精品解析：广东省深圳市龙岗区宏扬学校2026届九年级下学期中考模拟考试数学试题

九年级中考复习综合模拟数学（四） （满分：100分） 第一部分选择题（1∽8题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2024年我省夏粮总产量约350亿斤，这里“350亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 2. 一个空心圆柱如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 有一棵不知道高度的笔直大树矗立在平地上，量得它在太阳下的影子长为4米，同时在这块平地上竖直立一根长米的标杆，测量得它在太阳下的影子长为米，这棵大树的高度为（ ） A. 25米 B. 20米 C. 15米 D. 10米 4. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 5. 如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 6. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是，则这个多边形边数是（　　） A. 9 B. 10 C. 12 D. 11 7. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 8. 如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为 A. B. C. D. 第二部分非选择题（9~20题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是______． 10. 若为正整数，且满足，则_____． 11. 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．两次都摸到白球的概率是____． 12. 如图，是的角平分线，点在上，交于点．若，且，则的长为_____． 13. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，连接交于点的平分线交边于点，点关于过点的某条直线的对称点恰好在上，且点不与点重合，连接，则的长为______． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算、化简： （1）； （2）． 15. 为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题: （1）参加征文比赛的学生共有 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为__ 图中 ； （4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 16. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 17. 如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 19. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级中考复习综合模拟数学（四） （满分：100分） 第一部分选择题（1∽8题） 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 2024年我省夏粮总产量约350亿斤，这里“350亿”用科学记数法表示为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 【详解】解：“350亿”用科学记数法表示为． 故选：B． 2. 一个空心圆柱如图所示，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：这个空心圆柱的主视图为： ． 3. 有一棵不知道高度的笔直大树矗立在平地上，量得它在太阳下的影子长为4米，同时在这块平地上竖直立一根长米的标杆，测量得它在太阳下的影子长为米，这棵大树的高度为（ ） A. 25米 B. 20米 C. 15米 D. 10米 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了相似三角形的实际应用，根据同一时刻，物长与其影长的比值相同建立方程求解即可． 【详解】解：设这棵大数的高度为米， 由题意得，， 解得， ∴这棵大树的高度为20米， 故选：B． 4. 如图，中，，根据尺规作图的痕迹判断以下结论错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由尺规作图可知AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC，由此逐一分析即可求解． 【详解】解：由尺规作图可知，AD是∠CAB角平分线，DE⊥AC， 在△AED和△ABD中： ∵，∴△AED≌△ABD(AAS)， ∴DB=DE，AB=AE，选项A、B都正确， 又在Rt△EDC中，∠EDC=90°-∠C， 在Rt△ABC中，∠BAC=90°-∠C， ∴∠EDC=∠BAC，选项C正确， 选项D，题目中缺少条件证明，故选项D错误． 故选：D. 【点睛】本题考查了尺规作图角平分线的作法，熟练掌握常见图形的尺规作图是解决这类题的关键． 5. 如图，等边三角形的边长为为上一点，且为上一点，若，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查相似三角形的判定与性质，等边三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握相似三角形的性质．由等边三角形的性质结合条件可证明，由相似三角形的性质可求得． 【详解】解：等边三角形的边长为7， ，， ， ， 又，且， ， ， ，即， ， 故选：D． 6. 已知一个多边形的内角和与外角和的差是，则这个多边形边数是（　　） A. 9 B. 10 C. 12 D. 11 【答案】D 【解析】 【分析】设这个多边形边数是n，根据“一个多边形的内角和与外角和的差是”，列出方程，即可求解． 【详解】解：设这个多边形边数是n，根据题意得： ， 解得：， 即这个多边形边数是11． 故选：D 【点睛】本题主要考查了多边形的内角和与外角和问题，熟练掌握多边形的内角和定理与外角和定理是解题的关键． 7. 某湖面上有一座抛物线形拱桥，按如图所示的方式建立平面直角坐标系，得到抛物线的函数解析式为，正常水位时，水面宽为，此时拱顶到水面的距离为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用，准确熟练地进行计算是解题的关键．根据题意可得：把代入，进行计算，即可求解． 【详解】解：∵水面宽为， ∴的横坐标为 把代入 得： ∴ ∴此时拱顶到水面的距离为 故选：A． 8. 如图，的半径为2，、是互相垂直的两条直径，点是上任意一点与、、、不重合），经过作于点，于点，点是的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径长为 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质和判定，弧长公式，掌握相关知识是解决问题的关键．证明四边形是矩形，因为点为的中点，则点为的中点，当点沿着圆周转过时，点走过的路径是在以为圆心为半径的圆上转过，利用弧长公式计算即可． 【详解】解：如图，连接， 于点，于点， 四边形是矩形， 又点为的中点， 点为的中点， 则， 点走过的路径长． 故选：A． 第二部分非选择题（9~20题） 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 点关于原点对称的点的坐标是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了关于原点对称的点的坐标特征． 根据关于原点对称的点的坐标特征，横坐标和纵坐标均取相反数作答即可． 【详解】点关于原点对称的点的坐标是． 故答案为：． 10. 若为正整数，且满足，则_____． 【答案】8 【解析】 【分析】估算出的取值范围，确定其介于两个连续正整数之间，即可求解． 【详解】解：， ，即， 又，且为正整数， ． 11. 一只不透明的袋子中装有1个红球和2个白球，这些球除颜色外都相同．搅匀后从中任意摸出1个球，记录颜色后放回、搅匀，再从中任意摸出1个球．两次都摸到白球的概率是____． 【答案】 【解析】 【分析】画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有等可能的结果，再利用概率公式即可求解. 【详解】解：画出树状图如下： ∴所有可能的结果有9种，两次都摸到白球的结果有4种， ∴两次都摸到白球的概率为. 12. 如图，是的角平分线，点在上，交于点．若，且，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】在上截取，使，连接，根据是的角平分线，证得，从而推得，再结合证明，进而得，代入相关数值即可求解． 【详解】解：如图，在上截取，使，连接， ∵是的角平分线， ∴， 在和中， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴，即， 解得； ∴的长为． 13. 如图，在矩形中，，，点是边的中点，连接交于点的平分线交边于点，点关于过点的某条直线的对称点恰好在上，且点不与点重合，连接，则的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形，相似三角形的判定和性质，勾股定理．先证明，推出，得到，利用勾股定理求得的长，利用相似三角形求得，连接，求得，推出，再利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵在矩形中，，，点是边的中点， ∴，， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∵在矩形中，，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 连接， ∵点关于过点的某条直线的对称点恰好在上， ∴， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本大题共7小题，共61分） 14. 计算、化简： （1）； （2）． 【答案】（1）2026 （2） 【解析】 【分析】（1）先分别计算绝对值、零指数幂、有理数的乘方；再按从左到右的顺序计算加减． （2）首先处理括号内的分式减法，将1转化为与减数同分母的分式，通分后计算差；将除式的分子分母颠倒后与被除式相乘，最后约分化为最简分式． 【小问1详解】 原式 ． 【小问2详解】 原式 ． 15. 为推进“传统文化进校园”活动，我市某中学举行了“走进经典”征文比赛，赛后整理参赛学生的成绩，将学生的成绩分为四个等级，并将结果绘制成不完整的条形统计图和扇形统计图．请根据统计图解答下列问题: （1）参加征文比赛的学生共有 人； （2）补全条形统计图； （3）在扇形统计图中，表示等级的扇形的圆心角为__ 图中 ； （4）学校决定从本次比赛获得等级的学生中选出两名去参加市征文比赛，已知等级中有男生一名，女生两名，请用列表或画树状图的方法求出所选两名学生恰好是一名男生和一名女生的概率． 【答案】（1）30； （2）补全条形统计图如下图 （3）144°，30；（4） ． 【解析】 【分析】（1）根据等级为A的人数除以所占的百分比即可求出总人数； （2）根据条形统计图得出A、C、D等级的人数，用总人数减A、C、D等级的人数即可； （3）计算C等级的人数所占总人数的百分比，即可求出表示等级的扇形的圆心角和的值； （4）利用列表法或树状图法得出所有等可能的情况数，找出一名男生和一名女生的情况数，即可求出所求的概率． 【详解】解：（1）根据题意得成绩为A等级的学生有3人，所占的百分比为10%， 则3÷10%=30， 即参加征文比赛的学生共有30人； （2）由条形统计图可知A、C、D等级的人数分别为3人、12人、6人， 则30−3−12−6=9（人），即B等级的人数为9人 （3）， ，∴m=30 （4）依题意，列表如下: 男 女 女 男 (男，女) (男，女) 女 (男，女) (女，女) 女 (男，女) (女，女) 由上表可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种， 所以； 或树状图如下 由上图可知总共有6种结果，每种结果出现的可能性相同，其中所选两名学生恰好是一男一女的结果共有4种， 所以． 【点睛】本题考查了条形统计图、扇形统计图以及利用列表法或者树状图法求概率，弄清题意是解题的关键． 16. 请你根据下列素材，完成有关任务． 背景 某校计划购买篮球和排球，供更多学生参加体育锻炼，增强身体素质． 素材一 购买个篮球与购买个排球需要的费用相等； 素材二 购买个篮球和个排球共需元； 素材三 该校计划购买篮球和排球共个，篮球和排球均需购买，且购买排球的个数不超过购买篮球个数的倍． 请完成下列任务： 任务一 每个篮球，每个排球的价格分别是多少元？ 任务二 给出最节省费用的购买方案． 【答案】任务一：每个篮球元，每个排球元；任务二：购买篮球个，排球个，最节省费用． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的应用，掌握知识点的应用是解题的关键． 任务一：设每个篮球元，每个排球元，根据题意得，然后解方程组即可； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，费用为元，根据题意得，求出的取值范围，由，可得随的增大而增大，则当时，有最小值，从而求解． 【详解】解：任务一：设每个篮球元，每个排球元， 根据题意得：， 解得：， 答：每个篮球元，每个排球元； 任务二：设购买篮球个，则购买排球个，总的费用为元， 根据题意得：， ∴且a为整数， ∴， ∵ ∴随的增大而增大， ∴当时，有最小值，为元，此时， 答：购买篮球个，排球个，最节省费用． 17. 如图，点A，B，C在上，，以，为边作． （1）当经过圆心O时（如图1），求的度数； （2）当与相切时（如图2），若的半径为6，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据直径所对的圆周角为直角，得出，再求出，再根据平行四边形的性质得出； （2）连接、，根据切线性质得出，证明，得出， 说明垂直平分，根据线段垂直平分线的性质得出，根据等腰三角形性质得出，根据圆周角定理得出，最后根据弧长公式求出结果即可． 【小问1详解】 解：∵经过圆心O， ∴为的直径， ∴， ∵， ∴， ∵四边形为平行四边形， ∴； 【小问2详解】 解：连接、，如图所示： ∵与相切， ∴， ∴， ∵在中， ∴， ∴， ∴， ∴垂直平分， ∴， ∴， ∴， ∴． 【点睛】本题主要考查了切线的性质，弧长公式，等腰三角形的判定和性质，平行四边形的性质，垂径定理，圆周角定理，线段垂直平分线的性质，解题的关键是数形结合，熟练掌握相关的判定和性质． 18. 如图，直线与反比例函数的图象交于点． （1）求一次函数和反比例函数解析式； （2）将直线l向上平移，在x轴上方与反比例函数图象交于点C，连接，当时，求点C的坐标及直线l平移的距离． 【答案】（1）一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； （2）点，直线l平移的距离为． 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数和反比例函数的综合应用，求反比例函数解析式，全等三角形的判定和性质，直线的平移，解题的关键是熟练掌握待定系数法． （1）利用待定系数法求解即可； （2）先得到点和点关于直线对称，可求得，设直线l向上平移个单位经过点，再利用待定系数法求解即可． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∵直线经过点， ∴， 解得， ∴一次函数的解析式为，反比例函数和解析式为； 【小问2详解】 解：作一三象限的角平分线，如图， ∵，∴， 根据双曲线的对称性，知点和点关于直线对称， ∴， 作轴于点，作轴于点， ∵，，， ∴， ∵， ∴，， ∴点，设直线l向上平移个单位经过点， ∴平移后的直线为， ∴， 解得， ∴直线l平移的距离为． 19. 在中，点是的平分线上一点，过点作，垂足为点，过点作，垂足为点，直线交于点，过点作，垂足为点． （1）观察猜想 如图1，当为锐角时，用等式表示线段的数量关系：__________． （2）类比探究 如图2，当为钝角时，请依据题意补全图形（无需尺规作图），并判断（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请写出正确结论，并证明． （3）拓展应用 当，且时，若，请直接写出的值． 【答案】（1） （2） 不成立，， 证明：如图，过点C作于点Q， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． （3） 或． 【解析】 【分析】本题主要考查了角平分线的性质定理、全等三角形的判定与性质、相似三角形的判定与性质、矩形的判定与性质等知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键． （1）如图，过点C作于点P，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （2）如图，过点C作于点Q，由角平分线的性质定理可得，再证明可得，然后说明四边形是矩形可得，最后根据线段的和差以及等量代换即可解答； （3）分和分别利用（1）（2）的相关结论以及相似三角形的判定与性质、勾股定理解答即可． 【小问1详解】 解：如图，过点C作于点P， ∵平分，，， ∴， 在和中， ∵，， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：①如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴； ②如图：当时， ∵， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 综上，的值为 或． 20. 如图，在平面直角坐标系中，为坐标原点，抛物线经过点．点在此抛物线上，其横坐标为，连接并延长至点，使．当点不在坐标轴上时，过点作轴的垂线，过点作轴的垂线，这两条垂线交于点． （1）求此抛物线对应的函数解析式． （2）被轴分成的两部分图形的面积比是否保持不变．如果不变，直接写出这个面积比；如果变化，说明理由． （3）当的边经过此抛物线的最低点时，求点的坐标． （4）当此抛物线在内部的点的纵坐标随的增大而减小时，直接写出的取值范围． 【答案】（1） （2）面积比保持不变为或， 理由如下： 根据题意可得，， ∴， ∵， ∴， ∴， 则或. ∴这个面积比为或； （3）或 （4）或或 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可； （2）根据题意，利用相似三角形的性质求出面积之比即可； （3）经过最低点，即经过顶点，画出示意图，先求出顶点坐标，再利用相似三角形的判定和性质求出的值，最后分两种情况求出点的坐标即可； （4）根据题意，分三种情况进行分析，画出图形找出临界点，利用相似三角形的性质列出一元二次方程，然后进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入得， ， 解得， ∴抛物线的解析式为； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示，经过最低点，即经过顶点， 该抛物线的顶点横坐标为，纵坐标为， ∴该抛物线的顶点坐标为， ∵， ∴，且相似比为， 根据顶点纵坐标可得，， 则， 即 解得， ①当时，即为如图所示， 此时， 点在第四象限，故； ②如图所示， 当时，此时点在第一象限，点在第三象限， 此时， 故； 综上，或； 【小问4详解】 解：①当经过顶点时，过点作轴，交轴于点， 由得，， ∴， 即， 解得（舍去），或， ∴当点向左运动时，满足题意， ∴； ②如图所示，当点在抛物线上时，过点作，交轴于点， 同理，，相似比仍为， 此时，，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向下一直移动，直至到轴时，都符合题意， 当时，解得， ∴当时，符合题意； ③图所示，当点在抛物线上时，点在第二象限，点在第四象限， 思路同②，此时，代入抛物线解析式得， ， 解得（舍去），或， 此时，当点向右一直移动，直至到轴时，都符合题意， ∵点不在坐标轴上， ∴当时，符合题意； 综上，当或或时，符合题意． 【点睛】本题主要考查了二次函数的图象和性质，利用待定系数法求函数的解析式，相似三角形的判定和性质，利用一元二次方程解决几何问题，抛物线中动点问题，解题的关键是掌握二次函数的性质，并发展空间想象能力，分情况研究动点问题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $