命题大赛 浙江2025-2026学年高二数学下学期期末模拟卷（人教A版）

**基本信息** 以全国I卷真题为原型，通过《周髀算经》历法问题（第7题）传承文化，结合网约车派单概率模型（解答题15）等创新情境，考查统计、向量、导数等高二核心知识，体现数学眼光观察现实、思维分析问题的素养。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |单选题|8/40|统计（百分位数）、向量基底、集合运算|第7题融合传统文化，考查数列与不等式应用| |多选题|3/18|复数运算、立体几何折叠|第10题动态折叠问题，考查空间角与体积最值| |填空题|3/15|双曲线离心率、函数零点|第13题结合图像，考查函数与方程思想| |解答题|5/77|立体几何证明、概率期望、椭圆综合、新定义函数|第17题新定义函数，考查逻辑推理与创新应用；概率题体现数据分析素养|

· 《2025~2026学年高二下学期期末模拟卷》参考答案 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题所给的选项中，仅有一项符合题目要求. 1 2 3 4 5 6 7 8 8 9 D B C D D B A C BCD ACD 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9 10 11 AB BCD ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12． 13．4；（第一空3分，第二空2分） 14．5 15．（1） 如图，连接，设，连接．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 因为在三棱柱中，四边形是平行四边形，所以为的中点． 因为为的中点，所以．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 又因为平面，平面， 所以平面．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （2）因为，， 又，平面，平面， 所以平面，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 又平面，所以．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 因为，所以，，两两相互垂直．如图建立空间直角坐标系， 则，，，，．┈┈┈┈┈┈┈┈9分 所以，， 设平面的法向量为，则即， 令，则，于是．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分 所以点到平面的距离．┈┈┈┈┈┈┈┈┈13分 16．（1）解：在中，由余弦定理知，┈┈┈┈┈┈3分 所以，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 在中，由正弦定理知，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 所以；┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 （2）因为，所以，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 在中，，， 由正弦定理知，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 所以．┈┈┈┈15分 17．（1）由题意知，，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 ┈┈┈4分 所以，对任意的正整数s，t． ┈┈┈┈┈┈┈┈7分 （2）由（1）知，，┈┈10分 平台需要支付该用户的优惠券金额的所有可能取值为，┈┈┈┈┈┈┈┈11分 则，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13分 所以， 即平台需要赠送的优惠券金额的期望为元.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈15分 18．（1）由题意：┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈1分 解得，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 所以椭圆的标准方程为：.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 （2）因为，，所以.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 如图： 设点所在直线，当直线与椭圆相切，且时，的面积取得最大值.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 将代入，得， 整理得：，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 由， 又，所以.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈8分 此时点坐标为：. 所以直线方程为：，整理得：.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈10分 （3）因为直线的斜率不能为0，可设直线的方程为：，┈┈┈┈┈11分 代入，整理得：. 设，， 则，，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 所以， 所以.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13分 由.┈┈┈┈┈14分 设，，因为在上单调递增，所以当时，取得最小值5.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈16分 所以. 所以面积的最大值为：.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈17分 19．（1）对任意，所以，┈┈┈┈┈┈1分 又因为，且，┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈2分 所以，故函数属于集合．┈┈┈┈┈┈┈┈┈3分 由，，由二次函数的性质可知，．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈4分 .┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈5分 （2）由可知，存在满足． 又，故必有．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈6分 因此必有，且，所以， 又，，所以或 ┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈7分 当时，由题意，对任意，，，即. 又因为，即，故． 故.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈9分 当时，由题意，对任意，，，即， 又因为，，即，故 ． 综上，当时，；当时；.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈11分 （3）先证必要性：若是定义在上的增函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈12分 若是定义在上的减函数， 设任意正实数、满足， 则，，． 因此，得证． 综上，必要性得证.┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈13分 再证充分性：（反证法）假设函数在上不单调， 则必存在，使得或．┈┈┈┈14分 不妨设，且是函数在区间上的最大值． 设函数在区间上的最小值为，在区间上的最小值为 由题，，， 故，又， 故 即， 即，即， ，矛盾． 因此假设不成立.是上的单调函数．┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈16分 因此，是单调函数的充要条件是：对任意正实数， 恒成立┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈┈17分 答案第6页，共6页 答案第1页，共6页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年高二下学期期末模拟卷（数学）命题明细表 题号 题型 分值 知识点 难度系数 1 单选题 5 统计：平均数计算、百分位数求解 0.85 2 单选题 5 平面向量：基本定理、基底表示、坐标运算 0.80 3 单选题 5 集合：集合表示、交并补基本运算 0.88 4 单选题 5 导数：导数的几何意义、函数定点处的切线方程 0.75 5 单选题 5 抛物线：标准方程、焦点性质、两点间距离公式 0.72 6 单选题 5 函数：分段/复合函数最值、含参数函数性质 0.55 7 单选题 5 等差数列求和公式、实际情境应用、不等式取值范围 0.50 8 单选题 5 空间几何体+概率：正方体线面平行判定、古典概型概率计算、组合数运算 0.45 9 多选题 6 复数四则运算、复数的模、共轭复数、复数方程、存在性命题判断 0.70 10 多选题 6 立体几何（翻折问题）：空间翻折性质、二面角、异面直线所成角、空间距离最值、三棱锥体积、点到平面的距离 0.42 11 多选题 6 直线与圆相切、两圆外切性质、数列通项与求和、不等式综合判断 0.35 12 填空题 5 双曲线：渐近线方程、离心率计算 0.78 13 填空题 5 三角函数零点问题、图像与性质、直线与曲线交点、三角恒等变换 0.48 14 填空题 5 数列综合：数列构造、通项求解、最值分析、含参数不等式应用 0.30 15 解答题 13 空间几何体（三棱柱）：线面平行证明、体积计算、点到平面的距离（等体积法） 0.60 16 解答题 15 平面向量综合：线性运算、数量积、模长计算、平面图形中的向量应用 0.58 17 解答题 15 概率统计（随机变量）：独立事件概率、离散型随机变量分布列、数学期望计算、概率不等式证明 0.52 18 解答题 17 椭圆综合：标准方程求解、离心率、直线与椭圆位置关系、三角形面积最值、中点弦问题 0.38 19 解答题 17 函数综合（新定义）：新定义理解、函数最值与差值、分段函数、解析式求解、单调性充要条件证明 0.25 学科网（北京）股份有限公司 $ · 2025~2026学年高二下学期期末模拟卷 · 声明：本卷均为全国I卷的相似或者变形试题. 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每题所给的选项中，仅有一项符合题目要求. 1．已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（     ）． A．4.5 B．5 C．5.5 D．6 2．设是平面内一组基底，平面向量，．若存在实数使得，且，则（     ） A．－2 B． C． D．2 3．（原创改编题）已知集合，，则（     ） A． B． C． D． 4．曲线在处的切线方程为（   ） A． B． C． D． 5．已知点在抛物线上，则C的焦点与点之间的距离为（    ） A．4 B． C．2 D． 6．若函数的最小值为，则（    ） A． B． C． D． 7．中国古代数学名著《周髀算经》记载的“日月历法”曰：“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁，…，生数皆终，万物复苏，天以更元作纪历”.现恰有40人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂，其中最年长者的年龄大于90且不大于120，其余39人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（    ） A．17 B．18 C．19 D．20 8．在正方体中，E，F，G分别为，，的中点，若从正方体的八个顶点中任取两个不同的顶点，记事件M为“所取两个顶点的连线与平面平行”，则事件M发生的概率为（   ） A． B． C． D． 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每题所给的4个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分. 9．（原创改编题）已知复数，则（ ） A． B． C．若，则 D．，使得成立 10．如图1是平行四边形，将沿着折起（如图2），点分别在和上移动，且，记二面角为，下列选项正确的是（   ） A．当时，直线与所成角的余弦值为 B．当时，的最小值为 C．三棱锥体积的最大值是 D．当，且的长最小时，点到平面的距离为 11．已知半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，半径为的圆与射线、轴正半轴均相切，且与圆外切，则下列结论正确的是（    ） A．若则 B．若则点M10的坐标为 C．若则数列的前项和小于 D．的取值范围为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12．已知双曲线的一条渐近线经过点，则双曲线的离心率为__________. 13．如图，已知是函数的一个零点，曲线与直线交于A，B两点，若，且，，则________，________． 14．已知数列，设．若，，其中，当取得最小值时，__________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15．（13分）如图，在三棱柱中，侧面为正方形，，，为的中点． (1)求证：平面； (2)若，求点到平面的距离． 14．（15分）在如图所示的平面图形中，，，，与交于点，为的中点，设． (1)求； (2)求的值． 15．某用户在网约车平台发起订单后，平台按照就近原则依次派车：先派距离用户最近的第一辆车，若该车无法接单，则继续派第二辆车，以此类推，直至某网约车接单.假设该平台上每辆车接单的概率均为，且各辆车是否接单相互独立.记某网约车接单时平台为该用户派车的总次数为. (1)求的概率，并证明：对任意正整数s，t恒成立； (2)已知平台为该用户派出的第一辆车未接单，设平台还需为该用户继续派车的次数为.平台规定：若，则赠送该用户一张金额为3元的优惠券；否则，不赠送优惠券.求平台赠送该用户的优惠券金额的期望. 16．已知椭圆的一个顶点为，左焦点为，离心率为，为椭圆上的动点、为坐标原点，为的中点. (1)求椭圆的标准方程； (2)当的面积最大时，求直线的方程； (3)过点的直线与椭圆交于两点，求面积的最大值. 17．对于定义在区间上的函数，定义集合．对任意闭区间，设函数在区间上的最大值为，最小值为，记． (1)若，，判断函数是否属于集合，并求的值； (2)若，，且，．求的值及函数的解析式； (3)若，，令．证明：是单调函数的充要条件是：对任意，恒成立． 试卷第4页，共4页 试卷第3页，共4页 学科网（北京）股份有限公司 $