3.1.2 第1课时 函数的表示法（课件PPT）-【学霸笔记·同步精讲】2025-2026学年高中数学必修第一册（人教A版）

该高中数学课件系统梳理了函数的表示法（解析法、图象法、列表法）、函数图像的作法及解析式求解方法，通过知识梳理与课堂小结将核心内容串联，构建“概念-表示-图像-应用”的完整知识网络，帮助学生理解知识点间的内在逻辑。 其亮点在于融合数学抽象、直观想象与数学运算核心素养，通过“情景导入-例题示范-分层训练”模式，如用复兴号路程问题引入解析法，结合描点法作函数图像培养直观想象，课时作业分基础巩固、综合运用、拓展探究三层设计。这种设计既巩固知识，又助力教师实施分层教学，提升复习效率。

第一课时　函数的表示法 1 1. 掌握函数的三种表示方法（数学抽象、数学运算）. 2. 掌握函数图象的作法和应用（直观想象）. 3. 会求函数的解析式（数学运算）. 课标要求 　　本章第一节学习函数概念时列举了以下三个函数： 　　（1）某“复兴号”高速列车加速到350 km/h后匀速运行了半小时，此时列车行进的路程s与时间t的关系可以表示为s＝350t（0≤t≤0.5）（解析式表示）； 　　（2）某市某日的空气质量指数I与这一天内任意一时刻t h的关系可用一条曲线表示（图象表示）； （3）国际上反映人民生活质量高低的通用标准：恩格尔系数，该函数是以列表形式给出了年份与对应恩格尔系数的值（列表表示）； 　　以上三种表示方法就是今天要学习的函数的表示法：解析法、图象法、列表法. 情景导入 知识点一　函数的表示方法 01 知识点二　函数的图象 02 提能点　求函数的解析式 03 目录 课时作业 04 4 知识点一 函数的表示方法 01 PART 目 录 问题1　已建成的京沪高速铁路总长约1 317千米，设计速度目标值为380千 米/时.若火车速度按300千米/时计算，行驶x小时后，路程为y千米，则y 是x的函数，可以用y＝300x来表示，其中y＝300x，x∈[0，4.39]叫做 该函数的解析式. （1）上述函数的表示方法是什么？ 提示：解析法. （2）还有其他形式的函数表示法吗？ 提示：图象法、列表法. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 【例1】　购买某种饮料x听，所需钱数为y元.若每听2元，试分别用解析 法、列表法、图象法将y表示成x（x∈{1，2，3，4}）的函数，并指出这 个函数的值域. 解：（1）解析法：y＝2x，x∈{1，2，3，4}，值域y∈{2，4，6，8}. 数学·必修第一册 目 录 （2）列表法：如表所示. x/听 1 2 3 4 y/元 2 4 6 8 （3）图象法：图象由点（1，2），（2，4），（3，6），（4，8）组成，如图所示. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 理解函数表示法的三个关注点 （1）列表法、图象法、解析法均是函数的表示法，无论是哪种方式表示 函数，都必须满足函数的定义； （2）列表法更直观形象，图象法从形的角度描述函数，解析法从数的角 度描述函数； （3）函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函数是可以用三种方法表 示的，但在实际操作中，仍以解析法为主. 数学·必修第一册 目 录 训练1　某答题游戏的规则是：共答5道选择题，基础分为50分，每答错一 道题扣10分，答对不扣分.试分别用列表法、图象法、解析法表示一个参 与者的得分y与答错题目道数x（x∈{0，1，2，3，4，5}）之间的函数关 系y＝f（x）. 解：（1）用列表法可将函数y＝f（x）表示为 x 0 1 2 3 4 5 y 50 40 30 20 10 0 数学·必修第一册 目 录 （2）用图象法可将函数y＝f（x）表示为 （3）用解析法可将函数y＝f（x）表示为y＝50－10x，x∈{0，1，2， 3，4，5}. 数学·必修第一册 目 录 知识点二 函数的图象 02 PART 目 录 问题2　y＝x＋2与y＝x＋2，x∈[2，＋∞），以及y＝x＋2，x∈ 2，3， 的图象一样吗？为什么？ 提示：不一样，y＝x＋2的图象是一条直线；y＝x＋2，x∈[2，＋∞） 是一条射线；y＝x＋2，x∈{1，2，3，4}是四个点；图象不同的原因是 定义域不同. 数学·必修第一册 目 录 【知识梳理】 描点法作图的步骤： （1）明确函数的 ⁠； （2）化简函数 ⁠； （3）列表； （4）描点； （5）根据实际情况选择是否 ⁠. 定义域　 解析式　 连线　 数学·必修第一册 目 录 【例2】　作出下列函数的图象并求出其值域. （1）y＝－x，x∈{0，1，－2，3}； 解：列表 x 0 1 －2 3 y 0 －1 2 －3 函数图象是四个点（0，0），（1，－1），（－2，2），（3，－3），其值域为{0，－1，2，－3}. 数学·必修第一册 目 录 （2）y＝ ，x∈[2，＋∞）； 解：列表 x 2 3 4 5 … y 1 ​ ​ ​ … 画图象，当x∈[2，＋∞）时，图象是反比例函数y＝ 的一部分，观察图象可知其值域为（0，1]. 数学·必修第一册 目 录 （3）y＝x2＋2x，x∈[－2，2）. 解：列表 x －2 －1 0 1 2 y 0 －1 0 3 8 画图象，图象是抛物线y＝x2＋2x在－2≤x＜2之间的部分. 由图可得函数的值域为[－1，8）. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 描点法作函数图象的三个关注点 （1）画函数图象时首先关注函数的定义域，即在定义域内作图； （2）图象是实线或实点，定义域外的部分有时可用虚线来衬托整个图 象； （3）要标出某些关键点，例如图象的顶点、端点、与坐标轴的交点等.要 分清这些关键点是实心点还是空心圈. 　　提醒：函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直线、折线、离散的 点等. 数学·必修第一册 目 录 训练2　作出下列函数的图象： （1）y＝1－x（x∈Z）； 解：因为x∈Z，描点（－3，4），（－2，3），（－1，2），（0，1），（1，0），…， 所以图象为直线y＝1－x上的孤立点，其图象如图1所示. （2）y＝x2－4x＋3，x∈[1，3]. 解：y＝x2－4x＋3＝（x－2）2－1， 当x＝1，3时，y＝0； 当x＝2时，y＝－1，用平滑曲线连接得其图 象如图2所示. 数学·必修第一册 目 录 03 PART 提能点 求函数的解析式 目 录 角度1　待定系数法求函数解析式 【例3】　已知f（x）是一次函数，且f（f（x））＝16x－25，求f（x）. 解：设f（x）＝kx＋b（k≠0）， 则f（f（x））＝k（kx＋b）＋b＝k2x＋kb＋b＝16x－25， ∴ ∴ 或 ∴f（x）＝4x－5或f（x）＝－4x＋ . 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 待定系数法求函数解析式 　　已知函数的类型，如一次函数、二次函数等，即可根据题意设出f （x）的解析式（含待定的系数），再根据条件列方程（组），通过解方 程（组）求出待定系数，进而求出函数解析式. 数学·必修第一册 目 录 角度2　换元法（配凑法）求函数解析式 【例4】　求下列函数的解析式： （1）已知f（ ＋1）＝x＋2 ，求f（x）； 解：法一（换元法）　令t＝ ＋1，则x＝（t－1）2，t≥1， 所以f（t）＝（t－1）2＋2（t－1）＝t2－1（t≥1）， 所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 法二（配凑法）　f（ ＋1）＝x＋2 ＝x＋2 ＋1－1＝（ ＋1）2 －1. 因为 ＋1≥1，所以f（x）的解析式为f（x）＝x2－1（x≥1）. 数学·必修第一册 目 录 （2）已知f（x＋2）＝2x＋3，求f（x）. 解：f（x＋2）＝2x＋3＝2（x＋2）－1， 所以f（x）＝2x－1. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 已知f（g（x））＝h（x）求f（x）常用的两种方法 （1）换元法，即令t＝g（x）解出x，代入h（x）中得到一个含t的解析 式，即为函数解析式，注意换元后新元的范围； （2）配凑法，即从f（g（x））的解析式中配凑出“g（x）”，即用g （x）来表示h（x），然后将解析式中的g（x）用x代替即可. 数学·必修第一册 目 录 角度3　方程组法（消元法）求函数解析式 【例5】　已知函数f（x）对于任意的x都有f（x）－2f（－x）＝1＋ 2x，求f（x）. 解：由题意，在f（x）－2f（－x）＝1＋2x中，以－x代替x可得f（－ x）－2f（x）＝1－2x， 联立可得 消去f（－x）可得f（x）＝ x－1. 数学·必修第一册 目 录 【规律方法】 　　方程组法（消元法），适用于自变量具有对称规律的函数表达式， 如：互为倒数（f（x），f（ ）），互为相反数（f（－x），f（x）） 的函数方程，通过对称构造一个对称方程组，解方程组即可.在构造对称 方程时，一般用 或－x替换原式中的x即可. 数学·必修第一册 目 录 训练3　（1）已知函数f（x＋1）＝3x＋2，求f（x）； 解：法一（换元法）　令x＋1＝t，∴x＝t－1， ∴f（t）＝3（t－1）＋2＝3t－1， ∴f（x）＝3x－1. 法二（配凑法）　f（x＋1）＝3x＋2＝3（x＋1）－1， ∴f（x）＝3x－1. 数学·必修第一册 目 录 （2）已知f（x）＋2f（ ）＝x（x≠0），求f（x）. 解：∵f（x）＋2f（ ）＝x， 用 代替x得f（ ）＋2f（x）＝ ， 消去f（ ）得f（x）＝ － （x≠0）， ∴函数f（x）的解析式为f（x）＝ － （x≠0）. 数学·必修第一册 目 录 1. 由下表给出的函数y＝f（x），则f（f（1））＝（　　） x 1 2 3 4 5 y 4 5 3 2 1 A. 1 B. 2 C. 4 D. 5 解析：由题意可知，f（1）＝4，f（4）＝2，∴f（f（1））＝f（4） ＝2.故选B. √ 数学·必修第一册 目 录 2. 已知函数f（1－x）＝3x＋2，则f（x）的解析式是（　　） A. f（x）＝3x－1 B. f（x）＝－3x＋1 C. f（x）＝3x＋2 D. f（x）＝－3x＋5 解析：　令1－x＝t，则x＝1－t，∴f（t）＝3（1－t）＋2＝－3t＋ 5.∴f（x）＝－3x＋5. √ 数学·必修第一册 目 录 3. 已知f（x）的图象恒过点（1，－1），则函数f（x－3）的图象恒过点 （　　） A. （－2，－1） B. （4，－1） C. （1，－4） D. （1，－2） 解析：　因为f（x）的图象恒过点（1，－1），所以当x－3＝1时，f （x－3）＝－1，即函数f（x－3）的图象恒过点（4，－1）. √ 数学·必修第一册 目 录 4. 如果一次函数f（x）的图象过点（1，0）及点（0，1），则f（3） ＝ ⁠. 解析：设一次函数的解析式为f（x）＝kx＋b（k≠0），因为其图象过点 （1，0），（0，1），所以 解得k＝－1，b＝1，所以f （x）＝－x＋1，所以f（3）＝－3＋1＝－2. －2 数学·必修第一册 目 录 课堂小结 1.理清单 （1）函数的三种表示方法：列表法、图象法和解析法； （2）求函数解析式的方法：待定系数法、换元法、配凑法、消元法（方 程组法）； （3）函数图象的作法. 2.应体会 （1）明确函数类型用待定系数法； （2）求解自变量具有对称规律的函数表达式用到函数与方程思想. 3.避易错 （1）求函数解析式时标注函数的定义域； （2）画函数图象时易忽略定义域，同时要注意是连续曲线还是离散的点. 数学·必修第一册 目 录 课时作业 04 PART 目 录 1. 如果f（ ）＝ ，则当x≠0，1时，f（x）＝（　　） A. B. C. D. －1 解析：　令 ＝t，则x＝ ，代入f（ ）＝ ，则有f（t）＝ ＝ ，则f（x）＝ ，x≠0，1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 数学·必修第一册 目 录 2. 若f（x）是一次函数，2f（2）－3f（1）＝5，2f（0）－f（－1）＝ 1，则f（x）＝（　　） A. 3x＋2 B. 2x－3 C. 2x＋3 D. 3x－2 解析：　设f（x）＝ax＋b（a≠0），由题设有 解得 所以f（x）＝3x－2. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 3. 某学校高中部举行秋季田径运动会，甲、乙、丙、丁4位同学代表高一 （1）班参加男子组4×100米接力跑比赛，甲同学负责跑第二棒.在比赛 中，从甲接到接力棒到甲送出接力棒，甲同学的跑步速率v（单位：m/s） 关于跑步时间t（单位：s）的函数图象最可能的是（　　） 解析：甲在接棒前要进行助跑，接棒后要进行快跑加速，达到最大速度后需要保持匀速到送出棒，之后减速直到送出棒给下一位同学.所以，函数图象先上升，再水平，最后下降. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 4. 若f（x）对于任意实数x恒有3f（x）－2 f（－x）＝5x＋1，则f （x）＝（　　） A. x＋1 B. x－1 C. 2x＋1 D. －3x－1 解析：　3f（x）－2f（－x）＝5x＋1，所以3f（－x）－2f（x）＝－ 5x＋1，解得f（x）＝x＋1. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 5. 已知二次函数f（x）满足f（2x）＋f（x－1）＝10x2－7x＋5，则f （f（2））＝（　　） A. 49 B. 92 C. 82 D. 104 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：　设f（x）＝ax2＋bx＋c（a≠0）.因为f（2x）＋f（x－1） ＝10x2－7x＋5，所以4ax2＋2bx＋c＋a（x－1）2＋b（x－1）＋c＝ 10x2－7x＋5，即5ax2＋（3b－2a）x＋a－b＋2c＝10x2－7x＋5，所以 解得 所以f（x）＝2x2－x＋1.所以f（2） ＝8－2＋1＝7，所以f（f（2））＝f（7）＝2×49－7＋1＝92. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 6. 〔多选〕已知f（2x－1）＝4x2，则下列结论正确的是（　　） A. f（3）＝9 B. f（x）＝x2 C. f（－3）＝4 D. f（x）＝（x＋1）2 解析：令t＝2x－1，则x＝ ，∴f（t）＝4 ＝（t＋1）2.∴f（3）＝16，f（－3）＝4，f（x）＝（x＋1）2. √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 7. 〔多选〕矩形的面积为10，如果矩形的长为x，宽为y，对角线为d，周 长为l，则下列正确的是（　　） A. l＝2x＋ （x＞0） B. y＝ （x＞0） C. l＝2 （d＞0） D. d＝ （x＞0） √ √ √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 解析：对于A，因为矩形的面积为10，矩形的长为x，宽为y，所以xy＝10，得y＝ ，所以矩形的周长为l＝2x＋ （x＞0），所以A正确；对于B，由选项A，可知y＝ （x＞0），所以B正确；对于C，因为矩形的面积为10，对角线为d，长为x，宽为y，所以x2＋y2＝d2≥2xy＝20，当且仅当x＝y＝ 时等号成立，所以x2＋y2＋2xy＝d2＋20，（x＋y）2＝d2＋20，因为x＋y＞0，所以x＋y＝ ，所以矩形的周长为l＝2 （d≥2 ），所以C错误；对于D，由选项C可知x2＋y2＝d2，xy＝10，所以d2＝x2＋ ，因为d＞0，所以d＝ （x＞0），所以D正确，故选A、B、D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 8. 已知f（ x－1）＝2x＋3，若f（t）＝4，则t＝ 　－ 　. 解析：令 x－1＝m，则x＝2m＋2，所以f（m）＝2（2m＋2）＋3＝ 4m＋7，因为f（t）＝4，所以4t＋7＝4，解得t＝－ . － 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 9. 已知函数F（x）＝f（x）＋g（x），其中f（x）是x的正比例函 数，g（x）是x的反比例函数，且F（ ）＝16，F（1）＝8，则F（x） 的解析式为 ⁠. 解析：设f（x）＝kx（k≠0），g（x）＝ （m≠0），则F（x）＝kx ＋ .由F（ ）＝16，F（1）＝8，得 解得 所 以F（x）＝3x＋ . F（x）＝3x＋ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 10. 画出下列函数的图象，并求出函数的定义域和值域： （1）y＝ ； 解：反比例函数y＝ 的图象如图1所示，定义域为（－∞，0）∪（0，＋∞），值域为（－∞，0）∪（0，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）y＝－4x＋5； 解：一次函数y＝－4x＋5的图 象如图2所示，定义域为R，值域为R. （3）y＝x2－6x＋7. 解：二次函数y＝x2－6x＋7的图象如图3所示，定义域为R，值域为[－2，＋∞）. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 11. 已知函数f（x）对任意x，y∈R，总有f（x）＋f（y）＝f（x＋ y），若f（1）＝－2，则f（3）＝（　　） A. －6 B. －4 C. －2 D. 0 解析：由题意得，f（3）＝f（1）＋f（2）＝3f（1）＝－6. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 12. 如图，平面图形中阴影部分的面积S是关于h（h∈[0，H]）的函数，则该函数的图象大致是（　　） 解析：　由平面图形，可知S随着h的增加而减少，并且减少的趋势在减 小，当h＝ 时，阴影部分的面积小于整个图形面积的一半，故选D. √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 13. 已知函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，则f （5）＝ ⁠. 解析：因为函数f（x）是一次函数，且f（f（x）－4x）＝10恒成立，令 f（x）－4x＝t，则f（x）＝4x＋t，所以f（t）＝4t＋t＝10，解得t＝ 2，所以f（x）＝4x＋2，所以f（5）＝4×5＋2＝22. 22 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 14. 已知函数f（x）＝ （a，b为常数，且a≠0）满足f（2）＝1， 方程f（x）＝x有唯一解，求函数f（x）的解析式. 解：由f（x）＝x，得 ＝x，即ax2＋（b－1）x＝0. ∵方程f（x）＝x有唯一解， ∴Δ＝（b－1）2＝0，即b＝1. ∵f（2）＝1，∴ ＝1.∴a＝ . ∴f（x）＝ ＝ . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 15. 已知函数f（x）对任意实数a，b，都有f（ab）＝f（a）＋f（b） 成立. （1）求f（0）与f（1）的值； 解：令a＝b＝0，得f（0）＝f（0）＋f（0），解得f（0）＝0； 令a＝1，b＝0，得f（0）＝f（1）＋f（0），解得f（1）＝0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 （2）求证：f（ ）＝－f（x）； 解：证明：令a＝ ，b＝x， 得f（1）＝f（ ）＋f（x）＝0， ∴f（ ）＝－f（x）. （3）若f（2）＝p，f（3）＝q（p，q均为常数），求f（36）的值. 解：令a＝b＝2，得f（4）＝f（2）＋f（2）＝2p， 令a＝b＝3，得f（9）＝f（3）＋f（3）＝2q. 令a＝4，b＝9，得f（36）＝f（4）＋f（9）＝2p＋2q. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 数学·必修第一册 目 录 THANKS 演示完毕 感谢观看 $