第二单元复习不等式与不等式组2025-2026学年深圳市数学八年级数学下册

**基本信息** 深圳市八下数学第二单元期末复习卷，聚焦不等式与不等式组，融合机器人、无人机等科技情境及生活实际问题，通过基础巩固与应用创新梯度设计，培养抽象能力、模型观念与应用意识，适配单元知识系统复习。 **题型特征** |题型|题量|知识覆盖|命题特色| |----|----|----------|----------| |选择题|5|不等式性质、一次函数与不等式、象限点坐标|基础概念辨析，结合几何直观| |填空题|4|不等式组解集、整数解、一次函数比较|聚焦易错点，强化推理意识| |解答题|8|解不等式(组)、纠错、机器人/无人机采购等应用题|分层设计，从运算能力到模型应用，体现数学语言表达现实世界|

八下第二单元复习 不等式与不等式组 参考答案与试题解析 一．选择题（共5小题） 1．下列不等式变形，正确的是（　　） A．若m＜n，则m﹣2＜n﹣2 B．若m＜n，则2﹣m＜2﹣n C．若m＜n，则﹣3m＜﹣3n D．若m＜n，则 【分析】利用不等式的性质进行判断即可． 【解答】解：利用不等式的性质进行判断可得： A、若m＜n，则m﹣2＜n﹣2，正确，符合题意； B、若m＜n，则2﹣m＞2﹣n，原变形错误，不符合题意； C、若m＜n，则﹣3m＞﹣3n，原变形错误，不符合题意； D、若m＜n，则，原变形错误，不符合题意． 故选：A． 2．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2 【分析】根据解一元一次不等式组的步骤进行求解即可． 【解答】解：由得，x＞8， 由3（x﹣m）＜2x+m得，x＜4m， 因为该不等式组无解， 所以4m≤8， 解得m≤2． 故选：A． 3．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3 【分析】观察图象，直线位于x轴上方部分对应的自变量取值即为不等式的解集． 【解答】解：观察图象得：不等式kx+b＞0的解集是x＞﹣3， 故选：D． 4．若点M（1﹣2m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 【分析】根据第二象限内点的坐标特点列出关于m的不等式组，求出各不等式的解集，再在数轴上表示出来即可． 【解答】解：∵点M（1﹣2m，m﹣1）在第二象限， ∴， 由①得m＞0.5， 由②得，m＞1， ∴不等式组的解集m＞1． 在数轴上表示为： 故选：B． 5．不等式5x﹣13＜3+x的正整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【分析】移项、合并同类项、系数化成1求得不等式的解集，然后确定正整数解即可． 【解答】解：5x﹣13＜3+x， 移项，得5x﹣x＜13+3， 合并同类项，得4x＜16， 系数化为1得x＜4． 则不等式5x﹣13＜3+x的正整数解是1、2、3，共3个． 故选：C． 二．填空题（共4小题） 6．如果不等式组无解，m的取值可以是　2（答案不唯一）　 （写一个符合要求的即可）． 【分析】解第一个不等式求得其解集，然后根据原不等式组无解确定m的取值范围，据此写出一个符合题意的m的值即可． 【解答】解：解第一个不等式得：x＞3， ∵原不等式组无解， ∴m≤3， 那么m的值可以是2， 故答案为：2（答案不唯一）． 7．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则kx+b﹣（x+a）≤0的解集是x≥﹣1　 ． 【分析】根据一次函数与一元一次不等式解答即可． 【解答】解：kx+b﹣（x+a）≤0的解集，即kx+b≤x+a的解集为x≥﹣1． 故答案为：x≥﹣1． 8．如果不等式组的解集是x＜5，那么m的取值范围是m≥5　 ． 【分析】根据“同小取较小”的原则进行解答即可． 【解答】解：， 由①得：x＜5， 由②得：x＜m， ∵不等式组的解集为x＜5， ∴m≥5． 故答案为：m≥5． 9．已知关于x的不等式组的整数解恰有4个，则m的取值范围为　1＜m≤2　 ． 【分析】首先解不等式组求得x的范围，根据不等式组有4个整数解即可得到关于m的不等式，从而求解． 【解答】解：， 解不等式①得：x≥﹣1， 解不等式②得：x＜m+1， ∵关于x的不等式组有解， 故不等式组的解集为﹣1≤x＜m+1， ∵关于x的不等式组的整数解恰有4个， ∴不等式组的4个整数解为：﹣1，0，1，2， ∴2＜m+1≤3， 解得：1＜m≤2． 故答案为：1＜m≤2． 三．解答题（共9小题） 10．解不等式：3（2x﹣1）＞4x+1； 【解答】解：（1）3（2x﹣1）＞4x+1， 6x﹣3＞4x+1， 6x﹣4x＞1+3， 2x＞4， x＞2； 11．（1）解不等式组：；（2）解不等式组：．（3）解不等式组： 【分析】分别求解每个不等式组中的两个一元一次不等式，再根据不等式组解集的确定规则，得出每个不等式组的最终解集，即可求解． 【解答】解：（1）， 解不等式①得x＞3， 解不等式②得x＜5， ∴不等式组的解集为3＜x＜5； （2）， 解不等式①得x＜4， 解不等式②得x≤5， ∴不等式组的解集为x＜4． （3）解：， 解不等式5x﹣1＜3（x+1），得：x＜2， 解不等式x﹣3≤4x，得：x≥﹣1， ∴原不等式组的解集为﹣1≤x＜2． 