精品解析：贵州贵阳市南湖实验中学2025-2026学年高一第二学期6月月考数学试题

贵阳市南湖实验中学2025-2026第二学期6月月考 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 2. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 3. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若⊥，m，则m⊥ C. 若m⊥，mn，n，则⊥ D. 若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 5. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 7. 如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与一定互斥 D. 与一定不互斥 8. 在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9. 已知复数（，为虚数单位），则（ ） A. 当时， B. 当为纯虚数时， C. 在复平面内对应的点恒在直线上 D. 当时， 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. B. C. 若A与B互斥，则 D. 一定有 11. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积为，且，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的周长可以是 D. 的外接圆半径可以是 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 14. 如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 如图，中，，，，，为的中点，与相交于点． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 16. 如图，在长方体中，，，点为棱中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 18. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 19. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 贵阳市南湖实验中学2025-2026第二学期6月月考 高一数学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 考试结束后，请将试卷和答题卡一并收回.满分150分，考试时长：120分钟 第Ⅰ卷（选择题，共58分） 注意事项： 1.答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚. 2.每小题给出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.在试卷上作答无效. 一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 已知是平面内不共线的两向量，则下列向量组不能作为平面向量的基底的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】对于A，由，得与不共线，可作平面向量的基底，A不是； 对于B，由，得与不共线，可作平面向量的基底，B不是； 对于C，由，得与共线，不可作平面向量的基底，C是； 对于D，由，得与不共线，可作平面向量的基底，D不是. 2. 若复数，则z在复平面内对应的点位于（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【详解】复数， 所以复数z在复平面内对应的点位于第二象限. 3. 已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4，则该组数据的第70百分位数为（ ）． A. 4.5 B. 5 C. 5.5 D. 6 【答案】D 【解析】 【详解】已知一组数据1，2，x，6，7的平均数为4， 则，解得. 将这组数据按照从小到大的顺序排列，得共5个数据， 由，所以该组数据的第70百分位数为第4项，即6. 4. 设m，n是两条不同的直线，，是两个不同的平面，下列说法正确的是（ ） A. 若，则 B. 若⊥，m，则m⊥ C. 若m⊥，mn，n，则⊥ D. 若＝m，n，n⊥m，则n⊥ 【答案】C 【解析】 【详解】平行于同一平面的两条直线可能平行、相交或异面，故A错误； 当两个平面垂直时，一个平面内的直线只有垂直于交线才垂直于另一个平面，故B错误； 若m⊥，，则n⊥，又，可得⊥，故C正确； ＝m，n，n⊥m，但不一定垂直于平面内的其他直线， 故不一定垂直于，故D错误． 5. 在中，若，且，那么一定是（ ） A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形 C. 等腰三角形 D. 等边三角形 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理将边化角，即可求出，再由余弦定理求出，从而得解. 【详解】因为，由正弦定理可得， 又，所以，所以，则， 又，所以， 又，由余弦定理， 又，所以， 所以，则为等边三角形. 故选：D 6. 如图，一个平面图形的直观图是等腰梯形，，该直观图的高为2，则原平面图形的周长为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【详解】过点作于点D，故，因为，所以，，同理过点作于点E，可得，所以，所以原平面图形OABC如图所示，其中，，，，故原平面图形的周长为，故选：A． 7. 如果事件，互斥，记，分别为事件，的对立事件，那么（ ） A. 是必然事件 B. 是必然事件 C. 与一定互斥 D. 与一定不互斥 【答案】B 【解析】 【分析】根据事件互斥、对立事件和必然事件的定义，逐一分析选项． 【详解】解：如图①所示，不是必然事件，是必然事件，与不互斥； 如图②所示，是必然事件，是必然事件，与互斥． 故选B. 8. 在中，角所对的边分别为，且．若点为边的中点，边上的中线的长为，则面积的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】借助余弦定理计算可得，利用平面向量线性运算法则及模长与数量积关系计算可得，再利用基本不等式与三角形面积公式计算即可得面积的最大值. 【详解】由余弦定理可得， 由点为边的中点，则， 故， 即，即， 则，即， 当且仅当时，等号成立， 故， 即面积的最大值为. 二、多选题（每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有错选的得0分，共18分） 9. 已知复数（，为虚数单位），则（ ） A. 当时， B. 当为纯虚数时， C. 在复平面内对应的点恒在直线上 D. 当时， 【答案】BC 【解析】 【分析】根据共轭复数和纯虚数的定义可判断A,B,求出复数对应的点可判断C，利用复数的乘法运算可判断D. 【详解】对于A，当时，，，A不正确； 对于B，，当为纯虚数时，，即，B正确； 对于C，，在复平面内对应的点的坐标为， 因为，所以C正确； 对于D，当时，，，D不正确. 10. 已知事件A，B发生的概率分别为，，则（ ） A. B. C. 若A与B互斥，则 D. 一定有 【答案】AB 【解析】 【分析】对于A，利用对立事件的概率公式即可判断；对于BC，利用和事件与交事件的概率公式，结合互斥事件的定义计算判断即可；对于D，举反例即可判断. 【详解】对于A，因为，所以，故A正确； 对于B，因为， 又且，则， 所以，即，故B正确； 对于C，因为A与B互斥，所以， 则，故C错误； 对于D，记事件“抛掷一枚骰子，向上的点数小于3”，事件“抛掷一枚骰子，向上的点数为4”， 则满足，，但不成立，故D错误； 故选：AB. 11. 在中，角、、的对边分别为、、，的面积为，且，，则下列结论正确的有（ ） A. B. C. 的周长可以是 D. 的外接圆半径可以是 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用三角形的面积公式以及平面向量数量积的定义可判断A选项；利用三角形的面积公式可判断B选项；利用余弦定理结合基本不等式可判断C选项；利用正弦定理可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为，即， 即，整理可得， 又因为，故，A对； 对于B选项，，B对； 对于C选项，由余弦定理可得， 所以的周长为 ， 当且仅当时，即当时，等号成立，即周长的最小值为，C错； 对于D选项，由C选项可知，故， 当且仅当时，等号成立， 设外接圆半径为，由正弦定理可得，可得， 又因为，即，故的外接圆半径可以是，D对. 第Ⅱ卷（非选择题，共92分） 注意事项： 第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效. 三、填空题（每小题5分，共15分） 12. 现从500袋牛奶中抽取50袋进行检验，将它们编号为000，001，002，…499，利用随机数表抽取样本，从下表第1行第5列的数开始，按3位数依次向右读取，到行末后接着从下一行第一个数继续．则抽出的第三袋牛奶的编号是_______． 35025 83921 20676 63016 47859 16955 56719 98105 07185 12867 35807 44395 23879 33211 【答案】 【解析】 【详解】根据随机数表，依次被抽取到的编号为：， 所以抽出的第三袋牛奶的编号是. 13. 在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，已知．若，则____________；若，则____________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】利用正弦定理和余弦定理化简计算即可得出结果. 【详解】因为，所以，所以． 因为，所以，所以． 所以． 14. 如图，在正方体中，、分别为，的中点，则直线与平面所成角的正切值为______． 【答案】 【解析】 【分析】利用等体积法求点到平面的距离，进而可求线面夹角. 【详解】设正方体的棱长为， 所以，所以， ， 设的中点为，连接， 所以， 所以， 所以， 设点到平面的距离为， 所以， 所以，所以， 解得， 设直线与平面所成角为， 所以，又，所以， 所以. 四、解答题（本大题共77分，解答应写出文字说明、证明过程或验算步骤） 15. 如图，中，，，，，为的中点，与相交于点． （1）若，求的值； （2）求的余弦值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用向量共线定理及其推论待定系数计算即可； （2）利用向量数量积公式及模长公式计算即可. 【小问1详解】 易知 ， 因为三点共线，所以，解得； 【小问2详解】 记， 则，， 又，，，故， ， ， ， 则． 16. 如图，在长方体中，，，点为棱中点. （1）求证：平面； （2）求异面直线与所成角的大小. 【答案】（1） 设与相交于点，连接， 因为点为的中点，点为的中点， 所以为中位线，则， 平面，平面 所以，平面 （2） 【解析】 【小问1详解】 略 【小问2详解】 由（1）知，，所以即为异面直线与所成角或其补角. 因为，所以，， 且， 所以，在中，. 又，所以. 故异面直线与所成角的大小为. 17. 已知的内角A、B、C所对的边分别为a，b，c，设向量,,且. （1）求角C； （2）若，的面积为，D为边的中点，求的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据得到,再利用正弦定理和余弦定理求解即可; （2）先根据三角形的面积公式求出,再利用余弦定理求出即可. 【小问1详解】 因为,,且, 所以, 由正弦定理可得:，即, 由余弦定理得:，所以, 又,所以. 【小问2详解】 因为, 由三角形面积公式得:，解得, 因为D为边的中点，所以， 在中，， 即，所以. 18. 某校法联社团组织高一年级所有学生参加“感受法治内涵，争做法治宣传人”的主题知识比赛，旨在引导同学们深入学习法治知识，争当法治精神的传播者.比赛分为初赛和决赛两个环节，现从所有初赛成绩（满分分，最低分分）中，随机调查了位同学的测试成绩，按、、、、分组，并绘制出了如图所示的频率分布直方图. （1）若规定成绩排名前的同学可入围决赛，请估计进入决赛的同学成绩应不低于多少分？ （2）已知落在内的平均成绩是分，方差是分，落在内的平均成绩是分，方差是分，求两组成绩合并后的平均数和方差. 附：设两组数据的样本量、样本平均数和样本方差分别为、、；、、，记两组数据总体的样本平均数为，则总体样本方差. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图计算样本数据的第百分位数即可； （2）先求出总体平均数，再利用分层抽样的方差公式求解即可. 【小问1详解】 由题意可知，进入决赛的同学成绩的分数线为样本数据的第百分位数， 设样本数据的第百分位数为， 由频率分布直方图中所有矩形的面积之和为可得， 解得， 前三个矩形的面积之和为， 前四个矩形的面积之和为，所以， 由百分位数的定义可得，解得， 故进入决赛的同学成绩应不低于分. 【小问2详解】 由题意可知，成绩落在的频率为， 成绩落在的频率为， 所以，， . 19. 如图，在直角梯形中，，，，，，点在上，且，将沿折起，使得平面平面，G为中点． （1）求证：平面； （2）求点到平面的距离； （3）在线段上是否存在点，使得平面？若存在，求的值；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）因为为中点，，所以． 因为平面平面，平面平面，平面， 所以平面． （2） （3）存在， 【解析】 【分析】（1）利用等腰三角形性质可得，再由面面垂直性质定理可得结论； （2）利用等体积法结合锥体体积公式求解即可； （3）利用面面平行判定定理可证明平面平面，再由其性质可证明当时，满足题意. 【小问1详解】 略 【小问2详解】 在直角三角形中， ∵， ∴， ∴． 又三角形的面积， 由（1）知，平面，所以三棱锥的高为， 设点到平面的距离为, 由，，而， 则， 所以,则，即， 则， 由，得， 则， 即点到平面的距离为. 【小问3详解】 过点作交于点，则； 过点作交于点，连接，则；如下图所示： 因为平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面． 因为，平面，平面， 所以平面平面． 因为平面，所以平面． 所以在上存在点，使得平面，且． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $