精品解析：2026年山西省阳泉市盂县多校九年级联考考前测试数学试题

数学 全卷满分120分 考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 下面四个化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 《中国互联网络发展状况统计报告》2月5日在京发布，《报告》显示，截至2025年12月，生成式人工智能用户规模达亿人，较2024年底增长，普及率达．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 5. 如图为某数学兴趣小组做的某种削铅笔刀的3D模型，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 6. 如图为某书架底座平面示意图的一部分，其中．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 8. 如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，在矩形中，E，F分别是，边上的点，且点F与点B关于直线对称，连接，，G是的中点，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置．） 11. 比较大小：______6．（填“”“”或“”） 12. 研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为______度． 13. 如图，为半圆O的直径，C为的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π） 14. 如图，某小区地下停车场内现仅剩下“”“”“”“”四个空车位．若甲、乙两人同时从中随机选择一个车位进行停车，则两人所选车位不相邻的概率是______． 15. 如图，在中，，，D是边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交边于点E，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 17. 汾州核桃，山西省汾阳市特产，中国国家地理标志产品．汾州核桃迄今已有两千余年的种植历史，这里出产的汾州核桃以其个大、壳薄、肉厚、营养丰富等特点而闻名．某商场购进普通核桃和汾州核桃共，全部售出后，共获利4600元．这两种核桃的批发价和零售价分别如下表所示： 批发价/（元/） 零售价/（元/） 普通核桃 25 33 汾州核桃 30 40 求该商场购进普通核桃和汾州核桃各多少千克． 18. 某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的满意度问卷调查，学生满意度以分数（满分为5分）呈现，从低到高依次为1分、2分、3分、4分、5分．该校规定，若学生所评餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数低于3.5分，则需要对不合格项目进行整改．王老师从收回的有效问卷中随机抽取了20份，并把这20份问卷中学生对餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的所评分数绘制成下列图表： 餐厅服务质量满意度统计表 分数/分 1 2 3 4 5 份数/份 2 3 5 8 2 根据以上信息，解答下列问题： （1）餐厅饭菜品质满意度的中位数是______分，餐厅服务质量满意度的平均数是______分． （2）若王老师从余下的有效问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起重新计算，则针对餐厅服务质量满意度的统计量中，一定不变的是______．（填“中位数”“众数”“平均数”或“方差”） （3）请你根据统计结果判断该校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量是否需要整改，并说明理由． 19. 为提高学生学习生物学的积极性，某学校要为生物科学活动室购买单目显微镜和双目显微镜．已知单目显微镜每个159元，双目显微镜每个282元，且购买单目显微镜的数量是双目显微镜数量的2倍．若该学校计划购买这两种显微镜的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个单目显微镜？ 20. 全民健身热潮涌动，健康太原活力十足.4月13日，2024太原市（省城）第十届全民健身节启动仪式在晋阳湖公园举行．小宁受此活动的影响，积极参与到健身活动中，在周末和同学们相约到小区健身器材处健身，该健身器材底座的简化示意图如图所示，其中座位地面，支架与座位之间的夹角为，支架与支架之间的夹角为，其中．求此时座位距离地面的垂直高度．（结果精确到；参考数据：） 21. 阅读与思考 下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期一 从圆周角定理想到的…… 今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧． 思考一：如图1，是的直径，点在上（不与点重合），则．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段和直线外一点，且，则点在以为直径的圆上．（命题1） 思考二：若将图2中的改为45°，点的位置会有怎样的特点呢？ 经过不断尝试，我发现以为底边，构造等腰，再以点为圆心，长为半径作圆，则点在弦所对的优弧上． …… 任务： （1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 证明：在图2中取线段的中点，连接，则是边上的中线． …… （2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点．（保留作图痕迹，不写作法） （3）若将图2中的改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路． 22. 大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置（看为一点）为原点O，射水鱼与水面平行的直线为x轴，与水面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为． （1）求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少分米才能击中昆虫？ 23. 综合与探究 问题情境： 在四边形中，E为射线上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，点B的对应点为． 初步探究： （1）如图1，四边形为正方形，点落在正方形内部，延长交边于点F，连接．若E为边的中点，则______°，与的数量关系为______． 类比探究： （2）如图2，四边形为矩形，点落在矩形外部，延长交的延长线于点F．若E为边的中点，试判断线段，之间的数量关系，并说明理由． 问题解决： （3）如图3，四边形为平行四边形，，，，当与平行四边形的一条边垂直时，连接，画出此时的图形（标明字母），并直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学 全卷满分120分 考试时间120分钟 ★祝考试顺利★ 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷和答题卡相应位置上． 2．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效． 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每个小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该选项涂黑．） 1. 下列各数中，是无理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据无理数是无限不循环小数的定义，逐个判断选项中数的类型，得到答案． 【详解】解：无理数的定义为无限不循环小数，有理数是整数与分数的统称，即有限小数和无限循环小数都是有理数 是有限小数，属于有理数； 是分数，属于有理数； ，是整数，属于有理数； 开方开不尽，是无限不循环小数，是无理数． 2. 下面四个化学仪器的示意图中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析即可． 【详解】解：A，B，D选项中的图形不能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形， C选项中的图形能找到这样的一条直线，使图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形． 3. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，完全平方公式，同底数幂乘法法则，积的乘方法则逐一判断选项正误即可． 【详解】解：对选项A：，故A错误； 对选项B： 故B错误； 对选项C： 故C错误； 对选项D：，结果正确 故D正确． 4. 《中国互联网络发展状况统计报告》2月5日在京发布，《报告》显示，截至2025年12月，生成式人工智能用户规模达亿人，较2024年底增长，普及率达．数据亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数，先将亿化为普通整数，再确定和的值即可． 【详解】解： 亿 ，根据科学记数法的要求移动小数点， 可得． 5. 如图为某数学兴趣小组做的某种削铅笔刀的3D模型，则该几何体的左视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据左视图的定义，可得出左视图为3个长方形的组合体，且中间的长方形的边用虚线表示，进而得出答案即可． 【详解】解：从左边看可以看到左右两边都为长方形，中间的长方形的边被遮挡，所以用虚线表示． 所以左视图是 故选：B． 【点睛】此题主要考查了几何体的三视图；掌握左视图是从几何体左面看得到的平面图形是解决本题的关键． 6. 如图为某书架底座平面示意图的一部分，其中．若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行线的性质得出，然后结合图形求解即可 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴ 7. 已知，是一次函数图象上的两个点，则，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质，根据一次函数的性质，当时，y随x的增大而减小，比较两点横坐标的大小即可判断与的大小关系． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴y随x的增大而减小， 又∵，，且， ∴． 故选：A． 8. 如图，四边形内接于，，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】首先利用圆内接四边形的性质和的度数求得的度数，然后利用等边对等角及三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：∵四边形内接于，， ∴， ∵， ∴． 9. 如图，在平面直角坐标系中，以原点O为位似中心，在原点O的另一侧按的相似比将缩小得到，点E，F的对应点分别为，．若，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据位似图形的性质，结合已知点的坐标以及位似比，求出点的坐标即可． 【详解】解：∵以原点为位似中心，将按的相似比缩小得到， ∴点的坐标是，即． 10. 如图，在矩形中，E，F分别是，边上的点，且点F与点B关于直线对称，连接，，G是的中点，连接．若，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】连接交于点，作与点，根据轴对称的性质得到，，，，设，则，，根据矩形的性质得，，得到，，通过证明得到，则，，设，表示出、的长，利用正切的定义得到，再证明即可得出结论． 【详解】解：如图，连接交于点，作与点， ∵点F与点B关于直线对称， ∴，，，， ∴， 设， ∴，， ∵矩形， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴，， ∵G是的中点， ∴， 设，则， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 在中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分．请将答案直接写在答题卡相应的位置．） 11. 比较大小：______6．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】通过比较平方的大小判断，平方更大的原数更大 【详解】解：，，且， 12. 研究发现，近视镜的度数y（度）与镜片焦距x（米）成反比例函数关系，小明佩戴的400度近视镜片的焦距为0.25米，经过一段时间的矫正治疗加之注意用眼健康，现在镜片焦距为0.4米，则小明的近视镜度数可以调整为______度． 【答案】250 【解析】 【分析】先求出反比例函数解析式，再把代入计算即可． 【详解】解：设反比例函数解析式为， 把，代入得 ， ∴， 当时， ． 故答案为：250． 【点睛】本题考查了反比例函数的应用，求出函数解析式是解答本题的关键． 13. 如图，为半圆O的直径，C为的中点，连接．若，则图中阴影部分的面积为______．（结果保留π） 【答案】 【解析】 【分析】根据题意得，阴影部分面积即为扇形的面积，结合图形得出，，再由扇形的面积计算公式求解即可． 【详解】解：根据题意得，阴影部分面积即为扇形的面积， ∵为半圆O的直径， ∴， ∵C为的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴阴影部分的面积为：． 14. 如图，某小区地下停车场内现仅剩下“”“”“”“”四个空车位．若甲、乙两人同时从中随机选择一个车位进行停车，则两人所选车位不相邻的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】列表可得出所有等可能的结果数以及两人所选车位不相邻的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【详解】解：列表如下： 共有12种等可能的结果，其中两人所选车位不相邻的结果有：，，，，，，共6种， ∴两人所选车位不相邻的概率是． 15. 如图，在中，，，D是边的中点，F是上一点，且，连接并延长，交边于点E，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】过点D作，交于点G，根据相似三角形的判定和性质得出是的中位线，，再由勾股定理得出，确定，结合相似三角形的判定和性质得出，再由中位线的性质即可求解 【详解】解：如图，过点D作，交于点G， ∴， ∴， ∵D是边的中点，， ∴， ∴是的中位线，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 解得， ∴ 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 计算： （1）； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1） （2），7 【解析】 【小问1详解】 解： 【小问2详解】 ． 当时，原式 17. 汾州核桃，山西省汾阳市特产，中国国家地理标志产品．汾州核桃迄今已有两千余年的种植历史，这里出产的汾州核桃以其个大、壳薄、肉厚、营养丰富等特点而闻名．某商场购进普通核桃和汾州核桃共，全部售出后，共获利4600元．这两种核桃的批发价和零售价分别如下表所示： 批发价/（元/） 零售价/（元/） 普通核桃 25 33 汾州核桃 30 40 求该商场购进普通核桃和汾州核桃各多少千克． 【答案】该商场购进普通核桃，购进汾州核桃 【解析】 【分析】设该商场购进普通核桃，购进汾州核桃，根据题意列出方程组求解即可 【详解】解：设该商场购进普通核桃，购进汾州核桃． 根据题意，得， 解得． 答：该商场购进普通核桃，购进汾州核桃 18. 某校对学生开展了关于学校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的满意度问卷调查，学生满意度以分数（满分为5分）呈现，从低到高依次为1分、2分、3分、4分、5分．该校规定，若学生所评餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数低于3.5分，则需要对不合格项目进行整改．王老师从收回的有效问卷中随机抽取了20份，并把这20份问卷中学生对餐厅饭菜品质和餐厅服务质量的所评分数绘制成下列图表： 餐厅服务质量满意度统计表 分数/分 1 2 3 4 5 份数/份 2 3 5 8 2 根据以上信息，解答下列问题： （1）餐厅饭菜品质满意度的中位数是______分，餐厅服务质量满意度的平均数是______分． （2）若王老师从余下的有效问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起重新计算，则针对餐厅服务质量满意度的统计量中，一定不变的是______．（填“中位数”“众数”“平均数”或“方差”） （3）请你根据统计结果判断该校餐厅饭菜品质和餐厅服务质量是否需要整改，并说明理由． 【答案】（1）4， （2）众数 （3）该校餐厅饭菜品质不需要整改，而餐厅服务质量需要整改． 【解析】 【分析】本题考查了众数、中位数、平均数的定义，熟记各定义是解题关键． （1）根据中位数、平均数的定义即可得； （2）根据“中位数”“众数”“平均数”或“方差”的定义即可得； （3）比较餐厅饭菜品质满意度和餐厅服务质量满意度的平均数或中位数是否低于3.5分，即可求解． 【小问1详解】 解：由中位数的定义，将餐厅饭菜品质满意度这组数据按从小到大（或从大到小）进行排列第10和11位的为4和4， 则中位数是， 由平均数的计算公式得：餐厅服务质量满意度的平均数是， 故答案为：4，； 【小问2详解】 解：餐厅服务质量满意度的中，4分出现了8次，最多，则众数是4分， 王老师从余下的有效问卷中又随机抽取了1份，与之前的20份合在一起重新计算，则针对餐厅服务质量满意度的统计量中，“中位数”，“平均数”或“方差”都会改变， 只有“众数”不会改变； 故答案为：众数 【小问3详解】 解：由于餐厅服务质量满意度的平均数， 餐厅饭菜品质的平均数为， ， 而餐厅饭菜品质的中位数是， 所以该校餐厅饭菜品质不需要整改，而餐厅服务质量需要整改． 19. 为提高学生学习生物学的积极性，某学校要为生物科学活动室购买单目显微镜和双目显微镜．已知单目显微镜每个159元，双目显微镜每个282元，且购买单目显微镜的数量是双目显微镜数量的2倍．若该学校计划购买这两种显微镜的总费用不超过5000元，则最多可以购买多少个单目显微镜？ 【答案】最多可以购买16个单目显微镜 【解析】 【分析】设购买单目显微镜的数量为个，则双目显微镜数量为个.根据“总价=单价×数量”分别计算两种显微镜的总费用，结合总费用不超过5000元的条件，列出一元一次不等式.求解不等式，得到的取值范围，取的最大正整数解. 【详解】解：设购买单目显微镜x个，则购买双目显微镜个． 根据题意，得．解得． ∵x为正整数， ∴x的最大值为16． 答：最多可以购买16个单目显微镜． 20. 全民健身热潮涌动，健康太原活力十足.4月13日，2024太原市（省城）第十届全民健身节启动仪式在晋阳湖公园举行．小宁受此活动的影响，积极参与到健身活动中，在周末和同学们相约到小区健身器材处健身，该健身器材底座的简化示意图如图所示，其中座位地面，支架与座位之间的夹角为，支架与支架之间的夹角为，其中．求此时座位距离地面的垂直高度．（结果精确到；参考数据：） 【答案】约为 【解析】 【分析】本题考查解直角三角形的实际应用，过点B作于点E，延长，交于点F．利用三角函数解和即可． 【详解】解：如图，过点B作于点E，延长，交于点F． ，， ， ， ， ， ， 在中，， 即， ， 在中，， 即， ， ， 即座位距离地面的垂直高度约为． 21. 阅读与思考 下面是小安同学的数学日记，请仔细阅读，并完成相应的任务． ×年×月×日 星期一 从圆周角定理想到的…… 今天，我们学习了圆周角定理及推论，在课堂小结的时候，我突然想到将这些定理的条件和结论互换，也许会有新发现！那就先从特殊情况开始思考吧． 思考一：如图1，是的直径，点在上（不与点重合），则．这一命题我们已经证明过．若将该命题的条件和结论互换，可得新命题：如图2，已知线段和直线外一点，且，则点在以为直径的圆上．（命题1） 思考二：若将图2中的改为45°，点的位置会有怎样的特点呢？ 经过不断尝试，我发现以为底边，构造等腰，再以点为圆心，长为半径作圆，则点在弦所对的优弧上． …… 任务： （1）小安发现命题1是真命题，请按照下面的证明思路，写出该证明的剩余部分． 证明：在图2中取线段的中点，连接，则是边上的中线． …… （2）请根据思考二，在图3中利用尺规作出符合要求的点．（保留作图痕迹，不写作法） （3）若将图2中的改为120°，你能确定点的位置吗？请说明你的思路． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）点C在弦AB所对的劣弧上或外接圆的圆心处 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半可证，即点在以为直径的圆上； （2）根据思考二提供的思路作出图形即可； （3）类比思考二的思路解答即可． 【详解】解：（1）∵，∴． ∴点在以为直径的上； （2）如解图，点即为所求．（点为所对的优弧上任一点）； （3）先以线段为边构造等边，再作的外接圆，则点C在弦AB所对的劣弧上或外接圆的圆心处． 【点睛】本题考查了尺规作图，直角三角形斜边的中线，等边三角形的性质，圆周角定理及其推论，熟练掌握圆周角定理及其推论是解答本题的关键．①圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半；②同圆或等圆中，圆周角等于它所对的弧上的圆心角的一半；③同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，相等圆周角所对的弧也相等；④半圆（或直径）所对圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径；⑤圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角． 22. 大自然中有一种神奇的鱼——射水鱼，它能以极快的速度从口中射出水柱击落昆虫来捕食，射出的水柱呈抛物线形．如图，以射水鱼所在的位置（看为一点）为原点O，射水鱼与水面平行的直线为x轴，与水面垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设水柱距水面的高度为，与射水鱼的水平距离为，y与x的函数表达式为，水柱的最大高度为． （1）求y关于x的函数表达式，并写出x的取值范围． （2）一只昆虫位于点处，水柱形成的时间忽略不计，射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动多少分米才能击中昆虫？ 【答案】（1） （2）射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动或才能击中昆虫 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，水柱过，利用待定系数法代入求解计算即可确定函数解析式，再由相应一元二次方程的根确定取值范围； （2）设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫，得出游动后射出水柱形成的抛物线的表达式为，然后将点代入求解即可． 【小问1详解】 解：∵水柱的最大高度为， ∴． 根据题意，得水柱过． 把代入，得． 解得． 当时，． 解得，． ∴y关于x的函数表达式为． 【小问2详解】 解：设射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动才能击中昆虫． ∴游动后射出水柱形成的抛物线的表达式为． 把代入，得． 解得或． ∴射水鱼从原点O出发，需要水平向右游动或才能击中昆虫． 23. 综合与探究 问题情境： 在四边形中，E为射线上的一个动点，连接，将四边形沿折叠，点B的对应点为． 初步探究： （1）如图1，四边形为正方形，点落在正方形内部，延长交边于点F，连接．若E为边的中点，则______°，与的数量关系为______． 类比探究： （2）如图2，四边形为矩形，点落在矩形外部，延长交的延长线于点F．若E为边的中点，试判断线段，之间的数量关系，并说明理由． 问题解决： （3）如图3，四边形为平行四边形，，，，当与平行四边形的一条边垂直时，连接，画出此时的图形（标明字母），并直接写出的长． 【答案】（1）90， （2）． 理由如下：如解图，连接． ∵四边形为矩形， ∴，． 由折叠的性质，得，，，． ∴，． ∵E为边的中点， ∴． ∴． 又∵， ∴． ∴，． ∵， ∴． ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． ∴． ∴ （3）如图所示： 1或 【解析】 【分析】（1）根据题意得出，，，，再由角平分线的性质得出平分，根据全等三角形的判定和性质得出，利用各角之间的等量代换得出即可；结合全等三角形的判定和性质即可得出结果； （2）连接，同理得出．，，利用相似三角形的判定和性质得出，，进行等量代换变形即可证明； （3）分两种情况分析：当（或）时，当（或）时，结合图形，利用三角形函数及等边三角形的性质求解即可． 【小问1详解】 解：∵E为边的中点， ∴， ∵四边形为正方形， ∴， ∵折叠， ∴， ∴平分， ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴即； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 分以下两种情况讨论： ①当（或）时，如解图1，点恰好落在BC边上． 由折叠的性质，得． ∵， ∴为等边三角形． ∴． ∵， ∴． ②当（或）时，如解图，过点作于点P． 由折叠的性质，得，． ∴． ∵， ∴，． ∵， ∴． 在中，由勾股定理，得． 综上所述，的长为1或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $