精品解析：江西省吉安市井冈山市2025-2026学年下学期数八年级 学阶段性测试

2025—2026学年度八年级阶段性练习 数学 说明：1．范围：下册第一章至第五章第二节． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列选项中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】解：选项A：分母是常数，不含字母，是整式，不是分式； 选项B：分母是常数，不含字母，是整式，不是分式； 选项C：分母含有字母，因此符合分式定义，是分式； 选项D：分母是常数，不含字母，是常数，属于整式，不是分式． 2. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：． 3. 下列说法错误的是（ ） A. 一个真命题的逆命题可能是真命题 B. 一个定理不一定有逆定理 C. 任何一个定理都有逆定理 D. 若，则的逆命题是若，则 【答案】C 【解析】 【详解】解：∵选项A中，真命题的逆命题可能为真，例如“两直线平行，同位角相等”的逆命题也为真，∴A说法正确． ∵“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，∴一个定理不一定有逆定理，B说法正确． ∵举例“对顶角相等”是定理，其逆命题“相等的角是对顶角”是假命题，该定理没有逆定理，因此不是任何定理都有逆定理，∴C说法错误． ∵原命题“若，则”交换条件和结论得到逆命题“若，则”，与D描述一致，∴D说法正确． 4. 已知分式中，把，的值都扩大到原来的倍，则原分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 扩大倍 【答案】A 【解析】 【分析】将扩大倍数后的m，n代入原分式，化简后与原分式比较，即可判断分式值的变化． 【详解】解：∵把m，n的值都扩大到原来的7倍后，新分式的分子为，新分式的分母为， ∴新分式为，与原分式相等， 因此原分式的值不变． 5. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先根据点在第三象限列出不等式组，求解后判断数轴即可． 【详解】解：∵点在第三象限， ∴， 解得， 数轴上表示为： 6. 若，则A的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，掌握知识点是解题的关键． 通过乘以并利用平方差公式，将乘积化简为，进而得到，即可解答． 【详解】解： ． 故选B． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将点向左平移个单位长度，得到的点的坐标是________． 【答案】 【解析】 【详解】解：在平面直角坐标系中，点平移的规律为：左右平移时，纵坐标不变，横坐标遵循左减右加的规则；上下平移时，横坐标不变，纵坐标遵循上加下减的规则． 已知点向左平移个单位长度，纵坐标保持不变，新横坐标为， 因此平移后得到的点的坐标为． 8. 若式子有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式有意义的条件和分式有意义的条件，分别列出不等式，求解即可得到的取值范围． 【详解】解：∵有意义， ∴且， 解得． 9. 分解因式：________． 【答案】 【解析】 【分析】先提取公因式，再用平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： ． 10. 如果不等式的解集是，那么的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据不等式的性质，不等式两边同时除以同一个负数，不等号方向改变，本题不等号方向改变，因此的系数小于，据此求解的取值范围． 【详解】解：移项整理原不等式得 ， 不等式的解集为，不等号方向发生改变， ， 解得：． 11. 已知，则代数式的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式将因式分解，再将代入求值即可． 【详解】解：． 12. 已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 【答案】或0或2 【解析】 【分析】先将分式化简为整式与分式和的形式，再根据分式的值为正整数且为整数，确定的所有可能取值，进而求解得到整数的值. 【详解】解： 分式的值是正整数，是整数， 为整数，且是正整数， 或 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，不是正整数，舍去. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 当时，解得，此时原式值为，是正整数，符合题意. 综上，整数的值为或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 分解因式： （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【小问1详解】 解：； 【小问2详解】 解： ． 14. 先化简，再求值：，其中，． 【答案】； 【解析】 【详解】解：， 当，时，原式． 15. 解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 【答案】，，非负整数解为和 【解析】 【详解】解：， 由①得， 由②得， ∴不等式组的解集为， 数轴如答案所示，则非负整数解为和． 16. 下面是小二同学化简分式的过程： 解： ……………① ……………………② ………………………………………③ …………………………………………④ （1）小二同学的解答过程在第________步开始出现错误； （2）请你帮助小二写出正确的解答过程，并计算当时分式的值． 【答案】（1）③ （2） ， 当时，分式的值为 【解析】 【分析】（1）根据分式混合运算的法则逐步判断即可； （2）纠正错误后，代入求值即可． 【小问1详解】 解：小二同学在第③步计算时，错误的将算成，正确结果应为． 【小问2详解】 解：过程如答案所示， 当时，原式． 17. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中作图． （1）在图1中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； （2）在图2中，作，使． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，全等三角形的判定，熟练运用相关知识是解答本题的关键． （1）根据三角形中线平分三角形面积，找到中点E，连接即可； （2）根据网格的特点和全等三角形的判定定理求解即可． 【小问1详解】 解：如图1，取格点，连接交于点，连接,线段即为所求． 【小问2详解】 解：如图2，即为所求． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，，完成下列两题： （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】根据题意求出，再由进行计算即可； 由，再将的值代入即可求解． 【小问1详解】 解：，， 则， ． ． 【小问2详解】 解：． 将，代入， 则原式． 19. 如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）证明：， ， ， ， ，， ， 又， ， ， 是等腰三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）根据等腰三角形的性质，根据余角的性质得出，从而证明，即可得出； （2）设，则，根据勾股定理得出，求出，再根据线段间的数量关系，求出结果即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：设，则， ， ． 由勾股定理可得， ， 解得：， ，， ． 20. 多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法：，，，， ． 方法：，将分式的分子、分母同时除以，得： … （1）“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是____ （2）请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整． 【答案】（1）分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变 （2）原式 ， ， 原式． 【解析】 【分析】（1）根据分式的基本性质进行求解即可； （2）根据分式基本性质进行化简，然后代入数值，计算即可． 【小问1详解】 解：“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是：分式的分子与分母都乘（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变． 【小问2详解】 略 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： （1）填空：______； （2）若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 【答案】（1） （2）或或或或或 【解析】 【分析】本题考查了十字相乘法因式分解，解题关键是掌握“将二次项、常数项拆分后交叉相乘验证一次项”的十字相乘方法． （1）将的二次项拆为，常数项拆为，交叉相乘匹配一次项，横向写出因式． （2）把展开，得出，，找出的所有整数拆分方式，即可得到整数的所有可能值． 【小问1详解】 解： 故答案为． 【小问2详解】 解：∵可分解为， ∴， ∴，， ∵、为整数， ∴， ∵，，，，，，， ，，，，， ∴整数p的所有可能值为或或或或或． 22. 如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：为等边三角形； （3）将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 【答案】（1）证明：，是等边三角形， ，，，， ， 即， 在和中， ， ， ． （2）证明：， ， 又， ． 在和中， ， ， ， 为等腰三角形． 又， 为等边三角形． （3）结论（1）成立，结论（2）不成立 【解析】 【分析】（1）根据“”证明即可； （2）先证明，得出，再根据有一个角为的等腰三角形为等边三角形，即可证明结论； （3）证明，得出，即可证明结论（1）成立；根据旋转得出，从而得出，说明不可能是等边三角形，证明结论（2）不成立． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：结论（1）成立，结论（2）不成立； ，是等边三角形， ，，， ，即 在和中， ， ， ． 如图，交的延长线于点，交的延长线于点， 将绕点按逆时针方向旋转， ， 此时， 不可能为等边三角形． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【概念认识】 如图1，在中，若，则，叫作的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图1，，，是的“三分线”，则 ； （2）如图2，在中，，，若的“三分线”交于点，则 ； （3）如图3，在中，，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”，且，求的度数； 【延伸推广】 （4）在中，是的外角，的“三分线”所在的直线与的“三分线”所在的直线交于点．若，，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 【答案】（1）（2）或；（3）；（4）或或或或 【解析】 【分析】本题考查了三角形的外角性质和三角形内角和定理、分类讨论思想，熟练掌握以上知识点是解题的关键． （1）根据三角形的三分线的定义解题即可； （2）分情况讨论：当是“邻三分线”时和当是“邻三分线”时，即可得答案； （3）求出，根据，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”解题即可； （4）画出符合的所有情况，①当，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”时；②当，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”时；③当，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”时；④当，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”时；再根据三角形的外角性质求出答案即可． 【详解】解：（1）∵，，是的“三分线”， ∴， ∴； （2）如图1，当是“邻三分线”时， ∵，， ∴； 当是“邻三分线”时， ∵，， ∴； 综上所述，或； （3）∵， ∴， ∵，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”， ∴，， ∴， ∴， ∴； （4）可分为四种情况讨论： 情况一：如图2， 当，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”时， 由外角可得， ∴； 情况二：如图3， 当，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”时， 由外角可得， ∴； 情况三：当时，如图4， 当，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”时， 由外角可得， ∴； 当时，如图5， 由外角及对顶角可得 ， ∴； 情况四：如图6， 当，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”时， 由外角可得， ∴； 综上所述，的度数是或或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025—2026学年度八年级阶段性练习 数学 说明：1．范围：下册第一章至第五章第二节． 2．满分：120分；时间：120分钟． 3．请将答案写在答题卡上． 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．每小题只有一个正确选项） 1. 下列选项中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 把多项式分解因式，结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列说法错误的是（ ） A. 一个真命题的逆命题可能是真命题 B. 一个定理不一定有逆定理 C. 任何一个定理都有逆定理 D. 若，则的逆命题是若，则 4. 已知分式中，把，的值都扩大到原来的倍，则原分式的值（ ） A. 不变 B. 扩大倍 C. 缩小倍 D. 扩大倍 5. 如果点在平面直角坐标系的第三象限内，那么的取值范围在数轴上可表示为（ ） A. B. C. D. 6. 若，则A的值为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 将点向左平移个单位长度，得到的点的坐标是________． 8. 若式子有意义，则的取值范围是________． 9. 分解因式：________． 10. 如果不等式的解集是，那么的取值范围是________． 11. 已知，则代数式的值为________． 12. 已知分式的值是正整数，则整数的值为________． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. 分解因式： （1）； （2）． 14. 先化简，再求值：，其中，． 15. 解不等式组：把解集在数轴上表示出来，并求出非负整数解． 16. 下面是小二同学化简分式的过程： 解： ……………① ……………………② ………………………………………③ …………………………………………④ （1）小二同学的解答过程在第________步开始出现错误； （2）请你帮助小二写出正确的解答过程，并计算当时分式的值． 17. 如图，的顶点都在方格纸的格点上，按要求在方格纸中作图． （1）在图1中，作直线，将分成面积相等的两个三角形； （2）在图2中，作，使． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 已知，，完成下列两题： （1）求的值； （2）求的值． 19. 如图，在中，，为边上的高，过点作于点，交的延长线于点． （1）求证：是等腰三角形； （2）当，时，求的长． 20. 多多在一本数学课外书上看到这样一道题，已知，求分式的值．该题没有给出，的值，怎样求出分式的值？数学课外书上介绍了两种方法： 方法：，，，， ． 方法：，将分式的分子、分母同时除以，得： … （1）“方法”中运用了“分式与分式方程”这一章的数学依据是____ （2）请你将“方法”中剩余的解题过程补充完整． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 整式乘法与因式分解是相反的变形，如整式乘法，反过来为，恰好是因式分解．基于上述原理，将式子分解因式如下： ，一次项①分解二次项和常数项；②交叉相乘再相加验证一次项：；③横向写出两因式：． 请仔细阅读材料，回答下列问题： （1）填空：______； （2）若可分解为（a，b均为整数），则整数p的所有可能值有哪些？ 22. 如图，点为线段上一点．，是等边三角形，线段，交于点，线段，交于点，连接． （1）求证：； （2）求证：为等边三角形； （3）将绕点按逆时针方向旋转，其他条件不变，如图．试判断第（1）、（2）两小题的结论是否仍然成立（不要求证明）． 六、解答题（本大题共12分） 23. 【概念认识】 如图1，在中，若，则，叫作的“三分线”．其中，是“邻三分线”，是“邻三分线”． 【问题解决】 （1）如图1，，，是的“三分线”，则 ； （2）如图2，在中，，，若的“三分线”交于点，则 ； （3）如图3，在中，，分别是的“邻三分线”和的“邻三分线”，且，求的度数； 【延伸推广】 （4）在中，是的外角，的“三分线”所在的直线与的“三分线”所在的直线交于点．若，，直接写出的度数（用含，的代数式表示）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $