精品解析：2026年陕西咸阳市乾县吴店九年级制学校初中数学学业水平考试信息卷(C)

2026年陕西省初中学业水平考试信息卷（C） 数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如果物质在汽化过程中吸收的热量记为，那么物质在液化过程中释放的热量可记为（ ） A. B. C. D. 2. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，，点在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 5. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与（k，b为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 8. 已知二次函数，当时函数值有最小值，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 不等式的解集是______． 10. 如图，点A、B、C都是正八边形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为_____． 11. 如图，用半径相同的小球和木棍按如图所示的方式摆出一组图形．第①个图形中有4个小球，第②个图形中有6个小球，第③个图形中有8个小球⋯按此规律，第⑩个图形中小球的个数为______． 12. 如图，是的直径，点A，D在⊙O上，且，若，则劣弧的长为______． 13. 已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 14. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，若与互补，，则的最小值是______． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 16. 先化简，再求值：，其中． 17. 解方程：． 18. 如图，在四边形中，，，，请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 19. 已知：如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：． 20. 伟大的物理学家杨振宁先生在统计力学、凝聚态物理、粒子物理与场论四大领域，贡献了13项诺贝尔级别成就．为弘扬科学精神，某校在科技节设置了以这四个领域为背景的体验区、活动规则如下：在一个不透明的箱子里放入四张分别标有“统计力学”“凝聚态物理”“粒子物理”“场论”（依次用、、、表示）的卡片，除所标领域不同外，其他完全相同，小昆先从箱子里随机抽出一张卡片，记录卡片所标领域后不放回，随后小华从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小昆抽到卡片的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小昆和小华都没有抽到卡片的概率． 21. 数学实践小组想测量校内一座仿古塔楼的高度．如图，小刚从点B沿坡度（）为的斜坡走到点A处，测得仿古塔楼顶端点N的仰角为，此时小刚与水平地面的距离，小王从点B水平前进到达点C处，测得仿古塔楼顶端点N的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，仿古塔楼的底部M与点B，C在同一水平线上，且，．请根据以上数据求仿古塔楼的高度．参考数据：） 22. 某航模小组在制作一架机翼是矩形的飞机模型中，发现在风速和飞行姿态不变的情况下，该飞机模型的升力（）是机翼长度（）的一次函数．已知当机翼的长度为时，飞机模型的升力为；当机翼的长度为时，飞机模型的升力为． （1）求与之间的函数表达式； （2）已知当飞机模型的升力为时，飞机可以匀速平稳飞行．求此时机翼的长度． 23. 为了普及急救知识，提高师生急救技能，提升校园应急救护能力，某校在全校范围内开展了急救知识竞赛，现从参赛学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了如下统计表． 所抽取学生的成绩频数分布表 组别 学生成绩/分 频数 组内平均成绩/分 A 3 55 B 9 65 C 15 75 D 21 85 E 12 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生成绩有______个，所抽取学生成绩的中位数落在______组； （2）求所抽取学生成绩的平均数； （3）若参加此次知识竞赛的学生共有900人，请估计成绩不低于80分的学生人数． 24. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线，与的延长线交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 25. 如图是一个矿洞的横截面示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到边的距离为，以矩形的顶点为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了使矿洞更牢固，工程队想要在矿洞正中间搭建一个正方形支撑架．正方形的边，，为支撑架的架骨，点，在边上，点，在抛物线上，求的长． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，P为边上一点，且．若，，，则的长为______； （2）如图②，在矩形中，E，F分别是边，上的点，过点E作，交边于点G，连接，且，若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图③，在工厂仓储库区矩形中，，，库区边上设置了一个物料中转站E，且．机器人P沿道路移动，转运货物的车辆Q在库区道路上行驶，为了保证车辆Q在机器人P的视野范围内，需满足，当机器人P沿道路移动时，请求出车辆Q与大门A的距离的最大值，并求出此时机器人P与大门A的距离． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026年陕西省初中学业水平考试信息卷（C） 数学 注意事项： 1.本试卷分为第一部分（选择题）和第二部分（非选择题）．全卷共6页，总分120分．考试时间120分钟． 2.领到试卷和答题卡后，请用0.5毫米黑色墨水签字笔，分别在试卷和答题卡上填写姓名和准考证号，同时用2B铅笔在答题卡上填涂对应的试卷类型信息点（A或B）． 3.请在答题卡上各题的规定区域内作答，否则作答无效． 4.作图时，先用铅笔作图，再用规定签字笔描黑． 5.考试结束，请将本试卷和答题卡一并交回． 第一部分（选择题 共24分） 一、选择题（共8小题，每小题3分，计24分．每小题只有一个选项是符合题目要求的） 1. 如果物质在汽化过程中吸收的热量记为，那么物质在液化过程中释放的热量可记为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据吸收热量记为正，相反意义的释放热量应记为负，即可求解． 【详解】解：由相反意义的量可知，吸收的热量记为，则释放的热量可记为． 2. 古钱币是我国珍贵的历史文化遗产．下列选项是在《中国古代钱币》特种邮票中选取的部分图形，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形，根据轴对称图形和中心对称图形的定义：如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形；中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，这个点就是它的对称中心，进行逐一判断即可． 【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，故A选项不合题意； B、是轴对称图形，不是中心对称图形，故B选项不合题意； C、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故C选项不合题意； D、既是轴对称图形又是中心对称图形，故D选项符合题意． 故选：D． 3. 如图，，点在直线上，，若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质与垂直的定义，解题的关键是利用垂直的定义和平行线的性质逐步计算角度．先由垂直的定义得，再结合的度数求出的度数；接着利用平行线的性质得到与相等；最后根据邻补角的性质求出的度数． 【详解】解：如图， ， ． 故选：B． 4. 计算：（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先计算系数乘积，再根据同底数幂的乘法法则计算字母部分，即可得到结果． 【详解】解： ． 5. 如图，在中，，，．将绕点A逆时针旋转得到，使点D落在边上，连接，则的长为（ ） A. B. 6 C. 3 D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，旋转的性质，含的直角三角形的性质等知识，根据含的直角三角形的性质求出，根据三角形内角和定理求出，根据旋转的性质可求出，，证明是等边三角形，根据等边三角形的性质求解即可． 【详解】解∶∵，，， ∴，， ∵旋转， ∴， ∴，， ∴是等边三角形， ∴， 故选：A． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数与（k，b为常数，）的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】解：A、由函数的图象可得，则，由函数的图象可得，两者一致，此项符合题意； B、由函数的图象可得，则，由函数的图象可得，两者不一致，此项不符合题意； C、由函数的图象可得，则，由函数的图象可得，两者不一致，此项不符合题意； D、由函数的图象可得，则，由函数的图象可得，两者不一致，此项不符合题意． 7. 如图，在菱形中，过点A作，垂足E在的延长线上，过点E作，垂足为．若，，则菱形的边长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由菱形的面积公式得到，由勾股定理求出，判定，推出，求出，即可得到菱形的边长． 本题考查菱形的性质，相似三角形的判定和性质，关键是由菱形的面积公式推出，判定． 【详解】解：四边形是菱形， ，， ， ， ， 菱形的面积， ， ， ， ，， ∴， ， ， ， 菱形的边长为． 故选：C． 8. 已知二次函数，当时函数值有最小值，则的值为（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查二次函数的性质，二次函数的最值问题，解题的关键是灵活运用所学知识解决问题． 二次函数在闭区间上的最小值可能出现在端点或顶点，需根据系数的符号讨论开口方向以确定最小值位置． 【详解】解：， ∴顶点为． 当时，； 当时，． 当时，开口向上， 当时，随的增大而减小， ∴当时，函数值有最小值． ，解得． 当时，开口向下， 当时，随的增大而增大， ∴当时，函数值有最小值． ，解得． 综上所述，的值为或． 故选：C． 第二部分（非选择题 共96分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，计18分） 9. 不等式的解集是______． 【答案】 【解析】 【分析】按照去括号、移项、合并同类项的步骤求解即可得到不等式的解集． 【详解】解：， 去括号得：， 移项得：， 合并同类项得：． 10. 如图，点A、B、C都是正八边形的顶点，连接AB、BC，则∠ABC的度数为_____． 【答案】45° 【解析】 【分析】由多边形的内角和公式即可求出正八边形的每个内角的度数，进而求出∠ABD的度数，再根据等腰三角形的性质即可得出∠CBD的度数，然后根据角的和差关系解答即可． 【详解】解：如图， ∵正八边形的每个内角的度数为：=135°， ∴∠CBD==22.5°，∠ABD ==67.5°， ∴∠ABC=∠ABD﹣∠CBD=67.5°﹣22.5°=45°． 故答案为：45°． 【点睛】本题考查了多边形的内角问题、等腰三角形的性质．熟记正八边形的性质是解决问题的关键． 11. 如图，用半径相同的小球和木棍按如图所示的方式摆出一组图形．第①个图形中有4个小球，第②个图形中有6个小球，第③个图形中有8个小球⋯按此规律，第⑩个图形中小球的个数为______． 【答案】22 【解析】 【分析】根据图形总结出第个图形有个小球，然后代入求解即可． 【详解】解：第1个图形有个小球； 第2个图形有个小球； 第3个图形有个小球； ……， ∴第个图形有个小球， ∴第10个图形的小球个数是：（个）． 12. 如图，是的直径，点A，D在⊙O上，且，若，则劣弧的长为______． 【答案】## 【解析】 【分析】连接，先由圆周角定理求解的度数，即可求解的度数，再由弧长公式求解． 【详解】解：连接， ∵ ∴ ∴ ∴ ∵ ∴ ∴劣弧的长． 13. 已知直线和双曲线在坐标平面内交于两点和，则的值是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了正比例函数与反比例函数交点问题，解一元二次方程． 利用交点坐标得到等式，计算求出，求出k的值，代入点和点判断是否成立即可． 【详解】解：∵直线和双曲线在坐标平面内交于点和点， ∴，，，即， 将代入得：， 即， 解得：， ∵， ∴或． 当时，，即，，重合，不合题意； 当时，，即，，不重合，符合题意； ∴． 故答案为：． 14. 如图，在等边中，点D，E分别在边，上，且，连接，交于点F，在线段上截取，连接，若与互补，，则的最小值是______． 【答案】 【解析】 【分析】根据已知条件是等边三角形，所以三边相等，三个角都是，已知与互补，得，所以，因，得，作隐圆，为弦，为半径，为圆周角，如图所示，根据圆周角等于圆心角的一半，，，为中点，求出，，，因为，所以． 【详解】解：是等边三角形， ，， 在中， ， 与互补， ， （三角形一个外角等于和它不相邻两个内角之和）， ， ， （三角形内角和）， 和互补， ， 先作一个以为边的等边三角形， ， 以点为圆心，为半径作，是的弦，动点在上，满足， 为定点，为定点，、在异侧，， （是外接圆半径），当共线时取得最小值， ， 是B到圆心的距离：、在的两侧，,的中点记为， ， ， ， ． 三、解答题（共12小题，计78分．解答应写出过程） 15. 计算： 【答案】 【解析】 【详解】解：原式 ． 16. 先化简，再求值：，其中． 【答案】； 【解析】 【详解】解：原式． 当时，原式． 17. 解方程：． 【答案】 【解析】 【分析】先利用平方差公式分解分母，确定最简公分母，将分式方程转化为整式方程求解，最后对所得的根进行检验即可． 解题的关键在于熟练掌握解分式方程的步骤和方法． 【详解】解： ， 经检验，使得， 是该方程的解． 18. 如图，在四边形中，，，，请用尺规作图法，在四边形内求作一点E，使得且．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】 如图，点E即为所求： 【解析】 【分析】本题考查尺规作图——角平分线和垂直平分线的作法，由，可得，因此线段的垂直平分线与的角平分线的交点即为点E． 【详解】略 19. 已知：如图，AD是的角平分线，E为AD延长线上一点，，连接BE，．求证：． 【答案】见解析 【解析】 【分析】利用三角形全等判定与性质，三角形的内角和定理是解题的关键． 根据角平分线得出，再由三角形内角和定理确定，利用角边角证明，再有全等三角形的性质即可得到结论． 【详解】∵平分， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 在与中， ∴， ∴． 20. 伟大的物理学家杨振宁先生在统计力学、凝聚态物理、粒子物理与场论四大领域，贡献了13项诺贝尔级别成就．为弘扬科学精神，某校在科技节设置了以这四个领域为背景的体验区、活动规则如下：在一个不透明的箱子里放入四张分别标有“统计力学”“凝聚态物理”“粒子物理”“场论”（依次用、、、表示）的卡片，除所标领域不同外，其他完全相同，小昆先从箱子里随机抽出一张卡片，记录卡片所标领域后不放回，随后小华从剩下的卡片中随机抽取一张． （1）小昆抽到卡片的概率为______； （2）请用列表或画树状图的方法求小昆和小华都没有抽到卡片的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了求简单事件的概率公式、用画树状图或列表法求概率，熟练掌握概率公式，是解题的关键； （1）根据概率公式进行计算即可； （2）先画出树状图，然后根据概率公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：小昆从箱子中随机抽取一张，抽中卡片的概率是； 故答案为：； 【小问2详解】 解：画树状图如下： 由上图可知：所有等可能情况共种，其中小昆和小华都没有抽到卡片的情况有种， ∴． 21. 数学实践小组想测量校内一座仿古塔楼的高度．如图，小刚从点B沿坡度（）为的斜坡走到点A处，测得仿古塔楼顶端点N的仰角为，此时小刚与水平地面的距离，小王从点B水平前进到达点C处，测得仿古塔楼顶端点N的仰角为，已知图中各点均在同一竖直平面内，仿古塔楼的底部M与点B，C在同一水平线上，且，．请根据以上数据求仿古塔楼的高度．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】如图，过点A作，垂足为F，则四边形为矩形，得到，．根据得到，设，则，解直角三角形在中得到，在中得到，根据列出方程，求出a的值，即可求解． 【详解】解：如图，过点A作，垂足为F． 由题意得四边形为矩形， ∴，． ∵，， ∴． 设， ∴． ∵在中，， ． ∵在中，， ∴． ∵， ，解得． ． ∴仿古塔楼的高度约为． 22. 某航模小组在制作一架机翼是矩形的飞机模型中，发现在风速和飞行姿态不变的情况下，该飞机模型的升力（）是机翼长度（）的一次函数．已知当机翼的长度为时，飞机模型的升力为；当机翼的长度为时，飞机模型的升力为． （1）求与之间的函数表达式； （2）已知当飞机模型的升力为时，飞机可以匀速平稳飞行．求此时机翼的长度． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求与之间的函数表达式即可； （2）令，则，解方程即可． 【小问1详解】 解：设与之间的函数表达式为， 将，代入，得 ， 解得， ∴与之间的函数表达式为； 【小问2详解】 解：令，则 ， 解得． 答：此时机翼的长度为． 23. 为了普及急救知识，提高师生急救技能，提升校园应急救护能力，某校在全校范围内开展了急救知识竞赛，现从参赛学生中随机抽取部分学生的成绩（百分制，单位：分）进行了整理、描述和分析，得到了如下统计表． 所抽取学生的成绩频数分布表 组别 学生成绩/分 频数 组内平均成绩/分 A 3 55 B 9 65 C 15 75 D 21 85 E 12 95 根据以上信息，解答下列问题： （1）本次抽取的学生成绩有______个，所抽取学生成绩的中位数落在______组； （2）求所抽取学生成绩的平均数； （3）若参加此次知识竞赛的学生共有900人，请估计成绩不低于80分的学生人数． 【答案】（1）60，D （2）80分 （3）495人 【解析】 【分析】（1）将五个组的频数相加即为本次抽取的学生成绩的个数；根据中位数的定义即可解答； （2）利用加权平均数的计算方法求解即可； （3）用总人数乘本次抽取的学生成绩不低于80分的所占的比例即可求解． 【小问1详解】 解：本次抽取的学生成绩有（个）． ∵中间两个数均在D组， ∴所抽取学生成绩的中位数落在D组． 【小问2详解】 解：（分）． 答：所抽取学生成绩的平均数为80分． 【小问3详解】 解：（人）． 答：成绩不低于80分的学生约有495人． 24. 如图，在中，，以为直径作交于点，过点作的切线，与的延长线交于点，与交于点． （1）求证：； （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明：如图，连接， ∵为的直径， ∴，即， ∵， ∴为的中点， ∵为的中点， ∴是的中位线， ∴， ∵是的切线， ∴， ∴； （2） 【解析】 【分析】连接，可证是的中位线，得到，进而根据切线的性质可得，即可求证； 由勾股定理得，进而由得到，，即得，再利用勾股定理求出即可求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∵，， ， 由知， ∴， ， ， 解得，， ∴， 在中，， ． 25. 如图是一个矿洞的横截面示意图，截面是轴对称图形，外轮廓线由上方抛物线和下方的矩形组成，矩形的边，，是抛物线的顶点，且点到边的距离为，以矩形的顶点为原点，边所在的直线为轴，边所在的直线为轴，建立平面直角坐标系． （1）求抛物线的函数表达式； （2）为了使矿洞更牢固，工程队想要在矿洞正中间搭建一个正方形支撑架．正方形的边，，为支撑架的架骨，点，在边上，点，在抛物线上，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意可知抛物线过点，顶点为，设顶点式为，代入点坐标算出​，进而求出抛物线解析式； （2）设，根据正方形性质可知和，利用抛物线在点的函数值与相等建立方程求出，进而算出． 【小问1详解】 解：由题意可知抛物线的顶点为，点的坐标为， 设抛物线的函数表达式为， 又∵抛物线过， ∴，解得， ∴抛物线的函数表达式为． 【小问2详解】 解：∵四边形为正方形， ∴， 设，由题意可知， 则， ∴， 又∵点在抛物线上， ∴， 解得，（不合题意，舍去）， ， 故的长为． 26. 【问题提出】 （1）如图①，在四边形中，，P为边上一点，且．若，，，则的长为______； （2）如图②，在矩形中，E，F分别是边，上的点，过点E作，交边于点G，连接，且，若，，求的长． 【问题解决】 （3）如图③，在工厂仓储库区矩形中，，，库区边上设置了一个物料中转站E，且．机器人P沿道路移动，转运货物的车辆Q在库区道路上行驶，为了保证车辆Q在机器人P的视野范围内，需满足，当机器人P沿道路移动时，请求出车辆Q与大门A的距离的最大值，并求出此时机器人P与大门A的距离． 【答案】（1） （2） （3）车辆Q与大门A的距离的最大值为，此时机器人P与大门A的距离为 【解析】 【分析】（1）根据得到，即可证明，根据相似三角形的性质即可求解； （2）过点F作于点H．根据同角的余角相等得到，再由得到，从而，由于在中，，因此，从而，即可得到，再由即可求解； （3）在上取点F，使，延长交的延长线于点G，过点G作的垂线，垂足为M，过点F作的垂线，垂足为N．根据矩形的性质结合勾股定理得到，因此，得到，同（1）可得．由得到，根据“三线合一”得到．设，则，因此在中，，，，在中，得到，，从而，证明，得到，即可得到，根据，求出a的值，得到， ．设，，则，根据得到，因此，即可得到y关于x的函数，根据二次函数的性质即可求解． 【小问1详解】 解：∵，， ∴． ∵，又， ∴， ∵， ∴， ∴，即， ∴． 【小问2详解】 解：过点F作于点H． ∴， ∴． ∵，即， ∴， ∴． ∵四边形是矩形， ∴ ∴， ∴． ∴， ∵在中， ∴， ∴； ∴． ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∴． 【小问3详解】 解：在上取点F，使，延长交的延长线于点G，过点G作的垂线，垂足为M，过点F作的垂线，垂足为N． ∵四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴ ∴． ∵， ∴， ∵， ∴． 设，则， ∵， ∴在中，， ∵，即， ∴， ∴， ∵在中，， ∴， ∴． ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵在中，， ∴． 设，，则 ∵， ∴，即． ∴． ∵， ∴当时，y取得最大值40， 即车辆Q与大门A的距离的最大值为40m，此时机器人P与大门A的距离为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $