精品解析：2025年甘肃省定西市安定区城区联考三模数学试题

定西市安定区城区联考 九年级数学试卷 （满分120分，答题时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 3. 已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　） A. 100° B. 80° C. 40° D. 10° 4. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，点A，B，C均在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10. 如图，正方形的边长为4，点从点出发，沿正方形的边，，移动，运动路线为．设点经过的路程为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： ________． 12. 象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞·招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对弈图（部分），若棋子“帅”表示点，棋子“仕”表示点，则棋子“马”所在点的坐标是_______． 13. 现定义某种运算，对给定的两个有理数，有，则的值为______． 14. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 15. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 16. 鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是弧上两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是__________． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 18. 解方程：． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. 《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”，与现在人们所说的“北线”基本吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1，春分时，太阳光直射赤道，此时在地直立一根木杆，在太阳光照射下，木杆会在地面上形成影子，通过测量木杆与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与木杆所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．如图2是在地测算太阳光与木杆所成夹角的示意图，在图中作出影子；（按如下步骤作图，保留作图痕迹）． （1）延长至点，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （3）连接并延长，与直线交于点，则线段可以看成是木杆在地面上形成的影子． 21. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 某市于2023年4月15日起禁止超标电动自行车上路行驶，广大民众根据新规开始置换超标电动自行车，使得新国标电动自行车销量暴增，某电动自行车加工厂为了检查甲，乙两个车间所生产的同一种零件的合格情况，在两个车间内随机抽取了10个零件样品进行检测，操作流程如下： ①收集数据（单位：mm）： 甲车间：178，185，176，177，189，179，181，173，183，189． 乙车间：185，175，178，180，178，185，179，184，178，188． ②整理数据： 车间范围 170.5～175.5 175.5～180.5 180.5～185.5 185.5～190.5 甲车间 1 4 3 2 乙车间 1 5 3 1 ③分析数据： 车间数据 平均数 众数 中位数 方差 甲车间 181 189 m 26.6 乙车间 181 n 179.5 15.8 ④应用数据（测量结果175.5mm～185.5mm范围内的产品为合格）： （1）填空m＝ ，n＝ ； （2）估计甲车间生产的1000个该种零件中合格产品有多少个？ （3）结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的零件更好，并说明理由． 24. 如图，直线与反比例函数相交于两点，与轴相交于点． （1）分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； （2）连接，求的面积． （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 25. 如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 （1）求证：是的切线； （2）若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 26. 【模型建立】 （1）如图1，在中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，是上一点，，求点到的距离； 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，为正方形内一点，连接，求面积； 27. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，求面积； （3）如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 定西市安定区城区联考 九年级数学试卷 （满分120分，答题时间100分钟） 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确答案） 1. 4的算术平方根是（ ） A. -2 B. 2 C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】4的算术平方根是2． 故选B． 【点睛】本题考查求一个数的算术平方根．掌握算术平方根的定义是解题关键． 2. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用比例的性质即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴===， 故选B． 【点睛】本题考查了比例线段：熟练掌握比例的性质是解决此题的关键． 3. 已知∠A＝80°，则∠A的补角是（　　） A. 100° B. 80° C. 40° D. 10° 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用互补两角的关系进而得出答案． 【详解】解：∵∠A＝80°， ∴∠A补角为：180°﹣80°＝100°． 故选A． 【点睛】主要考查了互补两角的关系，正确把握定义是解题关键． 4. 下列计算结果为的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，利用合并同类项法则，单项式除以单项式法则，积的乘方法则，单项式乘以单项式法则逐项判定即可． 【详解】解：A．与不是同类项，不可以合并，故不符题意； B．，故不符合题意； C． ，故不符合题意； D．，符合题意； 故选：D． 5. 如图，点A，B，C均在上，若，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理，根据圆周角定理求解即可． 【详解】∵， ∴． 故选：C． 6. 如图，，补充下列条件之一，不一定能判定和相似的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定定理，根据相似三角形的判定定理逐项分析即可得解，熟练掌握相似三角形的判定定理是解此题的关键． 【详解】解：A、∵，，∴，故不符合题意； B、∵，∴，即，结合可推出，故不符合题意； C、∵，，∴，故不符合题意； D、，不能推出，故符合题意； 故选：D． 7. 如图，将绕点逆时针旋转得到，若于点，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质，垂直的定义，三角形的内角和定理，掌握相关知识是解题的关键．由旋转可得：，由垂直可得，最后根据三角形的内角和定理即可求解． 【详解】解：由旋转可得：， 于点， ， ， 故选：C． 8. 某特产食品销售店今年1—4月的销售总额如图1，其中甘肃奶油杏肉的销售额占当月食品销售总额的百分比如图2．根据图中信息作如下推断，其中不合理的是（ ） A. 这4个月，食品销售总额为290万元 B. 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升 C. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最低的是2月份 D. 这4个月中，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查条形统计图、折线统计图，利用数形结合的思想解答是解答本题的关键．根据统计图中的数据，可以判断各个选项中的说法是否合理，从而可以解答本题． 【详解】解：由题意可得， 从1月到4月，食品销售总额为：（万元）， 故选项A不符合题意； 甘肃奶油杏肉4月份的销售额为：（万元）， 3月份的销售额为：（万元）， 甘肃奶油杏肉4月份的销售额比3月份有所上升，故选项B不符合题意； 这4个月中，甘肃奶油杏肉：1月份是（万元）， 2月份是（万元）， 3月份是万元， 4月份是万元， 故这4个月中，甘肃奶油杏肉售额最低的是3月，甘肃奶油杏肉的销售额最高是19.55万元，故选项C符合题意；故选项D不符合题意； 故选：C． 9. 古代数学趣题：老头提篮去赶集，一共花去七十七；满满装了一菜篮，十斤大肉三斤鱼；买好未曾问单价，只因回家心里急：道旁行人告诉他，九斤肉钱五斤鱼，意思是：元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱，问每斤肉和鱼各是多少钱？设每斤肉元，每斤鱼元，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，根据“元钱共买了斤肉和斤鱼，斤肉的钱等于斤鱼的钱”列方程即可． 【详解】解：由题意可得： 故选： A． 10. 如图，正方形的边长为4，点从点出发，沿正方形的边，，移动，运动路线为．设点经过的路程为，的面积为，则下列图象能大致反映与的函数关系的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，正方形的性质，分三段分别分析即可得出答案，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：由题意可得：当点由点向点运动时，随着的增大而增大；当点在上运动时，，此时保持不变，为；当点在上运动时，随着的增大而减小，最小值为；能大致反映与的函数关系的图象是 故选：B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 11. 因式分解： ________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了平方差公式分解因式；原式变形为两数的平方差的形式，再用平方差公式即可求解． 【详解】解：； 故答案为：． 12. 象棋在中国有着悠久的历史，在春秋战国时代的文化名著《楚辞·招魂》中就有“蔽象棋，有六博兮”的词句，说明在当时已经有了“象棋”这个名词．如图，这是象棋的对弈图（部分），若棋子“帅”表示点，棋子“仕”表示点，则棋子“马”所在点的坐标是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查用坐标表示位置，先根据已知点的坐标，确定原点的位置，建立直角坐标系，进而得到棋子“马”所在点的坐标即可． 【详解】解：由题意，建立如图所示坐标系： ∴棋子“马”所在点的坐标是． 故答案为：． 13. 现定义某种运算，对给定的两个有理数，有，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查有理数的混合运算，解答本题的关键是明确有理数混合运算的计算方法．根据，可以求得所求式子的值． 【详解】解：∵， ∴， ， ， ， 故答案为：2． 14. 已知关于x的一元二次方程有一个根为，则______． 【答案】 【解析】 分析】将代入方程，结合，进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，得： ， 解得：， 又∵是一元二次方程， ∴，， ∴； 故答案为：． 【点睛】本题考查一元二次方程的解，解一元二次方程．熟练掌握，方程的解是使等式成立的未知数的值，是解题的关键．注意，一元二次方程的二次项系数不为0． 15. 如图1为一汽车停车棚，其棚顶的横截面可以看作是抛物线的一部分，如图2是棚顶的竖直高度y（单位：）与距离停车棚支柱的水平距离x（单位：）近似满足函数关系的图象，点在图象上．若一辆箱式货车需在停车棚下避雨，货车截面看作长，高的矩形，则可判定货车________完全停到车棚内（填“能”或“不能”）． 【答案】能 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的实际应用，根据题意求出当时，y的值，若此时y的值大于，则货车能完全停到车棚内，反之，不能，据此求解即可． 【详解】解：∵，， ∴， 在中，当时，， ∵， ∴可判定货车能完全停到车棚内， 故答案为：能． 16. 鸳鸯玉是指产于甘肃武山县鸳鸯镇一带的超基性岩石，又名蛇纹石玉，因其结构细密，质地细腻坚韧，抗压、抗折、抗风化性好，可琢性强，光泽晶莹，而成为玉雕工艺品、高档农具的配套镶嵌和高级饰面之理想材料．如图，是一个半径为的半圆形的鸳鸯玉石，是半圆的直径，是弧上两点，，张师傅在这块玉石上切割了一块扇形玉石（阴影部分）做吊坠，则这块扇形玉石的周长是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了圆内接四边形的性质，圆周角定理，求弧长，利用圆内接四边形的性质可得，进而由圆周角定理可得，利用弧长公式计算即可求解，掌握圆内接四边形的性质和弧长公式是解题的关键． 【详解】解：连接，如图所示： 由圆内接四边形的性质可得，， ∴， ∴， ∴这块扇形玉石的周长， 故答案为：． 三、解答题（本大题共6小题，共32分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 计算： 【答案】 【解析】 【分析】本题考查实数的运算，熟练掌握开平方的运算是解题的关键，利用开平方的运算化简，再进行根据实数的运算法则计算即可得到答案． 【详解】解： ． 18. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解分式方程，将分式方程化为整式方程求解是解题的关键．先去分母，再去括号，合并同类项，系数化为1，再将方程的解代入最简单公分母检验求解即可． 【详解】解：去分母，得， 去括号，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 检验：将代入最简单公分母，得， 原方程的解是． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【分析】此题考查整式的混合运算及化简求值，先根据完全平方公式及单项式乘以多项式法则化简，再代入字母的值即可，熟练掌握运算法则是解题的关键． 【详解】解：， ∵, ∴原式． 20. 《元史·天文志》中记载了元朝著名天文学家郭守敬主持的一次大规模观测，称为“四海测验”．这次观测主要使用了“立杆测影”的方法，在二十七个观测点测量出的各地的“北极出地”，与现在人们所说的“北线”基本吻合，利用类似的原理，我们也可以测量出所在地的纬度．如图1，春分时，太阳光直射赤道，此时在地直立一根木杆，在太阳光照射下，木杆会在地面上形成影子，通过测量木杆与它的影子的长度，可以计算出太阳光与杆子所成的夹角；由于同一时刻的太阳光线可以近似看成是平行的，所以根据太阳光与木杆所成的夹角可以推算得到地的纬度，即的大小．如图2是在地测算太阳光与木杆所成夹角的示意图，在图中作出影子；（按如下步骤作图，保留作图痕迹）． （1）延长至点，以点为圆心，任意长为半径作弧，分别交于点； （2）分别以点为圆心，大于的长为半径作弧，两弧相交于点； （3）连接并延长，与直线交于点，则线段可以看成是木杆在地面上形成的影子． 【答案】（1）如图所示 （2）如图所示 （3）如图所示 【解析】 【分析】本题考查的是依据尺规作图步骤，理解如何作出木杆影子，通过一系列作图步骤构造出与影子形成相关的几何关系，把实际“立竿测影”的情境转化为几何作图问题，利用圆规和直尺的基本作图方法来实现影子的绘制． 本题就是用尺规作图的方法，通过定长、构造交点等操作，作出符合“立竿测影”原理的影子线段，把实际测量情境转化为几何作图流程，考查对尺规基本作图和实际应用几何转化的理解． 【小问1详解】 延长至点，以为圆心，任意长为半径作弧交、于、（在、上且到距离相等 ），如图所示： 【小问2详解】 分别以点、为圆心，大于长为半径画弧，根据“线段垂直平分线”原理，两弧交点，如图所示： 【小问3详解】 连接并延长，与直线交于点，则线段可看成是木杆在地面上形成的影子，如图所示： 21. 2022年4月15日是第七个全民国家安全教育日，某校七、八年级举行了一次国家安全知识竞赛，经过评比后，七年级的两名学生（用，表示）和八年级的两名学生（用，表示）获得优秀奖． （1）从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是_________． （2）从获得优秀奖的学生中随机抽取两名分享经验，请用列表法或画树状图法，求抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率． 【答案】（1）； （2）作图见解析，． 【解析】 【分析】（1）直接根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解即可． 【小问1详解】 从获得优秀奖的学生中随机抽取一名分享经验，恰好抽到七年级学生的概率是， 故答案为：； 【小问2详解】 树状图如下： 由表知，共有12种等可能结果，其中抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的有8种结果， 所以抽取的两名学生恰好一名来自七年级、一名来自八年级的概率为． 【点睛】本题考查了列表法与树状图法：利用列表法或树状图法展示所有可能的结果求出n，再从中选出符合事件A或B的结果数目m，然后根据概率公式计算事件A或事件B的概率． 22. 在综合实践课上，数学兴趣小组用所学的数学知识来解决实际问题．实践报告如表： 活动课题 测量两幢楼楼顶之间距离 活动工具 测角仪、皮尺等 测量过程 【步骤一】如图，在楼和楼之间竖直放置测角仪，其中测角仪的底端与两楼的底部，在同一条水平直线上，图中所有点均在同一平面内； 【步骤二】利用测角仪测出楼顶的仰角为，楼顶的仰角为； 【步骤三】利用皮尺测出米，米． 解决问题 根据以上数据计算两幢楼楼顶，之间的距离． 参考数据 根据以上信息计算两幢楼楼顶，之间的距离．（结果精确到） 【答案】两幢楼楼顶，之间的距离约为米 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用，勾股定理，矩形的判定与性质，过作，交于点，交于点，过作于点，根据题意得四边形是矩形，由测量步骤可得：四边形是矩形，则米，米，米，在中，，，则米，从而求出米，最后由勾股定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：如图，过作，交于点，交于点，过作于点， ∴，， ∴四边形矩形， 由测量步骤可得：四边形是矩形， ∵米，米， ∴米，米， ∴米， ∴米， ∵， ∴， ∴米， 在中，，， ∴（米）， ∴（米）， 在中，由勾股定理得：（米）， 答：两幢楼楼顶，之间的距离约为米． 四、解答题（本大题共5小题，共40分．解答时，应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 23. 某市于2023年4月15日起禁止超标电动自行车上路行驶，广大民众根据新规开始置换超标电动自行车，使得新国标电动自行车销量暴增，某电动自行车加工厂为了检查甲，乙两个车间所生产的同一种零件的合格情况，在两个车间内随机抽取了10个零件样品进行检测，操作流程如下： ①收集数据（单位：mm）： 甲车间：178，185，176，177，189，179，181，173，183，189． 乙车间：185，175，178，180，178，185，179，184，178，188． ②整理数据： 车间范围 170.5～175.5 175.5～180.5 180.5～185.5 185.5～190.5 甲车间 1 4 3 2 乙车间 1 5 3 1 ③分析数据： 车间数据 平均数 众数 中位数 方差 甲车间 181 189 m 26.6 乙车间 181 n 179.5 15.8 ④应用数据（测量结果175.5mm～185.5mm范围内的产品为合格）： （1）填空m＝ ，n＝ ； （2）估计甲车间生产的1000个该种零件中合格产品有多少个？ （3）结合上述数据信息，请判断哪个车间生产的零件更好，并说明理由． 【答案】（1）180，178 （2）估计甲车间生产1000个该种零件中合格产品有700个 （3）乙车间生产的新产品好，理由见解析 【解析】 【分析】（1）根据中位数和众数的定义求出和的值即可． （2）利用样本估计总体的思想解决问题即可． （3）从合格率，方差判断即可． 【小问1详解】 解：甲车间按由小到大的顺序排序：173，176，177，178，179，181，183，185，189，189， 最中间的两个数据为179和181， 中位数， 乙车间：185，175，178，180，178，185，179，184，178，188， 出现次数最多的数据是178， 众数． 故答案为：180，178； 【小问2详解】 解：（个）， 答：估计甲车间生产的1000个该种零件中合格产品有700个； 【小问3详解】 解：从合格率看：甲的合格率：， 乙的合格率：， 则乙车间生产的新产品好． 从方差看，乙的方差小，乙车间生产的新产品好． 综上所述，乙车间生产的新产品好． 【点睛】本题考查了方差，中位数，众数，样本估计总体等知识，解题的关键是正确理解各概念的含义． 24. 如图，直线与反比例函数相交于两点，与轴相交于点． （1）分别求直线和反比例函数对应的函数表达式； （2）连接，求的面积． （3）直接写出当时，关于的不等式的解集． 【答案】（1）直线的解析式为，反比例函数的解析式为 （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查反比例函数与一次函数综合运用； （1）先将代入求出一次函数解析式，再将代入求出反比例函数解析式； （2）先联立求出点的坐标为，再利用割补法求面积即可； （3）观察函数图象，取一次函数在反比例函数图象上方时的取值范围即可． 【小问1详解】 解：将代入，得 解得， ∴直线的解析式为． 将代入，得， ∴反比例函数的解析式为． 【小问2详解】 解：∵直线与轴交于点， ∴点的坐标为． ∵直线与反比例函数相交于两点， ∴ ∴或 ∴点的坐标为， ∴的面积． 【小问3详解】 解：观察图象．∵， ∴当时，关于的不等式的解集是． 25. 如图，是的直径，点在上，点为延长线上一点，过点作交的延长线于点，且 （1）求证：是的切线； （2）若线段与的交点是的中点，的半径为，求阴影部分的面积． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，根据圆周角定理得到，根据平行线的性质和等腰三角形的性质得到，根据切线的判定定理即可得到结论； （2）连接，根据直角三角形的性质得到，推出是等边三角形，得到，根据扇形和三角形的面积公式即可得到结论． 【小问1详解】 证明：连接， ∵是的直径， ∴，即， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； 【小问2详解】 解：连接， ∵，是的中点， ∴， ∵的半径为，， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， ∴， ∴，， ∴阴影部分的面积为： ， ∴阴影部分的面积为． 【点睛】本题考查切线的判定，直径所对的圆周角是直角，等边三角形的判定和性质，直角三角形的性质，扇形的面积的计算等知识点．正确地作出辅助线是解题的关键． 26. 模型建立】 （1）如图1，在中，，直线经过点，过点作于点，过点作于点，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； 【模型应用】 （2）如图2，在中，是上一点，，求点到的距离； 【模型迁移】 （3）如图3，在正方形中，为正方形内一点，连接，求的面积； 【答案】（1），理由见解析（2）（3）8 【解析】 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，熟练掌握一线三垂直的全等模型是解题的关键： （1）证明，即可得出结论； （2）过点作于点，过点作，交的延长线于点，证明，即可得出结果； （3）过点作，交的延长线于点，证明，得到，再利用面积公式进行计算即可． 【详解】解：（1）．理由如下： ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴． ∵， ∴． （2）如图1，过点作于点，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴． 在和中，， ∴， ∴， 即点到的距离为． （3）如图2，过点作，交的延长线于点， ∵， ∴． ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∴． 在和中，， ∴， ∴， ∴的面积为． 27. 如图1，抛物线与轴交于两点，与轴交于，直线经过点，且与轴交于点，与抛物线交于点． （1）求抛物线的表达式； （2）连接，求的面积； （3）如图2，直线与抛物线对称轴交于点，在轴上有两点（在的右侧），且，若将线段在轴上平移，当它移动到某一位置时，四边形的周长最小，求出此时周长的最小值． 【答案】（1） （2）15 （3） 【解析】 【分析】本题属于二次函数综合题，考查了二次函数的性质，待定系数法，轴对称最短问题等知识，解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会利用轴对称解决最短问题． （1）用待定系数法可得抛物线的解析式； （2）求出点E坐标，再求出，进而可得出答案； （3）由E，F为定点，可得当的和最小时，四边形的周长最小，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则，而三点共线，故此时的值最小，可得，，，，从而求出，，即知四边形周长的最小值为2． 【小问1详解】 解：把代入， 得，解得， ∴抛物线的表达式为． 【小问2详解】 ∵直线经过点， ∴直线的表达式为． 由， 解得或， ∴． ∵直线交轴于点，在中，令，则， ∴． ∴． 【小问3详解】 ∵为定点， ∴线段的长为定值， ∴当的和最小时，四边形的周长最小． 如解图，将点向右平移2个单位长度得到点，作点关于轴的对称点，连接与轴交于点，过点作交轴于点，则， ∵三点共线， ∴， 此时的值最小． ∵， ∴抛物线的对称轴为直线． ∵，， ∴直线的表达式为． ∵点为直线与的交点， ∴， ∴． ∵， ∴， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵． ∴四边形周长的最小值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$