12．解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 【分析】先求出不等式组中每一个不等式的解集，再求出它们的公共部分，然后把不等式的解集表示在数轴上即可． 【解答】解： 由①得：x＞﹣1， 由②得：x≤5． 解集在数轴上正确表示为： ； ∴不等式组的解集为：﹣1＜x≤5． 13．下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，…第一步 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，…第二步 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，…第三步 合并得：﹣5x＞﹣10，…第四步 系数化为1得：x＞2．…第五步 任务一：以上解题过程中，第　五　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　不等号的方向没有改变　 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：x＜2　 ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式：． 【分析】任务一：根据不等式的基本性质求解即可； 任务二：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得； 任务三：根据解一元一次不等式基本步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1可得． 【解答】解：任务一：以上解题过程中，第五步开始出现错误，这一步错误的原因是：不等号的方向没有改变， 故答案为：五，不等号的方向没有改变； 任务二：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6， 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6， 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2， 合并得：﹣5x＞﹣10， 系数化为1得：x＜2， 故答案为：x＜2； 任务三：∵， ∴2（x﹣2）﹣5（x+1）＞10， 2x﹣4﹣5x﹣5＞10， 2x﹣5x＞10+4+5， ﹣3x＞19， 则x． 14．2026年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需160万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需270万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共10台，且总费用不超过560万元．最多能买A型机器人多少台？ 【分析】（1）设A种型号智能机器人的单价是x万元/台，B种型号智能机器人的单价是y万元/台，根据“买1台A型机器人、2台B型机器人，共需160万元；买2台A型机器人、3台B型机器人，共需270万元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m台A种型号智能机器人，则购买（10﹣m）台B种型号智能机器人，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过560万元，可列出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大值，即可得出结论． 【解答】解：（1）设A种型号智能机器人的单价是x万元/台，B种型号智能机器人的单价是y万元/台， 根据题意得：， 解得：． 答：A种型号智能机器人的单价是60万元/台，B种型号智能机器人的单价是50万元/台； （2）设购买m台A种型号智能机器人，则购买（10﹣m）台B种型号智能机器人， 根据题意得：60m+50（10﹣m）≤560， 解得：m≤6， ∴m的最大值为6． 答：最多能买A型机器人6台． 15．在农业生产领域，相较于传统的人工喷洒，无人机喷洒农药具备安全、便捷、高效等显著优势．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的无人机用来喷洒农药，已知购买1架甲型机和2架乙型机共需14万元，购买2架甲型机和3架乙型机共需23万元． （1）求购买一架甲型无人机、一架乙型无人机各需多少万元． （2）已知每架甲型无人机每小时可以喷洒8公顷农田，每架乙型无人机每小时可以喷洒10公顷农田，若该公司欲购进两种型号无人机共12架，且要求这批无人机每小时至少喷洒110公顷农田，则该公司应如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？ 【分析】（1）设购买一架甲型无人机需x万元，购买一架乙型无人机需y万元．根据题意列出关于x，y的二元一次方程组求解即可得出答案； （2）设购进甲型无人机a架，总费用为W万元，则购进乙型无人机（12﹣a）架，这批无人机每小时至少喷洒110公顷农田得出a的取值范围，再列出W关于a的一次函数关系式，最后根据一次函数的性质求解即可． 【解答】解：（1）设购买一架甲型无人机需x万元，购买一架乙型无人机需y万元． 根据题意列二元一次方程组可得，， 解得， 答：购买一架甲型无人机需4万元，购买一架乙型无人机需5万元； （2）设购进甲型无人机a架，总费用为W万元， 根据题意列一元一次不等式得，8a+10（12﹣a）≥110， 整理得，2a≤10， 解得a≤5， 总费用W＝4a+5（12﹣a）＝﹣a+60， ∵﹣1＜0， ∴W随a的增大而减小， 当a取最大值5时，W最小， 此时12﹣a＝12﹣5＝7， 答：该公司购买甲型无人机5架，乙型无人机7架时，购买无人机的总费用最少． 16．根据以下素材，探究完成任务． 背景 红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线上平台购买了笔袋与书签等文创品． 素材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元；若买12个笔袋和12个书签共需324元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题 （1）任务一 线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？ （2）任务二 董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（0＜m＜35），若董老师按方式一购买，共需　（384+2.4m）　 元；若董老师按方式二购买，共需　（378+2.7m）　 元．（均用含m的代数式表示） （3）任务 请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 【分析】（任务一）设线上平台在无促销活动时，笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元，根据“买6个笔袋和10个书签共需210元；买12个笔袋和12个书签共需324元”，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （任务二）利用总价＝单价×数量，结合2026年线上平台促销活动的具体信息，即可用含m的代数式表示出董老师按方式一及方式二购买所需费用； （任务三）根据选择方式一更划算，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围，再结合0＜m＜35，即可得出结论． 【解答】解：任务一：设笔袋的销售单价是x元，书签的销售单价是y元， 根据题意得：， 解得． 答：笔袋的销售单价是15元，书签的销售单价是12元； 任务二：由题得： 方式一：共需48+15×0.8m+12×0.8（35﹣m）＝（384+2.4m）（元）； 方式二：共需15×0.9m+12×0.9（35﹣m）＝（378+2.7m）（元）； 故答案为：（384+2.4m），（378+2.7m）； 任务三：根据题意得：384+2.4m＜378+2.7m， 解得m＞20， 又∵0＜m＜35， ∴20＜m＜35． 答：在任务二的条件下，购买笔袋的数量20＜m＜35时，选择方式一更划算． 17．下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是深圳体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价． 小明通过查看例题的解析发现： 解：设A种品牌排球的单价为x元，B种品牌排球的单价为y元， 则列出二元一次方程组：， ⋯ （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是：　②　 （填序号）． ①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元； ②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元． （2）请按照例题解析的思路，将省略部分补充完整． （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 【分析】（1）根据所列的方程求解； （2）根据“A、B两种排球的总价为4500”列方程求解； （3）根据“总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个”列不等式求解． 【解答】解：（1）根据所列方程得：x﹣30是B排球的单价，故选②； （2）根据题意得：， 解得：， 答：A种品牌排球的单价为80元，B种品牌排球的单价为50元； （3）设购买A种品牌的排球m个，则购买B种品牌的排球（50﹣m）个， 依题意得：， 解得：23≤m≤25， 又∵m为正整数， ∴m可以为23，24，25， ∴共有3种购买方案， 方案1：购买A种品牌的排球23个，B种品牌的排球27个； 方案2：购买A种品牌的排球24个，B种品牌的排球26个； 方案3：购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球25个． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2026/6/12 19:28:22；用户：涂海青；邮箱：1143514030@qq.com；学号：3816414 学科网（北京）股份有限公司 $ 深圳市2025-2026学年数学八下第二单元复习 不等式与不等式组 一．选择题 1．下列不等式变形，正确的是（　　） A．若m＜n，则m﹣2＜n﹣2 B．若m＜n，则2﹣m＜2﹣n C．若m＜n，则﹣3m＜﹣3n D．若m＜n，则 2．若关于x的不等式组无解，则m的取值范围为（　　） A．m≤2 B．m＜2 C．m≥2 D．m＞2 3．如图，直线y＝kx+b交坐标轴于A，B两点，则不等式kx+b＞0的解集是（　　） A．x＜2 B．x＞2 C．x＜﹣3 D．x＞﹣3 4．若点M（1﹣2m，m﹣1）在第二象限，则m的取值范围在数轴上表示正确的是（　　） A． B． C． D． 5．不等式5x﹣13＜3+x的正整数解有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二．填空题 6．如果不等式组无解，m的取值可以是　 　 （写一个符合要求的即可）． 7．一次函数y1＝kx+b与y2＝x+a的图象如图所示，则kx+b﹣（x+a）≤0的解集是　 　 ． 8．如果不等式组的解集是x＜5，那么m的取值范围是　 　 ． 9．已知关于x的不等式组的整数解恰有4个，则m的取值范围为　 　 ． 三．解答题 10．解不等式：3（2x﹣1）＞4x+1； 11．（1）解不等式组：； （2）． （3）． 12．解不等式组：，并在数轴上把解集表示出来． 13．下面是小明同学解不等式的过程，请阅读并完成相应任务． 解：去分母得：2（2x﹣1）＞3（3x﹣2）﹣6，…第一步 去括号得：4x﹣2＞9x﹣6﹣6，…第二步 移项得：4x﹣9x＞﹣6﹣6+2，…第三步 合并得：﹣5x＞﹣10，…第四步 系数化为1得：x＞2．…第五步 任务一：以上解题过程中，第　 　 步开始出现错误，这一步错误的原因是　 　 ． 任务二：请直接写出该不等式的正确解集：　 　 ． 任务三：请按小明解不等式的步骤解不等式：． 14．2026年央视春晚中，宇树科技的机器人《武BOT》展示了单腿连续后空翻、托马斯全旋等高难度动作，是本届春晚科技与文化融合的巅峰之作．随着人工智能与物联网等技术的快速发展，人形机器人的应用场景不断拓展，某快递企业为提高工作效率，拟购买A、B两种型号智能机器人进行快递分拣．若买1台A型机器人、2台B型机器人，共需160万元；若买2台A型机器人、3台B型机器人，共需270万元． （1）求A、B两种型号智能机器人的单价． （2）该企业现计划采购A型和B型机器人共10台，且总费用不超过560万元．最多能买A型机器人多少台？ 15．在农业生产领域，相较于传统的人工喷洒，无人机喷洒农药具备安全、便捷、高效等显著优势．某农业公司欲购进甲、乙两种型号的无人机用来喷洒农药，已知购买1架甲型机和2架乙型机共需14万元，购买2架甲型机和3架乙型机共需23万元． （1）求购买一架甲型无人机、一架乙型无人机各需多少万元． （2）已知每架甲型无人机每小时可以喷洒8公顷农田，每架乙型无人机每小时可以喷洒10公顷农田，若该公司欲购进两种型号无人机共12架，且要求这批无人机每小时至少喷洒110公顷农田，则该公司应如何设计购买方案，才能使购买无人机的总费用最少？ 16．根据以下素材，探究完成任务． 背景 红岭教育集团为了奖励竞赛中表现突出的学生，董老师提前在线上平台购买了笔袋与书签等文创品． 素材一 线上平台无促销活动，若买6个笔袋和10个书签共需210元；若买12个笔袋和12个书签共需324元． 素材二 2026年线上平台促销活动信息如下：方式一：购买48元会员卡后所有商品打8折；方式二：非会员所有商品打9折． 解决问题 （1）任务一 线上平台在无促销活动时，求笔袋和书签的销售单价各是多少元？ （2）任务二 董老师计划在促销期间购买笔袋和书签共35个，其中购买笔袋m个（0＜m＜35），若董老师按方式一购买，共需　 　 元；若董老师按方式二购买，共需　 　 元．（均用含m的代数式表示） （3）任务 请你帮董老师算一算，在任务二的条件下，购买笔袋的数量在什么范围内时，选择方式一更划算？ 17．下面是某数学兴趣小组探究用方程解决实际问题的讨论片段，请仔细阅读，并解决相应的问题．如图是练习册上的一道例题，墨水覆盖了条件的一部分． 排球是深圳体育中考的一个重要项目，某中学为此专门开设了“排球大课间活动”，学校现决定购买A种品牌的排球25个，B种品牌的排球50个，共花费4500元，已知，求A、B两种品牌排球的单价． 小明通过查看例题的解析发现： 解：设A种品牌排球的单价为x元，B种品牌排球的单价为y元， 则列出二元一次方程组：， ⋯ （1）根据题意，例题中被覆盖的条件是：　 　 （填序号）． ①A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价低30元； ②A种品牌排球的单价比B种品牌排球的单价高30元． （2）请按照例题解析的思路，将省略部分补充完整． （3）老师在例题的条件下，增设了一个问题：根据需要，学校决定再次购进A、B两种品牌的排球共50个，总费用不超过3250元，且购买A种品牌的排球不少于23个，学校共有哪几种购买方案？ 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $