精品解析：2026年广东深圳市龙岗区宏扬学校中考复习综合模拟数学（三）

九年级中考复习综合模拟 数学（三） （满分：100分） 第一部分 选择题（1～8题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，在下列几何体中，主视图与其他3个几何体主视图形状不一样的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，在中，， ， 的垂直平分线交于点D．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 4. 定义一种新运算：，则的结果为（ ） A. B. 3 C. 15 D. 5. 有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍安排住人，就有人没床位，设学校住宿的学生人数为，则以下列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 7. 如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线对称， 则下列五个结论∶ ① ； ②； ③；④(m为任意实数)；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ） A. 16 B. 20 C. 32 D. 40 第二部分非选择题（9～20题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若单项式与的差仍是单项式，则的值为______． 10. 数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是________． 11. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是函数图象上的一点，点是函数图象上的一点，则的值为_____． 12. 如图，在中，，垂足为，垂足为．若， ，则的面积为_____． 13. 把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 15. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 4 3 2 1 频数 20 10 m 6 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数a的值为______，扇形统计图中n的值为______； （2）该校九年级学生共有3000人，若九年级学生都参加测试，估计得分超过3分的学生人数有多少人？ 16. 某零件的剖面示意图如图所示，，点 在线段 上，且四边形是正方形，，垂足为点，求 的长．（结果精确到 ，参考数据：，） 17. 如图，点C在以 为直径的半圆O上，连接 ，过点C作半圆O的切线，交 的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求半圆O的半径及的长． 18. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出关于的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利元，请直接写出利润的最大值为________元． 19. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中， ，中， ． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合， 交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边 上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断 与 的位置关系，并说明理由． 20. 综合与探究 如图（a），抛物线 与轴交于点，直线 经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）如图（b），过点作 轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接 ． ①设点的横坐标为，当为何值时， 的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中考复习综合模拟 数学（三） （满分：100分） 第一部分 选择题（1～8题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 如图，在下列几何体中，主视图与其他3个几何体主视图形状不一样的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查三视图的知识，解题的关键是学会观察图形的三视图，进行解答，即可． 【详解】解：A、B、D选项的主视图均为矩形，C选项的主视图为三角形， 故选：C． 2. 下列计算中，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查整式乘法运算、算术平方根等知识点，熟练掌握相关运算法则成为解题的关键． 根据整式乘法运算、算术平方根逐项判断即可． 【详解】解：A．，故该选项错误，不符合题意； B．，故该选项正确，符合题意； C． ，故该选项错误，不符合题意； D． ，故该选项错误，不符合题意． 