精品解析：甘肃白银市第十一中学2025-2026学年度第二学期九年级考前模拟数学试卷

2025-2026学年度第二学期三模试题 年级：九年级 科目：数学 （考生注意：本卷满分150分，考试时间为120分钟） 温馨提示：亲爱的同学，请你沉着冷静，充满自信，认真审题，仔细答卷，祝你考出好成绩 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：的相反数是． 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. 兰州地铁 B. 甘肃高速 C. 甘肃银行 D. 甘肃地矿 【答案】C 【解析】 【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解． 【详解】解：A.该图案不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； B.该图案不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故本选项不符合题意； C.该图案符合中心对称图形的定义，是中心对称图形，故本选项符合题意； D.该图案不符合中心对称图形的定义，不是中心对称图形，故本选项不符合题意． 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据科学记数法的方法进行解题即可．本题主要考查了用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，为正整数，确定a与n的值是解题的关键． 【详解】解：依题意，6710亿， 故选：B 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了整式的运算，包括幂的乘方、合并同类项、积的乘方和平方差公式．根据同底数幂乘法、合并同类项，单项式的乘法运算，积的乘方，平方差公式逐一计算各选项的正确性即可． 【详解】A．，故选项A计算错误，不合题意； B．与是不同类项，无法合并为，故选项B计算错误，不合题意； C．，选项运算正确，符合题意； D．，故选项D计算错误，不合题意； 故选C． 5. 已知：如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行线性质，三角形的外角性质，先根据平行线的性质得到，然后根据三角形外角性质解答即可． 【详解】解：设和交于点F， ∵， ∴， ∴， 故选：D． 6. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了多边形的内角和、对顶角相等，熟练掌握多边形的内角和公式是解题的关键； 先根据多边形的内角和计算出，再根据四边形的内角和是360度求出，结合对顶角相等即可得到答案. 【详解】解：∵正五边形， ∴， ∴， ∵， ∴； 故选：C. 7. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据一元二次方程定义确定二次项系数的限制，再利用方程无实数根时判别式小于0列不等式求解即可． 【详解】解：∵方程是关于x的一元二次方程 ∴ ∵方程没有实数根， ∴判别式， 整理得 解得． ∴k的取值范围是． 8. 如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用圆内接四边形对角互补的性质求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：四边形是的内接四边形， ， ， ， 和是同弧所对的圆心角与圆周角， ． 9. 国家发展改革委、市场监管总局、生态环境部联合发布《关于进一步强化碳达峰碳中和标准计量体系建设行动方案（2024-2025年）》．提出到2025年面向企业、项目、产品的三位一体的碳排放核算和评价标准体系基本形成．实现碳中和，已成为全球共识，碳替代、碳减排、碳封存、碳循环是实现碳中和的4种主要途径．科学家预测，2020-2050年，4种途径对全球碳中和的贡献率如图所示．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2020-2050年，实现碳中和贡献最大的途径是碳替代 B. 2020-2050年，碳减排的贡献率占比为 C. 图中表示碳封存的扇形所占圆心角度数为 D. 2020-2050年，4种途径的贡献率大小为碳替代碳减排碳循环碳封存 【答案】C 【解析】 【分析】根据扇形统计图中各部分百分比之和为，求出碳减排的百分比，再根据圆心角百分比，分别计算并判断各选项即可． 【详解】由统计图可知，碳替代占，碳循环占，碳封存占，  碳减排的占比为， A、最大， 实现碳中和贡献最大的途径是碳替代，故A选项结论正确； B、由上可知碳减排的贡献率占比为，故B选项结论正确； C、图中表示碳封存的扇形所占圆心角度数为，， 故C选项结论错误； D、， 4种途径的贡献率大小为碳替代碳减排碳循环碳封存，故D选项结论正确． 10. 如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是动点函数图象问题、菱形的性质、勾股定理．设菱形的边长为，过点作于，根据图象可求出，再根据菱形的性质求出，根据图象当点到达点时，，据此计算即可求解． 【详解】解：设菱形的边长为，过点作于，如图，    ， 则， ， ， ，， 由图可知，当点在点时，的面积最大， 此时， 解得：或（舍去）， ，， 当点到达点时，， ， ． 故选：A． 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解=______． 【答案】． 【解析】 【详解】解： = =， 故答案为． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【详解】根据二次根式的性质（被开方数大于等于0）列出关于x的不等式，然后解不等式即可． 解：根据二次根式有意义，得：1-2x≥0， 解得：x≤． 故答案是：x≤． 13. 将一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过点，则______． 【答案】 【解析】 【分析】先根据一次函数平移中“上加下减”的规律，求出平移后的解析式，再代入点坐标求解的值． 【详解】解：将的图象向下平移个单位长度后，所得图象的解析式为， 整理得， 将点代入，得， 解得． 14. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 【答案】或 【解析】 【分析】所求不等式的解集即为反比例函数值小于正比例函数值时x的范围，根据正比例函数与反比例函数的交点坐标，即可确定出x的范围． 【详解】解：∵反比例函数和正比例函数的图象交于，两点， ∴由函数图象可知，当或时，反比例函数图象在正比例函数图象的下方， ∴若，则的取值范围是或． 15. 兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为______（碗的厚度不计）． 【答案】16 【解析】 【分析】根据题意建立平面直角坐标系，设抛物线解析式为顶点式，利用碗口宽度和深度求出抛物线上一点的坐标，代入求出解析式，再根据汤面下降的高度求出此时液面的纵坐标，代入解析式求出横坐标，进而求出宽度． 【详解】设抛物线的解析式为， 由题意可知，碗口宽，碗深，且抛物线关于轴对称， 所以点的横坐标为 ，纵坐标为，即点的坐标为， 将点代入，得， 解得， 所以抛物线的解析式为， 当满碗汤面的竖直高度下降时，汤面的高度为， 令，则， ∴， 解得， 此时碗中汤面的水平宽度为． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________． 【答案】 【解析】 【分析】过点作轴于，求出的长，进而求出点的坐标，根据旋转的性质，以及点的坐标规律，判断每次一个循环，进而求出第次旋转后，点的坐标即可． 【详解】解：如图，连接，交轴于点，连接，交轴于点， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴， ∵点， ∴， ∵，， ∴，，， ∴， 在中，，， ∴， ∴， ∴， 由勾股定理得， 在中，由勾股定理得， ∴， 在中，由勾股定理得， 由旋转得， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴，， 同理得，， 将绕点逆时针每次旋转： ，，，，，，每次一个循环， ∵， ∴第次旋转后，点的坐标为． 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 17. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式的性质化简，再根据二次根式的加减运算计算即可． 【详解】解： ． 【点睛】本题考查二次根式的加减混合运算，正确计算是解题的关键． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解． 【答案】，数轴上表示见解析，整数解为4，5，6 【解析】 【分析】分别求出不等式组中两个不等式的解集，进而求出不等式组的解集，再在数轴上表示出不等式组的解集，最后根据数轴求出不等式组的整数解即可． 【详解】解： 解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式组的解集为， 数轴表示如下所示： ∴原不等式组的整数解为4，5，6． 19. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】先将除法变成乘法，再把分子、分母进行化简，最后把得数代入即可求得结果． 【详解】解：原式． 代入，原式． 【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题时要注意把分式化到最简，再把得数代入是解题的关键． 20. “勾股容圆”是通过勾股形和圆的各种相切关系求圆直径的问题，这是中国古代数学史上的一个重要问题．西汉的《九章算术》勾股章有已知勾股形的勾、股求其内切圆直径的问题，开创了“勾股容圆”的研究．“勾股容圆”的研究不仅展示了古代数学家在几何学方面的高超技艺，而且对后来的数学发展产生了深远的影响． 如图，已知，，作出的内切圆．作法如下： ①作的平分线； ②作的平分线，两条角平分线交于点O； ③以点O为圆心，适当长为半径画弧，与交于点E，F，以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作直线，与交于点D； ④以点O为圆心，长为半径作圆，则即为的内切圆． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中画出的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在中，若，，则内切圆的直径为______． 【答案】（1）如图，即为所求 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题干描述即可作图； （2）先由勾股定理求解，过点分别作，垂足为点，设半径为，由切线长定理可得，，则，，再由求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵在中，若，， ∴， 解得（舍负） 过点分别作，垂足为点， ∵ ∴ ∴四边形为矩形， ∴， 设半径为， 由切线长定理可得，， ∴， ∵， ∴ ∴，即内切圆的直径为． 21. 甘肃“甘味”是省级农产品区域公用品牌，代表甘肃省特色农业的精髓．“甘”代表甘肃，谐音“干”，体现农产品因昼夜温差大、光照充足而积累的干物质，象征醇厚甘甜的口感；“味”则强调甘肃农产品的独特风味和品质．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A．兰州百合；B．天水花牛苹果；C．华亭核桃；D．岷县当归这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍． （1）求小智抽取的卡片上不是A．兰州百合的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求小智和小慧介绍的特产相同的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）直接利用概率公式可得答案； （2）先根据题意画树状图，得出所有等可能的结果数以及小智和小慧介绍的特产相同的结果数，再利用概率公式可得出答案． 【小问1详解】 解：由题意得，一共有种等可能结果，小智抽取的卡片上不是A．兰州百合的结果有种， 故小智抽取的卡片上不是A．兰州百合的概率为． 【小问2详解】 解：根据题意，画树状图如下： 由树状图可知：一共有种等可能结果，其中小智和小慧介绍的特产相同的结果有种， 小智和小慧介绍的特产相同的概率为． 22. 交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，） 【答案】这辆汽车没有超速，理由见解析 【解析】 【分析】如图，过点A作交延长线于点D，首先求出，解直角三角形求出，，然后求出速度比较即可． 【详解】解：这辆汽车没有超速，理由如下： 如图，过点A作交延长线于点D， 根据题意得，，， ∴， ∴ ∴这辆汽车的速度为 ∴这辆汽车没有超速． 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 今年央视春晚节目《武》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取 A、B 两种型号的智能机器人各 10 台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： （数据：13 万件：1 台；14 万件：3 台；15 万件：2 台；16 万件：3 台；17 万件：1 台） B 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数 中位数 / 万件 平均数 / 万件 方差 A 型号 14 和 16 15 B 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中 ， ． （2） 型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定？（填 A 或 B ） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智机器人，请你结合 “数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 【答案】（1）20，15 （2）A （3）购买B型机器人，分析见解析 【解析】 【分析】（1）根据众数和中位数的定义求解即可； （2）根据方差与稳定性之间的关系可得答案； （3）从众数、中位数和平均数三个方面进行分析即可得出结论． 【小问1详解】 解：把10台A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量按照从低到高的顺序排列，第5个数据和第6个数据分别为15万件，15万件， ∴A型号的智能机器人每天可分拣的快递数量的中位数为万件，即； ∵B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量为20万件的数量最多， ∴B型号的智能机器人每天可分拣的快递数量的众数为20万件，即； 【小问2详解】 解：∵， ∴A型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定； 【小问3详解】 解：从众数、中位数和平均数来看，B型机器人的相应数据都高于A型机器人，故应该购买B型机器人． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将正比例函数的图象沿y轴向上平移，平移后的直线l与反比例函数的图象在第二象限内交于点C，当的面积为10时，求平移后直线l的表达式． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据一次函数解析式求解点，再由待定系数法求解反比例函数解析式； （2）先求出设平移后的直线与x轴交于点D，连接．由得到，则根据求解点，即可求解直线的函数表达式． 【小问1详解】 解：∵正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点 ∴当时， 解得， ， ， 反比例函数的表达式为； 【小问2详解】 解：∵直线与反比例函数的图象交于A、B两点（点A在点B左侧）， ∴ 设平移后的直线与x轴交于点D，连接．     ， ． 的面积为10， ， ∴， ∴ ， ， ， 设平移后的直线的函数表达式为， 把代入，可得， 解得， 平移后的直线的函数表达式为． 25. 如图，内接于，是的直径，点E在上，C是的中点，，垂足为D，的延长线交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）当的直径为10，时，求的值． 【答案】（1）证明：连接， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵是的半径， ∴是的切线； （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由C是的中点，得到，根据圆周角定理得到，求得，根据平行线的性质得到，根据切线的判定定理得到结论； （2）连接交于H，根据矩形的性质得到，根据勾股定理得到，求得，根据勾股定理得到，根据三角函数的定义得到． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接交于H， ， ∵是的直径， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵C是的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查了切线的判定定理、解直角三角形、勾股定理、圆周角定理、等腰三角形的判定与性质、垂径定理、矩形的判定与性质等知识点，熟练掌握以上知识点并灵活运用，添加适当的辅助线是解此题的关键． 26. 在中，，，D是斜边上的动点（不与点A，B重合），E是直线上的动点（不与点B，C重合），连接，将绕点D顺时针旋转至，连接． （1）如图1，若D为的中点，连接，点E在的延长线上，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D不是的中点，点E在边上，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3，作点D关于的对称点F，连接，已知，，求的长． 【答案】（1），理由如下： ∵等腰， ∴ ∵D是等腰斜边的中点， ∴，即 ∴为等腰直角三角形， 由旋转得，， ∴， ∴， 由旋转得， ∴， ∴ ∵ ∴ ∵ ∴； （2），理由如下： 如图，过点D作交的延长线于点H， ∵ ∴是等腰直角三角形， ∴，， ∵ ∴ ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先证明，则，由勾股定理可得，再由线段和差结合等量代换证明即可； （2）过点D作交的延长线于点H，证明，再由全等三角形的性质结合线段和差证明即可； （3）连接，过点E作交的延长线于点H，可得四边形是正方形，可证明四点共圆，再证明，即可由相似三角形的性质结合（2）的结论求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如解图，连接，过点E作交的延长线于点H， ∵ ∴由对称可得， ∴ ∴四边形是菱形， ∵ ∴四边形是正方形， ∴， 由(2)可知， ∵， ∴四点共圆， ∴，， ∴ ∴ 在等腰中，， 则， ∴， ∵， ∴， ∴ ∵， ∴， 由(2)中结论，得， ∴， ∴． 27. 如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，P为抛物线上一点，连接交x轴于点D，若，求点P的坐标； （3）如图3，D，E是抛物线对称轴上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形周长的最小值． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，轴对称最短路线问题、锐角三角函数定义，通过确定点F点来求最小值，是本题的难点． （1）根据题意求得B的坐标，然后根据待定系数法求得解析式； （2）求得，根据求出，，设，由得，得出，解得，（舍去），可得点； （3）在y轴上取点F，使，连接，交直线于点E，所以的最小值为，则四边形的周长最小值为． 【小问1详解】 解：对于， 当时，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，解得，（舍去）， ∴ ∴； 【小问3详解】 解：在y轴上取点F，使，连接，交直线于点E， ∴四边形为平行四边形， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， ∴四边形的周长最小值为：， ∵，，，， ∴，， ∴四边形的周长最小值为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第二学期三模试题 年级：九年级 科目：数学 （考生注意：本卷满分150分，考试时间为120分钟） 温馨提示：亲爱的同学，请你沉着冷静，充满自信，认真审题，仔细答卷，祝你考出好成绩 一、选择题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，每小题只有一个正确选项． 1. 的相反数是（ ） A. B. C. D. 2. 下列图案中，是中心对称图形的是（ ） A. 兰州地铁 B. 甘肃高速 C. 甘肃银行 D. 甘肃地矿 3. 是一款基于混合专家架构的大语言模型，它的参数量巨大，截止2025年1月，的参数量已经高达6710亿，将6710亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 5. 已知：如图，，，，则的度数是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，直线l与正五边形的边分别交于点M、N，则的度数为（ ） A. B. C. D. 7. 若关于x的一元二次方程没有实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，已知四边形是的内接四边形．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 9. 国家发展改革委、市场监管总局、生态环境部联合发布《关于进一步强化碳达峰碳中和标准计量体系建设行动方案（2024-2025年）》．提出到2025年面向企业、项目、产品的三位一体的碳排放核算和评价标准体系基本形成．实现碳中和，已成为全球共识，碳替代、碳减排、碳封存、碳循环是实现碳中和的4种主要途径．科学家预测，2020-2050年，4种途径对全球碳中和的贡献率如图所示．根据统计图提供的信息，下列结论错误的是（ ） A. 2020-2050年，实现碳中和贡献最大的途径是碳替代 B. 2020-2050年，碳减排的贡献率占比为 C. 图中表示碳封存的扇形所占圆心角度数为 D. 2020-2050年，4种途径的贡献率大小为碳替代碳减排碳循环碳封存 10. 如图1，在菱形中，，点在边上，连接，动点从点出发，在菱形的边上沿匀速运动，运动到点C时停止．在此过程中，的面积y随着运动时间x的函数图象如图2所示，则的长为（ ） A. 2 B. C. 4 D. 二、填空题：本大题共6小题，每小题4分，共24分． 11. 因式分解=______． 12. 若二次根式有意义，则x的取值范围是________． 13. 将一次函数的图象向下平移4个单位长度后经过点，则______． 14. 如图，反比例函数和正比例函数的图象交于，两点，若，则x的取值范围是_____． 15. 兰州牛肉面（如图1），以“汤清者镜，肉烂者香，面细者精”的独特风味和“一清二白三红四绿五黄”，赢得了国内乃至全世界顾客的好评，并被中国烹饪协会评为三大中式快餐之一，被誉为“中华第一面”．如图2，是一个盛放兰州牛肉面面碗的截面图，碗身可近似看作抛物线，以碗底O为原点建立平面直角坐标系，已知碗口BC宽，碗深，则当满碗汤面的竖直高度下降时，碗中汤面的水平宽度为______（碗的厚度不计）． 16. 如图，在平面直角坐标系中，已知点，点在第一象限内，，，将绕点逆时针旋转，每次旋转，则第次旋转后点的坐标为________． 三、解答题（本大题共6小题，共46分） 17. 计算：． 18. 解不等式组：，把解集在数轴上表示出来，并写出其所有整数解． 19. 先化简，再求值：，其中． 20. “勾股容圆”是通过勾股形和圆的各种相切关系求圆直径的问题，这是中国古代数学史上的一个重要问题．西汉的《九章算术》勾股章有已知勾股形的勾、股求其内切圆直径的问题，开创了“勾股容圆”的研究．“勾股容圆”的研究不仅展示了古代数学家在几何学方面的高超技艺，而且对后来的数学发展产生了深远的影响． 如图，已知，，作出的内切圆．作法如下： ①作的平分线； ②作的平分线，两条角平分线交于点O； ③以点O为圆心，适当长为半径画弧，与交于点E，F，以点E，F为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点G，作直线，与交于点D； ④以点O为圆心，长为半径作圆，则即为的内切圆． （1）请你依据以上步骤，用不带刻度的直尺和圆规在图中画出的内切圆（保留作图痕迹，不写作法）； （2）在中，若，，则内切圆的直径为______． 21. 甘肃“甘味”是省级农产品区域公用品牌，代表甘肃省特色农业的精髓．“甘”代表甘肃，谐音“干”，体现农产品因昼夜温差大、光照充足而积累的干物质，象征醇厚甘甜的口感；“味”则强调甘肃农产品的独特风味和品质．某班的一次实践活动课上，老师将分别印有A．兰州百合；B．天水花牛苹果；C．华亭核桃；D．岷县当归这四种特产的四张卡片（除特产不同外其余完全相同）背面朝上放在桌子上，让每位学生从这四张卡片中随机抽取一张，并放回，然后对所抽取卡片上的特产进行介绍． （1）求小智抽取的卡片上不是A．兰州百合的概率为______； （2）用画树状图或列表的方法，求小智和小慧介绍的特产相同的概率． 22. 交警通常通过限速来降低交通事故发生的概率，而测速摄像头主要通过读取汽车的车牌来识别车辆身份．如图，某条笔直的公路限速，在公路上方高的位置A处有一个摄像头，第一次识别到B处一辆汽车，俯角为，后在C处再次识别到这辆车，俯角为，已知此车辆车牌位于地面高的位置，请判断这辆汽车是否超速，并说明理由．（参考数据：，，，，，） 四、解答题：本大题共5小题，共50分．解答要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤． 23. 今年央视春晚节目《武》别出心裁，独树一帜，人机共舞为文化传承搭建了新的桥梁，不仅舞出了精彩的节目，更是舞出了传统文化与现代科技交织的艺术新境界．科创小达人菲菲从东营区域的快递分拣站随机抽取 A、B 两种型号的智能机器人各 10 台，统计它们每天可分拣的快递数量． 【数据收集与整理】 A 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）条形统计图如图所示： （数据：13 万件：1 台；14 万件：3 台；15 万件：2 台；16 万件：3 台；17 万件：1 台） B 型号的智能机器人每天可分拣的快递数量（单位：万件）如表所示： 分拣快递数量（万件） 16 17 20 22 23 机器人台数（台） 1 1 5 2 1 【数据分析与运用】 两组样本数据的众数、中位数、平均数、方差整理如表： 众数 中位数 / 万件 平均数 / 万件 方差 A 型号 14 和 16 15 B 型号 20 20 请你根据以上数据，解答下列问题： （1）填空：表中 ， ． （2） 型号的机器人每天分拣的快递数量更稳定？（填 A 或 B ） （3）若某快递公司只能购买一种型号的智机器人，请你结合 “数据分析与运用”，为该公司提出一条合理化建议． 24. 如图，在平面直角坐标系中，正比例函数的图象与反比例函数的图象交于，B两点． （1）求反比例函数的表达式； （2）将正比例函数的图象沿y轴向上平移，平移后的直线l与反比例函数的图象在第二象限内交于点C，当的面积为10时，求平移后直线l的表达式． 25. 如图，内接于，是的直径，点E在上，C是的中点，，垂足为D，的延长线交的延长线于点F，连接． （1）求证：是的切线； （2）当的直径为10，时，求的值． 26. 在中，，，D是斜边上的动点（不与点A，B重合），E是直线上的动点（不与点B，C重合），连接，将绕点D顺时针旋转至，连接． （1）如图1，若D为的中点，连接，点E在的延长线上，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； （2）如图2，若D不是的中点，点E在边上，用等式写出线段的数量关系，并说明理由； （3）在（2）的条件下，如图3，作点D关于的对称点F，连接，已知，，求的长． 27. 如图1，抛物线与x轴交于，B两点，与y轴交于点C，且． （1）求抛物线的表达式； （2）如图2，P为抛物线上一点，连接交x轴于点D，若，求点P的坐标； （3）如图3，D，E是抛物线对称轴上的两个动点，且，点D在点E的上方，求四边形周长的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $