命题大赛 广东高二数学下学期阶段测试2025-2026学年（人教A版选择性必修第二册第五章）

**基本信息** 高二数学导数单元复习卷，覆盖导数概念、计算及应用，通过选择、填空、解答分层题型，结合实际应用（如工厂利润最大化）与探究性问题（条件选择求极值），培养数学思维与模型意识，适配单元阶段测试需求。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|导数定义（瞬时速度）、切线方程|概念辨析，如隐函数求导（第8题）| |多选|3/18|导函数判断、极值与零点|推理能力，如第10题方程根讨论| |填空|3/15|单调区间、切线参数|基础巩固，如第12题单调递减区间| |解答|5/77|利润最大化、含参单调性|应用与探究，如17题实际利润问题、19题条件选择|

高二数学下学期阶段测试 第五章 一元函数的导数及其应用 答案及解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 C A A B D B A B BCD BD ABC 一､选择题：本大题共5小题，每小题5分，共25分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1.【答案】C 【解析】根据如果当时，有极限，我们就说函数在点处可导， 这个极限叫做在点处的导数（即瞬时变化率，简称变化率）， 可知表示在这一时刻的瞬时速度． 2.【答案】A 【解析】函数在区间上的平均变化率为： 3.【答案】A 【解析】由题设结合导数定义可得答案. . 4【答案】B 【解析】 ① 函数定义域，求导： ② 令，解得极值点： ③ 划分单调区间： ，，函数单调递增 ，，函数单调递减 ，，函数单调递增 ④ 极值判定：处取极大值，处取极小值 ⑤ 代入求值： 故选：B 5.【答案】D 【解析】函数的导数为， ∴，即函数在处的切线斜率为， 由切线与直线垂直，可得，解得. 故选：D 6【答案】B 【解析】，设， 函数在区间上有极值， 在上有变号零点，即在上有解， 令，由可得，即， 得到，解得： ． 故选B. 7.【答案】A 【解析】∵，∴ 由图可知，且 由一元二次方程根与系数关系可得：，即 ∴，为开口向下的抛物线，对称轴为：. ∴函数的单调增区间是. 故选A. 8.【答案】B 【解析】由给定定义得，对左右两侧同时求导， 可得，将点代入，得，解得， 故切线斜率为，得到切线方程为，化简得方程为．故选B. 二､多选题：本题共2小题，每小题6分，共12分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9.【答案】BCD 【解析】，A选项错误. ，B选项正确. ，C选项正确. 对于函数， 当时，；当时，， 所以，D选项正确. 故答案为：BCD 10.【答案】BD 【解析】 由题意得．令，即，解得或．则当或时，，函数在和上单调递增；当时，，函数在上单调递减．所以函数在处取得极大值，在处取得极小值．又时，；时．作出函数的大致图象如下图所示： 因此有极小值，也有最小值，有极大值，但无最大值．若方程恰有一个实数根，则或；若方程恰有三个不同实数根，则． 故选：BD 11.【答案】ABC 【解析】由题意，函数的定义域为， 因为函数的图象关于直线对称，所以， 所以，解得，故选项A正确； 由，得，所以，当时，， 此时，所以，所以在上单调递增，故选项B正确； 又由的图象关于直线对称，所以在上单调递减， 所以为的极小值点，故选项C正确； 由在上单调递增，且的图象关于直线对称， 所以，所以没有零点，故选项D不正确． 故选：ABC. 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分. 12.【答案】 【解析】由得 令，即，得， 因为，故当时，，即， 当时，，即， 又为奇函数，故的单调递减区间是． 故答案为：． 13.【答案】 【解析】解：因为，所以， 又函数处的切线方程为， 所以，且， 解得，； 故答案为：；. 14.【答案】 【解析】， 又，，则， 即对于，，且时，恒成立， 所以函数在上单调递减， 因，则在上恒成立， 即在上恒成立，又， 所以，所以实数的取值范围为 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．【答案】(1) ；(2) 【解析】（1）当时，则，， 所以，所以切线方程为，即； （2）函数的定义域为，且， 当时，恒成立，所以函数在上单调递增，则无最大值，故舍去； 当时，令，解得，， 所以当时，，即在上单调递增， 当时，，即在上单调递减， 所以在处取得极大值，即最大值，即， 所以， 即，即，所以 16.【答案】答案见解析 【解析】当或时，， 可知函数在区间和上都是单调递增的； 当 时，，可知函数在区间上单调递减； 当或时，，这两个点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 故函数的大致图象如图所示． 17.【答案】(1) ；(2)当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元 【解析】（1）由题意可得， 因为时，所以． 解得. （2）当时，， ，由可得：，（舍） 所以当时，，原函数是增函数，当时，，原函数是减函数，所以当时，取得最大值14300． 当时，． 所以当日产量为90吨时每日的利润可以达到最大值14300元． 18.【答案】(1)；(2)当时，函数无严格单调区间；当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 【解析】（1）当时，，则， 由切线方程为，则，即，解得， 所以，则切点坐标为， 代入切线方程得，则． （2）由，则， 若，则为常数函数，无严格单调区间； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增； 若，当时，解得；当时，解得， 所以函数在上单调递减，在上单调递增． 综上，当时，函数无严格单调区间； 当时，函数在上单调递减，在上单调递增． 19.【答案】（1）的极大值为，的极小值为0；（2）图象见解析，最小值为0. 【解析】（1）选择①， ，， 由已知可得，解得 ，， 令，解得，， 根据，列表如下，分析的符号、的单调性和极值点． 1 + 0 － 0 + 极大值 极小值 因此的极大值为，的极小值为． 选择②， ，， 由已知可得，解得． 下同①． 选择③， ，， 函数的图象在处的切线方程为， ，解得 下同①． （2）由（1）可以得到函数的大致图象如图所示． 由题意可知，函数在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增， 又，所以函数在区间上的最小值为0． 7 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：阶段测试 高二数学下学期阶段测试 第五章 一元函数的导数及其应用 （考试时间120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单项选择题：本大题共8个小题，每个小题5分，共40分。每小题给出的四个选项中，有且只有一项 是符合题目要求的. A．从到这段时间的平均速度 B．从到这段时间的平均速度 C．在这一时刻的瞬时速度 D．在这一时刻的瞬时速度 3．已知函数满足，则（ ） A． B． C．2 D．4 4．已知函数，则函数的极大值为（ ） A． B． C． D． 5．已知函数在点处的切线与直线垂直，则（    ） A．－2 B．3 C．2 D．－1 6．已知函数在上有极值，则实数的取值范围为（    ） A． B． C． D． 7．函数的图象如图，则函数的单调增区间是（    ） A． B． C． D． 8．如果方程能确定是的函数，那么称这种方式表示的函数是隐函数，隐函数的求导方法如下：在方程中，把看成的函数，则方程可看成关于的恒等式，在等式两边同时对求导，然后解出即可，例如，求由方程所确定的隐函数的导数，将方程的两边同时对求导，则（是中间变量，需要用复合函数的求导法则），得，那么曲线在点处的切线方程为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分,在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求,全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分. 9．以下四个式子分别是求相应函数在其定义域内的导函数，其中正确的是（     ） A． B． C． D． 10．已知函数，现给出下列结论，其中正确的是（     ） A．函数有极小值，但无最小值 B．函数有极大值，但无最大值 C．若方程恰有一个实数根，则 D．若方程恰有三个不同实数根，则 11．已知函数的图象关于直线 对称，则下列说法正确的是（    ） A． B．在上单调递增 C．为的极小值点 D．仅有两个零点 第二部分（非选择题 共92分） 三、填空题：本大题共3个小题，每个小题5分，共15分. 12．定义在区间上的函数，则的单调递减区间是______． 13．若曲线在处的切线方程为，则___；___． 14. 已知函数，对于，，且当时，恒有，则实数的取值范围为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.（13分）已知函数. (1)当时，求函数在处的切线方程； (2)若函数的最大值为0，求实数的值. 16.（15分）已知导函数的下列信息：当或时，；当时，；当或时，，试画出函数的大致图象. 17．（15分）工厂生产某种产品，每日的成本C（单位：元）与日产量（单位：吨）满足函数关系式，每日的销售额R（单位：元）与日产量满足函数关系式：，已知每日的利润，且当时． (1)求的值； (2)当日产量为多少吨时，每日的利润可以达到最大，并求出最大值． 18．（17分）已知函数． (1)当时，曲线的一条切线方程为，求实数的值； (2)求函数的单调区间． 19．（17分）在①，，②，，③的图象在处的切线方程为这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并求解．已知函数，且______. （1）求函数的极值； （2）画出函数的大致图象并求在区间上的最小值． 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 2 / 2 学科网（北京）股份有限公司 $Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 瞬时变化率的概念及辨析 0.91 2 单选题 5 平均变化率的定义 0.88 3 单选题 5 导数定义中极限的简单计算 0.85 4 单选题 5 导数单调性判定、求函数极值 0.75 5 单选题 5 已知切线（斜率）求参数 0.8 6 单选题 5 根据函数极值求参数范围 0.75 7 单选题 5 利用导数求函数的单调区间 0.7 8 单选题 5 自定义创新题、求导、求在曲线上一点处的切线方程 0.68 9 多选题 6 简单复合函数的导数、导数的乘除法、导数的运算法则 0.85 10 多选题 6 利用导数研究函数零点、求已知函数的极值 0.7 11 多选题 6 函数极值辨析、利用导数研究零点、利用导数求单调区间 0.65 12 填空题 5 利用导数求函数的单调区间（不含参） 0.85 13 填空题 5 双空题、已知切线求参数、复合函数求导、导数的运算法则 0.85 14 填空题 5 由函数在区间的单调性求参、利用导数研究不等式恒成立问题 0.65 15 解答题 13 求在曲线上一点处的切线方程(斜率)、已知函数最值求参数 0.85 16 解答题 15 用导数判断或证明已知函数的单调性、画函数大致图像 0.8 17 解答题 15 由导数求函数的最值、利润最大、给定函数模型解决实际问题 0.7 18 解答题 17 已知切线求参数、利用导数求函数（含参）的单调区间 0.68 19 解答题 17 求函数的极值、由导数求函数的最值、求切线方程、求参数 0.65 $