命题大赛 山东高二数学下学期阶段测试2025-2026学年人教A版选择性必修第二册第五章

**基本信息** 适配高二数学下学期第五章“一元函数的导数及其应用”单元测，以导数概念、运算及应用为核心，融合数学眼光（如噪音监测情境）、思维（推理证明）与语言（建模表达），梯度覆盖基础与能力。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选|8/40|求导公式、导数几何意义、极值点|基础概念辨析，如切线方程求解| |多选|3/18|导数应用、函数性质|多维度考查，如单调性与奇偶性判断| |填空|3/15|隐函数求导、公切线问题|创新方法迁移，如对数求导法应用| |解答|5/77|实际建模（噪音函数）、不等式证明|原创情境（15题）与逻辑推理（18题），体现应用意识与理性精神|

Sheet1 题号 题型 分值 知识点 难度系数（预估） 1 单选题 5 基本初等函数的求导公式 0.8 2 单选题 5 导数的定义与极限形式 0.7 3 单选题 5 导数与极值点的关系、参数范围, 0.5 4 单选题 5 导数与单调性、参数范围,应用, 0.5 5 单选题 5 导数与不等式、函数单调性,分析, 0.6 6 单选题 5 导数的物理意义（瞬时加速度） 0.6 7 单选题 5 导数与切线方程、参数求解,应用, 0.5 8 单选题 5 导数与数列极限、比较大小,分析, 0.4 9 多选题 6 导数计算、物理意义、奇偶性,理解/应用 0.50 10 多选题 6 导数与单调性、最值、奇偶性、切线,分析/应用 0.4 11 多选题 6 导数图像与原函数图像的关系 0.3 12 填空题 5 对数求导法（幂指函数） 0.7 13 填空题 5 公切线问题, 0.50 14 填空题 5 导数求解析式、单调区间、最值,应用 0.7 15 解答题 13 导数的物理意义、切线方程、最值问题 0.6 16 解答题 15 导数求解析式、单调区间、最值 0.6 17 解答题 15 导数与不等式恒成立、参数范围 0.5 18 解答题 17 单调区间、不等式恒成立、零点存在性 0.4 19 解答题 17 极值点、零点存在性、函数单调性比较 0.35 $ 高二数学下学期阶段测试 第五章 一元函数的导数及其应用 答案及解析 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B D A B C D BCD BCD 题号 11 答案 ABD 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．【答案】A 【解析】对于A，，故A正确； 对于B，，故B错误； 对于C，，故C错误； 对于D，，故D错误． 2．【答案】B 【解析】由，得， 所以，解得. 3．【答案】B 【解析】设函数 ，其导数为 ， 函数 在区间 上存在极值点，等价于其导数 在该区间内存在变号零点， 即方程在区间 上有解， 由于函数 在区间 上单调递减，其值域为： ，即， 因此，当且仅当 时，方程 在区间 上有解，函数 存在极值点， 故实数 的取值范围为 ． 4．【答案】D 【解析】由函数在上单调递减，得， 则，当时，，因此， 所以实数a的值可能是2. 5．【答案】A 【解析】由题意可得函数的定义域为，， 因为，，当且仅当，即时等号成立， 因为，所以恒成立，函数在上单调递增， 则不等式，解得， 所以不等式的解集为. 6．【答案】B 【解析】由题可得，所以， 所以该汽车在第时的瞬时加速度为． 7．【答案】C 【解析】因为的导数，所以令，得，所以切点为． 代入直线，得． 故选：C 8．【答案】D 【解析】由题意得，， 同理可得，，； 令，则， 故当时，，即函数在上单调递减， 而，所以，即. 故选：D. 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．【答案】BCD 【解析】对A，，则A错误； 对B，根据题意，，则B正确； 对C，，则C正确； 对D，，导函数为奇函数，则函数的图象关于原点对称，即D正确. 故选：BCD. 10．【答案】BCD 【解析】A：若为上的单调函数，则，，则，故A错； B：当时，，令，得，，则在上单调递减，在上单调递增，在处取最小值，无最大值，故B对； C：由于，则为奇函数时，，故C对； D：当时，，，则，切点为，切线方程为，故D对； 故选：BCD． 11．【答案】ABD 【解析】选项A：若图为图象，则在两边单调性一致，不是极值，故A错误； 选项B：若图为图象， 函数单调递减； 函数单调递增；函数单调递减； 函数单调递增；故函数有-2,0,2三个极值点，选项B错误； 选项C: 若图为图象，则时，单调性相反，即 函数单调递增；函数单调递减；函数单调递增；当单调性一致，函数单调递增；故C正确； 选项D: 若图为 图象，，图像正负相反，时图像正负一致， 的解集为，故D错误； 故答案为：ABD. 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 12．【答案】（5分） 【解析】因为，故可得， 所以，即， 所以. 故答案为：. 13．【答案】4（5分） 【解析】设直线与曲线相切于点，， 故，解得，， 代入方程，得． 设直线与曲线相切于点，， 故，且，解得 所以． 14．【答案】（5分） 【解析】， 则当时，，即在上单调递增， 则； 由，使得成立， 则在上有解，即在上有解， 令，， 则， 令，， 则 故在上单调递减，则， 故在上单调递减，则， 即实数a的取值范围是. 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15【答案】（1），（2），（3）最小值，无最大值。 【解析】解：（1）噪音分贝的变化速率函数，（2分） 所以（4分） （2），故 （6分） 又切点（） 切线方程为：，即（8分） （3）因，（10分） 则在上单调递增，（11分） t=0时，最小值，无最大值。（13分） 16．【答案】(1) (2)的递减区间为，递增区间为， (3)最大值为、最小值为 【解析】（1），（2分） 所以由题意可得；（4分） （2）由上可知：， 令，解得，所以函数的递减区间为，（6分） 令，解得，或， 所以函数的递增区间为，；（8分） 综上所述：函数的递减区间为，递增区间为，；（9分） （3）由（2）可知：的递减区间为，递增区间为， 所以当时，在上递减，在，上递增，（12分） 因为，（13分） 所以， 因此函数在上的最大值为、最小值为.（15分） 17．【答案】(1)证明见解析；(2) 【解析】（1）令． 因为，所以．（2分） 令，则在上恒成立， 所以在上单调递增．（4分） 因为，所以， 所以在上单调递增，（6分） 所以， 所以．（7分） （2）因为，所以． 因为，所以， 所以．（9分） 因为函数在上单调递增，所以，即． 令，则，（10分） 令，得，令，得，（12分） 所以在上单调递减，在上单调递增，（14分） 所以，所以．（15分） 18【答案】（1）或增区间为，无减区间 则增区间为，则减区间为 （2）证明见解析 【解析】（1）函数的定义域为，求导得： 令 当时，，故，在上单调递减（2分） 当时， 若，，，在上单调递减（3分） 若，的跟为，则 由，则增区间为 由时，，则减区间为综上或增区间为，无减区间 则增区间为，则减区间为（5分） （2） ①证明时，恒成立. 当时，则 只需证： 构造， （7分） 当时， 当时，（9分） 所以当时，在单调递增 又，故时，（11分） ②令 （13分） 令，则 所以在（1,2）单调递增（15分） 又， 由零点存在定理知，存在唯一存在唯一的，使得， 即（17分） 19．【答案】(1)证明见解析； (2)（i）证明见解析；（ii），证明见解析. 【解析】（1）由题得，（1分） 因为，所以，设， 则在上恒成立，所以在上单调递减， ，令， 所以当时，，则；当时，，则， 所以在上单调递增，在上单调递减， 所以在上存在唯一极值点，（3分） 对函数有在上恒成立， 所以在上单调递减， 所以在上恒成立， 又因为，时， 所以时， 所以存在唯一使得，即在上存在唯一零点.（5分） （2）（i）由（1）知，则，， ， 则 ，（8分） ， ，（10分） 即在上单调递减.（11分） （ii），证明如下： 由（i）知：函数在区间上单调递减， 所以（12分） 即，（13分） 又，由（1）可知在上单调递减，，且对任意，（15分） 所以.（17分） 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $ 应用场景：单元测 高二数学下学期阶段测试 第五章 一元函数的导数及其应用 （考试时间：120分钟，分值：150分） 第一部分（选择题 共58分） 一、单选题：本大题共 8 小题，每小题 5 分，共计 40 分.每小题给出的四个选项 中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上 1．下列求导结果正确的是（   ） A． B． C． D． 2．已知为函数的导函数，若，则（    ） A． B． C． D． 3．已知函数在区间上有极值点，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．若函数（）在区间上单调递减，则实数a的值可能是（    ） A． B． C．1 D．2 5．已知函数，则不等式的解集为（   ） A． B． C． D． 6．一汽车在公路上沿直线变速行驶，假设时汽车的速度（单位：）为，则该汽车在第时的瞬时加速度为（   ） A． B． C． D． 7．直线是曲线的一条切线，则实数的值为（   ） A． B． C． D． 8．18世纪数学家欧拉在研究调和级数时得到了这样的成果：当很大时，（为常数）.基于上述事实，已知，，，则，，的大小关系为（    ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共 3 小题，每小题 6 分，共 18 分.在每小题给出的选项中，有 多项符合题目要求.全部选对的得 6 分，部分选对的得部分分，有选错的得 0 分. 9．下列说法中正确的有（    ） A．. B．已知函数在上可导，且，则. C．一质点的运动方程为，则该质点在时的瞬时速度是4. D．已知函数，则函数的图象关于原点对称. 10．已知函数，则下列说法正确的是（    ） A．若为上的单调函数，则 B．若时，在上有最小值，无最大值 C．若为奇函数，则 D．当时，在处的切线方程为 11．观察图象，下列结论错误的有（    ）． A．若图中为图象，则在处取极小值 B．若图中为图象，则有两个极值点 C．若图中为图象，则在上单调递增 D．若图中为图象，则的解集为 第二部分（非选择题 共62分） 三、填空题：本大题共 3 小题，每小题 5 分，共计 15 分. 12．对于且这类函数的求导、可以使用下面的方式进行： 第一步：；第二步：； 第三步：；第四步：. 根据上面的信息，则函数的导数________. 13．若曲线与曲线有相同的切线，则_______． 14．已知函数，，若，使得成立，则实数a的取值范围是______． 四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤. 15．（13分）（原创）某区域的环境噪音分贝随时间的变化函数为 （t为监测时间，单位：小时；f(t)为噪音分贝值），f'(t)是噪音分贝的 “变化速率函数”（速率为正表示分贝上升，为负表示下降）。 (1) 求监测开始时(t=0)和监测小时时的噪音变化速率之和； (2) 若将噪音变化速率函数y = f'(t)看作曲线，求该曲线在处的切线方程（可反映 “速率变化的趋势”）；(3) 求该区域噪音分贝的最值（即噪音的最高值与最低值）。 16（15分）已知函数的图象过点，且． (1)求函数的解析式； (2)求函数的单调区间： (3)求函数在上的最大值和最小值． 17．（15分）已知函数． (1)当，时，证明：． (2)当时，恒成立，求的取值范围． 18．（17分）（原创）已知函数． (1)求的单调区间； (2)当时，证明： ①当时，恒成立； ②存在唯一的，使得 19．（17分）已知函数，其中． (1)证明：在区间存在唯一的极值点和唯一的零点； (2)设分别为在区间的极值点和零点. （i）设函数.证明：在区间单调递减； （ii）比较与的大小，并证明你的结论． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $