第3章 图形的平移与旋转 单元检测 2025-2026学年北师大版数学八年级下册

2026年北师大版数学八年级下册 图形的平移与旋转 单元检测（培优卷） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．2024年4月25日20时59分，长征二号F遥十八运载火箭成功发射，将载有3名航天员的飞船精准送入预定轨道．下列有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 2．在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④温度计中，液柱的上升或下降；⑤钟摆的摆动．属于平移的是（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 3．如图，直角三角形沿着的方向平移到直角三角形的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．28 D．24 4．海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A．点M B．点N C．点P D．点Q 5．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 6．如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（　　） A．150° B．135° C．120° D．165° 7．如图，点P为直线上一点，先将点P向左移动2个单位，再绕原点O顺时针旋转后，它的对应点Q恰好落在直线上，则点Q的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 8．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB=4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论；①△AOO'是直角三角形；②点O与O'的距离为4；③以∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（　　） A．.①②③⑤ B．①②③④ C．.①②③④⑤ D．.①②③ 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 10．如图，将绕点旋转60度得．，且，则 11．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时，________．    12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________． 13．如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 _____． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，每个小正方形的边长为1个单位、每个小方格的顶点叫格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． (1)在图1中画出向右平移4个单位后的； (2)在图2中画出绕点顺时针旋转后的； (3)在图3中画出所有格点，使面积与面积相等（点与点不重合）． 15．如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 16．如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 17．在四边形中，，，，．               图1                                         图2 (1)若的两边分别与边相交于点E、F，连接，如图1，求证：; (2)如果的两边与边的延长线分别相交于点E、F，连接，如图2，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，则长度之间满足怎样的等量关系，说明理由． 18．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）； (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为____，宽为____？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由． 19．创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． 【探究发现】 （1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究． ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点； ②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线． ④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，． 【深入探究】 （2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）． 【拓展升华】 （3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ． 20．某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？ 探究一： (1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为 探究二： (2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： (3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点． ①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即． ②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 试卷第2页，共8页 试卷第1页，共8页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年北师大版数学八年级下册 图形的平移与旋转 单元检测（培优卷） 说明： 1．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定的位置上，并将条形码粘贴好． 2．考试时间90分钟，满分100分． 3．作答选择题1-8，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目答案标号的信息点框涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案．作答非选择题9—20，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案（含作辅助线）写在答题卡指定区域内．写在本试卷或草稿纸上，其答案一律无效． 4．考试结束后，请将答题卡交回． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1．2024年4月25日20时59分，长征二号F遥十八运载火箭成功发射，将载有3名航天员的飞船精准送入预定轨道．下列有关中国航天的图标，其文字上方的图案是中心对称图形的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了中心对称图形的定义，把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心． 根据中心对称图形的定义进行逐一判断即可． 【详解】解：A．不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； B．不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形； C．能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以是中心对称图形； D．不能找到一个点，使图形绕某一点旋转后与原来的图形重合，所以不是中心对称图形． 故选：C． 2．在以下现象中：①用打气筒打气时，气筒里活塞的运动；②传送带上，瓶装饮料的移动；③在笔直的公路上行驶的汽车；④温度计中，液柱的上升或下降；⑤钟摆的摆动．属于平移的是（　　） A．① B．①② C．①②③ D．①②③④ 【答案】C 【分析】根据平移的性质，对题中的现象进行一一分析，选出正确答案. 【详解】解：①用打气筒打气时，气筒里活塞沿直线运动，符合平移的性质，故属平移； ②传送带上，瓶装饮料的移动沿直线运动，符合平移的性质，故属平移； ③在笔直的公路上行驶的汽车沿直线运动，符合平移的性质，故属平移； ④随温度计中，液柱的上升或下降时，体积要发生变化，不符合平移的性质； ⑤钟摆的摆动，在运动的过程中改变图形的方向，不符合平移的性质． 故选：C． 【点睛】本题主要考查平移的性质，根据题意找到平移的特征是解决问题的关键． 3．如图，直角三角形沿着的方向平移到直角三角形的位置．若，，，则阴影部分的面积为（   ） A．12 B．16 C．28 D．24 【答案】C 【分析】本题考查了平移的性质，根据平移的性质得到，则利用得到，然后根据梯形的面积公式求解． 【详解】解：沿着的方向平移到的位置， ，， ， ， ， 故选：C． 4．海盗船是游乐园中的热门项目．巨大的海盗船围绕顶端横梁左右摇摆，给人们带来非常刺激的体验．小明同学绘制了海盗船在不同时刻的摇摆状态，如图所示，若将横梁视为一点，那么在小明的绘画中，横梁应在图中哪个位置？ A．点M B．点N C．点P D．点Q 【答案】A 【分析】本题主要考查了旋转对称图形，解题的关键在于能够熟练掌握旋转对称的定义． 根据旋转中心在对应点所连线段的中垂线上进行逐一判断即可． 【详解】解：由题意可知，四边形与四边形成旋转对称，其旋转中心为M． 故选：A． 5．如图，在锐角三角形中，，将沿着射线方向平移得到（平移后点的对应点分别是），连接．若在整个平移过程中，和的度数之间存在2倍关系，则的度数不可能为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平移的性质和平行线的性质，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据的平移过程，分点在上和点在外两种情况，根据平移的性质得到，根据平行线的性质得到和和之间的等量关系，列出方程求解即可． 【详解】解：如图，当点在线段上时，过点作． ∵由平移得到， ∴， ∴， 当时， 设，则， ∵，， ∴，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时， 设，则， 同理可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 如图，当点在线段的延长线上时，过点作，同理可得， 当时， 设，则， 同理可得，， ∵， ∴， 解得， ∴； 当时， ∵， ∴，故不存在这种情况． 综上所述，的度数为或或． 故选：C． 6．如图，等边△ABC中有一点P，且PA＝3，PB＝4，PC＝5，则∠APB的度数的为（　　） A．150° B．135° C．120° D．165° 【答案】A 【分析】将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA，根据旋转的性质得BE=BP=4，AE=PC=5，∠PBE=60°，根据等边三角形的性质得到PE=PB=4，∠BPE=60°，根据勾股定理的逆定理可得到△APE为直角三角形，且∠APE=90°，即可得到∠APB的度数． 【详解】解：∵△ABC为等边三角形， ∴BA＝BC， 可将△BPC绕点B逆时针旋转60°得△BEA， 连EP，如图， ∴BE＝BP＝4，AE＝PC＝5，∠PBE＝60°， ∴△BPE为等边三角形， ∴PE＝PB＝4，∠BPE＝60°， 在△AEP中，AE＝5，AP＝3，PE＝4， ∴AE2＝PE2+PA2， ∴△APE为直角三角形，且∠APE＝90°， ∴∠APB＝90°+60°＝150°． 故选：A． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的判定与性质，勾股定理的逆定理，求得∠APE=90°是解题的关键． 7．如图，点P为直线上一点，先将点P向左移动2个单位，再绕原点O顺时针旋转后，它的对应点Q恰好落在直线上，则点Q的横坐标为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【分析】可将点的平移和旋转转化为直线的平移和旋转，求出解析式后，联立两个函数解析式即可求出交点的横坐标． 【详解】∵点P为直线上一点， ∴点P向左移动2个单位后的解析式为， ∵绕原点O顺时针旋转后解析式为 ∴，可得， ∴点Q的横坐标为． 故选：B 【点睛】此题考查一次函数，解题关键是将点的平移和旋转转化为函数平移和旋转，然后求函数的交点坐标． 8．如图，O是正△ABC内一点，OA＝3，OB=4，OC＝5，将线段BO以点B为旋转中心逆时针旋转60°得到线段BO'，下列结论；①△AOO'是直角三角形；②点O与O'的距离为4；③以∠AOB＝150°；④S四边形AOBO′＝6+3；⑤S△AOC+S△AOB＝6+．其中正确的结论是（　　） A．.①②③⑤ B．①②③④ C．.①②③④⑤ D．.①②③ 【答案】A 【分析】由题意可得△BOC≌△BAO'，△BOO'是等边三角形，可得AO'=CO=5，OO'=4，可判断△AOO'是直角三角形,可判断①②③，由S四边形AOBO′=S△AOO'+S△OO'B=S△BOC+S△AOC，可判定④⑤． 【详解】解；连接，如图1， ，， 是等边三角形， ，故②正确； ， 且，， ， ， ，， ， ， ，故①③正确； △是等边三角形，，， ，， 四边形，故④错误； 如图2，绕点顺时针旋转到位置， 使得与重合，点旋转至点， 是边长为3的等边三角形， 是边长为3、4、5的直角三角形， 四边形 ，故⑤正确； 综上所述正确的是：①②③⑤． 故选A． 【点睛】此题考查了旋转的性质，等边三角形、直角三角形的性质，勾股定理及勾股定理的逆定理，熟练掌握旋转的性质是解题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9．若点向上平移 3 个单位后得到的点在 x 轴上，则 m 的值为_________． 【答案】 【分析】本题考查点的平移及坐标轴上点的运算，熟练掌握坐标平移的特征是解题的关键． 点向上平移后纵坐标增加3，平移后的点在x轴上，纵坐标为0，据此列方程求解． 【详解】解：已知点向上平移3个单位后，． 点在x轴上， 纵坐标， 解得． 故答案为：． 10．如图，将绕点旋转60度得到．，且，则____________ 【答案】85 【分析】由旋转的性质可得∠BAD=60°，∠C=∠E=65°，由直角三角形的性质可得∠DAC=20°，即可求解． 【详解】解：∵ △ABC绕点A逆时针旋转60°得到△ADE ∴∠C=∠E=65°，∠BAD=∠CAE=60° ∵AD⊥BC ∴∠AFC=90° ∴∠CAF= 90°-∠C=25° ∴∠DAE=∠CAF+∠CAE=85° ∴∠BAC=∠DAE =85° 故答案为：85°． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，结合图形灵活运用旋转的性质是解决本题的关键． 11．两块不同的三角板按如图1所示摆放，AC与边重合，，．接着如图2保持三角板ACD不动，将三角板绕着点C按逆时针旋转后停止．在此旋转过程中，当与三角板ACD的一条边恰好平行时，________．    【答案】或 【分析】分两种情况：①当时，②当时，分别求解即可． 【详解】解：由题意可知，， 在旋转过程中，若与三角板的一条边恰好平行， 则有两种情况： ①当时，如图，    此时， ∴旋转角； ②当时，如图，作，    此时，， ∴旋转角． 故答案为：或． 【点睛】本题考查了三角板拼接、旋转问题，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 12．如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝4，点D在线段BC上，BD＝3，将线段AD绕点A逆时针旋转90°得到线段AE，EF⊥AC，垂足为点F．则AF的长为________． 【答案】1 【分析】根据勾股定理先求出BC边长，再求出DC长，过点D作DM垂直AC，可证，即AF=DM，在等腰直角△DMC中可求DM，即可直接求解． 【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC=4， 根据勾股定理得，AB2+AC2=BC2， ∴． 又∵BD=3， ∴DC＝BC−BD＝． 过点D作DM⊥AC于点M， 由旋转的性质得∠DAE=90°，AD＝AE， ∴∠DAC+∠EAF=90°． 又∵∠DAC+∠ADM=90°， ∴∠ADM=∠EAF． 在Rt△ADM和Rt△EAF中，． ∴（AAS）， ∴AF=DM． 在等腰Rt△DMC中，由勾股定理得， DM2+MC2=DC2， ∴DM=1， ∴AF=DM=1． 故答案为：1． 【点睛】本题主要考查等腰直角三角形，旋转的性质以及全等三角形的判定与性质，证明△ADM≌△EAF是解答本题的关键． 13．如图，在中，，，点D、E都在边上，．若，则的长为 _____． 【答案】/ 【分析】将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接、，由，，可得出，根据旋转的性质可得出，结合可得出为等边三角形，进而得出为直角三角形，求出的长度以及证明全等找出，设，则，在中利用勾股定理可得出，利用可求出x以及的值，此题得解． 【详解】解：将绕点A逆时针旋转120°得到，取的中点G，连接、，如图所示： 过点A作于点N，如图， ∵，， ∴，． 在中，，， ∴， ∴， ∴． ∴， ∴． ∵， ∴， ∴为等边三角形， ∴， ∴， ∴为直角三角形． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． 设，则， 在中，，， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质、勾股定理、旋转的性质，通过勾股定理找出关于x的方程是解题的关键． 三、解答题（本题共7小题，其中第14题5分，第15题7分，第16题8分，第17题8分，第18题9分，第19题12分，第20题12分，共61分） 14．如图，每个小正方形的边长为1个单位、每个小方格的顶点叫格点，的三个顶点都是格点，仅用无刻度的直尺在给定网格中完成下列画图． (1)在图1中画出向右平移4个单位后的； (2)在图2中画出绕点顺时针旋转后的； (3)在图3中画出所有格点，使面积与面积相等（点与点不重合）． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 【分析】本题考查作图平移变换、旋转变换、三角形面积，熟练掌握平移、旋转的性质是解答本题的关键． （1）将三个顶点向右平移4个单位长度得到其对应点，再首尾顺次连接即可； （2）作出A、C绕点顺时针旋转后的对应点、，顺次连接即可； （3）过点A作的平行线与网格线的交点即为所求的点M． 【详解】（1）如图所示，即为所求； （2）如图所示，即为所求； （3）如图所示，点，即为所求； 15．如图，将向右平移得到，点A，B，C的对应点分别是点D，E，F，连接并延长至点H，点B、C、E、F在一条直线上，连接，．    (1)若，求的度数； (2)若G是线段上的点，连接，且，，试说明平分． 【答案】(1) (2)见解析 【分析】本题考查了平移的性质，三角形内角和定理． （1）由平移的性质可得：，，再利用三角形内角和定理求解即可； （2）由三角形的外角性质，得，由已知求得，推出，据此即可证明结论成立． 【详解】（1）解：由平移的性质可得：，， ∴， 又∵， ∴， 解得， ∴， ∴； （2）解：由（1）知：， 由三角形的外角性质，得， 又∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴平分． 16．如图，在同一平面内，直线上摆放着两块大小相同的直角三角板和（，），其中边和重合．将三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上，为与的交点． (1)求的度数； (2)求证：； (3)若图中三块阴影部分的面积之和为6，则一个直角三角板的面积为 ． 【答案】(1) (2)见解析 (3)6 【分析】本题考查了图形平移性质、三角形内角和定理以及相关角度和面积的计算．解题关键是利用平移性质得到角与面积的等量关系，结合三角形内角和等知识求解角度与面积． （1）利用平移性质得到对应角相等，进而推出两直线平行，再依据平行线性质得出与已知角相等，结合较大锐角为，求出度数． （2）先由第一问结论得到度数，根据已知度数求出，再在中利用三角形内角和定理求出，从而得出结论． （3）根据平移性质可知，又因为，结合三块阴影部分面积和为，通过面积关系的等量代换，得出一个直角三角板的面积． 【详解】（1）解：是由向左平移得到的 ∵ ， ∴； （2）由（1）可知： ∵ 在中， ； （3）∵三角形沿直线向左平移得到三角形，点落在上， ∴， ∵，三块阴影部分的面积之和为6， ∴， ∴一个直角三角板的面积为6． 故答案为：6． 17．在四边形中，，，，．              图1                                         图2 (1)若的两边分别与边相交于点E、F，连接，如图1，求证：; (2)如果的两边与边的延长线分别相交于点E、F，连接，如图2，那么（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，则长度之间满足怎样的等量关系，说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)不成立，，理由见解析 【分析】此题考查了旋转的性质、全等三角形的判定和性质等知识，利用旋转构造全等三角形是解题的关键． （1）将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，根据旋转的性质得到，证明，则，得到证明则，得到即可得到结论； （2）在上截取，连接，证明，则，，再证明到，证得，证得，则，由即可证明结论 【详解】（1）证明：将绕点A按顺时针方向旋转到的位置，如图1， 则， ∵， ∴， ∴三点共线， ，， ， ， 即，又为公共边， ∴， 即 ∴． （2）（1）中的结论就不再成立，此时长度之间的等量关系是，理由如下： 在上截取，连接，如图2， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ，而为公共边， ， ， ∵ ∴． 18．在图①中，将线段向右平移1个单位得到线段，从而得到封闭图形（即阴影部分）：在图②中，将折线向右平移1个单位得到折线，从而得到封闭图形（即阴影部分）． (1)图①，图②图形中，除去阴影部分后，将剩余部分拼在一起就是如图③的图形，若剩余部分的面积分别是（图①，图②长方形的长均为个单位，宽均为个单位），则___________，___________，___________（填“”或“”或“”）； (2)如图④，一块长方形场地由一条弯曲的小路和草地组成．这条弯曲的小路（即阴影部分）任何地方的水平宽度都是，除去小路部分后，空白部分表示的草地的图形可拼在一起形成一个正方形，若这个正方形的面积是，则原长方形场地的长为___________，宽为___________？ (3)如图⑤，一块长方形场地由两条弯曲的小路（阴影部分）和草地组成．竖直方向小路任何地方的水平宽度都是，水平方向小路任何地方的竖直宽度都是．除去小路部分后，空白部分表示草地的图形拼在一起形成一个长方形，且这个长方形的长是宽的2倍，面积是．计划用不超过5100元的总费用将两条小路改铺成鹅卵石路面，若每平方米路面的铺设费用（人工费材料费）约为200元，请问总预算5100元够吗？并说明理由． 【答案】(1)；； (2)长：，宽 (3)总预算5100元不够；理由见解析 【分析】本题主要考查了平移的性质，算术平方根的应用，无理数的估算，解题的关键是理解题意，熟练掌握平移的性质． （1）根据长方形面积公式进行解答即可； （2）设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，根据正方形的面积是列出方程，求出x的值即可； （3）设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为，根据这个长方形的面积为，列出方程，解方程得出y的值，然后求出两条小路的总面积，再求出需要的费用，即可得出答案． 【详解】（1）解：根据题意得：；； ∴， 故答案为：；；； （2）解：设除去小路后的图形拼在一起形成的正方形边长为，则： ， （负值舍负）， 长方形场地的长， 长方形场地的宽． （3）解：设空白部分表示草地的图形拼在一起的长方形宽为，长为， 则， （负值舍去）， 长方形场地的宽， 长方形场地的长， 则两条小路的总面积为：， 将两条小路改铺成鹅卵石路面的总费用元， ∵ ， ∴ ∴ ∴ 答：总预算5100元不够． 19．创新小队在学习一次函数的图象与性质时，发现一次函数图象的平移实际上是图象上每个点沿着相同的方向平移，平移前后两个对应点之间的距离叫做平移距离． 【探究发现】 （1）以一次函数如何平移得到一次函数为例进行探究． ①请在平面直角坐标系中，画出一次函数的图象，与轴交于点，与轴交于点； ②观察图象发现，将点、点分别向上平移 个单位，平移后的点在直线上．事实上，将一次函数图象上的每个点按上述方式平移，平移后的点都在直线上，平移距离为4个单位． ③请你尝试再写出另一种点的平移方式：将一次函数图象上的点向 平移，平移距离为 个单位，可得直线． ④若要使得平移距离有最小值，点，应该如何平移，请在平面直角坐标系中，作出平移后的对应点，． 【深入探究】 （2）将一次函数按平移距离最小值的方式平移到，则平移距离为 （用，表示）． 【拓展升华】 （3）如图，已知正方形各边平行于坐标轴，且边长为，点坐标为，若线段，且点，在直线上，平移线段使得线段端点恰好落在正方形的边上，则平移距离的最小值为 ． 【答案】（1）①见解析；②4；③左，4；④见解析；（2）；（3） 【分析】（1）①求出直线与坐标轴的交点即可作图；②由点向上平移4个单位与直线上的重合，即可确定平移距离；③同理可求直线与轴交点为，而，则向左平移4个单位与点重合，继而直线向左平移4个单位得到直线；④根据垂线段最短即可确定平移方式； （2）同上可求，，则，，为等腰直角三角形，则，设，则由勾股定理得：，即可求解； （3）同上可得，延长交于点，可得，则由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得，可求，，由得，则， 那么． 【详解】解：（1）①当， 当，则， ∴， 则作图如图： ②对于直线，当， ∴点向上平移4个单位与重合，向上平移4个单位与重合， 故答案为：4； ③同理可求直线与轴交点为，而， ∴向左平移4个单位与点重合， ∴直线向左平移4个单位得到直线， 故答案为：左，4； ④点即为所求 过点分别作直线的垂线，垂足为，由垂线段最短得到直线沿射线方向平移，平移距离为； （2）记直线与与轴分别交于点，如图 同上可求， ∴， ∴， 同理， 由题意得， 则为等腰直角三角形， ∴， 设， 则由勾股定理得：， 解得：（舍负）， 即平移距离为 故答案为：； （3）同上可得，延长交于点， 由得， ∴， 同上可得， ∴， ∴ ∴由上知当沿着方向平移时，落在正方形的边上时，平移距离最短，即为长， 在等腰中，，同上可得， 由平移得， ∴， ∵四边形为正方形， ∴轴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴， 同理为等腰直角三角形， ∴， 由得， ∴， ∴， ∴平移得最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数的平移变化，难度较大，涉及勾股定理，一次函数与坐标轴的交点问题，等腰三角形的性质，垂线段最短等知识点，综合性较强． 20．某研究性学习小组在学习《简单的图案设计》时，发现了一种特殊的四边形，如图1，在四边形中，,，我们把这种四边形称为“等补四边形”．如何求“等补四边形”的面积呢？    探究一： (1)如图2，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，可以形成一个直角梯形（如图3）．若，,则“等补四边形”的面积为 探究二： (2)如图4，已知“等补四边形”，若，将“等补四边形”绕点A顺时针旋转，再将得到的四边形按上述方式旋转120°，可以形成一个等边三角形（如图5）．若，,则“等补四边形”的面积为 ． 由以上探究可知，对一些特殊的“等补四边形”，只需要知道，的长度，就可以求它的面积．那么，如何求一般的“等补四边形”的面积呢？ 探究三： (3)如图6，已知“等补四边形”，连接，将以点A为旋转中心顺时针旋转一定角度，使与重合，得到，点C的对应点为点． ①由旋转得： ，因为，所以， 即点，B，C在同一直线上，所以我们拼成的图形是一个三角形，即． ②如图7，在中，作于点H，若，，试求出“等补四边形”的面积（用含m，n的代数式表示），并说明理由． 【答案】(1) (2) (3)①；②，理由见解析 【分析】（1）通过旋转变换可得四边形面积等于直角梯形面积的一半，结合题意求直角梯形的面积即可求解； （2）通过旋转变换可得四边形面积等于等边三角形的面积的，根据等边三角形的性质可求得，，根据角的直角三角形的性质可得，根据勾股定理求得等边三角形的高，求出等边三角形的面积，即可求解； （3）①根据旋转的性质即可求解； ②通过旋转变换可得四边形面积等于等腰三角形面积，根据三角形的面积公式即可求解． 【详解】（1）解：由题意“等补四边形”的面积． 故答案为：9． （2）解：过点作交于点，如图：    根据题意可得， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，，， ∴， 则， 故“等补四边形”的面积． 故答案为：． （3）解：①由旋转的性质可知，， 故答案为：． ②：由旋转的性质可知，， ∵， ∴， ∴， ∴“等补四边形”的面积的面积． 【点睛】本题考查了旋转变换，直角梯形的面积公式，等边三角形的性质，勾股定理，含角的直角三角形的性质，三角形的面积公式等，解题的关键是利用旋转变换把求不规则图形的面积转化为求规则图形的面积． 试卷第2页，共29页 试卷第1页，共29页 学科网（北京）股份有限公司 $