第四章　第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式课件-2027届高三数学一轮复习

该高中数学高考复习课件聚焦“同角三角函数的基本关系与诱导公式”专题，依据高考评价体系明确了平方关系、商数关系及诱导公式的理解与应用要求，通过近五年真题分析，梳理出“知一求二”“齐次式求值”“诱导公式化简”等高频题型，构建了系统的考点突破体系。 课件亮点在于“真题溯源+技巧提炼+素养培养”，如以2023全国乙卷“tanθ=1/2求sinθ-cosθ”为例，示范方程思想与弦切互化技巧，培养数学思维与运算能力。特设易错点警示（符号判断、角范围分析）和答题模板，助力学生高效掌握得分关键，教师可据此精准开展专题复习，提升备考实效。

第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 第四章　三角函数与解三角形 [考试要求] 1．理解同角三角函数的基本关系sin2α＋cos2α＝1，＝tan α． 2．掌握诱导公式，并会简单应用． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 2 1．(湘教版必修第一册P168例5改编)已知sin α＝<α<π，则tan α＝(　　) A．－2 B．2 C． 以题引理·激活思维 √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 3 D　[因为 ．] 4 2．(人教B版必修第三册P70复习题T7改编)已知sin，那么cos α＝(　　) A．－ B　[sin，故选B．] √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 5 3．(北师大版必修第二册P150练习T4改编)若tan α＝－＝(　　) A．1 B．－1 C．9 D．－9 √ D　[＝－9． 故选D．] 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 6 4．(苏教版必修第一册P193习题7.2T19(1))已知sin α＋cos α＝，则sin αcos α＝________，sin4α＋cos4α＝________． ． 由sin4α＋cos4α＝(sin2α＋cos2α)2－2sin2αcos2α＝1－．] 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 7 5．(人教A版必修第一册P195习题5.3T8)已知sin＝________． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 8 ．] 9 1．同角三角函数的基本关系 (1)平方关系：sin2α＋cos2α＝__； (2)商数关系：tan α＝ ____． 1 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 10 2．诱导公式 角 2kπ＋α(k∈Z) π＋α －α π－α －α ＋α 正弦 sin α －sin α －sin α sin α cos α ________ 余弦 cos α －cos α cos α _______ sin α －sin α 正切 tan α tan α －tan α ________         口诀 奇变偶不变，符号看象限 cos α －cos α －tan α 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 11 1．转化与变形 (1)正弦、余弦的互化，如：①sin2α＝1－cos2α； ②cos2α＝1－sin2α． (2)和、差、积的转化： (sin α±cos α)2＝1±2sin αcos α． (3)弦切互化，如： ①sin2α＝； ②cos2α＝； ③sin αcos α＝＋kπ，k∈Z． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 12 2．诱导公式的两个应用 (1)求值：负化正，大化小，化到锐角为终了． (2)化简：统一角，统一名，同角名少为终了． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 13 考点一　同角三角函数的基本关系 考向1　“知一求二”问题 [典例1]　(1)(2026·山西太原模拟)若α是第三象限角，且sin α－ 2cos α＝1，则tan α＝(　　) A． (2)(2023·全国乙卷)若θ∈，则sin θ－cos θ＝________． 精研考点·提升素养 √ － 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 14 (1)B　(2)－　[(1)由已知可得，sin α＝2cos α＋1，sin2α＝4cos2α＋1＋4cos α， 代入sin2α＋cos2α＝1可得5cos2α＋4cos α＝0， 解得cos α＝－或cos α＝0， ∵α是第三象限角，∴cos α＝－，sin α＝2×， ∴tan α＝．故选B． 15 (2)由且θ∈ ．] 16 考向2　关于sin α，cos α齐次式的求值问题 [典例2]　若＝2，则tan θ＝________，sin θcos θ＝________． 4　＝2，所以tan θ＝4， 所以sin θcos θ＝．] 4 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 17 考向3　sin α±cos α与sin αcos α关系的应用 [典例3]　(多选)已知sin θ＋cos θ＝，θ∈(0，π)，则(　　) A．sin θcos θ＝－ C．sin θ－cos θ＝ √ √ √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 18 ACD　[对于A，因为sin θ＋cos θ＝， 所以(sin θ＋cos θ)2＝1＋2sin θcos θ＝， 即sin θcos θ＝－，所以A正确； 对于B，C，(sin θ－cos θ)2＝1－2sin θcos θ＝， 因为θ∈(0，π)，且sin θcos θ＝－<0， 所以sin θ>0，cos θ<0，即sin θ－cos θ>0， 所以sin θ－cos θ＝，所以B错误，C正确； 19 对于D，联立 解得sin θ＝， 所以tan θ＝－，所以D正确． 故选ACD．] 20 名师点评：(1)利用“方程”思想，解决知弦求切，知切求弦问题． (2)应用“弦切互化”思想，解决同角三角函数基本关系的齐次式求值问题． (3)sin α±cos α与sin αcos α互化，可解方程组求出sin α，cos α． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 21 [巩固迁移] 1．(2026·辽宁大连模拟)已知sin α＋cos α＝＝(　　) A．－ C．－ √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 22 C　[因为α∈(0，π)，所以sin α>0， 因为sin α＋cos α＝，又sin2α＋cos2α＝1， 所以sin2α＋cos2α＋2sin αcos α＝， sin αcos α＝－，所以sin α>0，cos α<0， 所以(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝1＋， 又sin α－cos α>0，所以sin α－cos α＝， 所以．故选C．] 23 2．已知tan α＝2，则＝________． － ＝．] － 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 24 【教用·备选题】 已知sin α－3cos α＝0，则3sin α·cos α＝(　　) A． √ A　[由已知得tan α＝3，所以3sin α·cos α＝．故选A．] 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 25 考点二　诱导公式的应用 [典例4]　(1)已知cos(75°＋α)＝，则cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝________． (2)已知角α终边上一点P(1，－2)，则＝________． 0 3 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 26 (1)0　(2)3　[(1)因为(105°－α)＋(75°＋α)＝180°，(15°－α)＋(75°＋α)＝90°， 所以cos(105°－α)＝cos[180°－(75°＋α)]＝－cos(75°＋α)＝－，sin(15°－α)＝sin[90°－(α＋75°)]＝cos(75°＋α)＝． 所以cos(105°－α)＋sin(15°－α)＝－＝0． (2)因为角α终边上一点P(1，－2)，所以tan α＝＝－2， 所以＝3．] 27 名师点评：要善于观察所给角之间的关系，利用整体代换的思想简化解题过程． (1)互余的角，如：－α等； (2)互补的角，如－θ等． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 28 [巩固迁移] 3．已知α∈的值为 (　　) A． √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 29 D　[∵<α<π，∴－π<－α<－， ∴， ∵cos， ∴sin， 则sin＝sin．故选D．] 30 【教用·备选题】 直线2x＋y－3＝0的倾斜角是θ，则的值是(　　) A．－3　 B．－1 C．－　　　 D．1 √ C　[由直线2x＋y－3＝0，可得直线的斜率为k＝－2，所以tan θ＝－2． 所以＝．故选C．] 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 31 考点三　同角三角函数基本关系和诱导公式的综合应用 [典例5]　[教材改编]已知sin(53°－α)＝，且－270°<α<－90°，求sin(37°＋α)的值． [解]　由已知－270°<α<－90°，可得143°<53°－α<323°，因为sin(53°－α)＝>0，所以cos(53°－α)＝－，所以sin(37°＋α)＝sin[90°－(53°－α)]＝cos(53°－α)＝－． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 32 名师点评：(1)利用同角三角函数基本关系和诱导公式求值或化简时，关键是寻求条件、结论间的联系，灵活使用公式进行变形． (2)注意角的范围对三角函数符号的影响． (3)利用诱导公式，关键是符号问题． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 33 [巩固迁移] 4．已知函数f (α)＝． (1)求证：f (α)＝sin α； (2)若f (α)＝－1的值． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 34 [解]　(1)证明：f (α)＝＝sin α，得证． (2)因为f (α)＝sin α＝，且α为第二象限角， 所以cos α＝－，所以tan α＝， 所以tan α·． 35 一、单项选择题 1．sin 1 050°＝(　　) A． B　[sin 1 050°＝sin(3×360°－30°)＝－sin 30°＝－．] 题号 1 3 5 2 4 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 课后作业(二十六)　同角三角函数的基本关系与诱导公式 √ 16 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 36 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 2．若角α的终边在第三象限，则＝(　　) A．3 B．－3 C．1 D．－1 √ B　[由角α的终边在第三象限，得sin α<0，cos α<0， 故原式＝＝－1－2＝－3．] 16 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 37 3．(2026·广东中山模拟)若θ∈，且满足tan θ＝－3，则sin θ＋cos θ＝(　　) A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 38 A　[法一(利用平方关系和商数关系)：因为θ∈，可得sin θ>0，cos θ<0， 由 解得sin θ＝，所以sin θ＋cos θ＝． 故选A． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 39 法二(利用勾股法)：因为θ∈， 所以sin θ＋cos θ＝． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 40 4．已知sin＝(　　) A．－ C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ A　[由题意，cos＝sin．故选A．] 16 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 41 5．(2021·新高考Ⅰ卷)若tan θ＝－2，则＝(　　) A．－ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 42 C　[法一(求值代入法)：因为tan θ＝－2，所以角θ的终边在第二、四象限， 所以 所以 ＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝sin2θ＋sin θcos θ＝．故选C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 43 法二(弦化切法)：因为tan θ＝－2， 所以＝sin θ(sin θ＋cos θ)＝ ．故选C． 法三(正弦化余弦法)：因为tan θ＝－2， 所以sin θ＝－2cos θ． 则＝sin θ·(sin θ＋cos θ) ＝＝．故选C．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 44 6．(2025·四川绵阳三模)已知tan αsin α＝3，则tan2α－sin2α的值为 (　　) A． B．3 C．9 D．81 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ C　[tan2α－sin2α＝ ＝sin2α·＝sin2αtan2α＝32＝9．故选C．] 16 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 45 7．(2026·安徽六安模拟)已知cos＝(　　) A．－5 B．－3 C．－ D．2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 46 A　[因为cos＝2cos(α＋π)， 所以sin α＝－2cos α，所以tan α＝－2， ＝ ＝，＝＝－5． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 47 8．(2026·河北张家口模拟)已知α∈(0，π)，sin α＋cos α＝，则sin α－cos α＝(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 48 A　[(sin α＋cos α)2＝1＋2sin αcos α＝⇒2sin αcos α＝－， 故(sin α－cos α)2＝1－2sin αcos α＝， ∵sin αcos α<0且α∈(0，π)，∴sin α>0，cos α<0， ∴sin α－cos α>0，故sin α－cos α＝． 故选A．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 49 二、多项选择题 9．在△ABC中，下列结论正确的是(　　) A．sin(A＋B)＝sin C B．sin C．tan(A＋B)＝－tan C D．cos(A＋B)＝cos C 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 50 ABC　[在△ABC中，有A＋B＋C＝π， 则sin(A＋B)＝sin(π－C)＝sin C，A正确； sin ，B正确； tan(A＋B)＝tan(π－C)＝－tan C，C正确； cos(A＋B)＝cos(π－C)＝－cos C，D错误．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 51 10．已知sin＝0，则下列结论正确的是(　　) A．tan α＝2 B．sin α－cos α＝ C．sin αcos α＋cos2α＝ 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 52 AC　[由sin＝0⇒－sin α＋2cos α＝0⇒tan α＝2，故A正确； sin αcos α＋cos2α＝＝，故C正确； ＝3，故D错误； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 53 因为tan α＝2>0，所以α为第一或第三象限角． 若α为第一象限角，则 ⇒； 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 54 若α为第三象限角，则 ⇒所以sin α－cos α＝－，故B错误． 故选AC．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 55 11．下列计算或化简，结果正确的是(　　) A．＝2 B．＝－1 C．若tan x＝＝1 D．若sin θcos θ＝＝2 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 √ 16 √ √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 56 ABD　[对于A，＝2，故A正确； 对于B，＝ ＝－1，故B正确； 对于C，若tan x＝＝＝2，故C错误； 对于D，若sin θcos θ＝ ＝2，故D正确．故选ABD．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 57 三、填空题 12．(2025·上海徐汇三模)已知sin α＝ ＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 ，α∈，则cos α＝－， 故tan．] 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 58 ， 又α为锐角，所以sin， 即sin， 所以α－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 13．已知α为锐角，且，则α＝________． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 59 14．已知－π<x<0，sin(π＋x)－cos x＝－＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 －， 两边平方得sin2x＋2sin xcos x＋cos2x＝， 整理得2sin xcos x＝－． － 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 60 ∴(sin x－cos x)2＝1－2sin xcos x＝， 由－π<x<0知，sin x<0，又sin xcos x＝－<0， ∴cos x>0，∴sin x－cos x<0， 故sin x－cos x＝－． ∴＝ ＝－．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 61 15．若π<α<的化简结果是(　　) A． C． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 √ 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 62 D　[＝ ＝， 由于π<α< ． 故选D．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 63 16．已知α∈·cos(π＋β)同时成立，则α＝________，β＝________． 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 　[由已知条件可得 由①2＋②2，得sin2α＋3cos2α＝2． 第26课时　同角三角函数的基本关系与诱导公式 64 又sin2α＋cos2α＝1，∴sin2α＝，∴sin α＝±． ∵α∈，∴α＝±． 当α＝时，由②式知cos β＝，又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式成立； 当α＝－时，由②式知cos β＝， 又β∈(0，π)，∴β＝，此时①式不成立，故舍去．∴α＝．] 题号 2 1 3 4 5 6 8 7 9 10 11 12 13 14 15 16 65 谢 谢 ！ $