期末考试自编卷2025-2026学年第二学期人教版八年级下册数学

**基本信息** 人教版八年级下册数学期末卷，以代数、几何、统计知识为载体，通过项目式学习（如风筝勾股定理应用）、真实情境问题（新能源汽车销售、环保测评），考查数学抽象、推理与数据分析能力，实现基础巩固与创新应用的梯度设计。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|12题|二次根式运算、函数概念、多边形内角和|基础概念辨析，如函数图像判断、直角三角形判定| |填空题|4题|菱形面积、中位数、矩形性质|结合几何性质与统计量计算，如菱形对角线求面积| |解答题|12题|几何证明（矩形判定）、统计应用（志愿服务时间分析）、函数综合（行程问题）|突出真实情境建模，如新能源汽车利润最大化、环保测评数据分析，考查数学语言表达与问题解决能力|

2025-2026学年第二学期人教版新教材八年级下册数学期末考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 2．在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 3．下列各曲线中哪些表示y不是x的函数（ ） A． B． C． D． 4．如果一个多边形的每个内角都等于120度，则这个多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 5．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 6．估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 7．下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员立定跳远的平均数和方差，现要选一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选的运动员是（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 2.45 2.45 2.20 2.18 方差 0.02 0.1 0.07 0.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 8．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（   ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 9．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 10．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 11．如图，正方形的边长为，为边上一点，为延长线上一点，为线段的中点，连接并延长交边于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（   ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 第II卷（非选择题） 二、填空题 13．若，则______． 14．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 15．将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出71，72，73，74，75，76，77，78，79，80的中位数___________；上四分位数___________． 16．如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，是等边三角形，于点H，交于点P，交延长线于K．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 18．如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 19．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 20．为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值________，图①中的值为________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校有2000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间超过3h的人数约为多少？ 21．小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点D的坐标为______； (2)求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； (3)当两人相距4000米时，直接写出此时x的值． 22．成都作为国家“无废城市”建设试点，已形成制度、市场、监管、设施四位一体的完整体系，是全国生活垃圾分类成效最好的城市之一．为增强学生的环保意识，学校联合环保部门开展环保知识宣传活动，并抽取部分学生进行环保知识测评，现将测试成绩分为A（优秀），B（良好），C（合格），D（需加强）四个等级，并根据测试结果绘制成如下尚不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次共调查了_________名学生，扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角是_________度； (2)所抽取学生测试成绩的中位数处于哪个等级？ (3)为比较甲、乙两班本次环保知识测试的整体情况，分别从两班随机抽取10名学生的成绩（满分100分），具体成绩如下： 甲班：86，88，88，90，91，91，91，92，93，94 乙班：85，87，88，89，90，91，92，93，94，96 其中，甲班学生成绩的平均数为分，方差为． 试分析哪个班级的环保知识掌握情况更稳定，并简要说明理由． 23．请根据素材，解决任务1与任务2． 背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售． 素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元；2辆紧凑型比3辆中型的进价少40万元． 素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆．该经销商准备购进两种车型共100辆． 素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的，且两种车辆的总进价不超过1840万元． 问题解决： (1)任务1：分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价． (2)任务2：该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？ 24．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期人教版新教材八年级下册数学期末考试卷 第I卷（选择题） 一、单选题 1．下列运算结果正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】解：对选项A，，故A错误； 对选项B，，故B错误； 对选项C，，运算结果正确，故C正确； 对选项D，，故D错误． 2．在中，，，的对边分别是，，，下列条件所对应的中，不是直角三角形的是（     ） A． B．，， C． D． 【答案】A 【分析】本题考查直角三角形的判定，利用三角形内角和定理与勾股定理逆定理，计算各选项的角度或边长关系，即可求解． 【详解】解：∵三角形内角和为， 对选项A，设，由， 得，， 则， 解得 ，则，，，三个内角均不为，故△ABC不是直角三角形； 对选项B，，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 对选项C，设三个角分别为，，，则， 解得，得最大角， 是直角三角形； 对选项D，由移项得，满足勾股定理逆定理， 是直角三角形； 综上，不能判断为直角三角形的是A选项． 3．下列各曲线中哪些表示y不是x的函数（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据函数是一一对应的关系，给自变量一个值，有且只有一个函数值与其对应，就是函数，如果不是，则不是函数． 【详解】解：根据题图可知，B、C、D三选项中，对于自变量x的任何值，y都有唯一的值与之相对应，y是x的函数； A、对于x的值，存在y有两个值与之相对应，则y不是x的函数． 4．如果一个多边形的每个内角都等于120度，则这个多边形的边数是（    ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】A 【分析】先求出这个多边形的每一个外角的度数，然后根据任意多边形外角和等于，再用除以外角的度数，即可得到边数． 【详解】解：∵多边形的每一个内角都等于， ∴多边形的每一个外角都等于， ∴边数． 5．如图，在正方形中，点在上，，相交于点，．若，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由正方形的性质得出，，由勾股定理求出，根据等腰三角形的判定和性质得出，最后根据线段的和差关系即可得出答案. 【详解】解：在正方形中，， ∴，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 6．估计的值应在（     ） A．5和6之间 B．4和5之间 C．3和4之间 D．2和3之间 【答案】A 【分析】先利用二次根式乘法运算法则化简原式，再估算无理数的取值范围，即可得到原式的大小范围． 【详解】解：， ， ， ， ， 即的值在和之间． 7．下表中记录了甲、乙、丙、丁四名运动员立定跳远的平均数和方差，现要选一名成绩较高且发挥稳定的运动员参加比赛，则应该选的运动员是（     ） 甲 乙 丙 丁 平均数 2.45 2.45 2.20 2.18 方差 0.02 0.1 0.07 0.2 A．甲 B．乙 C．丙 D．丁 【答案】A 【分析】要选出成绩较高且发挥稳定的运动员，成绩较高对应平均数更大，发挥稳定对应方差更小，方差越小数据波动越小，发挥越稳定，因此先比较平均数筛选出成绩较高的选手，再比较方差确定符合要求的选手. 【详解】解：∵成绩较高要求平均数更大， 由表格可得 ， ∴排除丙和丁，在甲，乙中选择， ∵发挥稳定要求方差更小，方差越小发挥越稳定，又 ， ∴甲符合成绩较高且发挥稳定的要求. 8．在探究小球速度随时间变化规律的实验中，如图①所示，小球由静止开始沿斜面向下滚动，到达斜面底端后，在水平面上继续滚动直至停止．小球滚动过程中的速度（）与时间（）之间的关系如图②所示，（提示：根据物理学知识可知，物体匀加速运动时的路程平均速度时间，，其中是开始时的速度，是秒时的速度．匀减速运动时的路程和平均速度类似可得．）下列说法不正确的是（   ） A．小球在斜面上的最大速度为 B．所在直线的函数解析式为 C．小球从斜面底端到停止所用的时间为 D．小球在水平面上运动的总路程为 【答案】C 【分析】根据待定系数法求出直线解析式，然后求出点的坐标，即可判断选项A；根据待定系数法求出直线的解析式，即可判断选项B；当时，，解得，即可判断选项C，根据提示计算即可判断选项D． 【详解】解：设所在直线的函数表达式为， 把代入， ， ， 当时，， 即点坐标为， 小球在斜面上的最大速度为，故选项A正确，但不符合题意； 设所在直线的函数表达式为， 得， 解得， 所在直线的函数表达式为，故选项B正确，但不符合题意； 当时，， 解得， ， 该小球在滚动过程中从斜面底端至停止所用的时长为，故选项C错误，符合题意； 小球在水平面上运动的总路程为，故选项D正确，但不符合题意． 9．若点，，在一次函数（是常数）的图象上，则，，的大小关系是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一次函数的性质，根据时，随的增大而减小解答即可求解，熟练掌握知识点是解题的关键． 【详解】解：∵一次函数中，， ∴随的增大而减小， ∵，即， ∴， 故选：． 10．在同一平面直角坐标系中，函数和（为常数，且）的图象可能是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据一次函数的性质和正比例函数的性质，根据两个函数图象所在象限分析的正负性，逐一判断即可得解． 【详解】解：选项A中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项A不符合题意； 选项B中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项B不符合题意； 选项C中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，故选项C符合题意； 选项D中，一次函数中的，，则，正比例函数中的，产生矛盾，故选项D不符合题意． 11．如图，正方形的边长为，为边上一点，为延长线上一点，为线段的中点，连接并延长交边于点．若，，则的长为（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】连接，，由四边形是正方形，得，然后证明，所以，又为中点，所以，即有垂直平分，所以，设，则，，在中，，即，解得，最后再通过勾股定理即可求解． 【详解】解：连接，， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， 在与中， ， ∴， ∴， ∵为中点， ∴， ∴垂直平分， ∴， 设，则，， 在中，， ∴， ∴， 在中，． 12．如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴上，顶点在轴上，直线：经过点．将正方形沿轴向下平移个单位后，点恰好落在直线上．下列结论中，正确的有（   ） ①直线l的解析式为； ②正方形的边长为： ③平移距离； ④平移后正方形对角线的交点到原点的距离为． A．①② B．①③ C．①③④ D．①②③④ 【答案】C 【分析】由待定系数法求解函数表达式，判断结论①；过点作轴交于点，过作轴交于点，证明，可得、长度，求出长度，判断结论②；由得出点坐标以及移动后的坐标，代入直线表达式，求出，判断结论③；由中点坐标得出正方形对角线的交点坐标，再得出平移后坐标，即可求其到原点的距离，判断结论④． 【详解】解：∵点在直线：上， ∴， 解得， ∴直线：，故结论①正确； 过点作轴交于点，过作轴交于点，如下图所示： ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ， 由勾股定理得，故结论②错误； 同理可证， ∴，， ∴点，平移后点坐标为， 点在直线：上， 代入得， 解得，故结论③正确； 平移前，对角线交点为中点， ∵、, 其坐标为, 平移后坐标为， 到原点距离为，故结论④正确； 综上，正确的结论有①③④，故选C． 第II卷（非选择题） 二、填空题 13．若，则______． 【答案】6 【详解】解：∵， ∴且， 解得， ∴． 14．如图，菱形的对角线相交于点，垂足为，连接．若，则菱形的面积是_____． 【答案】 【分析】由菱形的性质得，，由，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半求得，即可根据，得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是菱形，对角线相交于点O，， ∴，， 又∵，， ∴， ∴， ∴， ∴． 15．将一组数据从小到大排列，中位数处于这组数据“位置的中心”，中位数也称为第50百分位数或分位数，记作，前半部分数据的中位数记作，称为下四分位数，后半部分数据的中位数记作，称为上四分位数．根据定义，写出71，72，73，74，75，76，77，78，79，80的中位数___________；上四分位数___________． 【答案】 78 【分析】本题主要考查了中位数的定义，理解中位数的定义是解题的关键． 根据中位数和四分位数的定义，数据个数为偶数时，中位数取中间两个数的平均值；上四分位数取后半部分数据的中位数，据此即可解． 【详解】解：数据从小到大排列为71，72，73，74，75，76，77，78，79，80，共10个数据． ∴中位数 为第5个数据75和第6个数据76的平均值，即． 后半部分数据为76，77，78，79，80，共5个数据，其中位数为第3个数据78，故上四分位数 ． 故答案为 ，78． 16．如图，在矩形中，，点E，F分别是的中点，是等边三角形，于点H，交于点P，交延长线于K．下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号是__________． 【答案】①③ 【分析】利用正方形和等边三角形的性质，，从而可判断①正确；作，交的延长线于，利用含三角形三边关系可判断②错误；连接，作于，则，，通过解可判断③正确，作，交的延长线于，则，，分别表示出两个三角形的面积，故④错误． 【详解】，点，分别是，的中点， 四边形是正方形， ， 是等边三角形， ， ，， ， ， ， ， ，故①正确； 作，交的延长线于， ，， ， ， ，故②错误； 连接，作于，则，， 设，则，， ， ，， ， ， ， 故③正确； 作，交的延长线于，则，， 设，则， ，故④错误， 故答案为：①③． 【点睛】本题是四边形综合题，主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质，含的直角三角形的性质和等腰三角形的性质，解三角形等知识，作辅助线构造含特殊角的直角三角形是解题的关键． 三、解答题 17．计算： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【详解】（1）解： ； （2）解： ． 18．如图，在中，，平分，是的中点，连接并延长到点，使得．连接，． (1)证明：四边形是矩形； (2)若，，求的长． 【答案】(1)见详解 (2) 【分析】（1）根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形，根据矩形的判定定理即可得到结论； （2）根据矩形的性质以及勾股定理即可得到结论． 【详解】（1）证明：连接 ∵是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 在中，，平分， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∴四边形是矩形， （2）解：∵， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴． 19．为实现核心素养导向的教学目标，走向综合性、实践性的课程教学变革，某中学推进项目式学习，组织八年级数学研学小组进行了“勾股定理在风筝场景中的应用”的项目式学习活动．请阅读资料并解决下列问题． 资料：牵线放风筝的手与风筝的水平距离为12米，根据手中余线长度计算出为15米，牵线放风筝的手到地面的垂直距离为米，且四边形为长方形． (1)求风筝离地面的垂直高度； (2)如果小明想让风筝沿方向再上升7米，长度不变，那么他应该再放出多少米的线？ 【答案】(1)米 (2)5米 【分析】（1）根据长方形的性质可得米，，在中，利用勾股定理求出的长，即可； （2）求出的长，再利用勾股定理求解即可． 【详解】（1）解：∵四边形为长方形，米， ∴米，， 在中，米，米， ∴米， ∴米； （2）解：∵风筝沿方向再上升7米， ∴此时米， ∵长度不变，即米， ∴米， ∴再放出米的线． 20．为了解某校学生每月参加志愿服务的时间（单位：h），随机调查了该校名学生，根据统计的结果，绘制出如下的统计图①和图②． 请根据相关信息，解答下列问题： (1)填空：的值________，图①中的值为________，统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的众数和中位数分别为________和________； (2)求统计的这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数； (3)根据样本数据，若该校有2000名学生，估计该校学生每月参加志愿服务的时间超过3h的人数约为多少？ 【答案】(1)25；24；4；4 (2)3.6 (3)1280名 【分析】（1）人数相加求出总数，利用众数和中位数的定义求解； （2）利用平均数公式求解； （3）利用样本频数估计总体频数． 【详解】（1）解：调查该校学生人数为：（人）； 人数占比为：； ∵该组数据中4出现的次数最多， ∴众数为4； 该组数据为：1，1，2，2，2，3，3，3，3，4，4，4，4，4，4，4，4，4，4，5，5，5，5，5，5， 则中位数为：4； （2）解：这组学生每月参加志愿服务的时间数据的平均数为：（h）， （3）解：每月参加志愿服务的时间超过3h的人数为：（名）． 21．小明和爸爸分别从家和图书馆同时出发，沿同一条路相向而行，小明开始时跑步，中途改为步行，到达图书馆恰好用了45分钟．爸爸骑自行车以300米/分的速度从图书馆直接回家，两人离家的路程y（米）与各自离开出发地的时间x（分钟）之间的函数图象如图所示，根据图象信息解答下列问题： (1)小明跑步速度为______米/分，步行的速度______米/分，点D的坐标为______； (2)求爸爸离家的路程y（米）与x（分）的函数关系式； (3)当两人相距4000米时，直接写出此时x的值． 【答案】(1)200；100； (2) (3)4分钟或分钟 【分析】（1）从图象中得出小明跑步的速度，步行的速度；从图象中得出家与图书馆之间的路程为6000米 ，即可得出点的坐标； （2）利用待定系数法可求解； （3）分三种情况讨论，列出方程可求解． 【详解】（1）解：由图象可得， 小明跑步的速度为：（米／分）， 步行的速度为：（米／分）， 点的横坐标为：， ∴点的坐标为． （2）解：设爸爸离家的路程（米）与（分）的函数关系式为， ∵点在该函数图象上， ， 解得， 即爸爸离家的路程关于的函数表达式是； （3）解：设经过分钟后，两人相距4000 米， 当时，， 解得：， 当时，小明步行：， 则， 解得：（超范围）， 当时，爸爸已到家：，， 即， 解得，符合范围； 答：经过4分钟或25分钟后，两人相距4000米． 22．成都作为国家“无废城市”建设试点，已形成制度、市场、监管、设施四位一体的完整体系，是全国生活垃圾分类成效最好的城市之一．为增强学生的环保意识，学校联合环保部门开展环保知识宣传活动，并抽取部分学生进行环保知识测评，现将测试成绩分为A（优秀），B（良好），C（合格），D（需加强）四个等级，并根据测试结果绘制成如下尚不完整的统计图： 根据统计图信息，解答下列问题： (1)本次共调查了_________名学生，扇形统计图中，B等级所对应的扇形圆心角是_________度； (2)所抽取学生测试成绩的中位数处于哪个等级？ (3)为比较甲、乙两班本次环保知识测试的整体情况，分别从两班随机抽取10名学生的成绩（满分100分），具体成绩如下： 甲班：86，88，88，90，91，91，91，92，93，94 乙班：85，87，88，89，90，91，92，93，94，96 其中，甲班学生成绩的平均数为分，方差为． 试分析哪个班级的环保知识掌握情况更稳定，并简要说明理由． 【答案】(1)60， (2)等级 (3)甲班更稳定， 乙班平均分： 求乙班方差：， 已知， ，方差越小波动越小， ∴甲班的环保知识掌握情况更稳定． 【分析】（1）用C级人数÷对应百分比求总数，再用B占比得圆心角； （2）排序后找中间位次，判断中位数所在组别； （3）算乙班平均数、方差，依据“方差越小稳定性越好”对比． 【详解】（1）解：级24人，占比 ∴总人数：（名） B级18人，圆心角度数： （2）∵总人数：（名） ∴D人数：（名） ∴四类人数依次为：A级：3名，B级：18名，C级：24名，D级：15名， 中位数是第30、31个数的平均数． 前两级累计：，前三级累计， ∴第30、31名都落在等级． 中位数在等级． （3）略 23．请根据素材，解决任务1与任务2． 背景 随着新能源汽车市场的发展，某经销商计划购进两种型号的新能源汽车进行销售． 素材1 已知2辆中型和1辆紧凑型新能源汽车的进价共计64万元；2辆紧凑型比3辆中型的进价少40万元． 素材2 中型售价为27万元/辆，紧凑型售价为20万元/辆．该经销商准备购进两种车型共100辆． 素材3 据市场预测，中型的购进数量应不低于紧凑型购进数量的，且两种车辆的总进价不超过1840万元． 问题解决： (1)任务1：分别求中型和紧凑型新能源汽车的进货单价． (2)任务2：该经销商应如何购进两种型号的汽车，才能使总利润最大？最大利润是多少万元？ 【答案】(1)中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元 (2)购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元 【分析】（1）设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元，根据题意列出二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）设购进紧凑型新能源汽车辆，则购进中型新能源汽车辆，根据题意列出关于的一元一次不等式组并求解，即可确定的取值范围；设总利润为，由题意可得关于的一次函数，结合一次函数的性质，即可获得答案． 【详解】（1）解：设中型新能源汽车的进货单价为万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为万元， 根据题意，可得，解得， 答：中型新能源汽车的进货单价为24万元，紧凑型新能源汽车的进货单价为16万元； （2）设购进紧凑型新能源汽车辆，则购进中型新能源汽车辆， 根据题意，可得， 解得， 设总利润为万元，则， ∵， ∴随的增大而增大， 又∵， ∴当时，总利润最大，最大利润是万元， 答：购进紧凑型新能源汽车75辆，购进中型新能源汽车25辆，才能使总利润最大，最大利润是375万元． 24．如图，平面直角坐标系中，直线交轴于点，交轴于点． (1)求直线的表达式和点的坐标； (2)直线垂直平分交于点，交轴于点，点是直线上一动点，且在点的上方，设点的纵坐标为． ①用含的代数式表示的面积； ②当时，求点的坐标； ③在②的条件下，在平面直角坐标系中是否存在点，使得是以为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)直线AB的函数表达式为：；点的坐标为 (2)①；②点的坐标为；③存在，点的坐标为或 【分析】（1）利用待定系数法即可求解解析式，再求解B的坐标即可； （2）①由的长度结合直线的垂直平分，可求出，的长度，利用一次函数解析式求出点坐标，进而用含的式子表示点坐标，再利用面积公式即可求解； ②由①的结论，再建立方程求解即可； ③当点在点左边，当点在点右边，构造全等即可求解． 【详解】（1）解：将代入直线 得， 解得：， ∴直线AB的函数表达式为：， 当时，， 则点的坐标为：， （2）解：①∵直线垂直平分，, 则, 当时，， ∴点的坐标为：， ∵点的坐标为：， ∴， ； ②当， ∴， 解得：， ∴点的坐标为； ③存在． 当点在点左边，如图，过点作轴，过点作轴，交于点,过点作轴，交于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 当点在点右边，如图，过点作，交直线于点, ∴ ∵是等腰直角三角形， ∴,, ∴, ∴ 在和中， ∴， ∴, ∴， 综上，点的坐标为或． 试卷第6页，共25页 试卷第5页，共25页 学科网（北京）股份有限公司 $