根据抽样调查和全面调查的适用范围作答即可，熟练掌握抽样调查和全面调查的适用范围是解题的关键． 【详解】解：某市环保部门为了调查居民饮用水的水源地水质情况，宜采用的调查方式为抽样调查， 故答案为：抽样调查． 题型2统计图表的认识及应用 5．某校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法错误的是（     ） A．得95分的人数最多 B．参赛学生人数为8人 C．最低分为85分 D．最高分与最低分的差是15分 【答案】B 【分析】观察统计图可知得85分的有1人，得90分的有2人，得95分的有5人，得100分的有2人，再逐项判断即可． 【详解】解：根据条形统计图可知得85分的有1人，得90分的有2人，得95分的有5人，得100分的有2人，可知得95分的人数最多，一共有（人）参赛，最低分是85分，最高分和最低分的差是（分），所以A，C，D正确，B错误． 6．A、B两种品牌牛奶销售增长率折线统计图如图．则下列三种说法： ①B品牌的牛奶销售量逐年在增加 ②A品牌的牛奶销售量在2023年到2024年呈下降趋势 ③2022年到2025年，B品牌的牛奶销售量都比A品牌多，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 【答案】D 【分析】本题考查了折线统计图的分析，解题的关键是区分增长率与销售量的概念，增长率为正则销售量增加，增长率下降但仍为正，销售量仍增加，增长率无法直接反映销售量的大小． 根据折线统计图中增长率的正负判断销售量的增减，结合增长率的含义分析各说法的正误． 【详解】解：①B品牌牛奶的销售增长率始终为正，故销售量逐年增加，此说法正确； ②A品牌牛奶2023到2024年的增长率虽下降，但仍为正，销售量仍在增加，并非下降，此说法错误； ③折线图反映的是增长率，无法比较销售量的大小，此说法错误． 综上，只有①正确，故选：． 7．某校调查了部分学生最喜爱的四种球类运动，根据统计结果绘制成扇形统计图，若最喜爱乒乓球和排球的人数一共有人，则此次调查中最喜欢足球的学生有____人． 【答案】60 【详解】解：最喜爱乒乓球和排球的人数占， 所以调查人数为（人）， 则此次调查中最喜欢足球的学生有（人）． 8．在下午课外活动期间，某班45名学生参加排球、足球、篮球三个项目的运动，每人参加一个项目，其中参加足球运动的学生占总人数的，另外有20人参加排球运动，其余的学生都参加篮球运动，绘制成扇形统计图，则参加篮球运动的圆心角度数为_____． 【答案】/度 【分析】先根据总人数和参加足球运动的占比求出参加足球运动的人数，再计算出参加篮球运动的人数，得到参加篮球运动人数占总人数的比例，最后用乘以该比例得到所求圆心角度数． 【详解】解：由题意得，参加足球运动的人数为（人）， 参加篮球运动的人数为（人）， 参加篮球运动人数占总人数的比例为， ∴参加篮球运动的圆心角度数为． 题型3频数与频率 9．八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】D 【分析】本题是对频率、频数灵活运用的综合考查，各小组频数之和等于数据总和，各小组频率之和等于1． 首先根据各小组频率之和等于1求出男生出现的频率．再根据频率、频数的关系先求出全班人数，再求出女生出现的频数． 【详解】解：男生出现的频率， 全班人数，女 生出现的频数． 故选：D． 10．老师对本班40名学生的血型作了统计，列出统计表，则本班A型血的人数是（   ） 组别 A型 B型 型 O型 频率 0.3 0.2 0.1 0.4 A．16人 B．12人 C．8人 D．4人 【答案】B 【分析】本题考查了频数和频率的知识．根据频数和频率的定义求解即可． 【详解】解：本班A型血的人数是（人）． 故选：B． 11．某班一次跳绳测试后，根据测试成绩，将该班40名学生的成绩分为5组，若第一、二、三组的频数和为25，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为__________． 【答案】5 【分析】利用所有组的频数和等于总数，先求出第五组的频数，再计算第四组的频数即可． 【详解】解：已知总学生数为， 根据频率公式，可得第五组的频数为， 因为各组频数之和等于总数，因此第四组的频数为． 12．某学校200名学生参加生命安全知识测试，测试成绩均不低于60分且小于100分（分数均为整数），测试成绩情况如下表所示．结合表中的信息，测试成绩在分的频率是______，这个分数段的学生有______名． 成绩 59.5~69.5分 69.5~79.5分 79.5~89.5分 89.5~99.5分 频率 0.1 0.3 0.2 【答案】 80 【分析】本题考查了频数与频率．先求出测试分数在分的频率，然后再利用频数=总次数×频率，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得测试分数在分的频率是， ∴（名）， ∴测试分数在分数段的频率是，这个分数段的学生有80名， 故答案为：；80． 题型4频数分布表和频数分布直方图 13．某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（   ） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 【答案】D 【分析】先求出样本中这一分数段的频数，再根据频率频数样本容量即可得出结果． 【详解】解：由图可得：样本中这一分数段的频数为， 故样本中这一分数段的频率是． 14．针对学生完成作业的时间，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成如下不完整的统计图表．说法错误的是（     ） 作业时间频数分布表 组别 作业时间（单位：分钟） 频数 8 5 A．扇形统计图中组对应的值为 B．频数分布表中的值为 C．若该校有名学生，作业完成时间超过分钟的约人 D．扇形统计图中组所对的圆心角是 【答案】D 【分析】先利用组频数5和占比，求出调查的总人数，再以总人数为依据逐一验证各选项，对于A选项用组频数除以总人数并转化为百分数得到的值，对于B选项用总人数减去、、组的频数得到组的值，对于C选项结合组占比和学校总人数，用样本估计总体的方法估算作业完成时间超过分钟的学生人数，对于D选项用组频数除以总人数再乘以计算出其在扇形统计图中对应的圆心角度数，对比数值判断选项正误，进而确定错误的选项． 【详解】解：D组频数为5，占比为， 则调查的总人数为（人）； 对于选项A：A组频数为8，总人数为， 则组占比为，即，该选项正确； 对于选项B：总人数为，组8人，组人，组5人， 则，该选项正确； 对于选项C：D组占比为，该校有名学生， 则作业完成时间超过分钟的约有（人），该选项正确； 对于选项D：B组频数为，总人数为， 则组所对圆心角为，该选项错误； 故选：D． 15．为了解某校八（1）班学生的身高情况，小亮统计了全班学生的身高（单位：cm）数据，将其整理并绘制出如图所示的频数直方图（每组含前一个边界不含后一个边界，如145~150表示大于或等于145且小于150．试题中类似的记号均表示这一含义）．下列说法：①八（1）班学生总人数是40；②这一身高段的频数是5；③身高低于155cm的学生人数占总人数的；④一半以上的学生身高是．其中正确的是____________（填序号）． 【答案】①②④ 【分析】利用频数分布直方图判断即可. 【详解】解：八（1）班学生总人数是（人），正确； 学生的身高是定量数据，正确； 身高低于的学生人数占总人数的，错误； 一半以上的学生身高是,正确； 所以正确的序号是． 故答案为：． 【点睛】本题考查读频数分布直方图的能力和利用统计图获取信息的能力；解决问题的关键是利用统计图获取信息时，必须认真观察、分析、研究统计图，才能作出正确的判断和解决问题 16．某小区物业为了解居民的生活垃圾产生情况，收集本小区居民一周丢垃圾袋的个数，整理并制作成一个表格．现在知道这组数据的最大值为38，最小值为12．为了方便分组，取11作为第一组的下限，组距为5，作等距分组，则分成的组数为________． 【答案】6 【分析】本题考查了频数分布直方图的基础——求组数，结合题意，用数据中的最大值减去最小值，再除以组距，向上取整后即可求出答案． 【详解】解：首先计算数据的极差得， ， 由于组数必须为整数， 需向上取整至6组． 进一步验证分组区间： 第一组：， 第二组：， 第三组：， 第四组：， 第五组：， 第六组：， 最大值38属于第六组，最小值12属于第一组，所有数据均被覆盖，因此分成的组数为6， 故答案为：6． 题型5随机事件 17．下列事件是随机事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．367人中至少有2人的生日相同 C．在标准气压下，冰融化 D．小明买了一张彩票中奖 【答案】D 【分析】不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件． 【详解】解：．没有水分，种子发芽是不可能事件，故该选项不符合题意； ．367人中至少有2人的生日相同是必然事件，故该选项不符合题意； ．在标准气压下，冰融化是不可能事件，故该选项不符合题意； ．小明买了一张彩票中奖是随机事件，故该选项符合题意； 18．下列事件中为必然事件的是（    ） A．明天晴天 B．天空出现3个太阳 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．三角形内角和为 【答案】D 【分析】本题考查的是随机事件，必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．根据事件发生的可能性大小判断． 【详解】解：A、明天晴天，是随机事件，不符合题意； B、天空出现3个太阳，是不可能事件，不符合题意； C、射击运动员射击一次，命中靶心，是随机事件，不符合题意； D、三角形内角和为，是必然事件，符合题意； 故选：D． 19．给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 【答案】① 【分析】此题主要考查了必然事件、不可能事件、随机事件的概念．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念，分别进行判定即可． 【详解】解：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件，故①正确，符合题意； ②可能性很大的事件是随机事件，只是发生的概率较大，不一定发生，故②错误，不符合题意； ③如果一个事件不是必然发生的，那么它就可能发生也可能不发生，故③错误，不符合题意； 故答案为：①． 20．将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 【答案】（1）④⑥ （2）①③⑤ （3）②④⑥ 【分析】本题考查确定事件和随机事件的概念．熟练应用确定事件和随机事件的概念进行判断是解题的关键．根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可． 【详解】（1）解：是必然事件的有：④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：④⑥； （2）解：是随机事件的有：①守株待兔；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；⑤若，则； 故答案为：①③⑤； （3）解：是确定事件的有②水中捞月；④任意画一个三角形，其内角和为；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数； 故答案为：②④⑥． 题型6频率与概率 21．估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 【答案】C 【分析】本题主要考查了按事件类型确定概率，掌握事件类型的判断与概率计算是解题的关键． 先判断每个事件的类型（必然事件、不可能事件、随机事件），再确定或估计其发生的可能性大小，最后按从大到小排序。 【详解】解：①袋子中没有白球，则摸出白球是不可能事件，发生的可能性为0， ②抛掷质地均匀的骰子，点数为偶数的有2、4、6共3种，总共有6种等可能结果，则发生的可能性为， ③每4年有1个闰年，则顾客闰年出生的可能性约为， ④当前青年基本都接受过九年制义务教育，则发生的可能性接近1， ⑤在地面抛掷石块，石块落下是必然事件，则发生的可能性为1， ∴事件发生的可能性从大到小的顺序为⑤④②③①． 故选：C． 22．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 【答案】B 【分析】根据黄球的数量和摸到黄球的频率，列方程求解红球数量即可． 【详解】解：设口袋中有红球个 根据题意，得 解得， 经检验，是原方程的根， 故口袋中大约有红球16个． 故选：B． 23．有4根小棒，长度分别是1，6，7，8，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性（ ）．（填“大”或“小”） 【答案】小 【分析】根据任意两边之和大于第三边确定构成三角形的可能性，问题即可作答． 【详解】任选3根，总的选择方法有：1，6，7；1，6， 8；1， 7，8；6，7，8，共四种， ∵，，，， ∴只有选择6，7，8等3根小棒时可以构成三角形， ∴能构成三角形的可能性为：，不能构成三角形的可能性为：， ∵， ∴能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性小， 故答案为：小． 【点睛】本题主要考查了构成三角形的条件以及简单概率的求解方法等知识，掌握构成三角形的条件，是解答本题的关键． 24．小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 【答案】一正一反 【分析】本题考查了利用频率估计概率，概率公式，解题的关键在于从折线图读取稳定频率．根据统计图可知，试验结果频率在附近波动，即其概率，然后根据抛掷两枚普通硬币结果为“两正”、“两反”、“一正一反”的概率，约为即为正确答案． 【详解】解：抛掷两枚普通硬币， 第1枚            第2枚 正 反 正 正正 正反 反 反正 反反 故“两正”、“两反”的概率均为，“一正一反”的概率为， 试验结果频率在附近波动，所以可推断该图象是结果出现“一正一反”的折线统计图． 故答案为：一正一反． 题型7平行四边形的性质及判断 25．在中，的值可以是（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用平行四边形对角相等的性质判断，即可得到正确选项． 【详解】解：∵四边形是平行四边形 ∴， ∴中，第一项与第三项相等，第二项与第四项相等． 观察选项，只有D选项符合题意． 26．如图1，点是边上一动点，沿→→→的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（     ） A．5 B．2 C．3 D．6 【答案】A 【分析】根据点是边上一动点，沿→→→的路径移动，可得出，，再根据三角形的面积公式即可解答． 【详解】解：根据点的运动路径，可得出，， 又四边形是平行四边形， ∴， 设与间的距离是， 当点在上时，， 解得， 即与间的距离是． 27．如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长为______． 【答案】 【分析】由角平分线的定义可得，由平行四边形的性质可得，，结合平行线的性质得出，由等角对等边可得，从而得解． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴． 28．如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 【答案】 【分析】由直角三角形的性质可得，由平行四边形的性质可得，，，再由直角三角形的性质可得，从而求出，即可得出结果． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴，，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 题型8特殊的平行四边形 29．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 【答案】A 【分析】根据矩形的判定方法：有一个角是直角的平行四边形是矩形，以及对角线相等的平行四边形是矩形，进行判断即可． 【详解】解：∵有三个角是直角的四边形是矩形， ∴要判断这个四边形是否是矩形，可以测量是否有三个角是直角； 故测量方案正确的是：A． 30．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由矩形的性质得到，求出，由折叠的性质得到，则，得到． 【详解】解：∵四边形是矩形， ∴， ∵， ∴， 由折叠的性质得到：， ∴， ∴． 31．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 【答案】 【分析】根据折叠的性质得出，易得四边形是矩形，则，，根据勾股定理可得：，根据，即可求解． 【详解】解：∵将边折叠到边上得到，折痕为， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是矩形，，， ∴， 根据勾股定理可得：， ∵将沿着折叠，边恰好落在边上， ∴，， ∵， ∴， 解得：， ∴． 32．如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 【答案】3 【分析】根据菱形的对称中心是对角线交点，过中心的直线平分面积，先求出中心坐标，写出平移后直线解析式，再将点P坐标代入解析式，最后算出． 【详解】解：连接、交于点，如图： ∵四边形是菱形， ∴点是的中点， ∵，， ∴， ∵直线沿轴向右平移个单位长度， ∴平移后的直线解析式为， ∵平移后的直线恰好平分菱形的面积， ∴直线经过点， ∴， 解得：． 题型9三角形的中位线求解问题 33．如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】连接、，设与交于点O，根据菱形的性质得出，，，根据三角形中位线定理得出，，设，则，根据勾股定理求出，即可得出答案． 【详解】解：连接、，设与交于点O，如图所示； ∵四边形为菱形， ∴，，， ∵，，，是菱形四边的中点， ∴，， ∴，， 设，则， ∵， ∴， 在中，根据勾股定理得： ， ∴， ∴． 34．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】由矩形性质得点为中点，从而可得为的中位线，进而求解． 【详解】解：∵矩形， ， ∵， ， 即点F是边的中点， 点是边的中点， 为的中位线， ． 35．如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点，如果，，那么的周长是______． 【答案】18 【分析】由平行四边形对角线互相平分，得是中点，结合是中点，用三角形中位线求出，利用平行四边形对边相等，计算周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，为对角线交点， ∴， ∴是的中点， ∵点是的中点， ∴是的中位线， ∴， 在中， ∵，， ∴的周长是． 36．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 【答案】 / 【分析】先通过赋值法确定正方形边长及相关线段长度，再利用中位线定理得到线段的平行关系与长度，结合正方形的性质构造等腰直角三角形，最后用勾股定理求出的长度，进而得到的值． 【详解】解：如图，取中点为，连接、， 设， ，，四边形是正方形， ，， ， ， 、分别是、的中点， 且， ， 又、分别是、的中点， 且， ∵在正方形中，， ， ， 过点作交延长线于点， 为等腰直角三角形， ，， ， ， 在中，， ． 题型10梯形的性质 37．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】分和两种情况讨论，找出符合条件的点即可． 【详解】解：当时，点D可以位于，，的位置， 当时，点D可以位于，的位置， 所以D点共有5种不同的选法． 38．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 【答案】C 【分析】根据直角梯形的性质，平移斜腰可将直角梯形分为一个矩形和一个直角三角形，利用勾股定理验证三边关系即可判断． 【详解】解：∵直角梯形平移斜腰后，可得到一个直角三角形，直角三角形的两条直角边分别为梯形的高和两底的差，斜边为梯形的斜腰，满足勾股定理， 对选项C，取梯形两底为和，则两底差为，垂直于两底的腰长为，斜腰长为， ∵，符合勾股定理， ∴能构成直角三角形，即原四条线段能组成直角梯形， 其余选项均不满足该关系． 39．如图：等腰梯形中，，，，，的周长为12，则等腰梯形的周长是______． 【答案】16 【分析】先证明四边形是平行四边形，再证明是等边三角形，得到，求出，即可求解． 【详解】解：，， 四边形是平行四边形， ，， 四边形是等腰梯形， ， ． ， 是等边三角形， 的周长为12， ， ， 等腰梯形的周长． 40．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 【答案】9 【分析】过点C作，交的延长线于点E，证明四边形是平行四边形，可得，证明，，由勾股定理推出，再根据列式求解即可． 【详解】解：过点C作，交的延长线于点E， 又∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵在等腰梯形中，， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得，， ∴， ∴， ∴ ． 题型11因式分解的概念 41．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据因式分解的定义，即把一个多项式化为几个整式的积的形式，逐一判断各选项即可. 【详解】解：A、是整式的乘法，不符合题意； B、等式的右边不是积的形式，不符合题意； C、是因式分解，符合题意； D、等式的右边不是整式的积的形式，不符合题意. 42．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先展开因式分解后的多项式，利用多项式相等时对应项系数相等求出和的值，再计算． 【详解】解： ， ， ，解得， ． 43．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 【答案】 【分析】已知二次三项式的一个一次因式，可设出另一个一次因式，根据多项式乘法法则展开后，利用多项式相等对应项系数相等列方程求解． 【详解】设另一个因式为， 由题意得， 即， ，解得． 44．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查了因式分解的意义，设另一个因式为一次式，通过比较系数求解． 【详解】解：设另一个因式为，则． ∴． ∴对于常数项，，解得； 对于一次项系数，，代入得，解得． ∴另一个因式为． 故答案为：． 题型12因式分解的提取 45．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 【答案】A 【详解】解： 第一个多项式为 ∴ 两个多项式都含有的公因式为. 46．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】因式分解是将一个多项式化为几个整式乘积的形式，据此对各选项进行判断即可． 【详解】解：A、左右两边都已是整式乘积的形式，仅为恒等变形，不符合因式分解定义； B、等式左右两边变形错误，等式不成立，且右边为，不是几个整式乘积的形式，不符合定义； C、，将多项式化为两个整式乘积的形式，符合因式分解定义； D、该变形是整式乘法，将乘积化为多项式，不符合因式分解定义． 47．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 【答案】 【详解】解：原式， ，，， ∴． 48．已知，，则的值为___________． 【答案】 【分析】本题主要考查了用整体代入法求代数式的值、提公因式法分解因式，先对所求代数式用提取公因式法因式分解，再将已知条件整体代入计算即可. 【详解】解： ，， 可得：原式． 题型13因式分解的应用 49．已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 【答案】B 【分析】先根据长方形周长和面积公式得到和的值，再对所求多项式进行因式分解，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵长方形周长为14，长为，宽为， 则，即； ∵长方形面积为12， ∴， ∵， 将，代入得： 原式． 50．能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 【答案】B 【分析】根据提公因式法对原式因式分解，根据化简结果判断能被哪个数整除． 【详解】解：对原式变形提取公因式， ∵，是8的整数倍， ∴原式能被8整除． 51．因式分解： _______． 【答案】 【分析】先提公因式，然后利用完全平方公式因式分解即可． 【详解】解：． 52．如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是______． 【答案】 【分析】根据题意画出图形，然后通过面积的两种求法即可求解． 【详解】解：如图， 大长方形的面积可以表示为一个正方形和五个长方形的面积之和：， 还可以表示为：长宽， ∴可得到因式分解的式子为． 题型14分式的概念 53．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 【答案】A 【分析】先求出若x分别取，所得结果相加之和等于，时分式值为，进而计算加法即可． 【详解】解：当（a为正整数）时，，当时，， ∴若x分别取，所得结果相加之和等于， 当时，， ∴若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，所得结果相加之和等于． 54．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】B 【分析】先对分式分离常数变形，根据分式值为整数，得到是的因数，结合是正整数的条件找出所有符合要求的，再计算它们的和即可。 【详解】解：∵ ， ∵分式的值为整数，为正整数，分式有意义要求， ∴为整数，即是的因数，若为负因数，则对应为非正整数，不符合要求，舍去， ∴的可取值为， 对应得 所有符合条件的的值的和为 ． 55．若，则的值为________． 【答案】 【分析】根据已知比例关系，用一个字母表示另一个字母，代入所求分式化简即可得到结果． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 56．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 【答案】或 【分析】先利用完全平方公式对已知分式进行变形，然后结合分式的值为整数和是非负整数，求得的取值． 【详解】解： 分式的值为整数， 或， 或， 是非负整数， 或． 题型15分式的基本性质 57．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了分式的值，由于分式值恒不变，可设其值为常数，进而根据多项式恒等条件列出方程求解． 【详解】解：∵分式值恒不变， ∴设（为常数）， 则， 整理得， ∵该等式对任意恒成立， ∴系数对应相等：，， 由得， 代入得， ∴ 故选：C． 58．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据最简分式的定义，即分子与分母没有公因式的分式，对每个选项进行分析，判断是否存在公因式即可得到答案． 【详解】解：A、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； B、对于，∵分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式； C、对于，∵分母不能分解因式，分子与分母没有公因式，∴是最简分式； D、对于，∵，分子分母有公因式，约分后得，∴不是最简分式． 综上，答案选C． 59．分式与的最简公分母为____． 【答案】 【分析】此题考查了分式的最简公分母，掌握将所有多项式的分母分解因式，所有不同因式的乘积组成了分式的最简公分母是解题的关键．对分母进行因式分解，找到不同因式的乘积解题即可． 【详解】解：，， ∴分式与的最简公分母是， 故答案为：． 60．已知，则代数式的值为______． 【答案】4 【分析】先对已知等式通分变形，得到与的数量关系，再将所求分式的分子分母分组提公因式变形，最后整体代入计算求值. 【详解】解：已知，对等式左边通分，得，整理得，即. ∴ 题型16分式的加减运算 61．已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先对B进行分式通分化简，再结合A的表达式计算对应式子，即可得出结论. 【详解】解： ∵， ∴，且，故A，B错误； ，，故C正确，D错误. 62．计算的结果等于（   ）． A．3 B． C． D． 【答案】D 【详解】解：， ， ， ， ， ． 63．已知，且，则______． 【答案】 【分析】先对已知等式变形，得到，再将所求分式先平方，利用完全平方公式展开后代入计算，最后根据判断符号得到结果． 【详解】解：， ， ， ， ， ，， ， ． 64．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 【答案】 【详解】解： 题型17分式的乘除运算 65．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】解：A．，原计算错误； B．，原计算错误； C．，原计算错误； D．，原计算正确． 66．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先对分子分母因式分解，计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，约分得到结果，用到平方差公式和分式运算法则． 【详解】解： ． 67．_________． 【答案】 【分析】先算乘方，再利用分式的乘除混合运算法则计算即可． 【详解】解： ． 68．图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 【答案】 【分析】根据题意得到，，再利用分式的约分对进行化简即可得到化简结果，再进一步求出最小值即可． 【详解】解：由题意可得，， ∴， 即可化简为． ， ∵a为大于1的整数， ∴当时，取得最大值为， 此时取得最小值为， 即的最小值为． 题型18分式方程及应用 69．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，根据题意，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设出纯电汽车每百公里耗电费后，表示出燃油汽车每百公里耗油费，根据两种车行驶路程相等列方程，即可判断正确选项. 【详解】解：设纯电汽车每百公里的耗电费为元，则燃油汽车每百公里耗油费为元， ∵燃油汽车耗费元油费行驶的路程与纯电汽车耗费元电费行驶的路程相同， ∴可得方程. 70．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 【答案】A 【分析】分式方程无解分为两种情况，一是去分母后得到的整式方程本身无解，二是整式方程的解是原分式方程的增根，分别计算两种情况的值即可； 【详解】解：给原方程两边同乘去分母，得， 整理得：， 分两种情况讨论： ①若整式方程无解，则， ∵ 时， 等式不成立，整式方程无解， ∴时，原分式方程无解； ②若整式方程有解，但解为原分式方程的增根， 原分式方程的分母为，∴增根为， 把代入 ，得，解得， 综上，的值为或． 71．若关于x的方程有增根，则m的值为______． 【答案】 【分析】先将分式方程转化为整式方程，再根据增根的定义确定增根的值，将增根代入整式方程即可求出的值． 【详解】解：方程两边同乘得： ， 关于的分式方程有增根， ，即增根为， 把代入得：， 解得． 72．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 【答案】600 【分析】设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得分式方程并求解，再检验是否符合题意即可． 【详解】解：设两台汽车的续航里程是x千米，由题意可得 ， 解得， 经检验是方程的解， 即两台汽车的续航里程是600千米． 题型19二次根式的概念 73．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据二次根式的定义“一般地，我们把形如的式子叫做二次根式”即可判断． 【详解】解：A、当时，不是二次根式，选项说法错误，不符合题意； B、被开方数是负数，选项说法错误，不符合题意； C、是三次根式，选项说法错误，不符合题意； D、因为，所以是二次根式，选项说法正确，符合题意． 74．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 【答案】B 【分析】根据是整数，求出a的取值范围，再根据a是正整数，即可得出答案． 【详解】解：∵a是正整数，的值是整数， ∴， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 当时，即， 综上所述，正整数a的值可以是10，9，6，1， ∴所有可能的a之和为． 75．已知，则________． 【答案】 【分析】根据二次根式的性质将原式进行化简，注意要结合二次根式有意义的条件进行分情况讨论 【详解】求解． 解：∵， ∴与同号， ①当，时， 原式 ； ②当，时， 原式 ， 故答案为：． 【点睛】此题考查了二次根式的性质，解题的关键是利用二次根式有意义的条件． 76．若，则代数式的值为______． 【答案】 【分析】由已知可得，即得，得到，再整体代入计算即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∴， 即， ∴， ∴． 题型20二次根式的乘除 77．下列各式计算中，与相乘的积是无理数的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据二次根式的乘法法则计算各选项与的乘积，再根据有理数和无理数的概念判断结果，得到符合要求的选项． 【详解】解：A、，1是有理数， A不符合要求； B、 ，6是有理数， B不符合要求； C、，是无理数， C符合要求； D、 ，9是有理数，D不符合要求． 78．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次根式的性质与化简、二次根式有意义的条件，掌握分式有意义的条件、二次根式有意义的条件和二次根式的乘除法公式是解决此题的关键． 根据二次根式有意义的条件得到，则，根据二次根式的性质利用二次根式的乘除法公式化简即可． 【详解】解：，， ， 原式， 故选：C． 79．化简：____________；____________． 【答案】 【分析】由二次根式性质、分母有理化、完全平方公式求解即可． 【详解】解：； ． 80．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 【答案】5 【分析】本题考查最简二次根式的性质、解一元二次不等式，熟练掌握最简二次根式的性质及一元二次不等式的解法是解题的关键． 根据题意可得必须是2乘以某个完全平方数，即（为正整数），进而求出的可能值，取最小正整数即可． 【详解】解：由于化成最简二次根式后与被开方数相同， 则的最简形式为，其中为正整数， 即， 解得 由为正整数，得， 解得， 则可取1，2，3， 当时，；当时，；当时， 因此的最小值为5， 故答案为：5． 题型21二次根式的加减 81．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据二次根式的运算法则和性质，逐一计算各选项即可判断正误． 【详解】解：A、，故原计算正确； B、，故原计算错误； C、，故原计算错误； D、与不是同类二次根式，不能直接合并相加，故原计算错误． 82．按一定规律排列的单项式：，，，，，，则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】分别拆分观察单项式的系数、字母a的次数随序号n的变化规律，即可得到结果． 【详解】解：∵当时，单项式为 当时，单项式为 当时，单项式为 当时，单项式为 当时，单项式为 ．．． ∴可得规律：第n个单项式的系数为，字母a的次数为n ∴第n个单项式为 83．与最简二次根式能合并，则__________． 【答案】4 【分析】 能合并的二次根式是同类二次根式，同类二次根式化为最简二次根式后被开方数相同，据此化简后列方程求解即可． 【详解】解：化简得， 与最简二次根式能合并， ， 解得：， 84．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 【答案】60 【分析】先根据两个小正方形的面积可求得它们的边长，得出大正方形的边长，再求面积即可求得答案． 【详解】解：两个小正方形的面积分别为和， 这两个小正方形的边长分别为和， 大正方形的边长为， 余下部分的面积为：． 题型22因式分解计算 85．因式分解： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式． 86．先因式分解，再计算求值：，其中，． 【答案】 ， 【分析】先利用互为相反数的平方相等变形，提取公因式完成因式分解，再代入、的值计算即可． 【详解】解： ， 把，代入得， 原式． 题型23分式的加减乘除计算 87．计算： （1）； （2）； 【答案】（1）1 （2）1 【分析】（1）利用同分母分式的加减运算法则计算即可； （2）先化为同分母，再计算即可. 【详解】（1）解： ； （2）解： ； 88．已知，求，的值． 【答案】． 【分析】先计算，然后由，从而可得，再解方程组即可． 【详解】解：， ， ∵，即， ∴， 解得． 题型24二次根式的加减乘除 89．计算题： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据二次根式的乘除运算法则进行计算即可； （2）根据二次根式的加减运算法则进行计算即可． 【详解】（1）解：， ， ， ， ． （2）解： ， ， ． 90．已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【分析】（1）先求解，，再结合因式分解可得答案； （2）先求解，结合完全平方公式的变形求解即可． 【详解】（1）解：， ，， ． （2）解：， ， ． 题型25解分式方程 91．解分式方程：． 【答案】 【详解】解：原方程变形为， 方程两边同时乘以去分母得：， 展开整理得， 解得； 检验：把代入， 故原分式方程的解为. 92．若关于的方程有解，求实数的取值范围． 【答案】 【分析】先解方程得到，再根据分母不为零的取值条件得到，再代入运算即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴， 解得：． 题型26统计图表的实际应用 93．运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了______________名学生；扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为______________； （2）若该校有学生5000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数； （3）根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并结合实际提出一条合理化的建议． 【答案】（1）120， （2）人 （3）该学校学生每周在家运动时间达标率较低，建议提高学生在家运动时间（答案不唯一，合理即可） 【分析】（1）根据组人数及所占比例求总人数，根据总人数及，，组人数求出组人数，用组人数除以总人数再乘以度即可求出组所对应扇形的圆心角的度数； （2）利用样本估计总体思想求解； （3）从达标率进行分析，并提出建议． 【详解】（1）解：在这次抽样调查中，共调查了名学生． 组的人数为（人）， 在扇形统计图中组所对应扇形的圆心角的度数为； （2）解：（人）； 答：估计该校学生一周在家运动时长不足小时的有人． （3）解：该学校学生每周在家运动时间达标率为， 建议略． 94．为深化课程改革，提高延时服务的多样性，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取八年级部分学生进行调查，从A：书法，B：美食，C：话剧，D：编程与机器人四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为多少人，扇形统计图中A部分的圆心角是多少度． （2）请补全条形统计图． （3）根据本次调查，该校八年级720名学生中，估计最喜欢“编程与机器人”的学生人数为多少？ 【答案】（1）； （2）见解析 （3） 【分析】（1）根据的人数除以占比得出总人数，根据A的占比乘以，即可求得扇形统计图中A部分的圆心角； （2）先求得D组的人数，再补全统计图，即可求解； （3）根据样本估计总体，即可求解． 【详解】（1）解：人； 扇形统计图中A部分的圆心角是； （2）解：D组的人数为人， 补全条形统计图如图 （3）解：估计最喜欢“编程与机器人”的学生人数为人． 题型27解决频数与频率问题 95．榕榕对本班同学就“你喜爱什么电视节目”展开调查，全班同学都填写了调查问卷，每位同学只能选取其中的一类：A．新闻；B．体育；C．影视；D．综艺． 收集后得到如下数据： CCADB    CADCD    CBABD    DBCCC DBDCD    DDCDC    CBBDD    CCABD （1）请完成下列频数分布表： 节目类别 A．新闻 B．体育 C．影视 D．综艺 频数 （2）由上表可知，喜欢体育类节目的同学出现的频率是__________． （3）若是用扇形统计图来表示本班同学对各类别节目的喜爱情况，求综艺类节目所对应扇形的圆心角． 【答案】（1）见解析 （2）0.2 （3） 【分析】本题考查数据的整理，求扇形统计图中圆心角的度数，频率的计算； （1）利用收集的数据填写表格即可； （2）利用喜欢体育类节目的同学数除以所有同学数计算即可； （3）根据乘以喜欢综艺类节目的人数所占的比例解题即可． 【详解】（1）如下表： 节目类别 A．新闻 B．体育 C．影视 D．综艺 频数 4 8 14 14 故答案为：，，，； （2）解：喜欢体育类节目的同学出现的频率是， 故答案为：； （3）解：． 即综艺类节目所对应扇形的圆心角为． 96．为庆祝十四届全国人大一次会议胜利召开，某学校组织了一次知识竞赛，赛后发现所有学生的成绩（总分100分）均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名学生的成绩作为样本进行整理，并绘制了如下不完整的统计表．请你根据统计表，解答下列问题： 学校若干名学生成绩分布统计表 分数段（成绩为分） 频数 频率 16 72 12 （1）此次抽样调查的样本容量是__________； （2）填空：__________，__________； （3）比赛按照分数由高到低共设置一、二、三等奖，如果有的参赛学生能获得一等奖，那么一等奖的分数线是多少？ 【答案】（1）200； （2）62，38； （3）一等奖的分数线是80分 【分析】本题考查了频率分布表 （1）根据样本容量=频数÷频率计算即可． （2）根据频数=样本容量×频率；频率=频数÷样本容量，再结合公式计算即可． （3）根据题意，一等奖获奖人数为：（人），根据（人），判断即可． 【详解】（1）根据题意，本次抽样调查的人数为：（人）， 故答案为：200． （2）根据题意，得（人）； 故（人） 故答案为：62，38． （3）根据题意，一等奖获奖人数为：（人）， 根据（人）， 故一等奖的分数线是80分． 题型28解决频数分布表和直方图问题 97．学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的航天知识竞答活动成绩进行整理（满分为100分，60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． （1）学校抽取七年级同学________人； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中D组的圆心角________； （4）学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校七年级共有400名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 【答案】（1）40 （2）补全统计图如下： （3） （4）80人 【分析】（1）根据B组人数与所占百分比求解； （2）先求出D组人数，再补全频数分布直方图； （3）乘以D组所占的比例即可求出； （4）440乘以D组所占的比例即可． 【详解】（1）解：由B组人数12与所占百分比可得，样本容量为：， 答：学校抽取的七年级同学的人数40人； （2）解：D的频数为：， 补全频数分布直方图略： （3）解：， 答：扇形统计图中D组的圆心角． （4）解：由题意可得，（人）， 答：七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数为80人． 98．某校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛，学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组，为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成以下不完整的统计图表，根据所给信息，解答下列问题： （1）表中m的值为 ，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 【答案】（1），见解析 （2） （3）估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是1200人 【分析】本题考查了扇形统计图与补全频数分布直方图，画条形统计图，求扇形统计图的圆心角，样本估计总体，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用B组人数除以占比，得出被调查的总人数，再列式计算求出m的值，最后补全频数分布直方图，即可作答． （2）理解题意，E组人数除以被调查的总人数,再，得出E组所对应的圆心角的度数，即可作答． （3）运用样本估计总体进行列式计算，即可作答． 【详解】（1）解：依题意，被调查的总人数为（人）， 则， 补全频数分布直方图如下： （2）解：由（1）得被调查的总人数为人， 则E组所对应的圆心角的度数为； （3）解：由（1）得被调查的总人数为人， 则（人）， 答：估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是1200人． 题型29因式分解的应用 99．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 【答案】（1），5； （2）． 【分析】（1）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于a，n的方程组，解方程组求出答案即可； （2）设另一个因式为，再根据多项式乘多项式法则计算，从而列出关于n，b的方程组，解方程组求出答案即可． 【详解】（1）解：设另一个因式为，得 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴另一个因式是，a的值为5； （2）解：设另一个因式为，得 ， 则， ∴， 由①得：， 把代入②得：， ∴． 100．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． （1）求、的值； （2）在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 【答案】（1） （2） 【分析】（1）根据题干中的解法设，然后将和代入得到，，然后解方程组求出m和n的值； （2）设，根据多项式乘以多项式展开，比较系数，即可求解． 【详解】（1）解：∵多项式含有因式和， ∴设 ∵上式为恒等式， ∴当时，， 当时，， ∴联立①②解得 （2）解：∵含有因式和， 设 对比多项式的系数可知： ∴ 题型30分式的实际问题 101．如图所示的是小敏同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题． 数学日记：今天在解决一道分式求值题时，我用了两种不同的方法，都得到了同样的结果． 题目：已知，求的值． 方法1：由，得，所以． 代入所求分式： 方法2：直接对原式进行变形，分子分母同时除以…… （1）“方法1”中运用了分式这一章的数学依据是________________________． （2）请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． （3）若，（、都不为）请直接写出的值． 【答案】（1）分式的基本性质 （2）过程见解析 （3） 【分析】（1）方法1使用了通分和约分运算，依据是分式的基本性质； （2）先分子分母同除以，再将整体代入即可； （3）仿照“方法2”进行计算即可． 【详解】（1）解：分式的基本性质； （2）解：； （3）解：． 102．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … （1）写出时的拆分结果； （2）【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； （3）【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 【答案】（1） （2）猜想：（为正整数，且），证明见解析 （3）（为奇数，且），证明见解析 【分析】（1）通过观察已知的拆分结果，找出规律，进而写出时的拆分结果； （2）根据前面的规律猜想出的拆分结果，然后通过分式的运算进行证明； （3）先仿照前面的过程探索的拆分规律，再进行证明． 【详解】（1）解：∵当时，，其中，；当时，，其中，；当时，，其中，， ∴当时，，，即； （2）解：猜想：（为正整数，且）， 证明： ； （3）解：当时，，其中，； 当时，，其中，； 当时，，其中，； 猜想：（为奇数，且）， 证明： ． 题型31分式方程解决问题 103．4月10日至12日，第十届中国国际食品及配料博览会、第四届中国国际预制菜产业博览会、第十五届广东现代农业博览会在广东东莞现代国际展览中心举办．在豫农优品展区，琳琅满目的河南特色农产品全方位展现了中原农业的深厚底蕴与创新活力．河南焦作温县的“铁棍山药”是享誉全国的地理标志产品．某山药制品专卖店决定在展会上采购A，B两种规格的礼盒进行销售，已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一个A种礼盒的进价比一个B种礼盒的进价贵20元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1800元购进的B种礼盒的数量相等． （1）求每个A种礼盒和每个B种礼盒的进价； （2）厂家推出优惠活动：每购买一个A种礼盒，就赠送一个B种礼盒．已知该专卖店计划用不超过2070元的资金购买礼盒，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少4个．设该专卖店购买个A种礼盒．求总费用（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少个A种礼盒及此时的总费用． 【答案】（1）每个种礼盒的进价是80元，每个种礼盒的进价是60元 （2）总费用（元）与之间的函数关系式是，最多可以购买16个A种礼盒，此时总费用为2000元 【分析】（1）设每个B种礼盒的进价是元，则每个A种礼盒的进价是元．根据“用2400元购进的A种礼盒的数量与用1800元购进的B种礼盒的数量相等”列方程求解即可； （2） 【详解】（1）解：（1）设每个B种礼盒的进价是元，则每个A种礼盒的进价是元． 根据题意，得． 解得． 经检验，是原分式方程的解且符合题意． ． 答：每个A种礼盒的进价是80元，每个B种礼盒的进价是60元； （2）解：由题意，得买了个A种礼盒，则送了个B种礼盒，购买A种礼盒的费用为元． 则需要出钱的B种礼盒的数量为 ． 由题意可知， 解得． 若，此时B种礼盒不需要花钱买， 故总费用 ，此时最大为4，此时元； 若，此时B种礼盒需要花钱买， 故总费用 ． 令 ， 解得． 取正整数， 最大为16．此时 （元） 综上，最多可以购买16个A种礼盒，此时总费用 （元）． 答：总费用（元）与之间的函数关系式是最多可以购买16个A种礼盒，此时总费用为2000元． 104．【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）求购进A，B两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 【答案】（1）购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 （2）购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元 【分析】（1）根据 “数量总价单价”列出代数式，再根据“玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍”列出等量关系式解出答案； （2）将其中一种机器人的数量设出来，另一个由“两种机器人玩具共40个”列出代数式，再根据题意列出不等式求出设的值的取值范围，再列出一次函数，根据一次函数的增减性求出答案． 【详解】（1）解：设购买一个A种机器人玩具价格为x元，则购买一个B种机器人玩具价格为元， 根据题意得： ， 解得：， 经检验，是所列方程的解，且符合题意， （元）， 答：购买一个A种机器人玩具价格为50元，一个B种机器人玩具价格为60元 （2）解:设购进A种个，则B种个， 由题意： ， 解得， 且， ， ∴，m为整数， 设总花费为w元： ， ，w随m增大而减小， 取最大值30时，花费最少，， 此时：A种30个，B种（个）， 最少花费： 元； 答：购进A种30个、B种10个花费最少，最少花费2100元． 题型32二次根式的实际应用 105．在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： （1）化简： ； （2）比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） （3）设有理数、满足：，则 ； （4）已知，则__________． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【分析】（1）根据题干规律直接作答即可； （2）根据题干规律将已知两式进行变形为两个二次根式相加，然后比较大小即可； （3）根据题干规律化简，再根据、为有理数对比未知数的系数，即可得解； （4）根据平方差公式计算，即可得解． 【详解】（1）解：； （2）解：，， ， ，即； （3）解：，， ， ， ， 、为有理数， 与均为有理数， ； （4）解： ， ， ． 106．【综合与实践】问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点． （1）操作发现：在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点A，B，C，D都是格点，则边长分别是，，，；四边形的面积为________． （2）实践探究：在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，，并求出矩形的面积． （3）继续探究：若中有两边的长分别为，，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出所有符合题意的（顶点A，B，C，D都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积． 【答案】（1），，，，18 （2）作图见解析，矩形的面积为； （3）作图见解析，的面积为或． 【分析】（1）根据勾股定理即可求得，然后根据图形运用割补法即可解答； （2）先运用勾股定理以及矩形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答； （3）先运用勾股定理以及平行四边形的定义作图，然后根据图形运用割补法即可解答． 【详解】（1）解：，，，； 如图1，连接，则， ∴四边形的面积为； （2）解：如图2：矩形即为所求；，， 则矩形的面积为； （3）解：∵中有两边的长分别为，且， ∴如图3：即为所求， 的面积为； 如图4：即为所求， 的面积为． 综上，的面积为或． 题型33平行四边形性质的实际应用 107．如图，在中，M，N是对角线上的点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若 ，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连结，交于点． 是平行四边形， ，， 又， ， ， 四边形是平行四边形； （2） 【分析】（1）连结，交于点，由平行四边形性质可知，，因为，可得，即可证明题目； （2）因为，可求，又由已知可求，利用勾股定理求得长，则题目可解． 【详解】（1）证明：略； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 108．如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． （1）画出平移后的，并写出点的坐标为_____； （2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 【答案】（1）图见解析， （2）或或 【分析】（1）先根据点和点的坐标确定平移方式，再描出点、，连接成三角形即可； （2）分类讨论，由平行四边形的性质结合平移方式确定点的坐标． 【详解】（1）解：∵，， ∴平移方式为：向右平移个单位长度，向上平移个单位长度， 如图所示： 由图可知，点的坐标为； （2）解：如图， ①当点在点的对面时， 由图可知，，， ∴点向左平移个单位长度，向下平移个单位长度得到点， ∵， ∴点的坐标为； ②当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； ③当点在点的对面时， 同理，点的坐标为； 综上所述，点的坐标为或或． 题型34矩形和菱形的实际问题 109．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：∵四边形是菱形， ∴，，，即， ∵， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴平行四边形是矩形． （2） 【分析】（1）根据菱形的性质得出，，，推得，根据平行四边形的判定和性质得出，结合矩形的判定定理即可证明； （2）根据菱形的性质求出和的长，根据勾股定理求出的长，结合矩形的性质即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形是菱形， ∴，，， 在中，， ∵四边形是矩形， ∴． 110．数学探究课上，某兴趣小组探究含有特殊三角形的菱形的性质． （1）【问题情境】 如图1，菱形的边长为2，对角线，则___，____； （2）【操作发现】 如图2，在图1的基础上，在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点A，C重合），以为边向左侧作菱形，且，连接．求的度数； （3）【拓展延伸】 在（2）中，将“在菱形的对角线上任取一点P”改为“在菱形的对角线AC的延长线上取一点P”，其他条件不变．请根据题意，借助三角板和量角器在图3中补全图形（无需尺规作图），直接写出的度数． 【答案】（1）； （2） （3）； 【分析】（1）结合菱形的性质先证明是等边三角形，即可求出其相应的内角度数，问题即可得解； （2）结合菱形的性质先证明，再证明，问题即可解决； （3）根据（2）的方法同理证明，根据互补先求出，即可得，再结合（1）的结果即可作答． 【详解】（1）∵菱形的边长为2， ∴，即是等腰三角形， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵菱形， ∴对角线平分、， ∴； （2）∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴， ∴， ∵菱形和菱形， ∴，， ∴， ∴， ∵在（1）中有， ∴， ∴； （3）补全图形见答案 根据（2）方法同理可证明：， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 题型35三角形中位线问题的实际应用 111．如图，点为正方形边的中点，依据正方形的对称性，请仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出的平分线； （2）在图2中，作出，交于点； （3）在图3中，作出边的中点． 【答案】（1）如图，线段即为所求； （2）如图，即为所求． （3）如图，点F即为所求． 【分析】（1）连接，根据正方形的性质即可得出平分； （2）连接、交于点O，连接并延长交于点F，则即为所求； （3）连接交于点，连接并延长，交于点F，则点F即为边的中点． 【详解】（1）略 （2）解：∵四边形为正方形， ∴，，， ∵E为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）解：∵四边形为正方形， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， 即点F为的中点． 112．解决问题 （1）如图①，在中，点和点分别是、的中点．则与的关系是_______． （2）如图②，已知，，，分别是四边形各边的中点，与是四边形的对角线． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，则_______； ③直接写出当与满足怎样的关系时，四边形是正方形． 【答案】（1）， （2）①见解析；②；③， 【分析】（1）运用中位线的判定与性质，即可作答 （2）①先结合中位线的判定与性质得出最后由一组对边平行且相等得出四边形是平行四边形 ②根据先结合中位线的判定与性质得出，又因为四边形是平行四边形，故四边形是矩形，再结合勾股定理列式计算，即可作答． ③与②同理得出四边形是矩形，再结合一组邻边相等的矩形是正方形，即可作答． 【详解】（1）解：∵点和点分别是、的中点， ∴是的中位线， ∴，； （2）解：①∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴ ∴， ∴四边形是平行四边形； ②由①得四边形是平行四边形, ， ∵ ∴ ∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴是的中位线， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是矩形； 即， 连接， ． ③依题意，当，时，四边形是正方形，过程如下： 与②同理，由得出四边形是矩形； ∵，，，分别是四边形各边的中点， ∴分别是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∵四边形是矩形，， ∴四边形是正方形． 题型36梯形的性质定理的实际应用 113．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． （1）当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ （2）当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ （3）多少秒后，梯形是等腰梯形？ 【答案】（1） （2） （3）7 【分析】本题考查了直角梯形的性质、平行四边形的判定、等腰梯形的判定以及全等三角形的判定与性质．注意掌握辅助线的作法． （1）由当时，四边形为平行四边形，可得方程，解方程即可； （2）当时，四边形是直角梯形，可得方程，解方程即可； （3）首先过D作于E，可求得的长，又由当时，四边形为等腰梯形，可求得当，即时，四边形为等腰梯形，解方程即可； 【详解】（1）解：根据题意得：，，则． ∵， 即， ∴当时，四边形为平行四边形， 即， 解得：， 即当运动6秒时，四边形为平行四边形； （2）解：当时，四边形是直角梯形， ∴， ∴， 即当运动秒时，四边形是直角梯形． （3）解：过D作于E， 则四边形为矩形， ∴， ∴， 当时，四边形为等腰梯形，如图所示： 过点P作于点F， 则四边形是矩形， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 即， 解得：， 即当运动7秒时，四边形为等腰梯形． 114．如图，四边形中，，使，，于点E，且． （1）求的长． （2）若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动．设运动时间为t秒． 当t= 秒时，四边形是矩形． 当t为何值时，线段与四边形的边构成平行四边形？ 【答案】（1） （2）；或 【分析】（1）先在中求出的长，进而可求出的长． （2）先画图，由于四边形是矩形，那么矩形的对边相等，于是，再根据路程速度时间，可得，进而可求出t；有两种情况，1）线段与构成平行四边形，2）线段与构成平行四边形，根据平行四边形的性质列出式子，进而可求出t． 【详解】（1）解：， ， 又， ， ， ，， 四边形是等腰梯形， ； （2）设运动时间为t时，四边形是矩形，如图， 四边形是矩形， ， ， 解得， 故答案为：； 有两种情况： 1）    设运动时间为t时，线段与构成平行四边形，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； 2）    设运动时间为t时，线段与构成平行四边形，如图， 四边形是平行四边形， ， ， 解得； 综上所述，当或时，线段与四边形的边构成平行四边形． 【点睛】本题考查了矩形的性质、平行四边形的性质、等腰梯形的性质，解题的关键是画出相关的图，根据图找出等量关系，进而求出t． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $ 期末真题百练通关（114题36大常考题型） 选填题 题型1普查与抽样调查 题型12因式分解的提取 题型2统计图表的认识及应用 题型13因式分解的应用 题型3频数与频率 题型14分式的概念 题型4频数分布表和频数分布直方图 题型15分式的基本性质 题型5随机事件 题型16分式的加减运算 题型6频率与概率 题型17分式的乘除运算 题型7平行四边形的性质及判断 题型18分式方程及应用 题型8特殊的平行四边形 题型19二次根式的概念 题型9三角形的中位线求解问题 题型20二次根式的乘除 题型10梯形的性质 题型21二次根式的加减 题型11因式分解的概念 解答压轴题（计算+解答） 题型22因式分解计算 题型30分式的实际问题 题型23分式的加减乘除计算 题型31分式方程解决问题 题型24二次根式的加减乘除 题型32二次根式的实际应用 题型25解分式方程 题型33平行四边形性质的实际应用 题型26统计图表的实际应用 题型34矩形和菱形的实际问题 题型27解决频数与频率问题 题型35三角形中位线问题的实际应用 题型28解决频数分布表和直方图问题 题型36梯形的性质定理的实际应用 题型29因式分解的应用 题型1普查与抽样调查 1．下列调查中，最适合采用普查的是（　　） A．了解无锡市民对中超13支队伍的支持度 B．检测“长征八号”飞船的零部件 C．调查某新能源汽车的抗撞击能力 D．了解全国中小学人工智能课程的开展情况 2．为了解某九年一贯制学校（学生人数大于1000人）学生每天的睡眠时间，下列抽样的方式比较合理的是（    ） A．在该校餐厅随机抽取10名学生进行调查 B．在该校门口随机抽取10名学生进行调查 C．在该校六年级随机抽取50名学生进行调查 D．在全校学生中抽取学号尾数为2和9的学生进行调查 3．某市有20万户家庭，要想了解这20万家庭的年收入情况，从中抽取300户家庭进行调查，在这个问题中，样本是：________________． 4．某市环保部门为了调查居民饮用水的水源地水质情况，则采用的调查方式为______（填“普查”或“抽样调查”）． 题型2统计图表的认识及应用 5．某校在一次歌唱选拔比赛中，将所有参赛学生的成绩绘制成如图所示的条形统计图，则下列说法错误的是（     ） A．得95分的人数最多 B．参赛学生人数为8人 C．最低分为85分 D．最高分与最低分的差是15分 6．A、B两种品牌牛奶销售增长率折线统计图如图．则下列三种说法： ①B品牌的牛奶销售量逐年在增加 ②A品牌的牛奶销售量在2023年到2024年呈下降趋势 ③2022年到2025年，B品牌的牛奶销售量都比A品牌多，其中正确的有（   ） A．①②③ B．①② C．①③ D．① 7．某校调查了部分学生最喜爱的四种球类运动，根据统计结果绘制成扇形统计图，若最喜爱乒乓球和排球的人数一共有人，则此次调查中最喜欢足球的学生有____人． 8．在下午课外活动期间，某班45名学生参加排球、足球、篮球三个项目的运动，每人参加一个项目，其中参加足球运动的学生占总人数的，另外有20人参加排球运动，其余的学生都参加篮球运动，绘制成扇形统计图，则参加篮球运动的圆心角度数为_____． 题型3频数与频率 9．八年级某班有男生人，女生占全班人数的，则男生出现的频率和女生出现的频数分别是（   ） A．和 B．和 C．和 D．和 10．老师对本班40名学生的血型作了统计，列出统计表，则本班A型血的人数是（   ） 组别 A型 B型 型 O型 频率 0.3 0.2 0.1 0.4 A．16人 B．12人 C．8人 D．4人 11．某班一次跳绳测试后，根据测试成绩，将该班40名学生的成绩分为5组，若第一、二、三组的频数和为25，第五组的频率为0.25，则第四组的频数为__________． 12．某学校200名学生参加生命安全知识测试，测试成绩均不低于60分且小于100分（分数均为整数），测试成绩情况如下表所示．结合表中的信息，测试成绩在分的频率是______，这个分数段的学生有______名． 成绩 59.5~69.5分 69.5~79.5分 79.5~89.5分 89.5~99.5分 频率 0.1 0.3 0.2 题型4频数分布表和频数分布直方图 13．某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（   ） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 14．针对学生完成作业的时间，某校随机抽取部分学生进行问卷调查，并将调查结果制成如下不完整的统计图表．说法错误的是（     ） 作业时间频数分布表 组别 作业时间（单位：分钟） 频数 8 5 A．扇形统计图中组对应的值为 B．频数分布表中的值为 C．若该校有名学生，作业完成时间超过分钟的约人 D．扇形统计图中组所对的圆心角是 15．为了解某校八（1）班学生的身高情况，小亮统计了全班学生的身高（单位：cm）数据，将其整理并绘制出如图所示的频数直方图（每组含前一个边界不含后一个边界，如145~150表示大于或等于145且小于150．试题中类似的记号均表示这一含义）．下列说法：①八（1）班学生总人数是40；②这一身高段的频数是5；③身高低于155cm的学生人数占总人数的；④一半以上的学生身高是．其中正确的是____________（填序号）． 16．某小区物业为了解居民的生活垃圾产生情况，收集本小区居民一周丢垃圾袋的个数，整理并制作成一个表格．现在知道这组数据的最大值为38，最小值为12．为了方便分组，取11作为第一组的下限，组距为5，作等距分组，则分成的组数为________． 题型5随机事件 17．下列事件是随机事件的是（    ） A．没有水分，种子发芽 B．367人中至少有2人的生日相同 C．在标准气压下，冰融化 D．小明买了一张彩票中奖 18．下列事件中为必然事件的是（    ） A．明天晴天 B．天空出现3个太阳 C．射击运动员射击一次，命中靶心 D．三角形内角和为 19．给出下列结论：①不可能发生和必然发生的事件都是确定事件；②可能性很大的事件是必然发生的；③如果一个事件不是必然发生的，那么它就是不可能发生的．其中正确的是________（填序号）． 20．将下列事件对应的序号，正确填入题后横线上． ①守株待兔；②水中捞月；③连续抛掷同一枚硬币2次都是正面朝上；④任意画一个三角形，其内角和为；⑤若，则；⑥从1，3，5中任选一个数，这个数是奇数． （1）其中是必然事件的有______； （2）其中是随机事件的有______； （3）其中是确定事件的有______． 题型6频率与概率 21．估计下列事件发生的可能性的大小，①从装有1个红球和2个黄球的袋子中摸出的1个球是白球；②抛掷1枚质地均匀的骰子，向上一面的点数是偶数；③调查商场中的1位顾客，他是闰年出生的；④随意调查一位青年，他接受过九年制义务教育；⑤在地面上抛掷1个小石块，石块会落下．将这些事件的序号按发生的可能性从大到小的顺序排列，正确的是（    ） A．①②③④⑤ B．⑤④③②① C．⑤④②③① D．④⑤③②① 22．在一个不透明的口袋中，装有若干个红球和4个黄球，它们除颜色外没有任何区别，摇匀后从中随机摸出一个球，记下颜色后再放回口袋中，通过大量重复摸球试验发现，摸到黄球的频率是，则估计口袋中大约有红球（   ） A．8个 B．16个 C．25个 D．30个 23．有4根小棒，长度分别是1，6，7，8，从中任取3根，能围成三角形的可能性比不能围成三角形的可能性（ ）．（填“大”或“小”） 24．小东收集抛掷两枚普通硬币结果分别为“两正”、“两反”、“一正一反”的数据，并将其中一种数据绘制成如图所示的折线统计图，可推断该图象是结果出现________的折线统计图． 题型7平行四边形的性质及判断 25．在中，的值可以是（     ） A． B． C． D． 26．如图1，点是边上一动点，沿→→→的路径移动，设点经过的路径长为，的面积是，图2是点运动时随变化的关系图象，则与间的距离是（     ） A．5 B．2 C．3 D．6 27．如图，在中，，，的平分线交于点E，则的长为______． 28．如图，中，，，，，，则平行四边形的面积 ________． 题型8特殊的平行四边形 29．我国古代有“不以规矩，不能成方圆”的说法，人们把“规矩”当作几何名词，“规”是圆，“矩”是方，所以初中以后就把长方形称为“矩形”．木艺活动课上，小明用四根细木条a、b、c、d搭成如图所示的一个四边形，现要判断这个四边形是否是矩形，以下测量方案正确的是（    ） A．测量是否有三个角是直角 B．测量对角线是否相等 C．测量两组对边是否分别相等 D．测量对角线是否互相垂直 30．如图，将矩形折叠，是折痕，点恰好落在边上的点处，量得，那么等于（     ） A． B． C． D． 31．如图，把一张矩形纸片按如下方法进行两次折叠：第一次将边折叠到边上得到，折痕为，连接，，第二次将沿着折叠，边恰好落在边上．若，则的长为_____． 32．如图，在平面直角坐标系中，菱形的，两点的坐标分别为，，点在轴上，将直线沿轴向右平移个单位长度．若平移后的直线恰好平分菱形的面积，则的值是______． 题型9三角形的中位线求解问题 33．如图，，，，是菱形四边的中点，顺次连接点，，，，且，则下列结论正确的是（    ） A． B． C． D． 34．如图，在矩形中，对角线，相交于点，点是边的中点，点在对角线上，且．若，则的长为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 35．如图，在中，对角线，相交于点，点是的中点，如果，，那么的周长是______． 36．如图，在正方形中，点在边上，点在对角线上，连接，，，分别为，的中点，若，，则的值为_____． 题型10梯形的性质 37．如图，在正方形网格中，点A，B，C均为格点，找一个格点D，使四边形是一个梯形，则D点共有几种不同的选法（   ） A．2 B．3 C．4 D．5 38．下列长度的四条线段首尾依次相连能组成直角梯形的是（   ） A．3，4，5，12 B．4，4，4，8 C．4，4，5，7 D．4，5，5，10 39．如图：等腰梯形中，，，，，的周长为12，则等腰梯形的周长是______． 40．如图，在等腰梯形中，，，，与交于点，，，则此梯形的面积为______． 题型11因式分解的概念 41．下列四个等式从左至右的变形中，是因式分解的是（   ） A． B． C． D． 42．若将多项式因式分解得，则的值为（   ） A． B． C． D． 43．二次三项式有一个因式是，则实数的值为______． 44．已知整式（m是常数）可以分解为两个一次因式的积，其中一个因式是，则另一个因式是_____． 题型12因式分解的提取 45．与的公因式是（   ） A． B． C． D．不存在 46．下列各式由左边到右边的变形中，属于因式分解的是（   ） A． B． C． D． 47．已知可因式分解为（其中，，均为整数），则________． 48．已知，，则的值为___________． 题型13因式分解的应用 49．已知长方形的长为，宽为，若该长方形的周长为14，面积为12，则的值为（     ） A．70 B．84 C．96 D．168 50．能被下列数整除的是（   ） A．5 B．8 C．10 D．11 51．因式分解： _______． 52．如图所示的四个长方形正好拼成一个面积为的大长方形，由此可得出因式分解后的结果是______． 题型14分式的概念 53．在计算分式的值时，若x分别取2026，2025，2024，…，2，1，0，1，，，…，，，，再将所得结果相加之和等于（    ） A． B．2026 C．2027 D． 54．已知为正整数，若使分式的结果为整数，则所有的值的和为（    ） A．5 B．6 C．7 D．8 55．若，则的值为________． 56．已知分式的值为整数，若是非负整数，则的值是_____． 题型15分式的基本性质 57．无论取何值，分式的值始终保持不变，则的值为（    ） A． B． C． D． 58．下列分式是最简分式的是（   ） A． B． C． D． 59．分式与的最简公分母为____． 60．已知，则代数式的值为______． 题型16分式的加减运算 61．已知，下列结论正确的是（   ） A． B． C． D． 62．计算的结果等于（   ）． A．3 B． C． D． 63．已知，且，则______． 64．如图，“丰收1号”小麦的试验田是边长为a米的大正方形减去一个边长为1米的小正方形蓄水池后余下的部分，“丰收2号”小麦的试验田是边长为米的正方形，若两块试验田都收获了m千克小麦，则“丰收2号”试验田的单位面积产量比“丰收1号”试验田的单位面积产量多______． 题型17分式的乘除运算 65．下列计算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 66．计算的结果为（   ） A． B． C． D． 67．_________． 68．图1是一个边长为a的正方形剪去一个边长为1的小正方形后的图形，图2是一个边长为的正方形，记图1，图2中阴影部分的面积分别为，，已知a为大于1的整数，则的最小值为______． 题型18分式方程及应用 69．小美家有一辆燃油汽车和一辆纯电汽车，燃油汽车耗费6000元油费行驶的路程与纯电汽车耗费1000元电费行驶的路程相同，且每百公里的耗油费比耗电费多50元，求纯电汽车每百公里的耗电费．设纯电汽车每百公里的耗电费为x元，根据题意，列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 70．若关于的分式方程无解，则的值是（    ） A．3或7 B．3或10 C．7 D．3 71．若关于x的方程有增根，则m的值为______． 72．小松同学的爸爸准备换一台车，通过对比两台续航里程相同的燃油车和新能源车，发现燃油车的每千米行驶费用比新能源车多元，已知燃油车的油箱容积为40升，燃油价格为9元/升，新能源车电池容量为60千瓦时，电价为元/千瓦时，则小松爸爸选择的两台汽车的续航里程是________千米． 题型19二次根式的概念 73．下列各式中，一定是二次根式的是（ ） A． B． C． D． 74．已知a是正整数，且二次根式的值是整数，则正整数a所有可能的值的和为（   ）． A．24 B．26 C．28 D．30 75．已知，则________． 76．若，则代数式的值为______． 题型20二次根式的乘除 77．下列各式计算中，与相乘的积是无理数的是（    ） A． B． C． D． 78．已知，那么可化简为（   ） A． B． C． D． 79．化简：____________；____________． 80．已知二次根式化成最简二次根式后与被开方数相同．若是正整数，则的最小值为______． 题型21二次根式的加减 81．下列计算正确的是（     ） A． B． C． D． 82．按一定规律排列的单项式：，，，，，，则第n个单项式是（    ） A． B． C． D． 83．与最简二次根式能合并，则__________． 84．如图，从一个大正方形纸片中裁去面积分别为和的两个小正方形，则剩下的面积为________________． 题型22因式分解计算 85．因式分解： （1）； （2）． 86．先因式分解，再计算求值：，其中，． 题型23分式的加减乘除计算 87．计算： （1）； （2）； 88．已知，求，的值． 题型24二次根式的加减乘除 89．计算题： （1）； （2）． 90．已知，求下列代数式的值． （1）； （2）． 题型25解分式方程 91．解分式方程：． 92．若关于的方程有解，求实数的取值范围． 题型26统计图表的实际应用 93．运动是一切生命的源泉，运动使人健康、使人聪明、使人快乐，运动不仅能改变人的体质，更能改变人的品格．某初级中学为了解学生一周在家运动时长（单位：小时）的情况，从本校学生中随机抽取了部分学生进行问卷调查，并将收集到的数据整理分析，共分为四组（A．，B．，C．，D．，其中每周运动时间不少于3小时为达标），绘制了如下两幅不完整的统计图．根据以上信息，解答下列问题： （1）在这次抽样调查中，共调查了______________名学生；扇形统计图中C组所对应扇形的圆心角的度数为______________； （2）若该校有学生5000人，试估计该校学生一周在家运动时长不足2小时的人数； （3）根据调查结果，请对该学校学生每周在家运动情况作出评价，并结合实际提出一条合理化的建议． 94．为深化课程改革，提高延时服务的多样性，某校为学生开设了形式多样的社团课程，为了解部分社团课程在学生中最受欢迎的程度，学校随机抽取八年级部分学生进行调查，从A：书法，B：美食，C：话剧，D：编程与机器人四门课程中选出你喜欢的课程（被调查者限选一项），并将调查结果绘制成两个不完整的统计图，如图所示，根据以上信息，解答下列问题： （1）本次调查的总人数为多少人，扇形统计图中A部分的圆心角是多少度． （2）请补全条形统计图． （3）根据本次调查，该校八年级720名学生中，估计最喜欢“编程与机器人”的学生人数为多少？ 题型27解决频数与频率问题 95．榕榕对本班同学就“你喜爱什么电视节目”展开调查，全班同学都填写了调查问卷，每位同学只能选取其中的一类：A．新闻；B．体育；C．影视；D．综艺． 收集后得到如下数据： CCADB    CADCD    CBABD    DBCCC DBDCD    DDCDC    CBBDD    CCABD （1）请完成下列频数分布表： 节目类别 A．新闻 B．体育 C．影视 D．综艺 频数 （2）由上表可知，喜欢体育类节目的同学出现的频率是__________． （3）若是用扇形统计图来表示本班同学对各类别节目的喜爱情况，求综艺类节目所对应扇形的圆心角． 96．为庆祝十四届全国人大一次会议胜利召开，某学校组织了一次知识竞赛，赛后发现所有学生的成绩（总分100分）均不低于50分，为了解本次竞赛的成绩分布情况，随机抽取若干名学生的成绩作为样本进行整理，并绘制了如下不完整的统计表．请你根据统计表，解答下列问题： 学校若干名学生成绩分布统计表 分数段（成绩为分） 频数 频率 16 72 12 （1）此次抽样调查的样本容量是__________； （2）填空：__________，__________； （3）比赛按照分数由高到低共设置一、二、三等奖，如果有的参赛学生能获得一等奖，那么一等奖的分数线是多少？ 题型28解决频数分布表和直方图问题 97．学校随机抽取了七年级的部分同学，并对他们的航天知识竞答活动成绩进行整理（满分为100分，60~70分之间的记为A组，70~80分之间的记为B组，80~90分之间的记为C组，90~100分之间的记为D组，每个组都含最大值不含最小值），得到如下不完整的频数分布直方图与扇形统计图． （1）学校抽取七年级同学________人； （2）补全频数分布直方图； （3）扇形统计图中D组的圆心角________； （4）学校将此次竞答活动的D组成绩记为优秀，已知该校七年级共有400名学生，请估计七年级学生中航天知识掌握情况达到优秀等级的人数． 98．某校为了增强学生体质，丰富大课间活动，组织了以“跳出健康，跃出精彩”为主题的跳绳比赛，学生跳绳成绩得分用x表示，共分成五组，为了解本次大赛的成绩，学校随机抽取了部分学生的成绩作为样本进行统计，制成以下不完整的统计图表，根据所给信息，解答下列问题： （1）表中m的值为 ，并补全频数分布直方图； （2）求扇形统计图中E组所对应的圆心角的度数； （3）若成绩不低于80分为优秀，该校共有2000名学生参与了本次跳绳比赛，请你估计该校参加本次跳绳比赛的学生成绩为优秀的人数是多少？ 题型29因式分解的应用 99．仔细阅读下面例题，解答问题： 例题：已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及m的值． 解：设另一个因式为，得 则 ∴ 解得：， ∴另一个因式为，m的值为． 问题： （1）已知二次三项式有一个因式是，求另一个因式以及a的值； （2）已知二次三项式有一个因式是，请仿照例题将因式分解． 100．阅读下列材料： 已知多项式有一个因式是，求m的值． 解法：设（A为整式） ∵上式为恒等式，∴当时，， 即，解得：． 感悟上述材料，解答下列问题： 已知多项式含有因式和． （1）求、的值； （2）在（1）的条件下，将多项式因式分解，结果是 ．（直接写答案） 题型30分式的实际问题 101．如图所示的是小敏同学的数学日记，请仔细阅读，并回答相应的问题． 数学日记：今天在解决一道分式求值题时，我用了两种不同的方法，都得到了同样的结果． 题目：已知，求的值． 方法1：由，得，所以． 代入所求分式： 方法2：直接对原式进行变形，分子分母同时除以…… （1）“方法1”中运用了分式这一章的数学依据是________________________． （2）请你将“方法2”中的剩余解题过程补充完整． （3）若，（、都不为）请直接写出的值． 102．分子为1的真分数叫做“单位分数”，也叫“埃及分数”．古埃及人在分数计算时总是将一个分数拆分成几个不同单位分数之和．数学课上，张老师提出：对于任意单位分数（a为正整数且）均可以拆分成两个不同单位分数的和．兴趣小组对此进行探究，过程如下； 【探索规律】 当时，； 当时，； 当时，； … （1）写出时的拆分结果； （2）【发现规律】猜想拆分结果，并证明你的猜想； （3）【方法应用】仿照上述过程，经历探索规律，发现规律，证明：对于任意奇数，可以拆分成两个不同单位分数的和． 题型31分式方程解决问题 103．4月10日至12日，第十届中国国际食品及配料博览会、第四届中国国际预制菜产业博览会、第十五届广东现代农业博览会在广东东莞现代国际展览中心举办．在豫农优品展区，琳琅满目的河南特色农产品全方位展现了中原农业的深厚底蕴与创新活力．河南焦作温县的“铁棍山药”是享誉全国的地理标志产品．某山药制品专卖店决定在展会上采购A，B两种规格的礼盒进行销售，已知关于这两种礼盒的进货信息如下： 信息1：一个A种礼盒的进价比一个B种礼盒的进价贵20元； 信息2：用2400元购进的A种礼盒的数量与用1800元购进的B种礼盒的数量相等． （1）求每个A种礼盒和每个B种礼盒的进价； （2）厂家推出优惠活动：每购买一个A种礼盒，就赠送一个B种礼盒．已知该专卖店计划用不超过2070元的资金购买礼盒，且B种礼盒的数量比A种礼盒数量的2倍少4个．设该专卖店购买个A种礼盒．求总费用（元）与之间的函数关系式，并求出最多可以购买多少个A种礼盒及此时的总费用． 104．【问题背景】 央视马年春晚播出后，晚会中的机器人备受大家喜爱．为满足儿童对机器人玩具的需求，某玩具店决定购进A，B两种机器人玩具． 素材一：已知一个B种机器人玩具比一个A种机器人玩具价格贵10元． 素材二：玩具店用2500元购进A种机器人玩具的数量是用1500元购进B种机器人玩具数量的2倍． 【问题解决】 （1）求购进A，B两种机器人玩具的单价； （2）因销售良好，该玩具店决定再次购进A，B两种机器人玩具共40个，且A种机器人玩具的数量不超过B种机器人玩具数量的3倍，那么购进A种机器人玩具和B种机器人玩具各多少个时花费最少？最少花费为多少元？ 题型32二次根式的实际应用 105．在学习二次根式的过程中，同学们发现有一些特殊无理数之间具有互为倒数的关系 例如：由，可得与互为倒数，即，，类似地，，；，；． 根据同学们发现的规律，解决下列问题： （1）化简： ； （2）比较大小： ；（用“”、“ ”或“”填空） （3）设有理数、满足：，则 ； （4）已知，则__________． 106．【综合与实践】问题情境： 勾股定理是几何中一个比较重要的定理，应用十分广泛，关于勾股定理的证明方法已有几百种．启哲学习小组以“四边形中边长与面积的关系”为主题在的正方形网格中开展了数学活动，每个小正方形的顶点称为格点． （1）操作发现：在图1中，每个小正方形的边长均为1．所画出的四边形的顶点A，B，C，D都是格点，则边长分别是，，，；四边形的面积为________． （2）实践探究：在图2中，每个小正方形的边长均为1．在图2所示的正方形网格中画出矩形（顶点都在格点上），使，，并求出矩形的面积． （3）继续探究：若中有两边的长分别为，，试运用构图法在图3的正方形网格（每个小正方形的边长为1）中画出所有符合题意的（顶点A，B，C，D都是格点且全等的平行四边形视为同一种情况），并求出它的面积． 题型33平行四边形性质的实际应用 107．如图，在中，M，N是对角线上的点，． （1）求证：四边形是平行四边形； （2）若 ，求的长． 108．如图，的顶点坐标分别为，，，将平移至，使点与点重合． （1）画出平移后的，并写出点的坐标为_____； （2）以，，，为顶点的四边形是平行四边形，则点的坐标是_____． 题型34矩形和菱形的实际问题 109．如图，在菱形中，对角线，相交于点，延长到点，使得，连接，过点作，交于点，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，求的长． 110．数学探究课上，某兴趣小组探究含有特殊三角形的菱形的性质． （1）【问题情境】 如图1，菱形的边长为2，对角线，则___，____； （2）【操作发现】 如图2，在图1的基础上，在菱形的对角线上任取一点P（点P不与点A，C重合），以为边向左侧作菱形，且，连接．求的度数； （3）【拓展延伸】 在（2）中，将“在菱形的对角线上任取一点P”改为“在菱形的对角线AC的延长线上取一点P”，其他条件不变．请根据题意，借助三角板和量角器在图3中补全图形（无需尺规作图），直接写出的度数． 题型35三角形中位线问题的实际应用 111．如图，点为正方形边的中点，依据正方形的对称性，请仅用一把无刻度的直尺（仅用于过任意两点作直线、连接任意两点、延长任意线段）按要求作图．（不写作法，保留作图痕迹）． （1）在图1中，作出的平分线； （2）在图2中，作出，交于点； （3）在图3中，作出边的中点． 112．解决问题 （1）如图①，在中，点和点分别是、的中点．则与的关系是_______． （2）如图②，已知，，，分别是四边形各边的中点，与是四边形的对角线． ①求证：四边形是平行四边形； ②若，则_______； ③直接写出当与满足怎样的关系时，四边形是正方形． 题型36梯形的性质定理的实际应用 113．如图，在梯形中，，，，，动点P从A点开始沿边以每秒的速度向点D移动，动点Q从C点开始沿以每秒的速度向B移动，P、Q同时出发． （1）当运动多少秒时，四边形是平行四边形？ （2）当运动多少秒时，四边形是直角梯形？ （3）多少秒后，梯形是等腰梯形？ 114．如图，四边形中，，使，，于点E，且． （1）求的长． （2）若动点P从点D出发，速度为2个单位/秒，沿向点A运动，同时，动点Q从点B出发，速度为3个单位/秒，沿向点C运动，当一个动点到达端点时，另一个动点同时停止运动．设运动时间为t秒． 当t= 秒时，四边形是矩形． 当t为何值时，线段与四边形的边构成平行四边形？ 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $