专题03 直角三角形与两类特殊线 期末易错压轴专练 2025-2026学年北师大版八年级数学下册

**基本信息** 聚焦直角三角形与特殊线易错压轴点，以“易错诊断-方法提炼-综合应用”构建系统训练体系，强化几何直观与推理能力。 **专项设计** |模块|题量/典例|方法提炼|知识逻辑| |----|-----------|----------|----------| |基础易错|14个易错点（每题3-4题）|归纳条件误用、推理漏洞等错误类型，如忽略直角前提、混淆HL斜边直角边|从直角三角形性质（互余、30°角）到特殊线（垂直平分线、角平分线）的性质与判定，形成概念-性质-应用链条| |综合压轴|8个压轴点（每题2-4题）|提炼分类讨论（存在性）、方程思想（折叠问题）、转化策略（最值问题）等解题模型|结合动点、折叠等动态情境，综合应用直角三角形性质与特殊线判定，培养模型意识与创新意识|

专题03直角三角形与两类特殊线期末易错压轴专练 本专练聚焦直角三角形与两类特殊线章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.直角三角形的两个锐角互余 易错02锐角互余的三角形是直角三角形. 易错03.含30度角的直角三角形 易错04.写出命题的逆命题 易错05.互逆命题的判断 易错06.互逆定理 易错07.用HL证全等 易错08.全等的性质和HL综合 易错09.线段垂直平分线的性质 易错10.线段垂直平分线的判定 易错11.作垂线 易错12.角平分线的性质定理 易错13.角平分线的判定定理 易错14.角平分线的实际应用 压轴15.直角三角形角度综合推理 压轴16.30直角三角形边长转化 压轴17.直角三角形与折叠问题 压轴18.直角三角形与最值问题 压轴19.直角三角形存在性问题 压轴20.直角三角形与动点问题 压轴21.角平分线性质与判定综合证明 压轴22.垂直平分线与等腰三角形存在性 易错01.直角三角形的两个锐角互余 典题特征：已知直角三角形一个锐角度数，求另一锐角；多个直角图形组合、叠加，分步计算角度。 易错点：①脱离直角三角形的前提，直接套用两锐角和为90°的结论；②多角叠加计算时，角度加减运算出现计算错误。 1．如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质得到，根据直角三角形的性质得到，从而求出的度数． 【详解】解：， ， 在中，， ， ． 2．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 【答案】/度 【分析】根据三角形内角和定理求出，根据角平分线的定义得出，根据直角三角形两锐角互余得出，利用角的和差关系即可得出答案． 【详解】解：∵在中，，， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴． 3．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据三角形外角的性质，直角三角形两锐角互余，逐项判断，即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵是的角平分线， ∴， ∵分别为的外角， ∴， ∴， 即，故②正确； ∵， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∵为的外角， ∴， 即，故③正确； ∵是的外角， ∴， ∵，， ∴，故④正确； 综上所述，正确的为①②③④，共4个． 4．如图，为的高，，为角平分线，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用角平分线的定义求得，再利用直角三角形的性质求解即可； （2）利用三角形的外角性质求得，利用三角形内角和定理求得，利用角平分线的定义求得，据此求解即可． 【详解】（1）解：平分，， ． ， ， ； （2）解：， ． 由（1）知， ∴， ∵平分， ， 由（1）知， ． 易错02锐角互余的三角形是直角三角形. 典题特征：给出三角形两个角的度数或数量关系，判断该三角形是否为直角三角形。 易错点：①忽略“两个角均为锐角”的限定，只要两角和为90°就判定是直角三角形；②判定时不结合三角形内角和定理完整推导，推理步骤缺失。 5．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 【答案】直角 【分析】本题考查了两个锐角互余的三角形是直角三角形．本题通过外角与内角的关系及互余条件联立方程，求出各内角度数，进而判断三角形类型． 【详解】解：设这个内角为，则相邻外角为，而内角与外角的和为， ∴， 解得：， 设另一个内角为，根据互余条件：， ， 此时第三个内角为：， ∴这个三角形是直角三角形； 故答案为：直角． 6．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 【答案】C 【详解】解：对于选项A：由可得，根据三角形内角和定理可得，则是直角三角形，故A不符合题意； 对于选项B：∵， 又∵， ∴，即， ∴是直角三角形，故B不符合题意； 对于选项C：∵， 设 ∴， ∴、、无法构成三角形，故C符合题意； 对于选项D：∵是边上的高， ∴， ∴， ∴是直角三角形，故D不符合题意． 7．如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1) (2)①见详解；②，理由见详解 【分析】（1）根据平角的定义和，求出，结合平分，即可求解． （2）①根据，得出，结合，即可得，得证；②根据，，得出，结合，，，证出，即可证，得出，从而可得． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵平分， ∴． （2）①证明：∵， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴平分； ②解：，理由如下， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴是直角三角形， ∴． 易错03.含30度角的直角三角形 典题特征：已知直角三角形中30°角，求对应边长；已知直角边与斜边的数量关系，反推角度。 易错点：①忽略性质成立的前提，非直角三角形也套用“30°角对的直角边等于斜边一半”；②混淆边角对应关系，把60°角所对直角边当成30°角所对的边。 8．如图，已知，点为线段中点，以点为圆心，为半径画弧，交射线于点．若，则的长为__________． 【答案】 【分析】连接，过点D作，根据作图得到，再结合勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，过点D作， ∵，点为线段中点， ∴， ∵以点为圆心，为半径画弧，交射线于点, ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 9．如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用三角形的外角性质求出 的度数，过点 作 的垂线构造直角三角形，利用勾股定理求解即可． 【详解】如图，过点 作 于点 ， 椅背与底座的夹角为 ，即 的外角为 ，且 ， ， 在 中，，， ，， 在 中，， 是等腰直角三角形， ， ． 10．为了确保游客安全，合川某游船公司开展救援演习，如图，D处游船发生险情，救援船打算沿的路线前往，消防船打算沿的路线前往，已知点A在点B的南偏西方向上，点C在点A正东方向，且米，，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若救援船的速度是25米/秒，消防船的速度是30米/秒，请通过计算说明，谁先到达D处？（结果精确到0.1，参考数据：，，）． 【答案】(1)米 (2)消防船先到达D处 【分析】（1）过点作于点，求出米，由勾股定理得米，米，根据或得结论； （2）由勾股定理求出米，计算出与，再求出两船到达D处的时间，再进行比较即可． 【详解】（1）解：过点作于点，则， ∵， ∴， ∵米， ∴（米）， 在中，； 在中，米， ∴（米）， ∴（米）； （2）解：在中，米，米， ∴（米）， ∴（米）， （米） ∴救援船所用时间为（秒）， 消防船所用时间为（秒）， ∵， ∴消防船先到达D处． 易错04.写出命题的逆命题 典题特征：给出完整几何命题，要求拆分条件与结论，规范写出逆命题。 易错点：①颠倒原命题的条件和结论，改写结构错误；②改写语句时遗漏“直角、垂直、平分”等关键限定词汇。 11．定理“平行四边形的两组对边分别相等”的逆定理是（   ） A．两组对边分别相等的图形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对边不相等的四边形不是平行四边形 D．平行四边形的对边相等 【答案】B 【分析】本题考查了写出逆定理．原定理为“若四边形是平行四边形，则两组对边分别相等”，其逆定理需将条件与结论互换，即“若四边形的两组对边分别相等，则它是平行四边形”． 【详解】解：∵逆定理是原命题的题设和结论互换， ∴原定理题设为“四边形是平行四边形”，结论为“两组对边分别相等”，互换后为“两组对边分别相等的四边形是平行四边形”， 故选：B． 12．写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题_____ 【答案】对边相等的四边形是平行四边形 【分析】本题主要考查逆命题，熟练掌握逆命题是解题的关键．根据逆命题进行解答即可． 【详解】解：命题“平行四边形的对边相等”的逆命题为“对边相等的四边形是平行四边形”． 故答案为：对边相等的四边形是平行四边形． 13．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等边三角形有一个角等于 C．如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除 D．全等三角形的对应角相等 【答案】A 【分析】本题考查了命题，逆命题，真假命题，能准确得出命题的题设和结论是解本题的关键； 根据选项中的命题写出其逆命题，然后判断命题真假即可． 【详解】解：A、原命题：如果一个三角形是直角三角形，那么它的两个锐角互余；逆命题：如果一个三角形的两个锐角互余, 那么这个三角形是直角三角形； ∵两个锐角互余， 则它们的和为, ∴第三个角为, 即为直角三角形， 故逆命题是真命题，故此选项正确； B、原命题：如果一个三角形是等边三角形，那么它有一个角等于；逆命题：如果一个三角形有一个角等于，那么这个三角形是等边三角形； ∵有一个角的三角形不一定是等边三角形，如、、三角形， ∴逆命题是假命题，故此选项错误； C、原命题：如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除；逆命题：如果一个整数能被5整除，那么它的个位数字是5； ∵能被5整除的整数个位可以是0或5，如10能被5整除但个位是0, ∴逆命题是假命题，故此选项错误； D、原命题：如果两个三角形全等，那么它们的对应角相等；逆命题：如果两个三角形的对应角相等, 那么这两个三角形全等； ∵ 对应角相等的三角形可能相似但不全等, 如边长不同的等边三角形, ∴ 逆命题是假命题，故此选项错误； 故选：A． 易错05.互逆命题的判断 典题特征：给出两组命题，判断二者是否为互逆命题。 易错点：①无法准确拆分命题的条件与结论，判断依据错误；②仅凭文字内容相似判定，忽略互逆命题需互换条件、结论的结构要求。 14．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 【答案】C 【分析】本题考查了命题的判断，根据逆命题、平行线的性质，平行公理，等角的余角相等，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：A. 真命题的逆命题不一定是真命题，故该选项不符合题意； B. 两边分别平行的两个角相等或互补，原命题是假命题，故该选项不符合题意； C. 等角的余角相等，故该选项符合题意； D. 过直线外一点有且只有一条直线与已知直线平行，故该选项不符合题意； 故选：C． 15．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 【答案】C 【分析】交换题设和结论，即可得到答案． 【详解】解：“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是：如果x2＝y2，那么|x|＝|y|， 故选：C． 【点睛】本题考查命题与定理，解题的关键是掌握求一个命题的逆命题，就是交换原命题的题设与结论． 16．下列定理中，没有逆定理的是(     ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° 【答案】B 【详解】解：A、等腰三角形的两个底角相等的逆命题为：有两个角相等的三角形为等腰三角形，此逆命题为真命题，所以A选项有逆定理； B、对顶角相等的逆命题为：相等的角为对顶角，此命题为假命题，所以B选项没有逆定理； C、三边对应相等的两个三角形全等的逆命题为：全等的两个三角形的三边对应相等，此逆命题为真命题，所以C选项有逆定理； D、直角三角形的两锐角的和为90°的逆命题为：两锐角的和为90°的三角形为直角三角形，此逆命题为真命题，所以D选项有逆定理． 故选B． 易错06.互逆定理 典题特征：判断一对互逆命题能否称为互逆定理。 易错点：①错误认为所有定理都存在对应的逆定理；②忽略核心要求，未验证逆命题为真命题，就判定为互逆定理。 17．命题“正多边形的各边相等”的逆命题是：_________． 【答案】各边相等的多边形是正多边形 【分析】本题考查了互逆命题，逆命题是将原定理的条件和结论互换，原命题的条件是“正多边形”，结论是“各边相等”，因此逆命题是“各边相等的多边形是正多边形”． 【详解】解：命题“正多边形的各边相等”的逆命题是“如果多边形的各边相等，那么它是正多边形”， 故答案为：各边相等的多边形是正多边形． 18．下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 【答案】D 【分析】本题考查逆定理的判断，解题思路是先写出各选项原命题的逆命题，再判断逆命题的真假，若逆命题为真则存在逆定理，若逆命题为假则不存在逆定理． 【详解】解：A 原命题为等边三角形的三个内角都等于，逆命题为三个内角都等于的三角形是等边三角形，逆命题为真命题，存在逆定理； B 原命题为同位角相等，两直线平行，逆命题为两直线平行，同位角相等，逆命题为真命题，存在逆定理； C 原命题为一个三角形中相等的边所对的角相等，逆命题为一个三角形中相等的角所对的边相等，逆命题为真命题，存在逆定理； D 原命题为全等三角形的对应角相等，逆命题为对应角相等的三角形是全等三角形，对应角相等的三角形不一定全等，例如边长不同的两个等边三角形，对应角相等但不全等，逆命题为假命题，不存在逆定理． 19．下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方 【答案】A 【分析】根据逆定理的定义：将原定理的条件和结论互换得到逆命题，若逆命题为真命题，则原定理有逆定理，否则没有逆定理，据此判断各选项即可. 【详解】解：A选项：原定理为：若两个三角形全等，则它们的对应角相等，逆命题为：若两个三角形对应角相等，则两个三角形全等，对应角相等的三角形不一定全等，逆命题是假命题，因此该定理没有逆定理； B选项：原定理为：若一个三角形是直角三角形，则它的两个锐角互余.逆命题为：若一个三角形两个锐角互余，则这个三角形是直角三角形，逆命题是真命题，因此该定理有逆定理； C选项：原定理为：若一个三角形是等腰三角形，则它的两个底角相等，逆命题为：若一个三角形两个角相等，则这个三角形是等腰三角形，逆命题是真命题，因此该定理有逆定理； D选项：原定理为：若三角形是直角三角形，则两条直角边长度的平方和等于斜边长度的平方，逆命题为：若一个三角形两条边长度的平方和等于第三边长度的平方，则这个三角形是直角三角形，逆命题是真命题，因此该定理有逆定理 .易错07.用HL证全等 典题特征：证明两个直角三角形全等，选用HL定理完成作答。 易错点：①证明过程开头未注明三角形是直角三角形，直接使用HL定理；②区分不清斜边与直角边，找错两组对应边。 20．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据垂线的性质得到和都是直角三角形，根据全等直角三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：根据题意得：、 在和中 ． 21．如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点．若，，则的长为________cm． 【答案】 【分析】连接，先利用证明，得到，再在中，根据勾股定理求出的长． 【详解】解：如图，连接， 是直角三角形， ， ， ，即， 在和中， ， ， cm， 在中，由勾股定理得： ． 22．已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)添加后，为等边三角形．理由见解析（答案不唯一） 【分析】（1）利用证明； （2）由得出，进而得出，根据有一个角是60度的等腰三角形为等边三角形，可得添加的条件可以为． 【详解】（1）证明：和是的高， 和是直角三角形， 在和中， ； （2）解：添加后，为等边三角形．理由如下： ， ，即， ， 又， 为等边三角形． 易错08.全等的性质和HL综合 典题特征：先用HL证明三角形全等，再借助全等性质计算线段长度、推导角度。 易错点：①书写全等三角形时，对应顶点顺序错乱；②证完全等后，不会结合已有条件开展后续推理。 23．如图，，，，垂足分别为E，F，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质与判定，直角三角形两锐角互余，利用证明，得到，再由直角三角形两锐角互余求出的度数即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 故选：D． 24．如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 【答案】 【分析】连接，根据可证，利用全等三角形的性质可知，再根据的周长和的周长，可得，即可得到的长度． 【详解】解：如下图所示，连接， 在和中， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ， 的周长为， ， ， ， ． 25．如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 【答案】(1)证明见解析 (2)证明见解析 【分析】（1）根据同角的余角相等可得，结合 ，利用即可证明结论； （2）根据，结合已知易证，可得 ，即可证明结论． 【详解】（1）证明：， ， ， 又， ； （2）证明：，， ∴，， ∴ ， ， ， ， ∴平分． 易错09.线段垂直平分线的性质 典题特征：已知点在线段垂直平分线上，利用性质证明线段相等、计算线段长度。 易错点：①将不在垂直平分线上的点，套用“到线段两端距离相等”的性质；②找错线段对应关系，导致计算、证明出错。 26．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 【答案】D 【分析】根据线段垂直平分线的概念和性质得到，，根据三角形的周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的垂直平分线， ，， 的周长为20， ， ， ， 的周长． 27．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 【答案】 /48度 【分析】根据角平分线的定义可得，再根据线段垂直平分线的性质可得，进而可得，然后可算出的度数． 【详解】解：∵平分， ． ， ． ∵垂直平分， ， ， ∵平分， ， ， ， ， ． 28．如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交，，的延长线于点，，，连接，． 试证明： (1)； (2)． 【答案】(1)证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴， ∴； (2)证明：∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∵，， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 【分析】（1）根据垂直平分线的性质得，则，再根据角平分线的性质得，则，根据内错角相等，两直线平行，即可得出结论； （2）根据垂直平分线的性质得，则，根据外角的性质得，再根据角的和差和等量代换即可得出结论． 【详解】（1）略 （2）略 易错10.线段垂直平分线的判定 典题特征：已知一点到线段两端距离相等，证明该点在线段的垂直平分线上。 易错点：①仅证明单个点满足条件，缺少判定直线的关键步骤；②推理逻辑不连贯，省略必要证明环节。 29．如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 【答案】B 【分析】本题考查了线段的垂直平分线的性质：到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，熟练掌握该知识点是解题的关键． 由，，得到，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上即可得到结论． 【详解】解：， 而， ， ∴点在的垂直平分线上． 故选：B． 30．如图，在中，，，垂足为，若，，求的长为______． 【答案】 【分析】本题考查了线段垂直平分线的判定与性质，等腰三角形的判定和性质，三角形内外角关系，解题的关键是正确地作出辅助线将所求线段转换到已知的线段长所在的三角形中进行等量代换求解．在上取一点，使，可知垂直平分， 得到，， 结合已知以及外角的性质，等量代换易得， 根据等角对等边得到的长， 进而根据可求得的长． 【详解】解：如图所示，在上取一点，使， ， 垂直平分， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为： ． 31．如图，在中，．以点为圆心，的长为半径作弧；再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 【答案】(1)证明：由作图可知，，， 垂直平分， 即； (2) 【分析】（1）由尺规作图可知，，根据到线段两端点的距离相等的点在线段的垂直平分线上，可知垂直平分，即； （2）利用勾股定理可以求出，根据三角形的面积公式即可求出的长度，根据即可求出的长度． 【详解】（1）略； （2）解：在中，，，， 由勾股定理得：， ， ， ∵垂直平分， ， ． 易错11.作垂线 典题特征：使用尺规画出过定点的直线垂线，要求保留全部作图痕迹。 易错点：①作图圆弧、交点等关键痕迹残缺，不符合考试要求；②混淆作图方法，把过点作垂线与作线段垂直平分线的步骤混用。 32．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为_____． 【答案】4 【分析】由作图知，，在中，利用直角三角形的性质求解即可． 【详解】解：由作图知，， 在中，，， ∴． 33．如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在的两旁． （2）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．   （4）作直线． 则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为_____． 【答案】、、、、、 【分析】连接、、、、、、、，由作图可得，，再结合等腰三角形的定义分析即可得出结果． 【详解】解：如图，连接、、、、、、、， 由作图可得：，， 故等腰三角形有、、、， 不一定是等腰三角形的为、、、、、． 34．如图，中，，，． (1)请用无刻度直尺和圆规在线段上找一点Ｈ，使得的距离最小（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 【答案】(1)如图，点即为所求作的． (2) 【分析】（1）根据“垂线段最短”，作即可； （2）根据勾股定理求得，再用等面积法即可求解． 【详解】（1）略 （2）解：∵中，，，， ∴由题得， 又， ． 易错12.角平分线的性质定理 典题特征：已知点在角平分线上，利用性质证明线段相等、求解线段长度。 易错点：①把角内普通斜线段当作角两边的距离；②忽略“距离特指垂线段”这一核心条件，随意套用性质。 35．如图，BD是的平分线，于，则__________cm． 【答案】5 【分析】过点作于，设为，根据角平分线的性质得到 ，根据三角形的面积公式列出方程，解方程即可． 【详解】解：过点作于， 设为， ∵是的角平分线，，， ∴， ∴， ， 解得， ∴． 36．如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（     ） A． B．2 C．1 D． 【答案】B 【分析】过点作，得到，由平行线的性质得到，进而得到，即可求解． 【详解】解：过点作， ∵D是平分线上的一点，， ∴，，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 37．如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴， 又∵，， ∴， ∴； (2) 【分析】（1）证明，即可得到结论； （2）根据全等三角形的性质可得，再根据角平分线的性质得到答案. 【详解】（1）略； （2）解：∵， ∴， ∵，分别为，的高，即， ∴， ∵， ∴. 易错13.角平分线的判定定理 典题特征：已知角内一点到角两边距离相等，证明射线是角平分线。 易错点：①未说明两条线段为垂线段，直接判定射线是角平分线；②缺少垂直相关条件，强行使用角平分线判定定理。 38．如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 【答案】140 【分析】首先证明平分，结合易得，然后由求解即可． 【详解】解：∵，，且， ∴，平分， ∵， ∴， ∴． 39．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查角平分线的性质与判定．过点作、、所在直线的垂线，利用角平分线的性质定理可得点到、的距离相等，进而判定平分，建立与的数量关系即可求解． 【详解】解：过点作交的延长线于点，交于点，交的延长线于点． 平分，，， ． 平分，，（、、共线）， ． ． ，， 平分． ． 只要求出的度数，只需知道的度数．故选C． 40．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 【答案】证明见解析 【分析】证明得到，，再根据角平分线的判定定理可得结论． 【详解】证明：在与中， ∵，，． ∴． ∴，． ∴， ∴平分． 易错14.角平分线的实际应用 典题特征：结合选址、最短距离、区域划分等生活场景，运用角平分线性质解题。 易错点：①无法将实际问题转化为标准几何图形；②审题时找不到角、角平分线、垂线段等核心解题条件。 41．如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 【答案】6 【分析】作于，根据角平分线的性质求出，根据三角形的面积公式计算即可．本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解题的关键． 【详解】解：作于， 平分 的面积为 故答案为：6． 42．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了角平分线的性质，掌握角平分线上的点到角两边的距离相等是解题的关键． 如图：过点作，垂足为点F，根据C是的中点可求的长度，再根据角平分线的性质求解即可． 【详解】解：如图：过点作，垂足为点F， ∵C是的中点，， ∴， ∵，，射线是的平分线， ． 故选：B． 43．如图，在中，，是的角平分线， ，．求点D到的距离． 【答案】点D到的距离为 【分析】本题考查角平分线性质，熟练掌握角平分线性质是解题的关键．过点D作于点E．得到，设，则，结合角平分线性质建立等式求解，即可解题． 【详解】解：如图，过点D作于点E． 是的角平分线， ． 由题意可设，则， ， 解得， ，即点D到的距离为． 压轴15.直角三角形角度综合推理 典题特征：以直角三角形为载体，结合角平分线、平行线、折叠等条件，求未知角度数或证明角的数量关系，常隐含互余、对顶角、外角定理。 解题思路：①标记已知角，利用直角三角形两锐角互余求基础角；②结合角平分线、平行线性质推导等角/互补角；③用内角和、外角定理将未知角转化为已知角的和差或列方程求解。 44．在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 【答案】(1)125 (2)∵分别是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∴； (3)或 【分析】（1）先由三角形内角和定理求出，再根据角平分线的定义求得，即可由三角形内角和定理求解； （2）先由三角形内角和定理以及角平分线定义求得，从而得到，再由， 可得，即可得出结论； （3）分两种情况：当点M在线段上时；当点M在线段的延长线上时，画出图形，分别求解即可． 【详解】（1）解：∵， ∴， ∵三个内角的平分线交于点， ∴分别是的平分线， ∴，， ∴， ∴； （2）略 （3）解：如图，当点M在线段上时， ∵，， ∴ ， ∵，即， ∵， ∴， 即； 当点M在线段的延长线上时，如图， 同理， ∵，即， ∴ 即； 综上所述，、、三者之间的数量关系为或． 45．小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，若，则____________； 【问题探究】 （2）如图②，在中，点在边上，连接，且，线段与线段关于所在直线对称，点的对应点为点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在一块三角形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两种区域，为光伏逆变器安装区域，，，部分为光伏太阳能板安装区域，已知，点分别在上，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域的周长（即的周长）需要尽可能小，求光伏逆变器安装区域的周长最小时，的度数． 【答案】（1）45；（2）；（3）的度数为 【分析】（1）根据等腰三角形的性质和三角形内角和定理即可求解； （2）由，则，又线段与线段关于直线对称，故有，从而得，然后通过角度和差即可求解； （3）分别作D关于直线、的对称点G、H，连接，交、于点M、N，连接，，，由的周长为，则当点H、E、F、G共线时，的周长最小，即E与M重合，F与N重合，由对称性可知，，由，可得，从而可求得，进而可得，从而可求得，根据平角定义可得． 【详解】（1）解：∵，， ∴为等腰直角三角形， ∴， 故答案为：45； （2）解：，理由如下： ∵， ∴， ∵线段与线段关于直线对称， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； （3）解：如图，分别作D关于直线、的对称点G、H，连接，交、于点M、N，连接，，， ∴，， ∵的周长为， ∴当点H、E、F、G共线时，的周长最小，即E与M重合，F与N重合，如图， 由对称性可知，，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴的周长最小时，的度数为． 【点睛】本题考查了三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质和判定，直角三角形的两个锐角互余，根据成轴对称图形的特征进行求解等知识点，解题关键是掌握上述知识点并能运用来求解． 压轴16.30直角三角形边长转化 典题特征：含30°角的直角三角形，与折叠、动点、线段和差结合，利用“30°角对直角边是斜边一半”转化边长，求线段长度、周长或面积。 解题思路：①找到含30°的直角三角形，直接用“30°对边=斜边×”建立边的关系；②通过公共边/等线段传递多个30°直角三角形的边长关系；③折叠问题中利用折叠的边、角相等，转化出含30°的直角三角形再计算。 46．某海域在港口A所在区域设置了B，C，D三个灯塔．如图，灯塔B位于A北偏西方向，灯塔C位于A北偏东方向，灯塔D在A正北方向30海里处，且灯塔B在D南偏西方向，灯塔C在D南偏东方向．求A、B两个灯塔的距离为__________海里． 【答案】 【分析】根据方位角的定义得出和的度数，利用三角形内角和定理求出的度数，进而求出其邻补角为 ，通过作辅助线构造含角的直角三角形和等腰直角三角形，利用特殊直角三角形的性质即可求解． 【详解】解：∵灯塔B位于A北偏西方向， ∴， ∵灯塔在正北方向，灯塔在南偏西方向 ， ∴， 在中，， 过点作交的延长线于点， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形 ， ∴，， 在 中，，， ∴， ∵海里， ∴海里， ∴海里． 47．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 【答案】 【分析】由， ，得，根据镜面的反射性质，得，由，得，得，进而利用勾股定理求出． 【详解】解：∵，， ∴， ∵， ∴， 根据镜面的反射性质，反射角等于入射角，即， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴ ∴（负值舍去）， 即淇淇的鞋底A处到镜子底端O的距离为． 48．如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则等于（） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据作图过程可知平分，再根据直角三角形的性质求出，然后根据勾股定理求出，同时求出，最后根据求出答案． 【详解】解：过点A作，交于点D， 根据作图过程可知，平分， ∴． 在中，， ∴，根据勾股定理，得． ， ∴． 49．如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． 【答案】(1)长为6 (2)或或或 【分析】（1）证明是等边三角形，根据折叠的性质可得是等边三角形，即可得出结论； （2）分四种情况讨论，结合图形解答即可， 【详解】（1）解：∵是等边三角形， ∴，， ∵点D为边的中点， ∴， 由翻折的性质得：， 如图： ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴， ∴， 由折叠得， ∴， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴； （2）解：分四种情况讨论： 情形一：，如图，延长交于点，如图： 则， ∵， ∴， 设，则， ∴， 由翻折得，， 在中，，， 则，，， ∵，即， 解得：， 即； 情形二：，此时，如图， 由折叠得， 过点作于点， 在等边三角形中，，，则， ∴， ∴， 设，则， 在中，， ∴，即， 解得：，即． 情形三：，如图， ∴， ∴， ∴， 由折叠得， 过点作于点， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∴， 解得：， 即； 情形四：当点在的延长线上时，，如图， 则， 由折叠得：，，， ∴ ， ∴， ∴， ∴ ， ∴， ∴， ∴． 综上，的长为或或或． .压轴17.直角三角形与折叠问题 典题特征：直角三角形沿某直线折叠，求折叠后线段长度、角度、重叠面积，或证明线段/角关系，常伴随勾股定理应用。 解题思路：①标记折叠前后的对应边、对应角，利用折叠性质得到相等线段和角；②设未知线段长为x，用勾股定理在新形成的直角三角形中列方程；③结合直角三角形两锐角互余、三角形内角和求角度关系。 50．如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题主要考查了长方形的性质，翻折的性质，角的和差，解题的关键是掌握翻折的性质． 根据长方形的性质得出直角和平行线，根据直角的性质得出，然后利用翻折的性质以及角的和差求出，最后利用平行线的性质进行求解即可． 【详解】解：∵四边形是长方形， ∴，， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴ ， 故答案为：． 51．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则______（用含的式子表示）． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形的性质，折叠的性质，三角形的外角性质，由直角三角形的性质得，由折叠的性质得，再根据三角形的外角性质解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 由折叠得，， ∵， ∴， 故答案为：． 52．如图，将长方形沿折叠，点分别落在的位置，的延长线交于点，则度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由折叠性质、平行线的性质、对顶角相等求出相关角度，再由直角三角形两锐角互余求出，最后由对顶角相等即可得到答案． 【详解】解：将长方形沿折叠，则，， 设，，则， ，， 在长方形中，，则， ， 将长方形沿折叠，则， ，则， ， 则， 在长方形中，，则， ，即， ， ，解得， 在中，， ． 53．如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 【答案】(1)证明见解析 (2) 【分析】（1）根据等边对等角及对顶角相等得，根据折叠的性质得，再根据直角三角形两锐角互余可推出，即可得证； （2）如图，过点作于点，根据勾股定理得，根据三角形等积变换得，再结合折叠的性质推出，最后再根据勾股定理可得． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是直角三角形； （2）解：如图，过点作于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∵将纸片沿折叠，使点落在点的位置， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 即折痕的长为． 【点睛】本题考查折叠的性质，等腰三角形的判定和性质，直角三角形的判定，勾股定理等知识点，掌握折叠的性质以及勾股定理是解题的关键． 压轴18.直角三角形与最值问题. 典题特征：直角三角形背景下，求线段长度最值、周长最值、面积最值，常结合将军饮马、垂线段最短、斜边中线性质。 解题思路：①判断最值类型：线段最值用“垂线段最短”或“将军饮马对称转化”；②若涉及直角三角形斜边中线，利用“斜边中线等于斜边一半”转化线段；③设变量表示目标线段，结合勾股定理或二次函数求最值。 54．如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为______． 【答案】2 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线的性质，掌握知识点是解题的关键． 明确、、在同一直线上时，取得最小值是解题的关键．根据三角形斜边中线的性质求得，，由、、在同一直线上时，取最小值，即可求得的最小值为2． 【详解】解：如图所示，连接，，在中，，，，， 点为斜边中点， ， 在中，， 点为斜边中点， ，当、、三点在同一直线上时，取得最小值， 最小值为：． 故答案为：2． 55．如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为____． 【答案】/ 【分析】本题考查了直角三角形斜边中线性质、勾股定理及线段最值的“两点之间线段最短”原理，解题关键是通过构造定点确定定长，再结合的长度利用线段关系求的最小值． 取中点O，由直角三角形斜边中线性质得（定长）；用勾股定理算；由“两点之间线段最短”，当C、E、O共线时，CE最小． 【详解】取的中点，连接， ∵， ∴是直角三角形，是的斜边， ∴ ∵， ∴． 连接， ∵是中点， ∴． 又因为，， 在中，根据勾股定理 观察点C、E、O的位置，根据“两点之间，线段最短”，有 ∵、，得： ∴的最小值为． 56．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点和顶点分别在轴正半轴及轴正半轴上运动，若，，则在运动过程中，线段的最大值是_____． 【答案】/ 【分析】本题考查的是勾股定理，熟知在任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方是解答此题的关键．取的中点E，连接，当O，E及C三点共线时，最大，此时，由勾股定理求出，，即可得出结论． 【详解】解：取的中点E，连接， 则， 当O，E及C共线时，最大， ，， ， ， ， 故答案为：． 57．如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作，交的延长线于点，取的中点，连接、，因为于点，所以，而，则，推导出，进而证明△△，得，则，求得，由，得，所以，则的最小值为，于是得到问题的答案． 【详解】解：作，交的延长线于点，取的中点，连接、， 点在上，于点， ， ， ， ，， ， 在△和△中， ， △△， ， ， ， ， ， ， 的最小值为， 故选：． 【点睛】此题重点考查直角三角形的两个锐角互余、同角的余角相等、全等三角形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、勾股定理、两点之间线段最短等知识，正确地添加辅助线是解题的关键． 压轴19.直角三角形存在性问题 典题特征：在平面直角坐标系或几何图形中，判断是否存在点，使三点构成直角三角形，需分情况讨论直角顶点。 解题思路：①分三种情况讨论：分别以三个已知点为直角顶点；②以已知点为直角顶点时，利用两直线垂直斜率乘积为-1或勾股定理逆定理列方程；③若动点在直线/抛物线上，设动点坐标，结合勾股定理列方程求解并验证。 58．已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是________． 【答案】或 【分析】本题考查三角形内角和，直角三角形的两个锐角互余，掌握分类讨论的思想是解题的关键． 分情况讨论：当或当时，根据三角形内角和，和直角三角形的两个锐角互余分别求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 当时，为直角三角形, 此时， 当时，为直角三角形, 此时 ∵ ∴， 故答案为：或． 59．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则___________． 【答案】或 【分析】本题考查的是直角三角形的两锐角互余，三角形外角的性质．根据三角形内角和定理得，由角平分线的定义得，当为直角三角形时，存在两种情况：分别根据三角形外角的性质即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵平分， ∴， 当为直角三角形时，有以下两种情况： ①当时，如图1， ∵， ∴； ②当时，如图2， ∴， ∵， ∴， 综上，的度数为或． 故答案为：或． 60．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 【答案】或/12或6 【分析】本题考查了全等三角形的判定，分情况讨论对应顶点的位置关系是解题的关键． 因为两个直角三角形已有一组斜边相等故分两种情况：或即可得出． 【详解】解：∵，， ∴要使和全等，分两种情况： ①当时，， ②当时，． 故答案为或． 61．如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 【答案】(1)， (2)或 (3)或或或 【分析】（1）由绝对值的非负性和偶次方的非负性得方程组，解方程组即可； （2）分交点在线段的两侧进行讨论，得 和 ，分别列出关于的方程，解出方程即可； （3）三条射线所在的直线能围成直角三角形可分类讨论：当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止．再分别考虑是哪两条直线垂直构成直角三角形． 【详解】（1）∵，， 解得， ，； （2）由题意知当运动的时间为时， ， ， 如图，当点在线段的右侧时，过点作，则， ，， ， 即 解得； 如图，当点在线段的左侧时，同理可得 解得； 综上可得，或． （3）， 当时，射线从逆时针旋转至，当时，射线从开始顺时针旋转，当时，射线从顺时针旋转至停止． 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ①当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段右侧时，则 解得 ②当直线垂足为，即时，为直角三角形，如图所示，点在线段左侧时，则 解得 当时，，， ， ， ， ，不能构成三角形， 不符合题意； ③当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 由题意知当运动的时间为时， ， ， ， ④当直线垂足为，即 时，为直角三角形，如图所示， ， ，则 解得 ⑤当时，直线与直线重合，，为直角三角形． 综上所述，当或或或时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 压轴20.直角三角形与动点问题 典题特征：直角三角形边上或平面内有动点，伴随线段长度、角度、面积的变化，求特定时刻的参数值或线段关系。 解题思路：①设动点运动时间为t，用含t的代数式表示相关线段长度；②结合直角三角形的勾股定理、面积公式列方程；③分动点在不同线段上的情况讨论，排除不符合题意的解。 62．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时，_______． 【答案】或 【分析】本题主要考查了三角形折叠中的角度问题，直角三角形两锐角互余，正确进行计算是解题关键，当D点在线段上时，画出对应的图形，根据三角形内角和定理和折叠的性质求解即可． 【详解】解：当D点在线段上且时， 由折叠可知：， ， ， ， ； 当D点在线段上且时， 由折叠的性质可得， ； 故答案为：或． 63．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 【答案】 5或11 【分析】本题主要考查了勾股定理，全等三角形的性质与判定，熟知勾股定理是解题的关键． （1）先求出的长，再求出的长，最后根据勾股定理求解即可； （2）分点P在上和点P在的延长线上，两种情况讨论求解即可． 【详解】解：（1）由题意得：当秒时，， ∴， 在中，由勾股定理得， 故答案为：； （2）①当点P在线段上时，如图1所示： ∵， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：； ②点P在线段的延长线上时，过点D作于E，如图2所示： 同①得：， ∴，， ∴， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， 解得：． 综上所述，在点P的运动过程中，当t的值为5或11时，能使． 故答案为：5或11． 64．如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为____________． 【答案】 【分析】本题考查含角的直角三角形的性质，勾股定理，当点与重合时，的边长最长，根据角所对的直角边是斜边的一半可得，，再由勾股定理可得答案．利用勾股定理求出的长是解题的关键． 【详解】解：如图所示，当点重合且点在上时，等边的边长最长， ∵是等边三角形，， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中，， 在中，， ∴在中，， ∴等边的边长的最大值为． 65．如图，为等腰直角三角形，，，点为平面内一点，连接． (1)如图1，当点在边上运动时，过点在右侧作，且，连接，求证： ①； ②； (2)如图2，当点在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形，且，延长交于，证明：为线段的中点； (3)如图3，若点为中点，连接，过点作的平行线，为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于，连接，，当线段最短时，求的值． 【答案】(1)①见解析；②见解析 (2)见解析 (3) 【分析】（1）①先证明，再利用即可证明；②由直角三角形的性质得到；由全等三角形的性质得到，则可证明，据此可证明结论； （2）连接，证明，得到，则可证明；过点A作，交的延长线于点H，证明是等腰直角三角形，得到，则可证明，推出，则为线段的中点； （3）证明，得到，则可证明，故当时，最短；当时可证明是等腰直角三角形；延长交于点O，过点O作交于点M，连接，证明是等腰直角三角形，得到，则；证明，得到；证明，得到；过点C作交的延长线于点N，证明，得到，则可证明；再证明，得到，则，即． 【详解】（1）证明：①∵， ∴， ∴， ∴； 又∵， ∴； ②∵在，， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； （2）证明：如图所示，连接， ∵是等腰直角三角形，且， ∴； ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 如图所示，过点A作，交的延长线于点H， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴为线段的中点； （3）解：∵在中，，， ∴， ∵， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴点F在射线上运动， ∴当时，最短； 如图所示，当时，则是等腰直角三角形， ∴，； ∴； 如图所示，延长交于点O，过点O作交于点M，连接， ∵点D为的中点，， ∴，， 又∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴； 又∵， ∴， ∴； ∵， ∴， ∴， ∴； 如图所示，过点C作交的延长线于点N， 同理可证明， ∴， ∴； ∵，， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 压轴21.角平分线性质与判定综合证明 典题特征：以三角形（含直角三角形）为背景，证明角平分线、线段相等、角相等，或利用角平分线性质求距离。 解题思路：①遇角平分线，向两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”转化线段；②证明角平分线时，证明点到角两边的距离相等（判定定理）；③结合全等三角形证明线段/角相等，传递等量关系。 66．在四边形中，，． (1)如图（1），求证：平分； (2)如图（2），的垂直平分线交于点，交与，过作，交的延长线于点．求证：； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 【答案】(1)证明见详解； (2)证明见详解； (3)． 【分析】（1）通过作辅助线构造直角三角形，利用同角的补角相等得到对应角相等，再结合已知边相等，用证明三角形全等，进而得到点到角两边的距离相等，从而证明平分； （2）利用垂直平分线的性质得到线段相等，推出等腰三角形，再结合平行线的性质得到角相等，进而推出另一组等腰三角形，通过线段和差关系完成证明； （3）通过设角的度数，结合角平分线的性质、等腰三角形的性质推导线段间的数量关系，再利用勾股定理求出相关线段的长度，最后通过等面积法求出三角形的高，进而计算出的面积． 【详解】（1）证明：如图，过点作于点，于点， ， ， ， 又， ， 在和中， ， ， 平分； （2）证明：垂直平分， ， ， 又， ，， ， ， ， ； （3）解：如图，延长、交于点， 设，则， 平分， ， ， ， ， ，， ， ， ， 为中点， ， 又， ， ， ， ， ， 在中，设，则， ， 解得：， ， ， ， ， ． 67．在中，，点，分别是边，上的点，连接． (1)如图①，连接，若平分，，，，求的长； (2)如图②，点在边上运动，连接，已知，是的垂直平分线，交于点． （）判断与的位置关系，并说明理由； （）若，，，求的长． 【答案】(1)3 (2)（）；（） 【分析】（1）根据角平分线定理得到，设，则，在中，利用勾股定理列方程求解即可； （2）（）根据等腰三角形的性质得到，由垂直平分线的性质得到，进而得到，进而得到，从而得到； （）连接，设，由（）知，、，在和中，利用勾股定理求出，列出等式，进而求出的长即可． 【详解】（1）解：平分，， 设，则 在中， 解得 即的长为3； （2）解：（）， 是的垂直平分线 在中， ； （）连接，设， 由（）知，、 在中， 由勾股定理得： 在中，， 由勾股定理得： 解得 即的长为． 【点睛】本题考查角平分线的性质定理、等腰三角形的性质、垂直平分线的性质、勾股定理，熟练掌握相关性质定理是解题的关键． 压轴22.垂直平分线与等腰三角形存在性 典题特征：结合线段垂直平分线的性质，判断是否存在点使三角形为等腰三角形，或证明线段/角相等。 解题思路：①利用垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，转化出等腰三角形；②分三种情况讨论等腰三角形的腰：分别以已知线段为腰或底；③结合勾股定理或垂直平分线的判定列方程，求解点的位置并验证。 68．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 【答案】(1) (2) (3)1或或 【分析】（1）先根据已知条件得到，；再表示出，，利用垂直平分线的性质列等式，解得； （2）由得，结合全等三角形的判定条件，确定需满足且，列出方程组求解得； （3） 先根据周长为得出，再分三种等腰三角形的情况列方程求解，最后验证三种情况均符合要求三角形三边关系即可． 【详解】（1）解：在中，，是中点， 故，， 由动点运动得：，， 因此，， ∵点在的垂直平分线上， ∴，即， 解得； （2）解：∵， ∴， 当且， ∴对应边满足， 即， 两个方程同解得， 当时，； （3）解：∵为等腰三角形，且的周长为， ， 分三种情况讨论等腰三角形： 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系； 若时，， 解得， 此时三边为，，，符合三角形三边关系． 综上，经过1或或秒后，为等腰三角形，且的周长为． 69．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题03直角三角形与两类特殊线期末易错压轴专练 本专练聚焦直角三角形与两类特殊线章节高频易错压轴题型，梳理易错点与解题思路，针对性练习，扫清知识盲区、突破解题瓶颈。 易错01.直角三角形的两个锐角互余 易错02锐角互余的三角形是直角三角形. 易错03.含30度角的直角三角形 易错04.写出命题的逆命题 易错05.互逆命题的判断 易错06.互逆定理 易错07.用HL证全等 易错08.全等的性质和HL综合 易错09.线段垂直平分线的性质 易错10.线段垂直平分线的判定 易错11.作垂线 易错12.角平分线的性质定理 易错13.角平分线的判定定理 易错14.角平分线的实际应用 压轴15.直角三角形角度综合推理 压轴16.30直角三角形边长转化 压轴17.直角三角形与折叠问题 压轴18.直角三角形与最值问题 压轴19.直角三角形存在性问题 压轴20.直角三角形与动点问题 压轴21.角平分线性质与判定综合证明 压轴22.垂直平分线与等腰三角形存在性 易错01.直角三角形的两个锐角互余 典题特征：已知直角三角形一个锐角度数，求另一锐角；多个直角图形组合、叠加，分步计算角度。 易错点：①脱离直角三角形的前提，直接套用两锐角和为90°的结论；②多角叠加计算时，角度加减运算出现计算错误。 1．如图，直线，直线c与a、b分别相交于点A、B，若，则的度数是（ ） A． B． C． D． 2．如图，在中，，，平分，于点E，则的度数为_________． 3．如图，在中，点D在上，连接，过D作于点E，延长交的延长线于点F，的平分线分别与，相交于点G，H，且．下列结论：①；②；③；④．其中正确的个数是（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如图，为的高，，为角平分线，若，． (1)求的度数； (2)求的度数． 易错02锐角互余的三角形是直角三角形. 典题特征：给出三角形两个角的度数或数量关系，判断该三角形是否为直角三角形。 易错点：①忽略“两个角均为锐角”的限定，只要两角和为90°就判定是直角三角形；②判定时不结合三角形内角和定理完整推导，推理步骤缺失。 5．若三角形的一个内角等于与它相邻的外角的，且这个内角与另一个内角互余，则这个三角形是___________三角形． 6．下列条件中，不能判定是直角三角形的是（     ） A． B． C． D．是边上的高 7．如图1，点为边的中点，为线段上动点（点不与点E，C重合），连接平分，交于点． (1)若，求的度数； (2)若交于点． ①求证：平分； ②如图2，交于点，连接交于点，，请判断与的大小关系，并说明理由． 易错03.含30度角的直角三角形 典题特征：已知直角三角形中30°角，求对应边长；已知直角边与斜边的数量关系，反推角度。 易错点：①忽略性质成立的前提，非直角三角形也套用“30°角对的直角边等于斜边一半”；②混淆边角对应关系，把60°角所对直角边当成30°角所对的边。 8．如图，已知，点为线段中点，以点为圆心，为半径画弧，交射线于点．若，则的长为__________． 9．如图是一把休闲座椅，底座的长度为，椅背与底座的夹角为，抽象为平面图形如图，，若，则的长度为（     ） A． B． C． D． 10．为了确保游客安全，合川某游船公司开展救援演习，如图，D处游船发生险情，救援船打算沿的路线前往，消防船打算沿的路线前往，已知点A在点B的南偏西方向上，点C在点A正东方向，且米，，米，米． (1)求的长度（结果保留根号）； (2)若救援船的速度是25米/秒，消防船的速度是30米/秒，请通过计算说明，谁先到达D处？（结果精确到0.1，参考数据：，，）． 易错04.写出命题的逆命题 典题特征：给出完整几何命题，要求拆分条件与结论，规范写出逆命题。 易错点：①颠倒原命题的条件和结论，改写结构错误；②改写语句时遗漏“直角、垂直、平分”等关键限定词汇。 11．定理“平行四边形的两组对边分别相等”的逆定理是（   ） A．两组对边分别相等的图形是平行四边形 B．两组对边分别相等的四边形是平行四边形 C．对边不相等的四边形不是平行四边形 D．平行四边形的对边相等 12．写出命题“平行四边形的对边相等”的逆命题_____ 13．下列命题中，其逆命题是真命题的是（　　） A．直角三角形的两个锐角互余 B．等边三角形有一个角等于 C．如果一个整数的个位数字是5，那么这个整数能被5整除 D．全等三角形的对应角相等 易错05.互逆命题的判断 典题特征：给出两组命题，判断二者是否为互逆命题。 易错点：①无法准确拆分命题的条件与结论，判断依据错误；②仅凭文字内容相似判定，忽略互逆命题需互换条件、结论的结构要求。 14．下列命题中，真命题是（ ） A．真命题的逆命题一定是真命题 B．两边分别平行的两个角相等 C．等角的余角相等 D．过一点有且只有一条直线与已知直线平行 15．命题“如果|x|＝|y|，那么x2＝y2”的逆命题是（　　） A．如果|x|≠|y|，那么x2≠y2 B．如果|x|＝|y|，那么x2≠y2 C．如果x2＝y2，那么|x|＝|y| D．如果x2≠y2，那么|x|≠|y| 16．下列定理中，没有逆定理的是(     ) A．等腰三角形的两个底角相等 B．对顶角相等 C．三边对应相等的两个三角形全等 D．直角三角形两个锐角的和等于90° 易错06.互逆定理 典题特征：判断一对互逆命题能否称为互逆定理。 易错点：①错误认为所有定理都存在对应的逆定理；②忽略核心要求，未验证逆命题为真命题，就判定为互逆定理。 17．命题“正多边形的各边相等”的逆命题是：_________． 18．下列定理中，不存在逆定理的是（   ） A．等边三角形的三个内角都等于 B．同位角相等，两直线平行 C．一个三角形中相等的边所对的角相等 D．全等三角形的对应角相等 19．下列定理中，没有逆定理的是（     ） A．全等三角形的对应角相等 B．直角三角形的两锐角互余 C．等腰三角形的两个底角相等 D．直角三角形两条直角边的长度的平方和等于斜边长度的平方 .易错07.用HL证全等 典题特征：证明两个直角三角形全等，选用HL定理完成作答。 易错点：①证明过程开头未注明三角形是直角三角形，直接使用HL定理；②区分不清斜边与直角边，找错两组对应边。 20．用三角尺可以画角平分线：如图所示，在已知的两边上分别取点，，使，再过点画的垂线，过点画的垂线，两垂线交于点，那么射线就是的平分线．验证这一结论的过程中，与全等的依据是（   ） A． B． C． D． 21．如图，是中斜边上的一点，且，过作的垂线，交于点．若，，则的长为________cm． 22．已知：如图，和是的高，H是和的交点．且． (1)求证：； (2)请添加一个条件，使得为等边三角形，并说明理由． 易错08.全等的性质和HL综合 典题特征：先用HL证明三角形全等，再借助全等性质计算线段长度、推导角度。 易错点：①书写全等三角形时，对应顶点顺序错乱；②证完全等后，不会结合已有条件开展后续推理。 23．如图，，，，垂足分别为E，F，，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 24．如图，在中，，点在上，满足，过点作交于点，若的周长为，的周长为，则___________． 25．如图， ，直线与交于点，连接． (1)求证：； (2)若，求证：平分． 易错09.线段垂直平分线的性质 典题特征：已知点在线段垂直平分线上，利用性质证明线段相等、计算线段长度。 易错点：①将不在垂直平分线上的点，套用“到线段两端距离相等”的性质；②找错线段对应关系，导致计算、证明出错。 26．如图，在中，的垂直平分线分别交，于点，，若的周长为20，，则的周长为（     ） A．17 B．18 C．16 D．12 27．如图，在中，平分，的垂直平分线交于点，交于点，连接．若，，则的度数是________ ． 28．如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交，，的延长线于点，，，连接，． 试证明： (1)； (2)． 易错10.线段垂直平分线的判定 典题特征：已知一点到线段两端距离相等，证明该点在线段的垂直平分线上。 易错点：①仅证明单个点满足条件，缺少判定直线的关键步骤；②推理逻辑不连贯，省略必要证明环节。 29．如图，点在的边上，且，则点在某一线段的垂直平分线上．这条线段是（   ） A． B． C． D．不确定 30．如图，在中，，，垂足为，若，，求的长为______． 31．如图，在中，．以点为圆心，的长为半径作弧；再以点为圆心，的长为半径作弧，两弧在上方交于点，连接，，，与交于点． (1)求证：； (2)若，，求的长． 易错11.作垂线 典题特征：使用尺规画出过定点的直线垂线，要求保留全部作图痕迹。 易错点：①作图圆弧、交点等关键痕迹残缺，不符合考试要求；②混淆作图方法，把过点作垂线与作线段垂直平分线的步骤混用。 32．如图，在中，，，以点A为圆心，长为半径画弧交于点D，分别以点B和点D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧相交于点E，连接并延长，交于点F，则的长为_____． 33．如图，经过直线外一点C作这条直线的垂线，作法如下： （1）任意取一点K，使点K和点C在的两旁． （2）以点C为圆心，长为半径作弧，交于点D和E． （3）分别以点D和点E为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点F．   （4）作直线． 则直线就是所求作的垂线．根据以上尺规作图过程，若将这些点作为三角形的顶点，其中不一定是等腰三角形的为_____． 34．如图，中，，，． (1)请用无刻度直尺和圆规在线段上找一点Ｈ，使得的距离最小（保留作图痕迹，不要求写作法）； (2)在（1）的条件下，求的长． 易错12.角平分线的性质定理 典题特征：已知点在角平分线上，利用性质证明线段相等、求解线段长度。 易错点：①把角内普通斜线段当作角两边的距离；②忽略“距离特指垂线段”这一核心条件，随意套用性质。 35．如图，BD是的平分线，于，则__________cm． 36．如图，点是平分线上的一点，交于，于点，若，，则的长为（     ） A． B．2 C．1 D． 37．如图，在与中，，平分，，分别为，的高． (1)试说明：； (2)已知，求的长． 易错13.角平分线的判定定理 典题特征：已知角内一点到角两边距离相等，证明射线是角平分线。 易错点：①未说明两条线段为垂线段，直接判定射线是角平分线；②缺少垂直相关条件，强行使用角平分线判定定理。 38．如图，点是射线上一点，，，垂足分别是，，且．若，则________． 39．如图，在中，的平分线与的平分线交于点，连接，如果要求出的度数，只需知道下列哪个角的度数（   ） A． B． C． D． 40．如图，在中，，点、分别在边、上，连接、，，，在边上截取，连接．求证：平分． 易错14.角平分线的实际应用 典题特征：结合选址、最短距离、区域划分等生活场景，运用角平分线性质解题。 易错点：①无法将实际问题转化为标准几何图形；②审题时找不到角、角平分线、垂线段等核心解题条件。 41．如图，在中，CD是AB边上的高线，BE平分，交CD于点E，，，则的面积等于____． 42．如图1，这是一个平板电脑支架，图2是其侧面结构示意图，现量得恰好是的中点．当，且射线恰好是的平分线时，此时点到直线的距离是（   ） A． B． C． D． 43．如图，在中，，是的角平分线， ，．求点D到的距离． 压轴15.直角三角形角度综合推理 典题特征：以直角三角形为载体，结合角平分线、平行线、折叠等条件，求未知角度数或证明角的数量关系，常隐含互余、对顶角、外角定理。 解题思路：①标记已知角，利用直角三角形两锐角互余求基础角；②结合角平分线、平行线性质推导等角/互补角；③用内角和、外角定理将未知角转化为已知角的和差或列方程求解。 44．在中，，三个内角的平分线交于点． (1)填空：如图，若，则的大小为______度； (2)如图，过点作，交于点，证明： ； (3)如图，的延长线交于点．点是边上的一动点（不与点重合），过点作于点，请直接写出、、三者之间的数量关系． 45．小星学习了等腰三角形相关知识后，对等腰三角形有关性质作如下探究． 【问题解决】 （1）如图①，在中，，若，则____________； 【问题探究】 （2）如图②，在中，点在边上，连接，且，线段与线段关于所在直线对称，点的对应点为点，连接，猜想之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）如图③，在一块三角形土地上，准备搭建光伏基地，基地包含光伏逆变器和光伏太阳能板两种区域，为光伏逆变器安装区域，，，部分为光伏太阳能板安装区域，已知，点分别在上，，按照设计要求，光伏逆变器安装区域的周长（即的周长）需要尽可能小，求光伏逆变器安装区域的周长最小时，的度数． 压轴16.30直角三角形边长转化 典题特征：含30°角的直角三角形，与折叠、动点、线段和差结合，利用“30°角对直角边是斜边一半”转化边长，求线段长度、周长或面积。 解题思路：①找到含30°的直角三角形，直接用“30°对边=斜边×”建立边的关系；②通过公共边/等线段传递多个30°直角三角形的边长关系；③折叠问题中利用折叠的边、角相等，转化出含30°的直角三角形再计算。 46．某海域在港口A所在区域设置了B，C，D三个灯塔．如图，灯塔B位于A北偏西方向，灯塔C位于A北偏东方向，灯塔D在A正北方向30海里处，且灯塔B在D南偏西方向，灯塔C在D南偏东方向．求A、B两个灯塔的距离为__________海里． 47．跨学科：如图是淇淇在试鞋镜前的光路图，入射光线经平面镜反射后沿恰好入眼（为法线），已知淇淇的眼睛到鞋底处的距离，．若，且，，则淇淇的鞋底处到镜子底端的距离为________． 48．如图，，以O为圆心，2为半径画弧，分别交，于A，B两点，再分别以A，B为圆心，为半径画弧，两弧在内部相交于点C，作射线，连接，，则等于（） A． B． C． D． 49．如图，等边的边长为12，点D为边的中点，E为射线上一动点，连接，将沿翻折，得到． (1)当点恰好落在边上（不与端点B、C重合）时，求线段的长； (2)当与的边垂直时，求线段的长． .压轴17.直角三角形与折叠问题 典题特征：直角三角形沿某直线折叠，求折叠后线段长度、角度、重叠面积，或证明线段/角关系，常伴随勾股定理应用。 解题思路：①标记折叠前后的对应边、对应角，利用折叠性质得到相等线段和角；②设未知线段长为x，用勾股定理在新形成的直角三角形中列方程；③结合直角三角形两锐角互余、三角形内角和求角度关系。 50．如图①，在长方形中，E点在上，并且，分别以、为折痕进行折叠并压平，如图②．若图②中，则的度数是_____．（用含的代数式表示） 51．如图，在中，，，将折叠，使点落在边上的点处，折痕为，则______（用含的式子表示）． 52．如图，将长方形沿折叠，点分别落在的位置，的延长线交于点，则度数为（　　） A． B． C． D． 53．如图所示为直角三角形纸片，，是边上一点．将纸片沿折叠，使点落在点的位置，交于点，且． (1)求证：是直角三角形． (2)若，，求折痕的长． 压轴18.直角三角形与最值问题. 典题特征：直角三角形背景下，求线段长度最值、周长最值、面积最值，常结合将军饮马、垂线段最短、斜边中线性质。 解题思路：①判断最值类型：线段最值用“垂线段最短”或“将军饮马对称转化”；②若涉及直角三角形斜边中线，利用“斜边中线等于斜边一半”转化线段；③设变量表示目标线段，结合勾股定理或二次函数求最值。 54．如图，中，，，，，线段的两个端点，分别在边，上滑动，且，若点，分别是，的中点，则的最小值为______． 55．如图，中，，，点P是上的动点，过点B作，垂足为E．连接，在点P的运动过程中，的最小值为____． 56．如图，在平面直角坐标系中，的直角顶点和顶点分别在轴正半轴及轴正半轴上运动，若，，则在运动过程中，线段的最大值是_____． 57．如图，在△中，，，在上取点，使，作于，连接，若，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 压轴19.直角三角形存在性问题 典题特征：在平面直角坐标系或几何图形中，判断是否存在点，使三点构成直角三角形，需分情况讨论直角顶点。 解题思路：①分三种情况讨论：分别以三个已知点为直角顶点；②以已知点为直角顶点时，利用两直线垂直斜率乘积为-1或勾股定理逆定理列方程；③若动点在直线/抛物线上，设动点坐标，结合勾股定理列方程求解并验证。 58．已知点E为中边上一点，连接，，，当为直角三角形时，则的度数是________． 59．如图，在中，，、分别是的高和角平分线，点E为边上一点，当为直角三角形时，则___________． 60．如图，在中，，，，，两点分别在线段和的垂线上移动，且，要使和全等，则的长为______． 61．如图1，，点、点分别为、上的点．射线从顺时针旋转至停止，射线从逆时针旋转至便立即回转．若射线的旋转速度为秒，射线的旋转速度为秒，且，满足．射线、射线同时转动与停止，设射线运动时间为． (1)求、的值； (2)若射线与射线交于点，当，求的值； (3)如图2，射线（点在点的左侧）从顺时针旋转，速度为秒，且与射线、射线同时转动与停止．若，则当为何值时，射线所在直线、射线所在直线、射线所在直线能围成直角三角形． 压轴20.直角三角形与动点问题 典题特征：直角三角形边上或平面内有动点，伴随线段长度、角度、面积的变化，求特定时刻的参数值或线段关系。 解题思路：①设动点运动时间为t，用含t的代数式表示相关线段长度；②结合直角三角形的勾股定理、面积公式列方程；③分动点在不同线段上的情况讨论，排除不符合题意的解。 62．如图，在中，，，是边上的一个动点，连接，将沿着翻折得到，当与的一边垂直时，_______． 63．如图，已知在中，，，，是上的一点，，点从点出发沿射线方向以每秒2个单位的速度向右运动．设点的运动时间为．连接． （1）当秒时，求_____． （2）过点作于点．在点的运动过程中，当_____时，能使． 64．如图，在中，，，．若是边上的两个动点，以为边的等边的顶点在内部或边上，则等边的边长的最大值为____________． 65．如图，为等腰直角三角形，，，点为平面内一点，连接． (1)如图1，当点在边上运动时，过点在右侧作，且，连接，求证： ①； ②； (2)如图2，当点在内部，且，以为直角边，在右侧作等腰直角三角形，且，延长交于，证明：为线段的中点； (3)如图3，若点为中点，连接，过点作的平行线，为上一动点，以为直角边，在线段左侧作，，交于，连接，，当线段最短时，求的值． 压轴21.角平分线性质与判定综合证明 典题特征：以三角形（含直角三角形）为背景，证明角平分线、线段相等、角相等，或利用角平分线性质求距离。 解题思路：①遇角平分线，向两边作垂线，利用“角平分线上的点到角两边距离相等”转化线段；②证明角平分线时，证明点到角两边的距离相等（判定定理）；③结合全等三角形证明线段/角相等，传递等量关系。 66．在四边形中，，． (1)如图（1），求证：平分； (2)如图（2），的垂直平分线交于点，交与，过作，交的延长线于点．求证：； (3)如图（3），在（2）的条件下，连接，若，，求的面积． 67．在中，，点，分别是边，上的点，连接． (1)如图①，连接，若平分，，，，求的长； (2)如图②，点在边上运动，连接，已知，是的垂直平分线，交于点． （）判断与的位置关系，并说明理由； （）若，，，求的长． 压轴22.垂直平分线与等腰三角形存在性 典题特征：结合线段垂直平分线的性质，判断是否存在点使三角形为等腰三角形，或证明线段/角相等。 解题思路：①利用垂直平分线性质：垂直平分线上的点到线段两端距离相等，转化出等腰三角形；②分三种情况讨论等腰三角形的腰：分别以已知线段为腰或底；③结合勾股定理或垂直平分线的判定列方程，求解点的位置并验证。 68．如图，已知中，，，点为的中点．若两点分别从B、A两点同时出发，点在线段上以的速度由点向点运动．同时，点在线段上以的速度由点向点运动，设运动时间为，回答下列问题： (1)当为何值时，在的垂直平分线上； (2)当为何值时，； (3)经过______秒后，为等腰三角形，且的周长为． 69．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $