精品解析：2026年甘肃省定西市安定区城区九年级联考考前数学试题

2026年定西市安定区城区联考三模 九年级数学试卷 （满分：120分 时间：100分钟） 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 0 2. 叶绿体约在15亿年前通过在蓝藻内共生进化而来，2024年3月，中国科学家成功解析叶绿体基因转录机器构造，为我国“双碳”目标达成提供新思路．将1500000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 3. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头共价二十四两．问马，牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 8. 随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中不正确的是（ ） A. 共有500名学生参加学生参加模拟测试 B. 从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C. 第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数多 D. 第4月测试成绩“优秀”的学生人数为85 9. 如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 10. 如图，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点．设，两点间的距离为，，图是点运动时随变化的关系图象，则的长度为（ ） A. B. C. D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：________． 12. 分式方程的解是_____________ . 13. 已知点都在直线上，则________．（填“”“”或“”） 14. 对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则的值为________． 15. 如图，中，，，与相切于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留） 16. 如图所示，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是________ 三、解答题：本大题共11小题，共72分． 17. 计算：． 18. 解不等式组: 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 欧几里得在《几何原本》的第一卷中给出了正方形的作法，但圆内接正方形的作法是在第四卷的命题6中给出的，如图，已知，请你根据以下步骤完成圆内接正方形的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①点O为的圆心，点A为上任意一点，过点作的直径； ②作直径的垂直平分线，分别交交于点； ③连接，即得到的内接正方形． （2）若的半径是6，则正方形的面积为________． 21. 现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：A：可回收物；B：厨余垃圾；C：有害垃圾；D：其他垃圾．其中甲拿了1袋垃圾，乙拿了两袋垃圾． （1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率． 22. 金城关作为兰州的门户，也是兰州商业文化、旅游的黄金地段，其中更有大量的独具特色的古建筑群，如图①是金城关中一处半悬空的阁楼，小明计划利用所学知识测量观景点到阁楼的距离．测量方案及测量数据如下表： 名称 测量观景点到阁楼的距离 测量示意图 测量步骤 如图②，首先在点测得阁楼顶部的仰角，再测得底部的俯角，通过查阅资料找到该阁楼的高度，，且图中点，，，都在同一平面内 测量数据 ，，米 参考数据 ，，， 请你根据上表中的测量数据．帮助小明计算出观景点到阁楼的距离．（结果精确到米） 23. 为提高中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数在九年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取九年级40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析，其部分信息如下（数据分5组：第1组：，第2组：，第3组：，第4组：，第5组：）； a．甲校学生成绩频数分布直方图如下左图． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表： 学校 平均数 中位数 甲 75.8 m 乙 76.3 77.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲校学生成绩在这一组的人数所占百分比为________，________ （2）甲校九年级学生有400人，假设全部参加此次竞赛，请估计甲校九年级成绩不低于80分的人数； （3）通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并为另一所学校提出一条合理的教学建议． 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点， （1）求此反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在直线上，连接，，求的面积． 25. 如图，已知为的弦，交于点P，交过点B的直线于点C，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 26. [模型建立] 如图1，在正方形中，点分别在边，上，且，连接． [模型应用] （1）如图2，将绕点A逆时针旋转，得到，求证：． [模型迁移] （2）如图3，连接交于点M，交于点N，直接写出的数量关系． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是抛物线与轴的交点，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在一点，使是以点为直角顶点的直角三角形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3），分别是线段，上的动点，连接，，当时，求的最小值 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年定西市安定区城区联考三模 九年级数学试卷 （满分：120分 时间：100分钟） 一、单选题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 2026的相反数是（ ） A. B. C. 2026 D. 0 【答案】B 【解析】 【详解】解： 的相反数是 ． 2. 叶绿体约在15亿年前通过在蓝藻内共生进化而来，2024年3月，中国科学家成功解析叶绿体基因转录机器构造，为我国“双碳”目标达成提供新思路．将1500000000用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】科学记数法的表示形式为，要求，为整数，等于原数的整数位数减． 【详解】解：对于原数， ∵，可得， ∵原数共位整数， ∴， ∴． 3. 如图，已知直线与直线都相交．若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了利用平行线的性质求角度，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 根据“两直线平行，内错角相等”即可求解． 【详解】解：∵， ∴， 故选：D． 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：对于选项A，与不是同类项，不能合并，∴A错误； 对于选项B，根据幂的乘方法则，底数不变，指数相乘，可得，∴B错误； 对于选项C，合并同类项时，系数相加减，字母与字母的指数不变，可得，∴C正确； 对于选项D，根据同底数幂相乘法则，底数不变，指数相加，可得，∴D错误． 5. 已知关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值为（ ） A. B. 2 C. 4 D. 【答案】D 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式，据此列方程即可求解． 【详解】解：∵ 关于的一元二次方程有两个相等的实数根， ∴ ， 整理得， 解得． 6. 如图，为的直径，点是上位于异侧的两点，连接．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，连接，由为的直径可得，进而由得，再根据圆周角定理即可求解，掌握圆周角定理是解题的关键． 【详解】解：连接， ∵为的直径， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 7. 中国清代算书《御制数理精蕴》中有这样一题：“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头共价二十四两．问马，牛各价几何？”设马每匹x两，牛每头y两，根据题意可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设马每匹两，牛每头两，根据“马六匹、牛五头，共价四十四两；马二匹、牛三头，共价二十四两”列出方程组，即可求解． 【详解】解：设马每匹两，牛每头两，根据题意得： ． 故选：D． 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 8. 随着初中学业水平考试的临近，某校连续四个月开展了学科知识模拟测试，并将测试成绩整理绘制了如图所示的统计图（四次参加模拟测试的学生人数不变），下列四个结论中不正确的是（ ） A. 共有500名学生参加学生参加模拟测试 B. 从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐渐增长 C. 第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数多 D. 第4月测试成绩“优秀”的学生人数为85 【答案】C 【解析】 【分析】读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键．根据条形统计图和折线统计图分别判断即可． 【详解】解：A、测试的学生人数为：（名），故本结论正确； B、由折线统计图可知，从第1月到第4月，测试成绩“优秀”的学生人数在总人数中的占比逐周增长，故本结论正确； C、由折线统计图可知，第3月增长的“优秀”人数为：， 第2月增长的“优秀”人数为：， 故第3月增长的“优秀”人数比第2月增长的“优秀”人数少，故本结论错误； D、第4月测试成绩“优秀”的学生人数为：（人），故本结论正确． 9. 如图，在体育测试中，小亮同学掷实心球时，实心球沿抛物线运行，其中是实心球离初始位置的水平距离，是实心球离地面的高度．若实心球抛出时离地面的高度为，则实心球掷出的水平距离为（ ） A. 5 B. 6 C. 7 D. 8 【答案】D 【解析】 【分析】利用待定系数法求出二次函数的解析式，求出当时对应的的值，即可得到实心球掷出的水平距离． 【详解】解：为， 点的坐标为， 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为， 当时，可得：， 解得：，（舍去）， 所以实心球掷出的水平距离为米． 10. 如图，矩形中，点为的中点，点沿从点运动到点．设，两点间的距离为，，图是点运动时随变化的关系图象，则的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象可知，，利用勾股定理可得方程，解方程求出的值，再根据点是的中点求出结果． 【详解】解：由图象可知，当时，即点位于点的位置时， 可得：， ， 当点位于点的位置时，， ， ， ， 整理得：， 或（负值，舍去）， 点为的中点， ． 二、填空题：本大题共6小题，每小题3分，共18分． 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【详解】解： 12. 分式方程的解是_____________ . 【答案】x=2 【解析】 【详解】解：两边同乘x（x+3），得2（x+3）=5x， 解得x=2， 经检验x=2是原方程的根； 故答案为：x=2． 【点睛】考点：解分式方程． 13. 已知点都在直线上，则________．（填“”“”或“”） 【答案】 【解析】 【分析】先根据直线解析式判断函数的增减性，再比较两点横坐标的大小，即可得到对应纵坐标的大小关系． 【详解】解：对于直线，一次项系数，根据一次函数的性质，当时，随的增大而增大， 已知两点横坐标分别为和， ， ． 14. 对于任意实数，，定义一种运算：，例如．请根据上述定义解决问题：若，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据新定义的运算规则列出关于的一元一次方程，解方程即可得到结果． 【详解】解：由，可得：， 整理得：， 移项合并同类项得：， 系数化为得：． 15. 如图，中，，，与相切于点，则图中阴影部分的面积为________（结果保留） 【答案】 【解析】 【分析】根据等边对等角可知，根据三角形内角和定理可知，根据切线的性质可知，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理可以求出，根据等腰三角形的三线合一定理可得，根据即可求出结果． 【详解】解：，， ， ， 与相切于点， ， ，， ， ， ， ． 16. 如图所示，将矩形纸片沿对角线对折，使得点落在点处，交于点，若平分，，则的长是________ 【答案】 【解析】 【分析】根据折叠的性质和角平分线的性质可知，根据矩形的性质可知，根据平行线的性质可证，根据等角对等边可得，根据含角的直角三角形的性质可得，利用勾股定理即可求出的长度． 【详解】解：由折叠可知， 平分， ， ， 四边形是矩形， ，， ， ， ， ， ， ． 三、解答题：本大题共11小题，共72分． 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【详解】解： 18. 解不等式组: 【答案】 【解析】 【分析】先分别解两个不等式，求出它们的解集，再求两个不等式解集的公共部分，不等式组解集的确定方法是：同大取大，同小取小，大小小大取中间，大大小小无解． 【详解】解： 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 则不等式组的解集为． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】根据分式的运算法则把分式化简，再把代入化简后的代数式求值． 【详解】解： ， 当时， 原式． 20. 欧几里得在《几何原本》的第一卷中给出了正方形的作法，但圆内接正方形的作法是在第四卷的命题6中给出的，如图，已知，请你根据以下步骤完成圆内接正方形的作图过程． （1）尺规作图（保留作图痕迹，不写作法）： ①点O为的圆心，点A为上任意一点，过点作的直径； ②作直径的垂直平分线，分别交交于点； ③连接，即得到的内接正方形． （2）若的半径是6，则正方形的面积为________． 【答案】（1）如图，正方形即为所求； （2）72 【解析】 【分析】（1）根据作线段的垂直平分线的方法作图即可； （2）根据正方形的面积等于对角线乘积的一半求解即可． 【小问1详解】 解：作图见答案， ∵是直径，点O为的圆心，垂直平分， ∴经过点O，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵垂直平分， ∴ ∴四边形是正方形； 【小问2详解】 解：的半径是6， ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴． 21. 现如今，“垃圾分类”意识已深入人心，垃圾一般可分为：A：可回收物；B：厨余垃圾；C：有害垃圾；D：其他垃圾．其中甲拿了1袋垃圾，乙拿了两袋垃圾． （1）直接写出甲所拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率； （2）请用画树状图或列表的方法，求乙所拿的两袋垃圾不同类的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）利用列表法或树状图法得出所有结果，然后求解即可． 【小问1详解】 解：甲拿的垃圾恰好是“厨余垃圾”的概率为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由树状图知，乙拿的垃圾共有16种等可能结果，其中乙拿的两袋垃圾不同类的有12种结果， 所以乙拿的两袋垃圾不同类的概率为． 22. 金城关作为兰州的门户，也是兰州商业文化、旅游的黄金地段，其中更有大量的独具特色的古建筑群，如图①是金城关中一处半悬空的阁楼，小明计划利用所学知识测量观景点到阁楼的距离．测量方案及测量数据如下表： 名称 测量观景点到阁楼的距离 测量示意图 测量步骤 如图②，首先在点测得阁楼顶部的仰角，再测得底部的俯角，通过查阅资料找到该阁楼的高度，，且图中点，，，都在同一平面内 测量数据 ，，米 参考数据 ，，， 请你根据上表中的测量数据．帮助小明计算出观景点到阁楼的距离．（结果精确到米） 【答案】米 【解析】 【分析】设，把、用含的代数式表示出来，根据可得方程，解方程求出的值即为观景点到阁楼的距离． 【详解】解：设， 则有，， ， ， 整理得：， 合并同类项得：， 系数化为得：， 答：观景点到阁楼的距离大约为米. 23. 为提高中学生的思维创新能力，市教育局举办了思维创新竞赛，竞赛设定满分100分，学生得分均为整数在九年级初赛中，甲、乙两校各随机抽取九年级40名学生，并对其成绩x（单位：分）进行整理、描述和分析，其部分信息如下（数据分5组：第1组：，第2组：，第3组：，第4组：，第5组：）； a．甲校学生成绩频数分布直方图如下左图． b．甲校学生成绩在这一组的成绩是（单位：分）：． c．甲、乙两校抽取学生成绩的平均数、中位数（单位：分）如下表： 学校 平均数 中位数 甲 75.8 m 乙 76.3 77.5 根据以上信息，回答下列问题： （1）甲校学生成绩在这一组的人数所占百分比为________，________ （2）甲校九年级学生有400人，假设全部参加此次竞赛，请估计甲校九年级成绩不低于80分的人数； （3）通过以上数据分析，你认为哪个学校学生的“思维创新能力”更强？请说明理由，并为另一所学校提出一条合理的教学建议． 【答案】（1）， （2）人 （3）乙校更强：乙平均数、中位数更高；建议甲校：培优补差，加强尖子生拓展训练． 【解析】 【分析】（1）根据甲校学生成绩频数分布直方图可知：甲校学生成绩在这一组的有人，甲校总共抽取了人，求出这人占总人数的百分比，即为甲校学生成绩在这一组的人数所占百分比；把名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，第名和第名学生的平均成绩即为甲校的中位数，由信息可知第名和第名学生的成绩分别是75和77，即可求解； （2）根据利用样本求总体求解即可； （3）根据甲、乙两校的平均数和中位数做出决策即可． 【小问1详解】 解：由甲校学生成绩频数分布直方图可知：甲校学生成绩在这一组的有人， 甲校学生成绩在这一组的人数所占百分比为， 抽取的学生总人数为名， 把名学生的成绩按照从小到大的顺序排列，第名和第名学生的平均成绩即为甲校的中位数， ，， 第名和第名学生都在第组， 由信息可知，将这一组的成绩按从小到大排序为：，第名和第名学生的成绩分别是和77， 中位数是； 【小问2详解】 解：不低于80：人； 【小问3详解】 略 24. 如图，在平面直角坐标系中，反比例函数的图象与一次函数的图象相交于点， （1）求此反比例函数和一次函数的表达式； （2）点在直线上，连接，，求的面积． 【答案】（1）， （2） 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求出反比例函数的解析式，根据反比例函数的解析式求出点的坐标，再用待定系数法求出一次函数的解析式； （2）求出直线与轴的交点坐标是，把点的坐标代入一次函数求出，利用即可求出结果． 【小问1详解】 解：把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 反比例函数的解析式为； 把点的坐标代入， 可得：， 解得：， 点的坐标为， 把点、的坐标代入一次函数的解析式， 可得：， 解得：， 一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得， 解得：， 直线与轴的交点坐标是， ， 点在直线上， ， 点的坐标为， ． 25. 如图，已知为的弦，交于点P，交过点B的直线于点C，且． （1）试判断直线与的位置关系，并说明理由； （2）若，求的长． 【答案】（1）直线与的位置关系是相切， 证明：连接，如图所示： ， ，， ， ， ，即， ， ， 为半径，经过点O， 直线与的位置关系是相切． （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据等腰三角形的性质得出，，从而求出，再根据切线的判定得出结论； （2）分别作交于点M，交于N，根据求出的长，利用垂径定理求出的长，进而求出的长，然后在等腰三角形中求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 分别作交于点M，交于点N，如图所示： ， ， ，，， ， ，， ， ， ， ， ． 26. [模型建立] 如图1，在正方形中，点分别在边，上，且，连接． [模型应用] （1）如图2，将绕点A逆时针旋转，得到，求证：． [模型迁移] （2）如图3，连接交于点M，交于点N，直接写出的数量关系． 【答案】（1）∵旋转， ∴，，， ∵四边形为正方形， ∴， 又∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】（1）根据旋转的性质，证明，从而得到结论； （2）类比（1），将绕点A逆时针旋转，得到，连接，得到和，根据勾股定理得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：将绕点A逆时针旋转，得到，连接， ∵旋转， ∴，，，， ∵四边形为正方形， ∴， ∴在中，， ∴， 即， ∵， ， ∴， ∵， ∴， 即， ∴， 又∵，， ∴， ∴； ∵， ∴在中，根据勾股定理得，， 又∵，， ∴． 27. 如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，，点是抛物线与轴的交点，连接，． （1）求抛物线的表达式； （2）抛物线上是否存在一点，使是以点为直角顶点的直角三角形若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由． （3），分别是线段，上的动点，连接，，当时，求的最小值 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求出二次函数的解析式即可； （2）根据点、的坐标可知是等腰直角三角形，，过点作，可知是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质求出点的坐标，利用待定系数法求出直线的解析式，把直线的解析式和抛物线的解析式联立得到方程组，解方程组即可求出点的坐标； （3）过点作轴，使，连接，过点作轴，可知四边形是矩形，根据可证，根据全等三角形的性质可知，根据两点之间线段最短，可知，根据矩形的性质可得点的坐标，利用平面直角坐标系中两点之间的距离公式求出的长度即为的最小值． 【小问1详解】 解：抛物线过， 可得：， 解得：， 抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，可得：， 点的坐标为， ， 点的坐标为， ， 是等腰直角三角形，， 过点作， 则， ， 点的坐标为， 设直线的解析式为， 可得：， 解得：， 直线的解析式为， 解方程组：， 可得：（与点重合，舍去），， ； 【小问3详解】 解：如下图所示，过点作轴，使，连接，过点作轴， 四边形是矩形， ， 在和中，， ， ， ， 根据两点之间线段最短，可得：， 点，，， ，，， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $