2025-2026学年人教版八年级数学下册期末提分卷

**基本信息** 这份人教版八年级数学下册期末提分卷，以机器人竞速、非遗传承等真实情境为载体，通过二次根式、函数、几何综合等题型，考查抽象能力、推理意识与数据观念，实现基础巩固与创新应用的梯度提升。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|二次根式（题1）、函数自变量范围（题2）、统计加权（题4）|正五边形与直尺（题5）考查几何直观| |填空题|6/18|数轴与勾股（题12）、图形翻折（题14）、动点面积（题15）|射击成绩稳定性（题13）体现数据意识| |解答题|8/72|机器人函数图象（题20）、菱形证明（题21）、商场利润应用（题23）|平行四边形存在性（题24）考查推理能力与创新意识|

2025-2026学年人教版八年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 2．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 4．楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为10，若依次按照的比例确定成绩，小明这四项得分依次为9，8，7，6，则小明这四项综合得分为（    ） A．8 B．7.7 C．7.5 D．7 5．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 6．关于一次函数，下列说法正确的有（   ）个． ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到； ④该函数图象一定过第三象限． A．1 B．2 C．3 D．4 7．如图，中，点E为的中点，连接，，点F为的中点，连接交为G，若，则的长为（     ）． A．4 B．5 C．6 D．8 8．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 9．如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边作等边，则以下结论错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D． 10．如图，在中，，且，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，G为四边形对角线的交点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 12．如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是， 且．以点A为圆心、长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点D表示的数是___________． 13．下面三幅图分别表示甲、乙、丙三名队员的射击成绩，你认为_____（填“甲”“乙”或“丙”）的发挥最稳定． 14．如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 15．如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为____． 16．如图，在中，，平分，平分，，分别为射线上的动点．若，则的最小值为__________． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3)． 18．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 19．2026年，山西文旅系统性推广非遗手工艺品，推动“老手艺”焕发新生，打造“新国潮”IP．为推动项目落地，山西文旅计划从甲、乙两家文化推广平台选择一家合作，为此收集了10位非遗手工艺传承人对甲、乙两家文化推广平台的三晋文化契合度的评价（满分10分）． 【数据整理】甲、乙两家文化推广平台三晋文化契合度评价的得分的折线统计图如图： 【数据分析】甲、乙两家文化推广平台三晋文化契合度评价的得分的数据分析如表： 平台 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7 a 7 b 乙 c 7.5 d 2.6 【问题解决】 (1)填空：_____，_____，_____，_____． (2)若评价得分去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后乙文化推广平台评价得分的平均数______（选填“增大”“不变”或“减小”），方差______（选填“增大”“不变”或“减小”）． (3)如果你是山西文旅非遗传承对接平台负责人，根据上述信息，你会选择与哪家平台进行合作？并说明理由（写出一条理由）． 20．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时40分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是________，机器人_______先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了_______，恢复运行后，机器人乙的速度______机器人甲的速度（填“”“”或“”）； (4)出发________时，甲乙两个机器人相距． 21．如图，在四边形中，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 22．已知，，且满足．线段交y轴于C． (1)_________，_________． (2)求C点的坐标． (3)若，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动．同时点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，与的面积相等？ 23．某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商品和2件乙商品需300元．其中1件甲商品售价为150元，1件乙商品售价为110元． (1)求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ (2)商场售出甲种商品的数量比乙种商品的数量的三分之一多10个，且获利超过1200元，问乙种商品最少卖出多少件？ (3)商场计划用不超过10350元购进两种商品共100件，其中甲种商品不少于40件，若每件甲种商品让利元，当销售完两种商品后，商场获得最大利润2225元，求的值． 24．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年人教版八年级数学下册期末提分卷 1、 单选题(本大题共10小题.每小题3分.共计30分) 1．已知n是正整数，是整数，则n的最小值是(    ) A．0 B．2 C．3 D．7 【答案】D 【分析】首先把进行化简，然后根据是整数确定n的最小值． 【详解】解：∵，且是整数， ∴是个完全平方数，(完全平方数是能表示成一个整式的平方的数) ∴n的最小值是7． 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的定义，做题的关键是推导“是个完全平方数”． 2．函数中，自变量的取值范围是（　　） A． B． C． D．且 【答案】D 【分析】本题考查了求函数自变量的取值范围，根据分式有意义的条件与二次根式有意义的条件得出不等式组，然后解不等式组即可，掌握分式有意义的条件与二次根式有意义的条件是解题的关键． 【详解】解：由题意得， ∴且， 故选：． 3．弹簧原长（不挂重物），弹簧总长L（）与重物质量x（）的关系如下表所示：当重物质量为（在弹性限度内）时，弹簧的总长L（）是（    ） 弹簧总长L（） 13 14 15 16 17 重物质量x（） A．27 B． C．20 D． 【答案】A 【分析】先从表格中找出弹簧伸长量和重物质量的变化规律，得到与的函数关系式后，代入的值计算即可． 【详解】解：由表格数据可得，重物质量每增加，弹簧总长增加， ∴重物质量每增加，弹簧伸长， ∵弹簧原长为， ∴可得与的关系式为， 将代入得，． 4．楚韵班评选优秀班干部，从“德”、“能”、“勤”、“绩”四个方面考核打分，各项满分均为10，若依次按照的比例确定成绩，小明这四项得分依次为9，8，7，6，则小明这四项综合得分为（    ） A．8 B．7.7 C．7.5 D．7 【答案】B 【分析】根据给定的权重比，按照加权平均数的计算方法求解即可． 【详解】解：∵ 四项得分的权重比为 ，总权重和为 ， ∴ 小明的综合得分为：． 5．如图，将透明直尺叠放在正五边形徽章上，若直尺的下沿于点O，且经过点B，上沿经过点E，且与相交于点F，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据正多边形的内角和公式可求出正五边形的每个内角度数，在四边形中求出即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 正五边形的每个内角度数为：， 在四边形中，， ∵， ∴． 6．关于一次函数，下列说法正确的有（   ）个． ①若点在该函数图象上，且，则； ②若该函数不经过第四象限，则； ③该函数可以看成正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到； ④该函数图象一定过第三象限． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查一次函数的定义、一次函数的图象与性质．根据一次函数的相关性质逐项分析求解即可． 【详解】解：若点，在该函数图象上，且， ， y随x的增大而增大，则，说法正确，故①符合题意； 若该函数不经过第四象限，则， ，原说法错误，故②不符合题意； 正比例函数先向左平移一个单位，再向下平移2个单位得到，即，说法正确，故③符合题意； 将函数整理为，令，得，即函数恒过定点，的横纵坐标都为负，在第三象限，因此函数一定过第三象限，说法正确，故④符合题意； 综上，正确的说法共3个． 7．如图，中，点E为的中点，连接，，点F为的中点，连接交为G，若，则的长为（     ）． A．4 B．5 C．6 D．8 【答案】C 【分析】取中点H，根据平行四边形的性质（对边平行且相等）及三角形中位线得出四边形是平行四边形，利用平行四边形对角线平分且相等进而求出的长． 【详解】解：取中点为H，连接，如图所示， ∵点F为的中点，点H为的中点， ∴是的中位线， ∴，， ∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵点E为的中点， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∴． 【点睛】构造三角形中位线． 8．如图，中，，，，，分别是边，上的两个动点．将沿直线折叠，使得点的对应点落在边的三等分点处，则线段的长为（   ） A．3 B． C．3或 D．3或 【答案】C 【分析】根据题意，分点D在上且靠近点B的三等分点时和点D在上且靠近点C的三等分点时两种情形，设，在中，勾股定理建立方程，解方程即可求解． 【详解】解：①当点D在上且靠近点B的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， ②当点D在上且靠近点C的三等分点时， ∴， 设，则， ∴在中，， ∴， 解得， 综上所述，或． 9．如图，P是等边内一点，连接、、，，以为边作等边，则以下结论错误的是（    ） A． B．是直角三角形 C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质，勾股定理逆定理，解决本题的关键是熟练掌握全等三角形的性质．根据证明，设，则：，，，根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且，又是正三角形，可得，得出，再由，，可得，由此判断即可． 【详解】解：是等边三角形， ，， 是等边三角形， ，， ， ， 在和中 ， ， 故正确，该选项不符合题意； 是正三角形， ， ， ， 又， 设，则：，，， ， 根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形，且， 故正确，该选项不符合题意； 又是正三角形， ， ， 故D正确，该选项不符合题意； ，， ， 故C错误，该选项符合题意； 故选：C． 10．如图，在中，，且，，D是斜边上的一个动点，过点D分别作于点E，于点F，G为四边形对角线的交点，则线段的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由勾股定理求出的长，再证明四边形是矩形，可得，根据垂线段最短和三角形面积即可解决问题． 【详解】解：，且，， ， ，， ， 四边形是矩形， ， 当时，的值最小， 此时，的面积， ， 的最小值为， 点为四边形对角线交点， ； 二、填空题(本大题共6小题.每小题3分.共计18分) 11．若二次根式与能合并，则整数的值除9之外还可能是__________． 【答案】 （答案不唯一） 【分析】根据同类二次根式的定义，能合并的二次根式为同类二次根式，先化简，再结合为整数，求出除外符合条件的的值． 【详解】解：， ∵二次根式与能合并， ∴化简后被开方数为， ∴，其中为正整数，且， 当时，，解得：，为题目给出的已知值； 当时，，解得，符合整数要求． 12．如图，在数轴上点A表示原点，点C表示的数是， 且．以点A为圆心、长为半径画弧，交数轴原点左边于点 D，则点D表示的数是___________． 【答案】 【分析】先根据题意，用勾股定理计算出的长度，利用圆的半径相等得到，即可得出答案． 【详解】解：由题意可知，， ， ， 则点表示的数是． 13．下面三幅图分别表示甲、乙、丙三名队员的射击成绩，你认为_____（填“甲”“乙”或“丙”）的发挥最稳定． 【答案】乙 【分析】先求出甲、乙、丙射击成绩的平均数，然后求出各自的方差，最后根据方差的意义进行判断即可． 【详解】解：， ， ， 则， ， 乙的发挥更稳定． 14．如图，在中，是边上一点，将沿着翻折至．已知，，，当，，三点共线时，则的长是___________． 【答案】6 【分析】作于点，由翻折得，，进而得到相关线段长，再由勾股定理求得，，根据即可求解． 【详解】解：作于点，则， 由翻折得，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， ∵，， ， ， ， ， ， 的长为6． 15．如图1，在矩形中，，点P从点A出发，沿的路径匀速移动，设点P运动的路程为x，的面积为y，图2是y与x之间的关系图象．当时，x的值为____． 【答案】4或16 【分析】本题考查动点问题的函数图象、矩形的性质，正确理解函数图象，熟练掌握矩形的性质是解题的关键． 根据图2可知，当点P在上运动时，的面积最大且保持不变，最大值为24，当时，点P到达点C，据此建立方程组求出矩形、长，再根据这一条件，结合图象判断点P可能位于或边上，分类讨论计算对应的路程值即可． 【详解】解：四边形是矩形， 、、， 由图2可知，当点P在上运动时，的面积最大且保持不变，最大值为24， ，即， ， 当时，点P到达点C， ， 联立， 解得：或（舍去）， 、， 分情况讨论： 当时，若点P在上时，， 则， 解得：， 若点P在上时，设， 则， 解得：， 此时， 综上所述，的值为4或16． 16．如图，在中，，平分，平分，，分别为射线上的动点．若，则的最小值为__________． 【答案】4 【分析】确定是的角平分线，根据角平分线的对称性，将进行转化，将转化为点到射线的最短路径问题，利用“垂线段最短”的性质，可知的最小值等于点到所在直线的垂线段长度，结合是等腰直角三角形，是的角平分线的条件，通过三角形等面积法建立方程，可求出上述垂线段的长度． 【详解】过点作交于点，作点关于的对称点， ∵平分， 且，， ∴， 且，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴设， ∴， ， 在中，， ∴， 解得， ∴， ∵平分，根据角平分线的对称性， ∴一定落在上， ∴， ∴， ∴时，取得最小值， 如图所示，交延长线于点， ∴， 即， 解得， ∴的最小值为． 三、解答题(本大题共8小题.每题9分.共计72分) 17．计算： (1)； (2)； (3)． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）解：原式； （2）解：原式； （3）解：原式． 18．如图，正方形网格的每个小方格的边长均为1，的顶点在格点上． (1)直接写出___________，___________，___________； (2)判断的形状，并说明理由； (3)直接写出边上的高为___________． 【答案】(1)，5， (2)是直角三角形，见解析 (3)2 【分析】（1）利用勾股定理，进行计算即可解答； （2）利用勾股定理的逆定理，进行计算即可解答； （3）利用等积法，进行计算即可解答． 【详解】（1）解：由题意得：，， ， ，，， 故答案为：，5，； （2）解：是直角三角形， 理由：，， ， 是直角三角形； （3）解：设边上的高为， 的面积， ， ． 19．2026年，山西文旅系统性推广非遗手工艺品，推动“老手艺”焕发新生，打造“新国潮”IP．为推动项目落地，山西文旅计划从甲、乙两家文化推广平台选择一家合作，为此收集了10位非遗手工艺传承人对甲、乙两家文化推广平台的三晋文化契合度的评价（满分10分）． 【数据整理】甲、乙两家文化推广平台三晋文化契合度评价的得分的折线统计图如图： 【数据分析】甲、乙两家文化推广平台三晋文化契合度评价的得分的数据分析如表： 平台 统计量 平均数/分 中位数/分 众数/分 方差 甲 7 a 7 b 乙 c 7.5 d 2.6 【问题解决】 (1)填空：_____，_____，_____，_____． (2)若评价得分去掉一个最高分和一个最低分计算，则去掉后乙文化推广平台评价得分的平均数______（选填“增大”“不变”或“减小”），方差______（选填“增大”“不变”或“减小”）． (3)如果你是山西文旅非遗传承对接平台负责人，根据上述信息，你会选择与哪家平台进行合作？并说明理由（写出一条理由）． 【答案】(1)7；1.2；7；8 (2)增大；减小 (3)我会选择与乙平台进行合作．理由：甲、乙两家平台的三晋文化契合度评价得分的平均数相同，从中位数来看，乙平台的三晋文化契合度评价得分的中位数为7.5分，大于甲平台的三晋文化契合度评价得分的中位数7分，所以我会选择与乙平台进行合作． 【分析】（1）根据甲、乙两家文化推广平台三晋文化契合度评价的得分的折线统计图可得出甲、乙两家文化推广平台三晋文化契合度评价的得分，再根据平均数、中位数、众数和方差的定义求解即可； （2）求出新的平均数和方差，再比较可解答； （3）根据平均数和中位数的定义解答即可． 【详解】（1）解：由甲、乙两家文化推广平台三晋文化契合度评价的得分的折线统计图得： 甲的评价得分为：5，6，6，7，7，7，7，8，8，9； 乙的评价得分为：4，5，6，6，7，8，8，8，9，9； 甲的评价得分共10个数据，按大小顺序排列，最中间的两个数据是第5，6个，即7，7， 所以，中位数； 甲的评价得分的方差为：； 乙的评价得分的平均数； 乙的评价得分中，8分出现次数最多，共出现3次，故众数； （2）解：乙的评价得分中去掉最低分4和最高分9，剩下8个数据为：5，6，6，7，8，8，8，9， 故平均数为：， 故去掉后乙文化推广平台评价得分的平均数增大； 方差为：所以，方差减小； （3）解：我会选择与乙平台进行合作．理由：甲、乙两家平台的三晋文化契合度评价得分的平均数相同，从中位数来看，乙平台的三晋文化契合度评价得分的中位数为7.5分，大于甲平台的三晋文化契合度评价得分的中位数7分，所以我会选择与乙平台进行合作． 20．全球首次“人机共跑”半程马拉松于年月日在北京完赛，经过时40分秒的奔跑，机器人“天工”率先冲过终点拱门，夺得桂冠．受到该项赛事启发，某中学机器人兴趣小组也举办了“机器人竞速比赛”，比赛中甲、乙两台机器人的赛跑路程和赛跑时间之间的关系如图所示，请根据图象信息回答下列问题： (1)本次比赛全程是________，机器人_______先到达终点； (2)机器人甲的平均速度是________； (3)机器人乙由于故障在途中停留了_______，恢复运行后，机器人乙的速度______机器人甲的速度（填“”“”或“”）； (4)出发________时，甲乙两个机器人相距． 【答案】(1)800；甲 (2)100 (3)3； (4)1或或或 【分析】（1）观察图象即可求解； （2）根据速度等于路程除以时间即可求解； （3）观察图象即可知乙机器人因发生故障停留的时间；恢复运行后，乙机器人跑完了余下的行程，可求得此时乙的速度并与甲的速度比较即可； （4）分四种情况考虑，利用一元一次方程求解． 【详解】（1）解：由图象知，本次比赛全程是，机器人甲先到达终点； （2）解：由图象知，甲机器人跑完了全程， 故甲机器人的平均速度为； （3）解：观察图象知，乙机器人因故障在途中停留了； 恢复运行后乙机器人的平均速度为，而， 即恢复运行后，机器人乙的速度大于机器人甲的速度； （4）解：乙机器人发生故障前的平均速度为， 当时，， 解得； 当时，， 解得或； 当时，， 当时，， 解得； 综上，当出发或或或时，甲乙两个机器人相距． 21．如图，在四边形中，，对角线，交于点O，平分，过点C作交的延长线于点E，连结． (1)求证：四边形是菱形； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明：， ， ∵AC平分， ， ， ， ， ， ， ∴四边形ABCD是平行四边形； ， ∴平行四边形ABCD是菱形； (2)6.5． 【分析】（1）利用角平分线和平行线的性质，证得 ，根据等量代换得到菱形的判定条件； （2）利用菱形的性质求出的长度，再根据“直角三角形中，斜边的中线等于斜边的一半”求解． 【详解】（1）解：略 （2）解：∵四边形ABCD是平行四边形， ， ， ， ， ， ． 22．已知，，且满足．线段交y轴于C． (1)_________，_________． (2)求C点的坐标． (3)若，动点P从D点开始在x轴上以每秒3个单位的速度向左运动．同时点Q从C点开始在y轴上以每秒1个单位向下运动．问：经过多少秒钟，与的面积相等？ 【答案】(1)， (2) (3)​秒或秒 【分析】（1）根据非负数的性质作答即可； （2）先求出直线的解析式，再将代入求解即可； （3）设运动时间为秒，求出、的长度，进而得到与的面积，根据面积相等得到，分情况作答即可． 【详解】（1）解：∵，，， ∴， 解得：； （2）解：由（1）知，， 设直线的解析式为 则 解得： ∴直线的解析式为 当时，，即 （3）解：设运动时间为秒， 动点从向左运动，速度为3单位/秒，因此坐标为， ∴的长度为． ∵的高为到轴的距离， ∴； 动点从向下运动，速度为1单位/秒，因此坐标为， ∴的长度为． ∵的底， ∴； 令面积相等，得． 分两种情况： 当即​时：， 解得，符合条件； 当即​时：， 解得，符合条件； 因此，经过​秒或秒时，与面积相等． 23．某商场计划购进甲、乙两种商品，已知购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商品和2件乙商品需300元．其中1件甲商品售价为150元，1件乙商品售价为110元． (1)求甲、乙两种商品的进价各是多少元？ (2)商场售出甲种商品的数量比乙种商品的数量的三分之一多10个，且获利超过1200元，问乙种商品最少卖出多少件？ (3)商场计划用不超过10350元购进两种商品共100件，其中甲种商品不少于40件，若每件甲种商品让利元，当销售完两种商品后，商场获得最大利润2225元，求的值． 【答案】(1)甲商品进价120元，乙商品进价90元 (2)乙种商品最少卖出33件 (3) 【分析】（1）设甲种商品的进价为 元，乙种商品的进价为 元，列出方程组求解即可； （2）先求出甲、乙两种商品单件利润，乙种商品卖出 件，根据题意列出不等式，求出m的范围即可； （3）设购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，根据题意“用不超过10350元购进”及“甲种商品不少于40件”，可列不等式组求出，设商场获得的总利润为 元，列出W与a之间的函数关系，根据一次函数性质确定n的值． 【详解】（1）解：设甲种商品的进价为 元，乙种商品的进价为 元， 根据题意“购进2件甲商品和1件乙商品需330元；购进1件甲商品和2件乙商品需300元”，可列方程组如下： ， 答： 甲种商品的进价是 120 元，乙种商品的进价是 90 元． （2）解：计算甲种商品单件利润： （元） 乙种商品单件利润： （元） 设乙种商品卖出 件，则甲种商品卖出 件， 根据题意“获利超过1200元”，可列不等式： ， 解得： 又甲种商品的数量为整数， 必须是的倍数， 的最小整数值为， 答：乙种商品最少卖出33件． （3）解：设购进甲种商品 件，则购进乙种商品 件，根据题意，得 解得， 设商场获得的总利润为 元， 甲种商品让利 元后，单件利润为 元；乙种商品单件利润仍为 20 元，则总利润 与 的函数关系式为： 已知 ，所以 ， 因为 ，所以 随 的增大而增大，要使利润 最大，则 应取最大值， 由题意可知 的最大值为 45， 将 和最大利润 代入函数关系式： 解得， 经检验， 满足 的条件． 答： 的值为 5． 24．如图，在平面直角坐标系中，，，点在轴正半轴上，且四边形是平行四边形，． (1)点的坐标是_____________；平行四边形的面积是_____________； (2)平面内有一点，求经过点且平分平行四边形面积的直线解析式； (3)点是直线上一动点，在轴上是否存在点，使以、、、为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由； (4)若一次函数的图象与平行四边形的边有2个交点，请直接写出的取值范围______________． 【答案】(1)，20 (2) (3)存在，点的坐标为或 (4)或 【分析】（1）由平行四边形的性质可得点D的坐标，平行四边形的面积等于底乘高； （2）平行四边形是中心对称图形，对称中心为对角线交点，平分其面积的直线必经过对称中心； （3）先求出直线的解析式，分三种情况：为对角线时，为边且点N在x轴的负半轴时，为边且点N在x轴的正半轴时，根据对角线中点重合列方程组，即可求解； （4）先将一次函数解析式变形，求出其图像必经过的点，再分别求出其图像经过点D，B时k的值，结合图像即可求解． 【详解】（1）解：四边形是平行四边形，，点在轴正半轴上，，， ，，， 点D的纵坐标与点A相同，横坐标为， 点的坐标是， 平行四边形的面积； （2）解：，， 对角线，的交点坐标为，即， 设经过点且平分平行四边形面积的直线解析式为， 将，代入，得：， 解得， 所求直线的解析式为； （3）解：，点在轴正半轴上，， ，即， 设直线的解析式为， 将，代入，得：， 解得， 直线的解析式为， 设，， 以、、、为顶点的四边形是平行四边形时，存在三种情况： 当为对角线时，如图： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的负半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即； 当为边，点N在x轴的正半轴时，如图所示： 则与的中点重合， ， 解得， 点的坐标为，即， 综上可得，存在，点的坐标为或； （4）解：， 一次函数的图象一定经过点， 当 的图象经过点时， ， 解得； 当的图象经过点时， ， 解得； 结合上图，可得当或时，的图象与平行四边形的边有2个交点． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $