期末考模拟试卷2025-2026学年度人教版七年级数学下册

**基本信息** 2025-2026学年度初中数学期末卷以120分钟150分全面考查核心知识，融合《天工开物》非遗灯具制作、大理剪纸非遗传承等文化素材，设计节水收费、新能源汽车调查等现实问题，体现数学与文化及生活的联系，发展抽象能力与模型意识。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/40|无理数、坐标系、普查、不等式|结合希帕索斯发现无理数史，考查数学抽象| |填空题|6/24|二元一次方程、象限、整数、角平分线|设计“育才知行数”新定义，培养创新意识| |解答题|9/86|方程组、不等式组、统计、几何证明、动点问题|22题节水收费问题建立模型，25题坐标系动点探究空间观念与推理能力|

2025-2026学年度初中数学期末考试卷 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在数学史上，希帕索斯发现了无理数，这一发现触发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 2．在平面直角坐标系中，点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 3．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的体重情况 B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C．调查某市居民的防诈意识 D．调查某班学生的节水意识 4．如图，数轴上表示的不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 5．若，则下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 6．《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星．《天工开物》中记载了灯具骨架的制作工艺．某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小灯用竹篾0.5米，彩绢2米．若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则下列方程组正确的为（     ） A． B． C． D． 7．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 8．如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点A完成第1次运动；再分别从点C，D出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点A完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点A完成第7次运动时，从左往右数的第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 9．已知两个数x、y，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作；再从x、y、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从x、y、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去…，以下结论正确的个数为（    ） ①若x、y为方程组的解，则； ②对于整数x、y，若为偶数，在操作过程中，得到的一定为偶数； ③若x，y满足，要使得成立，则n至少为4． A．3 B．2 C．1 D．0 10．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（     ） A． B． C． D． 第II卷（非选择题） 二、填空题 本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．把二元一次方程，用含x的代数式表示y，则可以表示为__________． 12．在平面直角坐标系中，点所在的象限是第__________象限． 13．在与之间的整数是__________． 14．如图，已知，直线分别与直线、交于点Q、E，平分，交于G，若，则______． 15．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 16．各个数位上的数字均为正整数的四位自然数，若其千位数字与个位数字的和大于百位数字与十位数字的和，且千位数字与个位数字的差的绝对值小于百位数字与十位数字的差的绝对值，即，则称N为“育才知行数”，并规定．已知四位自然数是“育才知行数”，则的最大值为________；若“育才知行数”（，q，且p，q，r均为整数），且满足，则满足条件的B的最大值与最小值之差为________． 三、解答题 本题共9小题，其中17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： (1)； (2)． 18．如图，，射线与交于点，射线与交于点．若是的角平分线，且． (1)尺规作图：在射线上作，并连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知） 　　　　　　　（两直线平行，内错角相等） 是的角平分线（已知） （　　　　　） 　　　　　　（等量代换） （已知） 　　　　　　　（同旁内角互补，两直线平行） （　　　　　　） （等量代换） 19．解方程组： (1) (2) 20．解不等式组，并写出它的整数解． 21．为迎接一模考试，云路中学对九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部 分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图 中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)请通过计算将条形统计图补充完整； (3)优秀人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度； (4)若该中学九年级共有400人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 22．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 23．如图，已知． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 24．云南大理白族剪纸是国家级非物质文化遗产，以其细腻的镂空技艺和浓郁的民族风情闻名、春节前夕，某文创店购进了甲、乙两种白族特色剪纸礼盒共60套用于销售，甲种礼盒含《蝴蝶泉》主题剪纸，乙种礼盒含《三月街》主题剪纸．已知购进2套甲种礼盒和1套乙种礼盒共需140元，购进1套甲种礼盒和2套乙种礼盒共需130元． (1)求甲、乙两种白族剪纸礼盒的购进单价各是多少元? (2)已知甲种礼盒售价65元/套，乙种礼盒售价50元/套，要求总进货预算不超过2600元，且全部售完后的利润不低于690元．有哪几种进货方案? 25．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，连接，点是线段上一点，连接． (1)求点的坐标； (2)如图2，点从点出发以每秒2个单位长度匀速向点移动，同时点从点出发以每秒1个单位长度沿轴正方向匀速移动，设运动时间为秒，当点到达点时，，同时停止运动．在运动过程中，是否存在，使面积是面积的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若，点是第二象限内一点，轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，在点运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 试卷第4页，共6页 试卷第3页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度初中数学期末考试卷 数学试卷 （考试时间：120分钟，分值：150分） 注意事项： 1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息 2．请将答案正确填写在答题卡上 第I卷（选择题） 一、单选题 本题共10小题，每小题4分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。 1．在数学史上，希帕索斯发现了无理数，这一发现触发了第一次数学危机．下列各数中，是无理数的是（    ） A． B． C．0 D． 【答案】D 【详解】A．，是有理数，不符合题意； B．是有理数，不符合题意； C．是有理数，不符合题意； D．是无限不循环小数，是无理数，符合题意． 2．在平面直角坐标系中，点所在象限是（   ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】B 【详解】解：∵点的横坐标为负数，纵坐标为正数， ∴点在第二象限． 3．下列调查中最适合采用全面调查（普查）的是（   ） A．调查全国中学生的体重情况 B．调查某批新能源汽车的电池使用寿命 C．调查某市居民的防诈意识 D．调查某班学生的节水意识 【答案】D 【分析】全面调查适合调查对象数量少，无破坏性，易操作的调查． 【详解】解：A、调查全国中学生体重，调查范围大，对象数量多，不适合全面调查，故不符合题意； B、调查汽车电池使用寿命，调查具有破坏性，不适合全面调查，故不符合题意； C、调查某市居民防诈意识，范围大，对象多，不适合全面调查，故不符合题意； D、调查某班学生节水意识，班级学生数量少，范围小，易操作，适合全面调查． 4．如图，数轴上表示的不等式组的解集为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】解：数轴上表示的不等式组的解集． 5．若，则下列不等式不成立的是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据不等式的基本性质逐一判断即可得到结论． 【详解】解：、由，可得，该选项成立，不符合题意； 、由，可得，该选项成立，不符合题意； 、由，可得，该选项不成立，符合题意； 、由，可得，该选项成立，不符合题意． 6．《天工开物》是世界上第一部关于农业和手工业生产的综合性著作，也是中国古代一部百科全书式的科学技术著作，作者是明代科学家宋应星．《天工开物》中记载了灯具骨架的制作工艺．某非遗工坊用竹篾和彩绢制作灯具，每盏大灯用竹篾1.2米，彩绢5米；每盏小灯用竹篾0.5米，彩绢2米．若该工坊恰好用完了90米竹篾和370米彩绢，设制作大灯盏，小灯盏，则下列方程组正确的为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】解：设制作大灯x盏，小灯y盏， 由题意得，． 【点睛】 7．若关于x，y的方程组的解满足，则的值为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】将方程组中两个方程相加，整理得到与的关系式，再结合已知即可求出的值． 【详解】解：， 得， 两边同除以得， ∵， ∴． 8．如图，在平面直角坐标系中，动点A从点出发，向上运动1个单位长度到达点后，再分别向左上、右上运动到点、点，此时动点A完成第1次运动；再分别从点C，D出发，重复上述运动，到达点、点、点，此时动点A完成第2次运动……以此规律运动下去，当动点A完成第7次运动时，从左往右数的第一个点的坐标是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据所给运动方式，依次求出每次运动后最左侧第一个点的坐标，发现规律即可解决问题． 【详解】解：由题知， 第1次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第2次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第3次运动后，最左侧第一个点的坐标为， 第4次运动后，最左侧第一个点的坐标为， …， 所以第n次运动后，最左侧第一个点的坐标为． 当时，， 即第7次运动后，最左侧第一个点的坐标为． 9．已知两个数x、y，可按如下规则进行运算：计算的结果，得到的数记为，称为第一次操作；再从x、y、中任选两个数，操作一次得到的数记为；再从x、y、、中任选两个数，操作一次得到的数记为，依次进行下去…，以下结论正确的个数为（    ） ①若x、y为方程组的解，则； ②对于整数x、y，若为偶数，在操作过程中，得到的一定为偶数； ③若x，y满足，要使得成立，则n至少为4． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题考查新定义的实数运算和一元二次方程根与系数的关系，理解题目中的算法是解题的关键．①先解方程组，可得，再计算即可求解；②对于整数x、y，若为偶数，则x、y同为偶数或同为奇数，为偶数或奇数，计算结果可能为奇数或偶数；③先根据非负数的性质求解，再计算，然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算，即可求解． 【详解】解：①∵， 解得：， ∴；故说法正确； ②对于整数x、y，若为偶数， 则x、y同为偶数或同为奇数， ∴为偶数或奇数， ∴的结果可能为奇数或偶数， ∴得到的一定为偶数说法错误； ③∵， ∴即， 解得：， ∴，， 则 ， 然后从中选取绝对值较大的两个数，进行计算， 则 ， ， ∵ ∴要使得成立，则n至少为4，说法正确， 故选：B． 10．下面四个图形中，与是对顶角的图形是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据对顶角的定义：如果一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，那么这两个角互为对顶角，对各选项进行判断即可； 【详解】解： A、与的两边不互为反向延长线，不是对顶角； B、与的两边不互为反向延长线，不是对顶角； C、与有公共顶点，且两边互为反向延长线，是对顶角； D、与没有公共顶点，不是对顶角． 第II卷（非选择题） 二、填空题 本题共6小题，每小题4分，共24分。 11．把二元一次方程，用含x的代数式表示y，则可以表示为__________． 【答案】 【分析】本题考查了代入法解二元一次方程组；把x当作已知数，y当作未知数，解一元一次方程即可． 【详解】解：由， 移项得：； 故答案为：． 12．在平面直角坐标系中，点所在的象限是第__________象限． 【答案】二 【分析】本题考查了各象限内点的坐标的符号特征，记住各象限内点的坐标的符号是解题的关键． 根据点的坐标符号判断所在象限． 【详解】点P的横坐标为，是负数； 纵坐标为， 由于，故，是正数． 因此点P在第二象限． 故答案为：二． 13．在与之间的整数是__________． 【答案】7 【详解】解：∵，且， ， 因此与之间的整数是． 14．如图，已知，直线分别与直线、交于点Q、E，平分，交于G，若，则______． 【答案】/108度 【分析】本题考查了平行线的性质，角的平分线，垂直的定义，熟练掌握性质是解题的关键． 根据两直线平行，同位角相等，得，两直线平行，内错角相等，得，结合角的平分线的定义，则，又因为，进行列式计算，即可作答． 【详解】∵， ∴，， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴ 故答案为：． 15．若实数a，b同时满足，，则的值为_____． 【答案】2 【分析】先由绝对值的非负性得到，，则，；再对进行分类讨论，去绝对值，解一元一次方程求解即可． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴，； 当时，则，则， ∵， ∴， 当，即时，， 解得， ∴，符合题意， ∴； 当，即，则，该方程无解； 当时， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴，该方程无解， ∴综上：． 16．各个数位上的数字均为正整数的四位自然数，若其千位数字与个位数字的和大于百位数字与十位数字的和，且千位数字与个位数字的差的绝对值小于百位数字与十位数字的差的绝对值，即，则称N为“育才知行数”，并规定．已知四位自然数是“育才知行数”，则的最大值为________；若“育才知行数”（，q，且p，q，r均为整数），且满足，则满足条件的B的最大值与最小值之差为________． 【答案】 23 3570 【分析】第一空根据题目已知条件列出四位自然数N的满足条件，即，再根据不等式组的解集列举符合题目要求的数后可得出结果；第二空需将“育才知行数”B的满足条件表示出，即，并且满足，将表示为，此时B需同时满足三个条件，即，再通过列举的形式表示B的最大值与最小值，最终求出结果． 【详解】解：∵是“育才知行数”， ∴，即， ①要使最大，则b应尽可能大． 当时，， ； ②当时，， ； ③当时，， ； ④当时，， 不满足． ∴的最大值为23． ∵是“育才知行数”， ∴， 又∵，且满足， ∴，即， ∴ 此时B需同时满足， 显然，则或9， 验证当时，不满足题意， ∴， 当，，时，B的最大值为7712， 当，，时，B的最小值为4142， ∴B的最大值与最小值之差为． 故答案为：23，3570． 【点睛】本题考查了不等式组的应用及整数的性质，属新定义问题，难度较大，逻辑推理能力强，根据题目的要求列出对应的关系并计算是解此题的关键． 三、解答题 本题共9小题，其中17-18题每小题8分，19-25题每小题10分，共86分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．计算： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先计算算术平方根、立方根、乘方，再计算加减运算即可； （2）先计算乘方、算术平方根、立方根、绝对值，再计算加减运算即可． 【详解】（1）解：原式 ； （2）解：原式 ． 18．如图，，射线与交于点，射线与交于点．若是的角平分线，且． (1)尺规作图：在射线上作，并连接（不写作法，保留作图痕迹）； (2)试说明，请补全证明过程，即在横线处填上结论或理由． 证明：（已知） 　　　　　　　（两直线平行，内错角相等） 是的角平分线（已知） （　　　　　） 　　　　　　（等量代换） （已知） 　　　　　　　（同旁内角互补，两直线平行） （　　　　　　） （等量代换） 【答案】(1)见解析 (2)；角平分线的定义；；；两直线平行，内错角相等 【分析】本题考查了角平分线的定义，平行线的判定与性质等知识．解题的关键在于对知识的熟练掌握与灵活运用． （1）根据题意作出图形即可； （2）根据角平分线的定义、平行线的判定与性质等进行作答即可． 【详解】（1）解：如图所示， ； （2）证明：∵（已知） ∴（两直线平行，内错角相等） ∵是的角平分线（已知） ∴（角平分线的定义） ∴（等量代换） ∵（已知） ∴（同旁内角互补，两直线平行） ∴（两直线平行，内错角相等） ∴（等量代换） 故答案为：；角平分线的定义；；；两直线平行，内错角相等． 19．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解：， 得：， 解得：， 把代入得：， 解得：， ∴原方程组的解为； （2）解：原方程可以转化为， 得：， 解得：， 把代入④得， ． 20．解不等式组，并写出它的整数解． 【答案】不等式组的解集为，整数解为和． 【详解】解：， 解①，得， 解②，得 ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的整数解为和． 21．为迎接一模考试，云路中学对九年级学生进行了一次数学模拟考试，并随机抽取了部 分学生的测试成绩作为样本进行分析，绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据统计图 中提供的信息解答下列问题： (1)在这次调查中，一共抽取了多少名学生？ (2)请通过计算将条形统计图补充完整； (3)优秀人数在扇形统计图中所对应的圆心角是 度； (4)若该中学九年级共有400人参加了这次数学考试，估计该校九年级共有多少名学生的数学成绩可以达到优秀？ 【答案】(1)一共抽取了名学生 (2)见解析 (3)72 (4)估计该校九年级共有名学生的数学成绩可以达到优秀 【分析】本题考查了条形统计图与扇形统计图的综合运用（包括样本容量计算、统计图补充、圆心角计算及用样本估计总体），解题的关键是从两种统计图中提取已知数据（如“良”的人数及对应百分比、“差”的人数及对应百分比），利用“部分数量对应百分比总体数量（样本容量）”为核心关系求解各问题． （1）由条形图知“良”的人数为人，扇形图知“良”对应百分比，用可求抽取学生总数； （2）先算“中”的人数（样本总数扇形图“中”的百分比，再补充条形图； （3）先求优秀人数占比良中差，再用优秀占比得对应圆心角； （4）用九年级总人数优秀占比，估计优秀学生数． 【详解】（1）解：∵条形图中“良”的人数为人，扇形图中“良”对应百分比为， ∴抽取学生总数（名）． 答：一共抽取了名学生． （2）解：“中”的人数（名）， 补充条形统计图如下． （3）解：优秀人数占比， 优秀人数对应圆心角． 故答案为：． （4）解：该校九年级优秀学生估计数（名）． 答：估计该校九年级共有名学生的数学成绩可以达到优秀． 22．水是万物生命之源，但随着人口急剧增长，水资源透支令人担忧，节约用水迫在眉睫．某城市为了避免居民用水浪费现象，制定了居民每月每户用水标准，收费为正常标准，如果超标用水，超过部分加价收费，下表是小明家2025年两个月的收费表： 时间项目 用水量 费用（元） 1月 11 28 2月 15 44 (1)请问该城市居民标准内用水及超标部分用水的价格各是多少元？ (2)小明家三月份用水量是，他有50元钱，请问他的钱够交水费吗？如果不够，还差多少？ 【答案】(1)正常收费标准为2元，超过部分4元 (2)不够交水费，还差30元 【分析】本题考查的是二元一次方程组的应用； （1）设正常收费标准为x元，超过部分y元，根据表格信息建立方程组解题即可； （2）先列式计算水费，再与50元比较即可； 【详解】（1）解：设正常收费标准为x元，超过部分y元， 由题意，得， 解得， 答：正常收费标准为2元，超过部分4元． （2）解：元， ， 不够， 元， 答：不够交水费，还差30元. 23．如图，已知． (1)求证：； (2)若，平分，求证：． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，可得，从而可判断； （2）证明，得，由平分可得结论． 【详解】（1）证明：， （2）证明： 又平分 24．云南大理白族剪纸是国家级非物质文化遗产，以其细腻的镂空技艺和浓郁的民族风情闻名、春节前夕，某文创店购进了甲、乙两种白族特色剪纸礼盒共60套用于销售，甲种礼盒含《蝴蝶泉》主题剪纸，乙种礼盒含《三月街》主题剪纸．已知购进2套甲种礼盒和1套乙种礼盒共需140元，购进1套甲种礼盒和2套乙种礼盒共需130元． (1)求甲、乙两种白族剪纸礼盒的购进单价各是多少元? (2)已知甲种礼盒售价65元/套，乙种礼盒售价50元/套，要求总进货预算不超过2600元，且全部售完后的利润不低于690元．有哪几种进货方案? 【答案】(1) 甲种礼盒购进单价为50元，乙种礼盒购进单价为40元. (2) 共有3种进货方案，分别是：方案1：购进甲种礼盒18套，乙种礼盒42套；方案2：购进甲种礼盒19套，乙种礼盒41套；方案3：购进甲种礼盒20套，乙种礼盒40套. 【分析】（1）设甲种礼盒购进单价为x元，乙种礼盒购进单价为y元，根据题意列出二元一次方程组求解即可； （2）设甲种礼盒购进m套，则乙种礼盒购进套，根据题意可列出关于m的不等式组，解不等式组求出符合题意的整数解即可． 【详解】（1）解：设甲种礼盒购进单价为x元，乙种礼盒购进单价为y元，根据题意可得： ， 解得：， 答：甲种礼盒购进单价为50元，乙种礼盒购进单价为40元. （2）解：设甲种礼盒购买件，则 ， 解得， ∵m为整数， ∴， ∴共有3种进货方案，分别是： 方案1：购进甲种礼盒18套，乙种礼盒42套； 方案2：购进甲种礼盒19套，乙种礼盒41套； 方案3：购进甲种礼盒20套，乙种礼盒40套. 25．如图1，在平面直角坐标系中，点的坐标为，点在轴正半轴上，且，连接，点是线段上一点，连接． (1)求点的坐标； (2)如图2，点从点出发以每秒2个单位长度匀速向点移动，同时点从点出发以每秒1个单位长度沿轴正方向匀速移动，设运动时间为秒，当点到达点时，，同时停止运动．在运动过程中，是否存在，使面积是面积的2倍？若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由； (3)如图3，若，点是第二象限内一点，轴平分．点是线段上一动点，连接交于点，在点运动过程中，探究，，之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1) (2)存在， (3)，见解析 【分析】（1）根据条件求解即可得出结论； （2）如图，过做于，于，先表示出，利用三角形面积，建立方程求解即可得出结论； （3）过作交于点，证明，，可得，证明，可得，可得，进一步可得结论. 【详解】（1）解：∵点的坐标为，点在轴正半轴上，且， ∴， ∴； （2）解：如图，过做于，于， 由题意得，，，则， ∵的坐标为， ∴，， ∵面积是面积的2倍， ∴， 即， 解得； （3）解：过作交于点， ∴， ∵，，， ∴， ∵轴平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴. 【点睛】本题主要考查了坐标与图形，三角形的面积公式，角平分线的定义，平行线的判定和性质，一元一次方程的应用，正确作出辅助线是解本题的关键． 试卷第18页，共19页 试卷第1页，共19页 学科网（北京）股份有限公司 $