精品解析：2026年新疆昌吉回族自治州阜康市初中学业水平考试数学模拟卷

昌吉州2026年初中学业水平考试数学模拟卷 （分值：150分；时长：120分钟；形式：闭卷） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 2. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 3. 新疆是中国陆地面积最大的省级行政区．其土地总面积约为万平方千米，用科学记数法可表示为（ ）这个数字直观体现了新疆“地大物博”的基础，占中国国土总面积的六分之一． A. B. C. D. 4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丁 D. 丙 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 7. 某商店月份的利润是万元，此后逐月下降，截至到月份的利润为万元．若设这两个月的月平均下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四边形内接于，，则（ ） A. B. C. D. 9. 向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如图所示，那么水瓶的形态是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 11. 将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，得到一次函数的图象，则的值为________． 12. 分解因式：x2﹣64=_____． 13. 如图，在平行四边形中，点是上一点，连接，且的平分线交于点，且点是的中点，连接，若，，则________． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与轴、轴分别交于点、，且，直线与双曲线交于另一点，则的面积是________． 15. 如图，在矩形中，，，将直角折叠，折痕为，得到直角，延长交于点，，，则________． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1） （2） 17. 完成以下问题 （1）解方程组：； （2）如图，，，求证：． 18. 随着科学技术的迅猛发展，人们外出旅游时，交通方式更加多样．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的出行方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了________人，以及补全条形统计图． （2）在扇形统计图中，表示“高铁”出行的扇形圆心角的度数为________． （3）该校总人数为人，请估计其中私家车出行方式的人数是多少？ （4）在一次旅行中，小明和小亮都想从“飞机”“私家车”“高铁”三种方式中选一种方式进行出行，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种出行方式的概率． 19. 如图，在直角三角形中，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线，与边交于点（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）． （2）在（1）的条件下，作于点，于点，求证：四边形为正方形． 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量公园内一棵垂直于地面的古树高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 ．站在与上坡顶部同一水平面的处，人的身高忽略不计，视线恰能看到树顶部处； ．测量，两点间的距离； ．用测角仪测得从处看树顶部处的仰角； ．向前进至点处时，此时用测角仪测得从处看树顶部处的仰角；用测角仪测得从处看树底部处的俯角（此时、、三点在同一直线上）． 实验图示 测量数据 ． 2． 3． 4． 备注 ．图上所有点均在同一平面内； 2．与地面垂直，与地面平行． 参考数据：，，；，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算古树的高度的值． 21. 在昌吉市初中阶段学校招生体育考试的实心球投掷项目中，球的飞行轨迹在平面直角坐标系中可抽象为抛物线（不考虑空气阻力）．某考生投掷时，实心球从点处飞出，其竖直高度与水平距离的函数图象如图所示．已知该抛物线的顶点坐标为，且图象经过起点，点的纵坐标为．请结合以上信息解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）昌吉市中考体育评分标准规定：实心球投掷项目中，男生满分标准为投掷水平距离（即“射程”）达到． ①若落地点的纵坐标为，请通过计算判断该生此项考试是否获得满分； ②在实际考试测量中，落地痕迹显示实心球是“砸”在地面上，若球体中心触地瞬间使水平距离比理论落地点（处）减少了米，要保证该生依然能够获得满分，求的最大值是多少？（结果保留一位小数） 22. 如图，为的直径，交于点，分别交、于、，交于点、，，且、恰好是关于的方程的两根（其中为实数）． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 23. 综合与探究 问题情境 已知、分别是正方形的边和的动点，过点作，垂足为点，连接． 初步探究： （1）如图（1），若、分别是正方形的边和的中点，与相交于点，求证： 深入探究： （2）如图，若正方形的边长为，，点是的中点，，求此时的长度________和的面积________． 拓展探究： （3）如图，若正方形的边长为，，求的最小值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 昌吉州2026年初中学业水平考试数学模拟卷 （分值：150分；时长：120分钟；形式：闭卷） 一、选择题（本大题共9小题，每小题4分，共36分．每题列出的四个选项中，只有一项符合题目要求） 1. 的绝对值是（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查绝对值的基本性质，根据绝对值的定义计算即可得到结果． 【详解】解：∵ 负数的绝对值等于它的相反数，且 ， ∴ ． 2. 下列选项中，y不是x的函数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查函数的概念，掌握函数的定义是解题的关键．根据函数的定义“如果在一个变化过程中有两个变量x和y，并且对于变量x的每一个值，变量y都有唯一的值与它对应，那么y是x的函数”判断即可． 【详解】解：根据函数的定义，A中y不是x的函数，B、C、D中y是x的函数， ∴A符合题意，B、C、D不符合题意． 故选：A． 3. 新疆是中国陆地面积最大的省级行政区．其土地总面积约为万平方千米，用科学记数法可表示为（ ）这个数字直观体现了新疆“地大物博”的基础，占中国国土总面积的六分之一． A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先将以万为单位的数转化为原数，再根据科学记数法的定义，确定和的值即可； 【详解】解：∵万， ∴． 4. 甲、乙、丙、丁四人进行射击测试，每人次射击成绩的平均数均是环，方差分别为，，，，则射击成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丁 D. 丙 【答案】D 【解析】 【分析】当各组数据平均数相同时，方差越小，数据波动越小，射击成绩越稳定，只需比较四人方差的大小即可得出结论． 【详解】解：∵四人射击成绩的平均数相等，且， ∴丙的方差最小，射击成绩最稳定． 5. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据合并同类项法则，同底数幂的乘除法则，积的乘方法则逐一判断． 【详解】解：A、，A错误； B、，B正确； C、，C错误； D、，D错误． 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据方程有两个不相等的实数根得判别式大于0，结合二次根式被开方数非负求解即可． 【详解】解：∵关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，且为二次根式， ∴ ， 解得：， ∴ 实数的取值范围是． 7. 某商店月份的利润是万元，此后逐月下降，截至到月份的利润为万元．若设这两个月的月平均下降率为，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用初始利润乘（月平均下降率）的平方等于最终利润，即可得到正确方程； 【详解】解：设这两个月的月平均下降率为， ∵6月份利润为万元，月平均下降率为， ∴7月份利润为万元， ∴8月份利润为万元， 又∵8月份利润为万元， ∴可列方程为． 8. 如图，四边形内接于，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据圆内接四边形的外角等于内对角求出的度数，再利用圆周角定理求出的度数． 【详解】解：∵四边形内接于，是四边形的外角， ， ∵， ∴， ∵ 与是同弧所对的圆周角和圆心角， ∴． 9. 向高为的水瓶中注水，注满为止，如果注水量与水深的函数关系如图所示，那么水瓶的形态是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据函数图象的斜率变化判断容器横截面积的变化规律，进而确定容器形状． 【详解】解：由图象可知，随的增大而增大，但图象的坡度越来越小， 随着水深的增加，单位高度内水的体积增量在减小， 水瓶的横截面积从下到上逐渐减小，即水瓶形状为下粗上细， 观察选项： A选项：下粗上细，符合题意； B选项：下细上粗，不符题意； C选项：中间细两头粗，不符题意； D选项：上下一样粗，不符题意． 二、填空题（本大题共6小题，每小题4分，共24分） 10. 二次根式在实数范围内有意义，则的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】根据二次根式在实数范围内有意义的条件，被开方数为非负数，列出关于的一元一次不等式，求解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：二次根式在实数范围内有意义， 被开方数满足， 解得：． 11. 将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，得到一次函数的图象，则的值为________． 【答案】 【解析】 【分析】根据一次函数沿轴平移的规律即可求解． 【详解】解：将一次函数的图象沿轴向下平移个单位，根据平移规律可得平移后的解析式为， 平移后得到一次函数， ， 解得． 12. 分解因式：x2﹣64=_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ． 故答案为： 13. 如图，在平行四边形中，点是上一点，连接，且的平分线交于点，且点是的中点，连接，若，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】延长交的延长线于点，利用平行四边形的性质证明，结合中点定义证明，得出，再利用角平分线定义和平行线性质证明，从而得到，最后通过线段和差计算的长度． 【详解】解：延长交的延长线于点，  四边形是平行四边形，  ，，  ，，  点是的中点，  ， 在和中，  ，  ，  ，  ，  ，  平分，  ，  ，  ，  ，  点在上，  ，  ，  ，  ． 14. 如图，在平面直角坐标系中，直线与双曲线交于，两点，与轴、轴分别交于点、，且，直线与双曲线交于另一点，则的面积是________． 【答案】12 【解析】 【分析】根据点  在双曲线 ​​ 上，求出双曲线解析式为 ．根据在第一象限，​，得出，根据在双曲线上，得出，求出．求出直线的解析式，与反比例函数解析式联立求出．求出直线解析式，即可得，连接，根据求解即可． 【详解】解：∵点  在双曲线 ​​ 上， ∴ ， ∴双曲线为 ． ∵在第一象限， ∴​， ∴， 又 在双曲线上， ∴， ∴，解得：（）， ∴ ，即 ． 由图可知直线过原点，且过 ， 设直线的解析式为 ， ∴，解得：， ∴直线的解析式为 ， 联立 ， 解得：（对应点）， ∴ ， ∴． ∵直线过点，两点， ∴， 解得：， ∴直线解析式为， 令，则， 则， 连接， ∵、、， ∴轴， ∴． 15. 如图，在矩形中，，，将直角折叠，折痕为，得到直角，延长交于点，，，则________． 【答案】 【解析】 【分析】由折叠性质可得： ，，，，根据，得出，则，证出，根据，，得出，则，结合，得出​，在直角中，​，设，则，由勾股定理列方程 ，求出．即可得 ​​，，再求出，即可求解 ． 【详解】解：在矩形中，，，， 由折叠性质可得： ，，，， ∵， ∴， ∴， ∴， 又， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵， ∴​， ∵， ∴是直角三角形， ∴​， 设，则， 由勾股定理：，代入得： ， 解得：（长度为正，故负值已舍去）． ∴ ​​，， 在矩形中， ∴， ∴ ． 三、解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 计算： （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】 （1）分别利用特殊角的三角函数值、绝对值的性质、算术平方根的定义、零指数幂和负整数指数幂的运算法则计算每一项，再合并得到最终结果； （2）先对式子中的项进行变形，再提取公因式合并化简即可得到结果． 【小问1详解】 解：  ； 【小问2详解】 解： ． 17. 完成以下问题 （1）解方程组：； （2）如图，，，求证：． 【答案】（1） （2）证明：在和中： ， ​， ∴， 又， ， 即． 【解析】 【分析】（1）根据加减消元法即可解答； （2）证明，得出，结合，即可证明． 【小问1详解】 解：， 得：，解得：， 把代入①，得​， ∴方程组的解为． 【小问2详解】 略 18. 随着科学技术的迅猛发展，人们外出旅游时，交通方式更加多样．某校数学兴趣小组设计了一份调查问卷，要求每人选且只选一种最喜欢的出行方式．现将调查结果进行统计并绘制成如下两幅不完整的统计图．请结合图中所给的信息解答下列问题： （1）这次活动共调查了________人，以及补全条形统计图． （2）在扇形统计图中，表示“高铁”出行的扇形圆心角的度数为________． （3）该校总人数为人，请估计其中私家车出行方式的人数是多少？ （4）在一次旅行中，小明和小亮都想从“飞机”“私家车”“高铁”三种方式中选一种方式进行出行，请用画树状图或列表的方法，求出两人恰好选择同一种出行方式的概率． 【答案】（1）200；补全条形统计图如图 （2） （3）375人 （4） 【解析】 【分析】（1）根据选择火车的有30人，占总人数的，可求出总调查人数；根据选择高铁的百分比求出高铁人数；用总人数减去其余几组人数求出选择汽车的人数，再补全统计图即可； （2）根据扇形圆心角总度数为，高铁占比，即可求出表示“高铁”出行的扇形圆心角的度数； （3）根据样本估计总体的方法解答即可； （4）根据列表法解答即可； 【小问1详解】 解：总调查人数为： 人， 选择高铁的人数：人， 选择汽车的人数：人 ， 补全条形统计图： 【小问2详解】 解：“高铁”出行的扇形圆心角为： ； 【小问3详解】 解：私家车出行人数估计为：人， 答：估计该校私家车出行的人数为人． 【小问4详解】 解：记三种出行方式为：（飞机）、（私家车）、（高铁）， 列表得所有等可能结果： 小明\小亮 共有9种等可能的结果，其中两人选择同一种出行方式的结果有3种， 因此概率：，​ 答：两人恰好选择同一种出行方式的概率为． 19. 如图，在直角三角形中，． （1）尺规作图：请用无刻度的直尺和圆规，作的平分线，与边交于点（要求：不写作法，保留作图痕迹，并将作图痕迹用黑色签字笔描黑）． （2）在（1）的条件下，作于点，于点，求证：四边形为正方形． 【答案】（1）如图，射线即为所求 （2）证明：如图： ∵，，， ∴， ∴四边形是矩形， ∵平分， ∴， ∴四边形为正方形． 【解析】 【分析】（1）以为圆心任意长为半径画弧，交于两点，再分别以两点为圆心，大于两点间距一半的长度为半径画弧，两弧交于一点，连接与该交点交于，保留所有圆弧痕迹即可． （2）先证四边形是矩形，根据角平分线的性质定理得出，即可证明四边形为正方形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 某数学兴趣小组在校园内开展综合实践活动，撰写实验报告如下： 实验主题 测量公园内一棵垂直于地面的古树高度 工具准备 测角仪，卷尺等 实验过程 ．站在与上坡顶部同一水平面的处，人的身高忽略不计，视线恰能看到树顶部处； ．测量，两点间的距离； ．用测角仪测得从处看树顶部处的仰角； ．向前进至点处时，此时用测角仪测得从处看树顶部处的仰角；用测角仪测得从处看树底部处的俯角（此时、、三点在同一直线上）． 实验图示 测量数据 ． 2． 3． 4． 备注 ．图上所有点均在同一平面内； 2．与地面垂直，与地面平行． 参考数据：，，；，，． 请你根据以上实验过程和测量的数据，计算古树的高度的值． 【答案】古树的高度约为 【解析】 【分析】由已知条件得米，再利用锐角三角函数的定义即可求出的长，进而可求出的长，然后根据即可得解． 【详解】解：由题意可知，于，共线， ， ， ， ， ， ， ， ， 在中，， ， ， ， ∴古树的高度约为． 21. 在昌吉市初中阶段学校招生体育考试的实心球投掷项目中，球的飞行轨迹在平面直角坐标系中可抽象为抛物线（不考虑空气阻力）．某考生投掷时，实心球从点处飞出，其竖直高度与水平距离的函数图象如图所示．已知该抛物线的顶点坐标为，且图象经过起点，点的纵坐标为．请结合以上信息解答下列问题： （1）求该抛物线的函数表达式； （2）昌吉市中考体育评分标准规定：实心球投掷项目中，男生满分标准为投掷水平距离（即“射程”）达到． ①若落地点的纵坐标为，请通过计算判断该生此项考试是否获得满分； ②在实际考试测量中，落地痕迹显示实心球是“砸”在地面上，若球体中心触地瞬间使水平距离比理论落地点（处）减少了米，要保证该生依然能够获得满分，求的最大值是多少？（结果保留一位小数） 【答案】（1） （2）①该生可以获得满分；② 【解析】 【分析】（1）用待定系数法求函数解析式即可； （2）①根据该同学此次投掷实心球的成绩就是实心球落地时的水平距离，令，解方程即可．②结合①中该生投掷水平距离为，结合题意可得，解答即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线顶点为， ∴设抛物线的函数表达式为， 由题意，抛物线过点，代入得：，解得：​， ∴抛物线函数表达式为（或展开为）． 【小问2详解】 解：①根据题意可得落地点满足， 代入函数得：，整理得， 解得：（负根不符合实际，舍去）， 故该生投掷水平距离为， ∵， 因此该生可以获得满分． ②根据题意可得实际测量水平距离为，要满足满分要求， 则：， 解得， 因此的最大值为米． 22. 如图，为的直径，交于点，分别交、于、，交于点、，，且、恰好是关于的方程的两根（其中为实数）． （1）求证：是的切线； （2）求证：； （3）若，求的值． 【答案】（1）证明：∵是直径， ∴， ∴， ∵， ∴， 在中：，即， 又是直径， 故是的切线． （2）证明：∵方程中， ∴判别式仅当时方程有实根，此时，方程为， ∵、恰好是关于的方程的两根， ∴， ∴， ∵切于点，为的直径， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵，， ∴， ， ， ∴． （3） 【解析】 【分析】（1）根据是直径，得出，则，结合，得出，在中，求出即，结合是直径，即可证明是的切线． （2）根据、恰好是关于的方程的两根，求出，则，根据切于点，为的直径，得出，结合和三角形内角和定理得出，根据，，得出，证明，，即可得，，则，证出． （3）连接，证明，得出，结合​，，求出，在中，根据，​，结合，得出． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：连接， ∵， ∴，即， 又， ∴， ∴， ∴， ∵​，， ∴， 在中，，​， 由（2）知，则， ∴． 23. 综合与探究 问题情境 已知、分别是正方形的边和的动点，过点作，垂足为点，连接． 初步探究： （1）如图（1），若、分别是正方形的边和的中点，与相交于点，求证： 深入探究： （2）如图，若正方形的边长为，，点是的中点，，求此时的长度________和的面积________． 拓展探究： （3）如图，若正方形的边长为，，求的最小值． 【答案】（1）证明：∵与相交于点，， ∴点在上，即， ∵四边形是正方形， ∴，， ∵、分别是正方形的边和的中点， ∴，， 延长交延长线于，连接， ∵，，， ∴， ∴，即是中点， 在中，是斜边中线， ∴． （2）​， （3） 【解析】 【分析】（1）延长交延长线于，证明，得出，根据直角三角形的性质即可证明． （2）连接，根据题意可得垂直平分，则，即，设，则，，由勾股定理表示出 ，，得出，解方程求出．过作于，延长交于点，证明四边形是矩形，得出，，再证明，则，求出，，，过作于，过作于，勾股定理求出，则，根据，解直角三角形求出，勾股定理求出，从而求出，解直角三角形求出，设，则，，根据等面积法表示，求出，根据等面积法表示，列方程求出，即；连接，再根据求解即可． （3）设，证明，得出，根据，，得出点四点共圆，证明，从而得，据此得出点P在以为圆心，为半径的圆上，根据点与圆的位置关系，点到圆上点的最小距离为，勾股定理求出即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：连接， ∵，且是中点， ∴垂直平分， ∴，即， 设， ∵正方形边长为，， ∴，， 由勾股定理得： ，， ∴， 解得：． 过作于，延长交于点， ∵在正方形中，， ∴四边形是矩形， ∴，， ∴， ∴， ∵是中点， ∴， ∴，， ∴， 过作于，过作于， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵ ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则，， ∴， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即； 连接， ∵以为底，到的距离为高， ∴． 【小问3详解】 解：连接， 设， 由正方形性质得，，， 又， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴点四点共圆， 设， 则， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点P在以为圆心，为半径的圆上， 连接，则， 根据点与圆的位置关系，点到圆上点的最小距离为， ∴． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $