期末培优卷.2025-2026学年浙教版数学七年级下学期

**基本信息** 以“十一”假期出游、三星堆文化等真实情境为载体，融合统计、几何、代数知识，通过基础巩固与创新应用梯度设计，考查数学眼光、思维与语言，适配七年级下学期期末培优需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|10/30|统计基础、平移、相交线、二元一次方程|结合景区客流等现实情境，考查抽象能力与空间观念| |填空题|6/18|代数式求值、平行线判定、统计估计、平移性质|设置开放结论题（如第13题平行线判定条件），发展推理意识| |解答题|8/72|方程组应用、几何证明、统计图表、代数拼图、几何综合|三星堆文旅探究（第20题）体现文化传承，统计图表分析（第21题）培养数据意识，几何综合题（第24题）考查推理能力与创新意识|

2025-2026学年七年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．在今年的“十一”假期中，多景区客流“爆棚”，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．小明为了解本年级学生的假期出游情况，从年级名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（    ） A．名学生是总体 B．样本容量是 C．名学生的假期出游时间是样本 D．此调查为全面调查 2．如图，由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（   ） A． B． C． D． 3．某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（   ） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 4．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 5．二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 6．已知 ，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 7．已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 8．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为（   ） A．10 B． C．9 D． 9．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A．B．C． D． 10．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知，则代数式的值为___________． 12．若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 13．如图，在下列五组条件中①，②，③，④， ⑤，能判断的有______．（填写序号） 14．某校为了解学生跳绳情况，从校1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 5 20 12 9 4 根据以上数据，估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在范围的学生有_______人． 15．如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 16．若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 18．如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 19．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 20．位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论： 芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满． 敏敏：乙种大巴座位数比甲种多，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满． (1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数； (2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式： 方式一：每次均按照相同油量（100升）加油； 方式二：每次均按照相同金额（500元）加油． 若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（）．请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算． 21．为深化青少年家国情怀培育，某校开展了“时代有我，家国天下”系列主题活动，设计了A．主题演讲、B．丹青筑梦、C．逐梦科技、D．家国征文、E．时代剧演五种活动． 收集数据 活动结束后，随机抽取了部分七年级学生对“你最喜欢的活动”展开调查（每名学生只能选一项）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图． 数据应用 (1)本次共抽取了______名学生，扇形统计图中，______． (2)请补全条形统计图． (3)若该校七年级共有1200名学生，请你估计最喜欢的活动为A．主题演讲的学生人数． (4)下图是小刚对该校八年级学生“你最喜欢的活动”调查得到的扇形统计图，小刚判断八年级喜欢E．时代剧演的学生人数多于七年级．你同意他的看法吗？请说明理由． 22．利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 23．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 24．如图1，平分，． (1)求证：． (2)若是线段上一点，，平分交于点． ①求的度数． ②如图2，平分交于点．当时，求的度数． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年七年级下学期数学期末培优卷 一、单选题（每小题3分，共30分） 1．在今年的“十一”假期中，多景区客流“爆棚”，客流量与文旅消费均呈现上升趋势．小明为了解本年级学生的假期出游情况，从年级名学生记录的假期出游时间（单位：小时）中随机抽取了名学生的假期出游时间（单位：小时）进行统计，以下说法正确的是（    ） A．名学生是总体 B．样本容量是 C．名学生的假期出游时间是样本 D．此调查为全面调查 【答案】C 【分析】本题考查总体、样本、样本容量及调查方式的概念，总体指研究对象的全部数据，样本是从总体中抽取的部分数据，样本容量是样本中的个体数量，抽样调查是抽取部分进行调查，全面调查则是调查所有对象，掌握以上知识是解答本题的关键； 根据总体、样本、样本容量及调查方式的知识，进行作答，即可求解； 【详解】A. 总体是名学生的假期出游时间，而非学生本身，故A错误； B. 样本容量是抽取的名学生，故样本容量为，而非，B错误； C. 名学生的假期出游时间是样本，正确； D. 此调查仅抽取部分学生，属于抽样调查，D错误； 故选：C； 2．如图，由图中所示的图案通过平移后得到的图案是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查平移，熟练掌握平移是解题的关键．根据平移只改变位置判断即可． 【详解】 解：由图中所示的图案通过平移后得到的图案是， 故选D． 3．某学校组织科技知识测试，随机抽取50名学生的成绩，绘制成如图频数分布直方图，则样本中这一分数段的频率是（   ） A．20 B．0.24 C．0.18 D．0.4 【答案】D 【分析】先求出样本中这一分数段的频数，再根据频率频数样本容量即可得出结果． 【详解】解：由图可得：样本中这一分数段的频数为， 故样本中这一分数段的频率是． 4．如图，直线、相交于点，，若，则的度数为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据对顶角相等可得，结合已知可得，再利用垂直定义得，最后根据求解即可． 【详解】解：直线、相交于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 5．二元一次方程的正整数解的个数为（     ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】根据题意，可得，根据、是正整数，则是的倍数，可得或，据此即可求解． 【详解】解：方程可化为， ∵、均为正整数， 当时，；当时，， 方程的正整数解为，，有2个． 6．已知 ，，则的值为（　　） A．3 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】运用幂的乘方和同底数幂乘法的运算法则，将所求式子变形后代入已知条件计算即可． 【详解】解：∵，， ∴． 7．已知，则的值为（     ） A．40 B．20 C．10 D．9 【答案】D 【详解】解：设， 则， ∴， ∴ ，即． 8．在解方程组时，由于粗心，甲看错了方程组中的a，而得到解，乙看错了方程组中的b，而得到解为，则的值为（   ） A．10 B． C．9 D． 【答案】C 【分析】本题考查解二元一次方程组，将代入中，可得；将代入中，可得；再求解即可． 【详解】解：∵解方程组时，甲看错了方程组中的a， ∴方程在解的过程中是正确的， ∵方程组的解为， ∴， ∴； ∵解方程组时，乙看错了方程组中的b， ∴在解的过程中是正确的， ∵方程组的解为， ∴， ∴； ∴， 故选：C． 9．多项式可分解因式为，那么等于（　　） A．B．C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了因式分解-提公因式法，利用单项式乘以多项式，进行计算即可解答． 【详解】解：由题意得： ∴M为：， 故选：D． 10．若且a、b为正整数，当分式方程的解为整数时，所有符合条件的b的值和为（    ） A．277 B．240 C．272 D．256 【答案】C 【分析】此题考查了分式方程的解的含义，正确的计算与检验是解本题的关键．把代入方程，再解方程可得，且，；，再分类讨论即可得到答案． 【详解】解：∵，， ∴， 两边都乘以，得 ， 解得，且，；， ∴且， 解得：，， ∵正整数使关于的分式方程的解为整数， ∴， ∴或15或39或65或195， 即或5或29或55或185， 其中不符合题意， ∴， 故选C． 二、填空题（每小题3分，共18分） 11．已知，则代数式的值为___________． 【答案】 【分析】本题考查了整式的化简求值，熟练掌握整式的化简求值是解题的关键．将整理得，再将运用分配律的逆运算转化成，最后将代入计算即可． 【详解】解：， ， ． 故答案为：． 12．若关于x、y的二元一次方程组的解满足方程，则k的值是________． 【答案】7 【分析】观察二元一次方程组中两个方程的系数特点，将两式相加整理得到与的关系式，利用解的含义得，整体代入即可求出的值． 【详解】解： 得：， ∴， ∵， ∴， 解得：． 13．如图，在下列五组条件中①，②，③，④， ⑤，能判断的有______．（填写序号） 【答案】 ①③ 【详解】解：①∵， ∴，故符合题意； ②∵， ∴，故不符合题意； ③∵， ∴，故符合题意； ④由，不能推出，故不符合题意； ⑤∵， ∴，故不符合题意； 综上，①，③符合题意. 14．某校为了解学生跳绳情况，从校1000名学生中随机抽取了50名同学，统计了他们60秒跳绳的次数，并列出下面的频数分布表： 次数 频数 5 20 12 9 4 根据以上数据，估计该年级的1000名学生中60秒跳绳次数在范围的学生有_______人． 【答案】820 【分析】本题考查频数分布表，样本估计总体，解题的关键是数形结合．用1000乘以跳绳次数在范围的占比，即可求解． 【详解】解：由题意得：（人）， 故答案为：820． 15．如图，在中，，，，．把沿着直线向右平移后得到，连接，，有以下结论：①；②；③的最小值是；④．其中正确的结论有________．（填序号） 【答案】①②④ 【分析】由平移的性质可得，，再由，可得，据此可判断①②④；由垂线段最短可知，当时，有最小值，根据等面积法求出此时的长即可判断③． 【详解】解：由平移的性质可得，，故①②正确； ∵，即， ∴，故④正确； 由垂线段最短可知，当时，有最小值， 此时， ∴， ∴， ∴的最小值为，故③错误． ∴正确的有①②④． 16．若关于的方程组的解是，则关于的方程组的解是___________． 【答案】 【分析】将待求方程组变形，换元后可得到与已知方程组结构相同的同解方程组，结合已知方程组的解即可求出目标方程组的解． 【详解】解：将两边同时除以2， 变形可得， 令， 则方程组可化为， 该方程组与原方程组系数完全相同，为结构相同，故其解的形式也相同， 已知原方程组的解为， 因此可得， 即，解得． 三、解答题（每小题9分，共72分） 17．解方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）因为第一个方程已经直接给出了y关于x的表达式，所以采用代入消元法，将y的表达式代入第二个方程，即可得到只含x的一元一次方程，求解得到x后再回代求y． （2）首先需要对第二个含分数的方程去分母，将其整理为系数为整数的二元一次方程，之后可根据整理后的方程系数特征，选择代入消元法或者加减消元法，消去其中一个未知数，求解另一个未知数后回代得到剩余未知数的值． 【详解】（1）， 把①代入②得： ， 整理得，解得， 把代入①得． 所以方程组的解为． （2）， ②，得，整理得， ，得 ，解得， 把代入①得：，解得． 所以方程组的解为． 18．如图，如果，求证：；．观察下面的解答过程，补充必要的依据或结论． 证明：∵（已知）， （________①__________）， ∴ 又∵（已知）， ∴____②_____（______③_________）， ∴（_________④_____________________）， 又∵（______⑤___________） ∴（___________⑥________________）， ∵（已知）， ∴， ∴（_____________⑦___________）． 【答案】见解析 【分析】根据平行线的判定解答即可． 【详解】证明：∵（已知）， （对顶角相等）， ∴ 又∵（已知）， ∴（等式的性质）， ∴（同旁内角互补，两直线平行）， 又∵（邻补角定义） ∴（等式的性质）， ∵（已知）， ∴， ∴（内错角相等，两直线平行）． 19．“寒夜客来茶当酒，竹炉汤沸火初红．”茶作为中国传统文化的重要部分，茶具选择影响品茶体验．某茶具厂共有30名工人，每名工人一天能做30个茶杯或10个茶壶，如果6个茶杯和1个茶壶为一套． (1)该工厂应如何安排工人生产，才能使每天生产的茶杯和茶壶刚好配套？ (2)该工厂承接一批茶具订单，若由1人制作这批茶具需要400小时完成．现计划由一部分人先做10小时，然后增加5人与他们一起合作20小时，恰好完成这批订单，假设这些人的工作效率相同，具体应先安排多少人制作茶具？ 【答案】(1)每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套 (2)先安排10人制作茶具 【分析】（1）设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人，根据等量关系，列出方程组，解方程组即可； （2）设先安排m人制作茶具，将整个任务看作单位1，然后列出方程，解方程即可． 【详解】（1）解：设生产茶杯的工人为x人，生产茶壶的工人为y人， 由题意得：， 解得：， 答：每天安排20人生产茶杯，10人生产茶壶刚好配套； （2）解：设先安排m人制作茶具， 由题意得：， 解得：， 答：先安排10人制作茶具． 20．位于四川省广汉市的“三星堆”，被称为20世纪人类最伟大的考古发现之一，被誉为“长江文明之源”，昭示了长江流域与黄河流域一样，同属中华文明的母体．七中育才八年级学生计划下周前往此处开展文史探究活动．下面是两位同学对于出行方案的讨论： 芳芳：我们一共有810名师生，如果租用甲种大巴刚好可以坐满． 敏敏：乙种大巴座位数比甲种多，如果租用乙种大巴可以少租3辆，也刚好可以坐满． (1)请根据以上信息，求出每辆甲种和每辆乙种大巴的座位数； (2)为保证顺利出行，大巴车司机计划近期加油两次，打算采用两种加油方式： 方式一：每次均按照相同油量（100升）加油； 方式二：每次均按照相同金额（500元）加油． 若第一次加油单价为x元/升，第二次加油单价为y元/升（）．请分别写出每种加油方式的平均单价（用含x、y的代数式表示），并根据你所学知识帮助大巴车司机选择上述哪种加油方式更合算． 【答案】(1)每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个 (2)方式一：，方式二：；选择方式二 【分析】本题主要考查分式方程的应用、列代数式． （1）设每辆甲种大巴车的座位数为a个，则每辆乙种大巴车的座位数为个，根据“都租同一种车辆，甲种大巴车比乙种大巴车多3辆”列出方程，求解即可； （2）根据“加油费用加油量加油单价”分别算出两种加油方式的平均单价，再利用作差法比较两种加油方式的平均单价的大小即可求解． 【详解】（1）解：设每辆甲种大巴车的座位数为a个，则每辆乙种大巴车的座位数为个， 根据题意可得：， 解得：， 经检验，为原方程的解， 则， 答：每辆甲种大巴车的座位数有45个，每辆乙种大巴车的座位数有54个； （2）解：按照方式一加油的平均单价为（元/升）， 按照方式二加油的平均单价为（元/升）， 按方式一加油的平均单价﹣按方式二加油的平均单价得： （元/升）， ∵，，且， ∴，，即， ∴选择方式二加油更合算． 21．为深化青少年家国情怀培育，某校开展了“时代有我，家国天下”系列主题活动，设计了A．主题演讲、B．丹青筑梦、C．逐梦科技、D．家国征文、E．时代剧演五种活动． 收集数据 活动结束后，随机抽取了部分七年级学生对“你最喜欢的活动”展开调查（每名学生只能选一项）． 数据处理 根据收集到的数据，绘制了下列统计图． 数据应用 (1)本次共抽取了______名学生，扇形统计图中，______． (2)请补全条形统计图． (3)若该校七年级共有1200名学生，请你估计最喜欢的活动为A．主题演讲的学生人数． (4)下图是小刚对该校八年级学生“你最喜欢的活动”调查得到的扇形统计图，小刚判断八年级喜欢E．时代剧演的学生人数多于七年级．你同意他的看法吗？请说明理由． 【答案】(1)120； (2)见解析 (3)七年级约有90名学生最喜欢的活动为A．主题演讲 (4)不同意，见解析 【分析】（1）用C的人数除以百分比可知总数，进而用B的人数除以总数乘以可知的值； （2）求出D的人数，进而补全条形统计图即可； （3）用1200乘以最喜欢的活动为A．主题演讲的学生的比例即可； （4）不知道七、八年级的学生人数，所以不能从各自占比比较人数多少． 【详解】（1）解：共抽取了名学生， ； （2）解：D的人数为（人） 补全条形统计图如图所示： （3）解：（人）． 答：七年级约有90名学生最喜欢的活动为A．主题演讲； （4）解：不同意． 理由：因为不知道七、八年级的学生总人数，所以不能从各自占比比较人数多少． 22．利用图1中甲、乙、丙三种矩形卡片若干张拼成图2的正方形（卡片间不重叠、无缝隙），可以用来解释． (1)【发现】若要拼成图3的矩形，请通过计算说明需要利用图1中的三种卡片各自的张数； (2)【探究】若要利用1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片拼成一个正方形，则该正方形的边长为__________（用含的式子表示）； (3)【应用】若，则______；若，则_______，_______． 【答案】(1)需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片，计算见解析 (2) (3)12，1，1 【分析】（1）计算，即可得到答案； （2）计算，即可得到答案； （3）利用完全平方公式，即可得到答案． 【详解】（1）解：∵， ∴需要2张甲卡片，1张乙卡片，3张丙卡片； （2）解：∵1张甲卡片、4张乙卡片和4张丙卡片， ∴， ∴该正方形的边长为； （3）解：∵，， ∴； ∵，， ∴，， 解得，． 23．小华同学在计算后，爱思考的他发现：是项的系数，与通过计算后的结果对比，项的系数是正确的．为了验证这个发现，又计算，项的系数为，用他发现的方法计算，结果还是一样的．请你认真领会小华同学的方法，并用他的方法解决下面问题． (1)①中项的系数是________； ②若，其中________． (2)若的积中不含项，求的值． (3)拓展应用：某超市计划购进，两种型号某品牌矿泉水共100箱（每箱24瓶），有多种购进方案，这两种型号矿泉水的进价和售价如表格所示： 进价/（元/箱） 22 32 售价/（元/箱） 46 59 该超市积极参与做慈善活动，决定每售出一箱型号矿泉水，向社会福利机构捐款元，型号矿泉水每箱的售价不变，100箱矿泉水全部售出后，不同的购进方案，超市获得的利润都相同，设购进型号矿泉水箱，超市获得的利润为元，用含，的式子表示，并求的值． 【答案】(1)①；②4052 (2) (3)；， 【分析】本题主要考查了多项式乘以多项式的运算及应用等知识点，理解多项式乘以多项式所得的多项式每一项的系数及题干中得出的规律是解决问题的关键． （1）①由题干中计算方法即可得解；②由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和，根据规律即可得解； （2）由题干中计算方法即可得解； （3）根据题意列出式子，由无论a为多少，w都不变，得出m的值，即可得解； 【详解】（1）解：①的系数：； ②的展开式中，的系数 ∵是由2026个相乘， 又由题干和前面计算知：几个多项式相乘的积的一次项系数为每个多项式中一次项系数与另外的多项式的常数项的积之和， ∴它的展开式的一次项系数为2026个2的和， ∴. （2）解：的系数为： 不含项则， ∴． （3）解：购进型箱，型箱，利润： 整理得： 因利润与无关，故， ∴， 24．如图1，平分，． (1)求证：． (2)若是线段上一点，，平分交于点． ①求的度数． ②如图2，平分交于点．当时，求的度数． 【答案】(1)证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∴． (2)①；②的度数为 【分析】（1）由角平分线定义得，结合已知，通过等量代换得，由内错角相等判定； （2）①设，由得，进而；由平分得；过作，利用平行线性质得，与无关； (2)②由得，平分得；由得内错角，又，解得． 【详解】（1）略 （2）①如图，过点作． 设， 则． 由（1）可知， ∴， ∴， ∴． ∵平分交于点， ∴． ∵， ∴， ∴． ②由①可知， ∴． ∵平分交于点， ∴． 设， 由①可知，， ∴当时， ， 即， 解得， 即的度数为． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $