精品解析：2024年山西省阳泉市盂县多校中考三模数学试题

2023—2024中考学科素养自主测评卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. -7 B. -1 C. 1 D. 7 2. 已知等腰三角形两边的长分别是3和5，求此等腰三角形的周长．小明的解答过程如下：“当3是腰长时，底边长为5，则三角形周长为：；当5是腰长时，底边长为3，则三角形周长为：．”小明的解答方法体现的数学思想是（ ） A. 方程思想 B. 分类讨论思想 C. 公理化思想 D. 转化思想 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 今年“五一”假期，北京市累计接待游客万人次，旅游收入达亿元，同比分别增长和，创历史新高，将数据“亿”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一．小明从下列4幅作品中随机选择两幅参加展出，则选到的两幅作品恰好是号和号的概率是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，将含有角三角板放在矩形纸片上，三角板直角顶点在矩形边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 8. 如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（ ） A. 20° B. 25° C. 30° D. 40° 9. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 10. 荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________ ． 12. 某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是______同学． 13. 乙炔是最重要的一种炔烃，在工业中可用以照明、焊接及切断金属（氧炔焰），炔烃属于有机化合物，简单的炔烃化合物有乙炔、丙炔、丁炔、戊炔，…，按照此规律，设一个炔烃分子的碳原子个数为（），请用表示炔烃分子的氢原子个数是______． 14. 如图，在中，，平分线交于点，交的延长线于点，若，则______． 15. 如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，连接，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）当时，的取值范围是______． 18. 年月是第个全国近视防控宣传教育月，某校开展了以“有效减少近视发生，共同守护光明未来”为主题的活动．活动后期，全校学生进行了预防近视知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）．从中随机抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数），下面是给出的部分信息： 信息一：将抽取的成绩进行归纳整理（用表示成绩，分成四组：．，．，．，．）． 信息二：将样本数据整理并绘制成不完整的统计图（如图）： 信息三：这次抽样测试中名学生的成绩如下表： 学生 学生 学生 学生 学生 学生 学生 测试成绩 根据以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数是______； （2）补全条形统计图； （3）求出本次抽取的名学生的平均成绩； （4）若考试成绩不低于分时，记为优秀，全校有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中达到优秀的有多少人？ 19. “忠义”是构成中华民族精神特质和文化品格的重要组成部分，东汉名将关羽是中华传统忠义文化的代表和典范．如图1所示是坐落于山西运城常平村关公故里的“关帝圣像”．关帝一手提青龙偃月刀，一手捋美髯飘须，伟岸挺拔，分外壮观．某数学兴趣小组开展了测量“关帝圣像”雕塑高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“关帝圣像”雕塑位于垂直地面的基座上，基座高，身高的小明在雕塑前方的处测得“关帝圣像”头顶的仰角为，测得“关帝圣像”脚底的仰角为，求“关帝圣像”雕塑的高度（，，三点在同一直线上，，结果精确到．参考数据：，，，，，）． 20. 如图，抛物线与轴交于点和，交轴于点，点为顶点坐标． （1）求抛物线的函数表达式和点的坐标； （2）点在抛物线第二象限运动（不含A，两点），连接，，当时，求点的横坐标． 21 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读完成相应的任务： 我国古代天文学确定方向方法中蕴藏了平行线的作图法． 如《淮南子·天文训》中记载：“正朝夕，先树一表东方，操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表以参望日，方入北廉则定东方．两表之中，与西方之表，则东西之正也．” 如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线和直线外一定点，过点作直线与平行． （1）以点为圆心，以适当长为半径作圆，交直线于点，； （2）分别在的延长线及上取点，，使； （3）连接，取其中点，过，两点确定直线，则直线． 证明如下： 点是的中点， 是的中线． ， 平分（依据）． ． … 任务： （1）填空：材料中的依据是指______； （2）补全上述证明过程； （3）若，则______． 22. 项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．于点，的平分线交于点，交于点．试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答上述提出的问题； 实践探究：（2）如图2，善思小组将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，，连接． ①请你直接写出四边形的形状是______； ②请求出平移的距离； （3）智慧小组将绕点逆时针旋转，得到，使得，点，的对应点分别是点，，连接，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2023—2024中考学科素养自主测评卷 数学 注意事项： 1．本试卷共8页，满分120分，考试时间120分钟． 2．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．答案全部在答题卡上完成，答在本试卷上无效． 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回． 第Ⅰ卷 选择题（共30分） 一、选择题（本大题共10个小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，请选出并在答题卡上将该项涂黑） 1. 计算的结果是（ ） A. -7 B. -1 C. 1 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】根据异号两数相加，取绝对值较大的数的符号，再用较大的绝对值减去较小的绝对值，可得答案 【详解】解：. 故选C． 考点：有理数的加法． 2. 已知等腰三角形两边的长分别是3和5，求此等腰三角形的周长．小明的解答过程如下：“当3是腰长时，底边长为5，则三角形周长为：；当5是腰长时，底边长为3，则三角形周长为：．”小明的解答方法体现的数学思想是（ ） A. 方程思想 B. 分类讨论思想 C. 公理化思想 D. 转化思想 【答案】B 【解析】 【分析】此题主要考查的是等腰三角形的性质,三角形三边关系的应用，要注意分类讨论．已知等腰三角形两边的长，但没有明确是腰长还是底边长，因此分两种情况讨论：①3是腰长，底边长为5；②5是腰长时，底边长为3；可根据三角形三边关系结合三角形周长公式求出上述两种情况下，求三角形的周长体现的数学思想是分类讨论思想，故可得答案 【详解】解：①当3是腰长时，底边长为5，，3，3，5能构成三角形， 则三角形周长为：； ②当5是腰长时，底边长为3，，3，5，5能构成三角形， 则三角形周长为：； 综上，第三边的长为：11或13． 所以，这种解题的方法体现的数学思想是分类讨论思想， 故选：B． 3. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，合并同类项，熟练掌握公式和运算的法则是解题的关键．利用同底数幂的乘法，积的乘方，完全平方公式，积的乘方运算法则逐一计算判断即可． 【详解】解：A．∵，错误，不符合题意． B．∵，错误，不符合题意． C．∵，错误，不符合题意． D．，正确，符合题意． 故选：D． 4. 今年“五一”假期，北京市累计接待游客万人次，旅游收入达亿元，同比分别增长和，创历史新高，将数据“亿”用科学记数法表示正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查科学记数法的定义，关键是理解运用科学记数法．科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同． 【详解】解：亿． 故：A． 5. 剪纸是中国古老的传统民间艺术之一．小明从下列4幅作品中随机选择两幅参加展出，则选到的两幅作品恰好是号和号的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了画树状图或列表的方法求概率，利用画树状图的方法求解简单随机事件的概率，掌握列表法或画树状图的方法是解题的关键． 【详解】画树状图如下： 一共有种等可能的结果，选到的两幅作品恰好是号和号的结果数有种， 选到的两幅作品恰好是号和号的概率是， 故选：． 6. 如图，将含有角的三角板放在矩形纸片上，三角板直角顶点在矩形边上，若，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了直角的定义，平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解题的关键．由题意可知，，从而求得，根据平行线的性质，可知，即可求得答案． 【详解】由题意可知，， 故选：B． 7. 如图，在平面直角坐标系中，与的位似比是，若点，，则点的对应点的坐标为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了位似变换，坐标与图形性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用，需要分类进行讨论． 【详解】解：与的位似比是， 当点在第三象限时，， 当点在第一象限时，， 故点的坐标为或， 故选：C． 8. 如图，是的切线，点是上的一点，连接，，交于点，若，则的度数是（ ） A 20° B. 25° C. 30° D. 40° 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查圆的切线性质，圆周角定理，三角形内角和定理，掌握相关定理是解题的关键． 连接，，根据圆周角定理得到，根据是的切线得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， ， 是的直径， ， 是切线， ， ， ， ， ， ， ， 在中， ． 故选：D． 9. 数学来源于生活，伞是生活中常见的一种工具，撑开后如图1所示，由此发现数学知识——抛物线．如图2，以伞柄所在的直线为轴，以伞骨，的交点为坐标原点建立平面直角坐标系．点为抛物线的顶点，点，在抛物线上，，关于轴对称．抛物线的表达式为，若点A到轴的距离是，则，两点之间的距离是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了求二次函数自变量的值，两点之间的距离，根据题意可知，将其代入函数关系式求出x的值，进而得出答案． 【详解】根据题意可知， 当时，， 解得， ∴（）． 故选：A． 10. 荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画．将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故选：B 第Ⅱ卷 非选择题（共90分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题3分，共15分） 11. 计算：__________ ． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式去括号，再根据二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算和平方差公式，运用平方差公式可简化计算． 12. 某校九年级有A，B，C和D四名同学参加坐位体前屈训练（满分15分）．他们的平均成绩分别是：分，分，分，分，方差分别是：，，，，则成绩好且发挥稳定的是______同学． 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了方差和平均数的应用，先根据方差一定比较平均数，再根据平均数一定比较方差可得答案． 【详解】根据题意可知A，B两名同学的方差相同，B同学的平均数高，可知B同学的成绩好，由C，D两名同学的方差一定，D同学的平均数高，可知D同学的成绩高． 又因为B，D两名同学的平均数一定，D同学的方差小，所以D同学的成绩好且最稳定． 故答案为：D． 13. 乙炔是最重要的一种炔烃，在工业中可用以照明、焊接及切断金属（氧炔焰），炔烃属于有机化合物，简单的炔烃化合物有乙炔、丙炔、丁炔、戊炔，…，按照此规律，设一个炔烃分子的碳原子个数为（），请用表示炔烃分子的氢原子个数是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查数字规律，根据碳原子和氢原子的个数找到规律，再求解即可 【详解】解：中碳原子的个数为2时，氢原子个数是； 中碳原子的个数为3时，氢原子个数是； 中碳原子的个数为4时，氢原子个数是； ⋯ ∴碳原子个数为（）时，氢原子个数是； 故答案为： 14. 如图，在中，，的平分线交于点，交的延长线于点，若，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，相似三角形的判定与性质，设，根据平行四边形的性质得，，，结合角平分线的定义证明，得到，，证明，得到，求解即可．掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：设， ∵四边形是平行四边形，， ∴，，， ∴， ∵的平分线交于点， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴， 解得：，（不符合题意，舍去）， ∴． 故答案为：． 15. 如图，是斜边上的中线，，点是中点，连接并延长交于点，连接．若，，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了三角形相似的判定与性质，平行线的判定，勾股定理，分别过点D，点E作，垂足分别为，根据易证，得到，由点是上的中点，得到，即可求出，根据易证，得到，由点是中点，得到，即可求出，根据易证，得到，即可求出，从而求出，再根据勾股定理即可求出结果． 【详解】解：如图，分别过点D，点E作，垂足分别为， ， ， ， 点是上中点， ， ，， ， ， ， 点是中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 故答案为：． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 16. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2） 【解析】 【分析】本题考查了实数的运算、分式方程的求解，熟练掌握运算法则及运算步骤是解题的关键． （1）原式利用乘方的意义、绝对值的代数意义、算术平方根以及负整数指数幂计算即可； （2）利用解分式方程的步骤求出x的值，再将所求得的x值代入进行检验，即可得出答案． 【详解】解：（1）原式． （2）去分母，得 去括号，得 移项，合并同类项，得 系数化为1，得． 检验：当时，． 原分式方程的解是． 17. 如图，一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点，点，与轴，轴分别交于点，点，连接，． （1）求反比例函数的表达式； （2）求的面积； （3）当时，的取值范围是______． 【答案】（1） （2） （3）或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及三角形的面积，交点坐标适合两个函数的解析式是解题的关键． （1）把点A的坐标分别代入，求出m的值，即可得到点A，B坐标，再把点A的坐标代入，求出的即可； （2）求出点B，C，D的坐标，根据可得结论； （3）结合图像可得结论 【小问1详解】 解：∵一次函数的图象与反比例函数的图象分别交于点， 把点代入，得 ∴ ∴与反比例函数解析式为 小问2详解】 解：对于一次函数， 当时，；当时，， ∴， ∴ 把代入，得， ∴， ∴ ； 【小问3详解】 解：由图象可得，当时，的取值范围是或， 故答案为：或 18. 年月是第个全国近视防控宣传教育月，某校开展了以“有效减少近视发生，共同守护光明未来”为主题的活动．活动后期，全校学生进行了预防近视知识测试，测试结果显示所有学生成绩都不低于分（满分分）．从中随机抽取名学生的测试成绩，进行整理和分析（成绩得分都是整数），下面是给出的部分信息： 信息一：将抽取的成绩进行归纳整理（用表示成绩，分成四组：．，．，．，．）． 信息二：将样本数据整理并绘制成不完整的统计图（如图）： 信息三：这次抽样测试中名学生的成绩如下表： 学生 学生 学生 学生 学生 学生 学生 测试成绩 根据以上信息，回答下列问题： （1）扇形统计图中所在扇形的圆心角的度数是______； （2）补全条形统计图； （3）求出本次抽取的名学生的平均成绩； （4）若考试成绩不低于分时，记为优秀，全校有名学生参加了此次测试，估计此次参加测试的学生中达到优秀的有多少人？ 【答案】（1）； （2）见解析； （3）本次抽取的名学生的平均成绩是分； （4）此次参加测试的学生中达到优秀的约有人． 【解析】 【分析】（）先求出所在扇形的圆心角的度数，所在扇形的圆心角的度数，然后用相减即可； （）求出组学生人数为人，组学生人数为人，然后补全即可； （）根据算术平均数即可求解； （）用达到优秀的人数百分比乘以即可； 本题考查了扇形统计图，条形统计图和统计表，正确理解统计图，统计图得到相关信息是解题的关键． 【小问1详解】 所在扇形的圆心角的度数是，所在扇形的圆心角的度数是， 则所在扇形的圆心角的度数是， 故答案为：， 【小问2详解】 组学生人数为（人）， 组学生人数为（人）， 补全条形统计图如图： 【小问3详解】 本次抽取的名学生的平均成绩， 【小问4详解】 （人）， 答：估计此次参加测试学生中达到优秀的有人． 19. “忠义”是构成中华民族精神特质和文化品格的重要组成部分，东汉名将关羽是中华传统忠义文化的代表和典范．如图1所示是坐落于山西运城常平村关公故里的“关帝圣像”．关帝一手提青龙偃月刀，一手捋美髯飘须，伟岸挺拔，分外壮观．某数学兴趣小组开展了测量“关帝圣像”雕塑高度的实践活动．具体过程如下：如图2，“关帝圣像”雕塑位于垂直地面的基座上，基座高，身高的小明在雕塑前方的处测得“关帝圣像”头顶的仰角为，测得“关帝圣像”脚底的仰角为，求“关帝圣像”雕塑的高度（，，三点在同一直线上，，结果精确到．参考数据：，，，，，）． 【答案】“关帝圣像”雕塑的高度约为米 【解析】 【分析】本题考查了三角函数的应用，过点作于点， 由题意可知 ，，进而可求出的值，在中， 利用 ， 可求出的值，在中， 利用，可求出的值，进而即可求出答案． 【详解】解：过点作于点， 由题意得：、都是直角三角形，四边形是矩形． ，． ，， ． 在中，，， ， ． 在中，， ， ． ． 答：“关帝圣像”雕塑的高度约为61米． 20. 如图，抛物线与轴交于点和，交轴于点，点为顶点坐标． （1）求抛物线的函数表达式和点的坐标； （2）点在抛物线第二象限运动（不含A，两点），连接，，当时，求点的横坐标． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了运用待定系数法求函数解析、二次函数的性质、正切的定义等知识点，灵活运用相关性质和定义成为解题的关键 （1）先运用待定系数法求得函数解析式，然后再化成顶点式即可确定顶点坐标； （2）如图，过点作轴于点．根据（1）所得解析式可得、，即，设，则，最后解方程求得m的值，进而确定的横坐标即可． 【小问1详解】 解： 抛物线过点和点， 解得 抛物线的函数表达式为． 抛物线的函数表达式为， ． 【小问2详解】 解：如图，过点作轴于点． ． 抛物线的表达式为． ． ， ，． 在中，． 点在抛物线第二象限上运动，点的横坐标为， ． ． ， ． 在中，． ，解得：，（不合题意，舍去）． 点的横坐标为． 21. 阅读与思考 下面是一位同学的数学学习笔记，请仔细阅读完成相应的任务： 我国古代天文学确定方向的方法中蕴藏了平行线的作图法． 如《淮南子·天文训》中记载：“正朝夕，先树一表东方，操一表却去前表十步，以参望日始出北廉．日直入，又树一表于东方，因西方之表以参望日，方入北廉则定东方．两表之中，与西方之表，则东西之正也．” 如图，用几何语言叙述作图方法：已知直线和直线外一定点，过点作直线与平行． （1）以点为圆心，以适当长为半径作圆，交直线于点，； （2）分别在的延长线及上取点，，使； （3）连接，取其中点，过，两点确定直线，则直线． 证明如下： 点是的中点， 是的中线． ， 平分（依据）． ． … 任务： （1）填空：材料中的依据是指______； （2）补全上述证明过程； （3）若，则______． 【答案】（1）等腰三角形“三线合一” （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质进行解答即可； （2）根据，得出，根据圆周角定理得出，求出，根据平行线的判定方法得出结论即可； （3）根据等腰三角形的性质得出，根据三角形外角的性质得出，根据等腰三角形的性质得出即可． 【小问1详解】 解：由是的中线，，得出平分的依据是等腰三角形的“三线合一”； 【小问2详解】 证明：点是的中点， 是的中线． ， 平分， ， ∴， 延长交于点D，如图所示： ∵， ∴， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴． 【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，圆周角定理，平行线的判定，三角形外角的性质，三角形内角和定理应用，解题的关键是作出辅助线，熟练掌握等腰三角形的性质． 22. 项目化学习 项目主题：老陈醋最优销售单价． 项目背景：宁化府是山西太原百年老店，其酿造的老陈醋清鲜香醇，深受人们喜爱． 某校综合实践小组以探究“老陈醋最优销售单价”为主题展开项目学习． 驱动任务：探究老陈醋销售总利润与销售单价的关系． 研究步骤：（1）综合实践小组到太原宁化府老陈醋专卖店了解到每壶老陈醋的成本为20元； （2）该店在试营业期间，不断调整销售单价，并对老陈醋的销售量进行统计（不考虑其他因素）； （3）数据分析，得出结论． 实验数据： 老陈醋销售单价（元/壶） … 24 26 28 30 32 … 每天销售数量（壶） … 52 48 44 40 36 … 问题解决：请根据此项目实施的相关信息完成下列任务： （1）根据表中信息可知：该老陈醋每天的销售数量（壶）是老陈醋销售单价（元/壶）的______函数（选填“一次”“二次”或“反比例”），与的函数关系式为______； （2）若要使每天销售老陈醋获得的利润（元）最大，请通过计算说明老陈醋的最优销售单价，并求出最大利润． 【答案】（1）一次，；（2）老陈醋的最优销售单价是35元/壶，最大利润是450元 【解析】 【分析】这是一道关于二次函数的综合问题，考查了求一次函数关系式，求二次函数的关系式，求二次函数的极值问题，对于（1），根据数据变化特点可知是一次函数，再将数值代入求出关系式即可； 对于（2），求出利润的二次函数关系式，配方再讨论得出极值． 【详解】解：（1）观察表格可知老陈醋每天的销售数量随着销售单价的增加而减小，可知是一次函数． 设一次函数关系式为，将点代入，得 ， 解得， 所以一次函数关系式为． 故答案为：一次函数解析式为； （2）根据题意，得 ∵， ∴抛物线开口向下，函数有最大值， 即当时，， 所以当老陈醋的单价为35元时，最大利润为450元． 23. 综合与探究 问题情境：如图1，在中，，，．于点，的平分线交于点，交于点．试判断与的数量关系，并说明理由． 数学思考：（1）请你解答上述提出的问题； 实践探究：（2）如图2，善思小组将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，，连接． ①请你直接写出四边形的形状是______； ②请求出平移的距离； （3）智慧小组将绕点逆时针旋转，得到，使得，点，的对应点分别是点，，连接，直接写出的长． 【答案】（1），理由见解析；（2）①菱形；②；（3）或 【解析】 【分析】（1）根据直角三角形两锐角互余及垂直的定义得，根据三角形外角的性质得，得到，即可得出结论； （2）①根据平移的性质得，，得出四边形是平行四边形，再根据（1）的结论即可得出结论； ②根据勾股定理得，由，求出，根据菱形的性质证明，得到，设，则，，代入数据即可得解； （3）过点作于点，连接，交的延长线于点，证明四边形是菱形，由（2）知：，然后分两种情况：①当在点的右边；②当在点的左边，分别画出图形并求解即可． 【详解】解：（1）， 理由：∵， ∴， ∵，即， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴； （2）①四边形的形状是菱形．理由如下： ∵将沿线段平移，使点恰好落在处，点，对应点分别是点，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， 由（1）知：， ∴四边形是菱形， 故答案为：菱形； ②∵，，，， ∴， ∵， ∴， 由①知：四边形是菱形， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 设，则，， ∴， 解得：， ∴， ∴平移的距离为； （3）过点作于点，连接，交的延长线于点， ∵， ∴， ∵平分，，， ∴，， 由（1）知：， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形， 由（2）知：， ①当在点的右边， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， 在中，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∴、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ； ②当在点的左边， 设的延长线交于点， 由前面的结论知：，， ∵将绕点逆时针旋转，得到， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， 在四边形中， ， ∴， ∵， ∴， ∴点在上，即、、三点共线， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴， 在中， ； 综上所述，的长为或． 【点睛】本题是图形的旋转，考查了旋转的性质，角平分线的性质，等腰三角形的判定与性质，菱形的判定与性质，勾股定理，相似三角形的判定与性质，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$