故选B． 3. 如图，在中，， ，的垂直平分线交于点D．若，则的长为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查对等腰三角形，含30度角的直角三角形，线段的垂直平分线等知识点，熟练掌握线段的垂直平分线的性质是解题的关键． 连接，根据等腰三角形的性质推出 ， ，根据含角的直角三角形的性质得出，得到，即可求出答案． 【详解】解：连接， ∵， ， ∴， ∵的垂直平分线是， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 4. 定义一种新运算：，则的结果为（ ） A. B. 3 C. 15 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义下的含乘方的有理数混合运算，根据新定义代入，先算乘方，乘法，最后再加法即可． 【详解】解：∵， ∴， 故选：C． 5. 有一所寄宿制学校，开学安排宿舍时，如果每间宿舍安排住人，将会空出间宿舍；如果每间宿舍安排住 人，就有人没床位，设学校住宿的学生人数为，则以下列出的方程中正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设学校住宿的学生人数为，根据题意得，从而求解，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设学校住宿的学生人数为， 根据题意得，， 故选：． 6. 如图，是面积为1的等边三角形，分别取的中点得到；再分别取，，的中点得到；…依此类推，则的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是三角形中位线定理、相似三角形的判定和性质．根据三角形中位线定理得到，相似比，的面积，的面积，总结规律，根据规律解答即可． 【详解】解：点、、分别为等边的边的中点， ，，， ，相似比， 的面积为1， 的面积， 同理，的面积， 则的面积， 故选：C． 7. 如图， 已知二次函数 (a，b，c是常数)的图象关于直线对称， 则下列五个结论∶ ① ； ②； ③；④(m为任意实数)；⑤．其中结论正确的个数为（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的图象和性质，熟知二次函数的图象和性质及巧用数形结合的思想是解题的关键； 由图象可知：，，根据对称轴及a与b的符号关系可得 ，则可判断①②，由对称轴是直线，且与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2，当时，可判断③；由当时，函数有最大值，可判断④；由及，可判断⑤． 【详解】解：抛物线开口往下， ， 抛物线与y轴交于正半轴， ， 抛物线的对称轴为， ， ， ，故①正确． 即，故②正确． 抛物线的对称轴为直线，且时，函数值小于零， 抛物线与x轴交点到对称轴距离大于1，小于2， 当时，函数值小于零， 即，故③正确． 抛物线的对称轴为直线，且开口向下， 当时，函数值最大， 当时，， 当时，， 则， ， 所以，故④正确． 由函数图象可知， 当时，函数值小于零， 则， ， 所以，故⑤正确． 综上所述：正确的有， 故选：D． 8. 如图，在平面直角坐标系中，矩形ABCD的顶点A点，D点分别在x轴、y轴上，对角线BD∥x轴，反比例函数的图象经过矩形对角线的交点E，若点A(2，0)，D(0，4)，则k的值为（ ） A. 16 B. 20 C. 32 D. 40 【答案】B 【解析】 【分析】根据平行于x轴的直线上任意两点纵坐标相同，可设B（x，4）利用矩形的性质得出E为BD中点，∠DAB=90°，根据线段中点坐标公式得出E（x，4）.由勾股定理得出AD2+AB2=BD2，列出方程22+42+（x-2）2+42=x2，求出x，得到E点坐标，代入，利用待定系数法求出k. 【详解】解：∵BD//x轴，D（0，4）， ∴B、D两点纵坐标相同，都为4， ∴可设B（x，4）. ∵矩形ABCD的对角线的交点为E，. ∴E为BD中点，∠DAB=90°. ∴E（x，4） ∵∠DAB=90°， ∴AD2+AB2=BD2， ∵A（2，0），D（0，4），B（x，4）， ∴22+42+（x-2）2+42=x2，解得x=10， ∴E（5，4）. 又∵反比例函数（k>0，x>0）的图象经过点E， ∴k=5×4=20；故选B. 【点睛】本题考查了矩形的性质，勾股定理，反比例函数图象上点的坐标特征，线段中点坐标公式等知识，求出E点坐标是解题的关键. 第二部分非选择题（9～20题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若单项式与的差仍是单项式，则的值为______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查了同类项的定义求参数，理解同类项的定义列式求解是关键． 单项式的差仍是单项式，可得两个单项式是同类项，即字母相同，相同字母的指数也相同，则，由此即可求解． 【详解】解：单项式与的差仍是单项式， ∴， 解得，， 故答案为：2 ． 10. 数学知识广泛应用于化学领域，是研究化学的重要工具．比如在学习化学式时，甲烷化学式为，乙烷化学式为，丙烷化学式为，按此规律，当碳原子的数目为n（n为正整数）时，氢原子的数目是________． 【答案】## 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类的规律探索，观察发现出规律成为解题的关键． 经观察可以发现：烷烃中氢原子数是碳原子的2倍加上2，据此规律即可解答． 【详解】解：碳原子个数为1时，氢原子数为个， 碳原子个数为2时，氢原子数为个， 碳原子个数为3时，氢原子数为个， ……， 以此类推，可知，碳原子个数为n时，氢原子数为个． 故答案为：． 11. 如图，在平面直角坐标系中，，，点是函数图象上的一点，点是函数图象上的一点，则的值为_____． 【答案】 【解析】 【分析】作轴于，作 轴于，根据反比例函数的几何意义得到，，证明，得到，从而得到关于的方程，再结合图象即可得出的值． 【详解】解：如图，作轴于，作 轴于， ∵，， ∴， ∵点是函数图象上的一点，点是函数图象上的一点， ∴，， ∵轴， 轴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得， ∵函数的图象经过第四象限， ∴， ∴． 12. 如图，在中，，垂足为，垂足为．若， ，则的面积为_____． 【答案】 【解析】 【分析】过点F分别作，垂足为M，N，连接，则，先根据平行线间的距离处处相等得出，继而得出，通过直角三角形的性质得出，即可求解． 【详解】解：过点F分别作，垂足为M，N，连接，则， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵, ∴， ∵ ，垂足为F，， ， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 13. 把一张矩形纸片按照如图①所示的方式剪成四个全等的直角三角形，四个直角三角形可拼成如图②或图③所示的正方形．若矩形纸片的长为m，宽为n，四边形的面积等于四边形面积的2倍，则___________． 【答案】 【解析】 【分析】首先表示出四边形的面积和四边形面积，然后根据题意得到，整理得到，，设，得到，然后解方程求解即可． 【详解】解：根据题意得，四边形的面积 四边形面积 ∵四边形的面积等于四边形面积的2倍 ∴ 整理得， ∴ 设， ∴ 解得或（舍去） ∴ 故答案为：． 【点睛】此题考查了完全平方公式，勾股定理，解一元二次方程等知识，解题的关键是掌握以上知识点． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4； （2）． 【解析】 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 15. 为加强体育锻炼，增强学生体质，某校在“阳光体育一小时”活动中组织九年级学生定点投篮技能测试，每人投篮4次，投中一次计1分．测试结束后，随机抽取a名学生的成绩作为样本，将收集的数据整理并绘制成如下的统计图表． 测试成绩频数分布表 成绩/分 4 3 2 1 频数 20 10 m 6 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生人数a的值为______，扇形统计图中n的值为______； （2）该校九年级学生共有3000人，若九年级学生都参加测试，估计得分超过3分的学生人数有多少人？ 【答案】（1）40，50 （2）2250人 【解析】 【分析】本题考查了频数分布表与扇形统计图的综合应用，用样本估计总体． （1）计算本次抽取的学生人数通过得分成绩在3的频数除以所占百分比可得出，计算扇形统计图中n的值利用成绩分数在4的频数除以总人数再乘100%可得到结果； （2）先计算本次抽取的人数中得分超过3分的频数，再计算其频率，最终用九年级总人数乘以频率即可得到结果． 【小问1详解】 解：由成绩分数在3的频数与所占百分比可知：， ∵成绩分数在4的频数为20， ∴． 故答案为：40，50． 【小问2详解】 解：在本次抽取的学生中，得分超过3分的频数为： ， ∴得分超过3分的频率为：， ∴在九年级学生中，得分超过3分的人数约有：（人）． 16. 某零件的剖面示意图如图所示，，点 在线段 上，且四边形是正方形，，垂足为点，求 的长．（结果精确到 ，参考数据：，） 【答案】 的长为 【解析】 【分析】本题主要考查解直角三角形，过点B作于点P，延长交于点Q，得，证明四边形是矩形，得，求出，解直角三角形得，从而可求出 【详解】解：过点B作于点P，延长交于点Q，如图， ∴ ∵ ∴ ∴ ∴四边形 是矩形， ∴； ∵ ∴ ∴ ∵四边形是正方形， ∴ ∴四边形是矩形， ∴； ∵ ∴ 在 中， ∵， ∴ 在 中， ∵ ∴ ∴ 17. 如图，点C在以为直径的半圆O上，连接 ，过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D，在上取点E，使，连接，交于点F． （1）求证：； （2）若，，求半圆O的半径及的长． 【答案】（1） 解：连接，则：， ∴ ， ∵过点C作半圆O的切线，交的延长线于点D， ∴ ， ∴ ， ∵为直径， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； （2）半圆O的半径为2， 【解析】 【分析】（1）连接，切线得到 ，等边对等角得到 ，圆周角定理得到，同角的余角得到，等量代换得到 ，即可得证； （2）连接，设半圆O的半径为，解直角三角形，求出半径的长，进行求出的长，平行得到，解直角三角形，求出，的长，角平分线的性质，以及同高三角形的面积比等于底边比，得到，进行求解即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 设半圆O的半径为，则 ， ∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴，即：半圆O的半径为2； ∴， 连接，则：， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴平分， ∴到的距离相等，都等于的长， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题考查切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，角平分线的性质等知识点，熟练掌握相关知识点，是解题的关键． 18. 习近平总书记说：“人民群众多读书，我们的民族精神就会厚重起来、深邃起来．”某书店计划在4月23日世界读书日之前，同时购进甲、乙两类图书，请根据以下素材，探索完成任务： 如何设计采购方案 素材一 甲 乙 总费用（元） 购进数量（本） 3 4 288 购进数量（本） 5 2 270 素材二：该书店计划用4500元全部购进甲、乙两类图书，购进数量及售价如下： 甲 乙 购进数量（本） 售价（元/本） 38 50 问题解决 任务一：请尝试求出甲、乙两类图书每本的进价． 任务二：①写出关于的关系式； ②采购时，甲类图书的购进数量不少于60本，若该书店全部售完购进的甲、乙两类图书可获利元，请直接写出利润的最大值为________元． 【答案】任务一：甲类图书每本进价为36元，乙类图书每本进价为45元；任务二：①；②380 【解析】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是b元， ，根据“购进3 本甲类图书和4本乙类图书共需元； 购进5本甲类图书和2本乙类图书共需270元．”列出方程组，即可求解； 任务二：①根据“用 元全部购进两类图书，”列出方程，再变形，即可求解；②设书店所获利润为w元，根据题意，列出w关于x函数关系式，再根据一次函数的性质，即可求解． 【详解】解：任务一：设甲类图书每本的进价是a元，乙类图书每本的进价是b元， 根据题意得：， 解得：， 答：甲类图书每本的进价是元，乙类图书每本的进价是元； 任务二：①根据题意得：， ∴关于的关系式为； ②设书店所获利润为w元， 根据题意得： ∵， ∴W随x的增大而减小， ∵甲类图书的购进数量不少于本， ∴， ∴当 时，w有最大值，最大值为， ∴最大利润为元． 19. 综合与实践 小明同学用一副三角板进行自主探究．如图，中， ，中， ． 【观察感知】 （1）如图①，将这副三角板的直角顶点和两条直角边分别重合， 交于点F，求的度数和线段的长．（结果保留根号） 【探索发现】 （2）在图①的基础上，保持不动，把绕点C按逆时针方向旋转一定的角度，使得点A落在边上（如图②）． ①求线段的长；（结果保留根号） ②判断与的位置关系，并说明理由． 【答案】（1） ， ； （2）① ； ② ，理由如下： ∵在 中， ， ∴ ， 又∵， ∴ ， ∴ ． 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、解直角三角形、勾股定理等知识，熟练掌握解直角三角形的方法是解题关键． （1）先根据等腰三角形的性质可得 ，再求出 ，然后根据三角形的外角性质即可得 ；最后根据解直角三角形可得 的长，根据线段的和差即可得； （2）①过点作 ，垂足为，先解直角三角形可得 的长，再利用勾股定理可得 的长，然后根据线段的和差即可得； ②根据等腰三角形的性质可得 ，则可得 ，由此即可得． 【详解】解：（1）∵中， ， ∴ ， ∵中， ， ∴ ， ∴ ； 在中，， 在 中，， ∴ ． （2）①如图，过点作 ，垂足为， 中， ， ． 中， ． ∴ ， ． ②略 20. 综合与探究 如图（a），抛物线 与轴交于点，直线经过点，与轴交于点，与抛物线交于点． （1）求抛物线的函数表达式． （2）如图（b），过点作 轴，垂足为，是线段上方抛物线上的一个动点，连接，交于点，过点作轴，垂足为交线段于点，连接 ． ①设点的横坐标为，当为何值时， 的面积取得最大值？并求出这个最大值． ②已知为轴上的一点，为平面直角坐标系内的一点，当以点，，，为顶点的四边形为正方形时，求点的坐标． 【答案】（1） （2）①当时，面积的最大值为；②点N的坐标为或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解析式； （2）①证明，得，将，，代入，求出，由此求出，根据二次函数的性质求出面积的最大值为． ②求出直线的表达式为，得到，由①知，得到轴，且．分三种情况分别求出点N的坐标． 【小问1详解】 解：将点和代入，得 ， 解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 ①∵轴，轴， ∴． ∵， ∴． ∴． 设点P的坐标为，则， ． ∵轴， ∴，． ∴． ∴． ∴ ． ∴当时，面积的最大值为． ②易求直线的表达式为． ∴点F的坐标为． ∴．由①知． ∴轴，且． Ⅰ． 如图（a），当四边形为正方形时，此时点M与点G重合，点N与点D重合， ∴点N的坐标为． Ⅱ． 如图（b），当四边形为正方形时，此时点N与点G重合，点M与点D重合， ∴．则．解得． ∴点N的坐标为． Ⅲ． 如图（c），当为对角线时，此时，由正方形的性质得． ∴． 解得． ∴点G的坐标为． ∴点M的坐标为，． ∴点N的坐标为． 综上，点N的坐标为或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $