精品解析：天津市伯苓高级中学2025-2026学年高二下学期期中考试数学试卷

2025~2026学年度第二学期第二次质量监测试卷 高二年级数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】由， 则. 2. 命题“，”的否定是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【详解】命题“，”的否定为，. 3. 某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（ ） （参考数据：若，则） A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328 【答案】C 【解析】 【详解】，则，， ， 因此身高落在区间内的男生人数为. 4. “角为钝角”是“角为第二象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】应用角的分类及充分不必要条件定义求解. 【详解】“角为钝角”可以推出“角为第二象限角”， 取，为第二象限角，但不是钝角， “角为第二象限角”不能推出“角为钝角”， 所以“角为钝角”是“角为第二象限角”的充分不必要条件. 5. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数， . 6. 下列命题正确的是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B. 当相关系数时，两个变量负相关； C. 甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D. 线性回归直线必过样本数据的中心点； 【答案】D 【解析】 【分析】利用回归直线的性质,相关系数和决定系数的规定及残差分析的分析方式，逐项判断即可. 【详解】选项A：残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，说明观测值与预报值之间的差距越大，数据分布越分散，因此回归方程的预报精确度就越差，所以选项A错误； 选项B：当相关系数时，说明两个变量正相关，所以选项B错误； 选项C：模型的决定系数越大，说明残差平方和越小，拟合效果越好,，所以模型甲的拟合效果更好，所以选项C错误； 选项D：回归直线的定义规定回归直线必过样本数据的中心点，所以选项D正确. 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由函数的奇偶性即可排除AC，再结合函数值的变化趋势判断BC的真假. 【详解】由题意，函数的定义域为，且，所以为奇函数，图象关于原点中心对称，故AC错误； 根据指数函数与二次函数的增长速度可知，当时，且，故D错误. 故选：B 8. 已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，再结合函数单调性的表示可知函数在上单调递减，再利用单调性比较大小即可． 【详解】解：，， ， 又对，，（），有， 则函数在上单调递减， ，即． 9. 已知是上的偶函数，对任意实数都有成立，当时，，则（ ） A. 7 B. 4 C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性求得，结合求得. 【详解】由是上的偶函数，当时，， 又，故，解得， 此时（）. 由，令，得，即， 而，故. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. _________. 【答案】 【解析】 【分析】由对数及根式的基本运算求解即可. 【详解】解： . 故答案为： 11. 若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】先根据弧长公式求出扇形的半径，然后利用扇形面积公式求解. 【详解】扇形的圆心角为，弧长为， 则， . 12. 植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米. 【答案】 【解析】 【分析】根据表中数据求出线性回归方程，再代入即可. 【详解】由题意可得，， 所以， 所以回归方程为， 所以预测生长期是30天时，植物高度约为厘米. 故答案为：. 13. 已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 【答案】2 【解析】 【分析】根据幂函数的定义和性质列式求解即可. 【详解】因为幂函数在区间上单调递增， 则，解得. 14. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________. 【答案】 【解析】 【分析】由指数函数的单调性结合分段函数的单调性和间断点的连续性列不等式可得. 【详解】因为当时，函数单调递减，且当时，； 当时，函数单调递减，且当时，. 由题意得，，解得 即实数的取值范围是. 故答案为：. 15. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】先利用绝对值三角不等式，求出，再利用已知恒成立条件解不等式即可． 【详解】， ，当且仅当时，等号成立； 要使对任意恒成立，只需，即， 或，解得或， 实数的取值范围为． 故答案为：． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知． （1）求ab的最大值； （2）求的最小值． 【答案】（1） （2）12 【解析】 【分析】（1）直接利用基本不等式求解即可 （2）利用“1”的代换，化简得到，展开后再利用基本不等式求解即可. 【小问1详解】 因为，所以， 所以，当且仅当，即时，等号成立，所以ab的最大值为． 【小问2详解】 因为， 所以， 当且仅当且，即时，等号成立， 所以的最小值为12． 17. （1）已知，且为第二象限角，求，的值； （2）已知，求的值． 【答案】（1），；（2） 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数的平方关系与商数关系即可求解； （2）化为齐次式，进而化为的代数式可求值. 【详解】（1）因为，且为第二象限角，所以， 所以； （2）. 18. 科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 （1）求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ （2）在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2.706 6.635 10.828 【答案】（1），，认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生 （2）X的期望；X的方差． 【解析】 【分析】（1）本题先由列联表数据求出参数,设立独立性检验零假设,代入卡方公式计算值并与临界值比对,依据小概率值否定零假设,判定使用智能设备与预防摔倒有关； （2）再确定摔倒老人中使用和未使用智能设备的人数,明确随机变量的取值,用组合数求对应概率,进而计算出的数学期望与方差. 【小问1详解】 由表中数据可得，． 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 92 100 未使用 32 68 100 合计 40 160 200 零假设为：使用智能设备与有效预防摔倒的发生无关． 故根据小概率值的独立性检验，推断不成立，即认为使用智能设备能有效预防摔倒的发生． 【小问2详解】 易知5名“发生摔倒”的老人中有1人使用智能设备，4人未使用智能设备， 故X的所有可能取值为1，2， ，， 所以X的期望； X的方差． 19. 已知. （1）当时，求不等式的解集； （2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据对数函数的单调性可求不等式的解； （2）将对数型方程转化为只有一个正根，就结合判别式的符号分类讨论后可得实数的取值范围. 【小问1详解】 当时，，因为， 所以，即， 解得，所以所求解集为； 【小问2详解】 因为， 由，得只有一个正根， 若，满足题意； 当时， 若，解是， 此时方程仅有一个实根为，满足题意； 若，即，此时方程的两根之积为，所以方程两根只能异号， 所以，可得，此时方程只有一个正根，满足题意； 综上，或， 所以实数的取值范围是：. 20. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若函数，记函数的最小值，求的解析式； （3）若在上有最小值，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用函数的奇偶性，结合已知条件求出函数在上的解析式； （2）利用函数单调性分情况讨论求出相应最小值，进而求出的解析式； （3）结合的解析式并作出相关图象，结合已知条件求出实数的取值范围． 【小问1详解】 已知是定义在上的奇函数，则， 若，则，则， 又为奇函数，则， 综合可得，． 【小问2详解】 当时，， 则函数开口向上，且对称轴的方程为， ①当时，函数在区间单调递增， 故当时，函数取得最小值，最小值是， ②当时，函数在单调递减，在单调递增， 故当时，函数取最小值，最小值是， ③当时，函数在区间单调递减， 故当时，函数取得最小值，最小值是， 函数的最小值． 【小问3详解】 由（1）的结论，，作图如下： 若在上有最小值，即函数图象在区间上有最低点， 必有或， 的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025~2026学年度第二学期第二次质量监测试卷 高二年级数学学科 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150分，考试用时120分钟．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上．答卷时，考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效．祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷（选择题） 一、单选题：本题共9小题，每题5分，共45分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知集合，则集合（ ） A. B. C. D. 2. 命题“，”的否定是（ ） A ， B. ， C. ， D. ， 3. 某市高三年级共有男生20000人，已知他们的身高（单位：）近似服从正态分布，则身高落在区间内的男生人数约为（ ） （参考数据：若，则） A. 3413 B. 5120 C. 6827 D. 10328 4. “角为钝角”是“角为第二象限角”的（ ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 5. 设函数，则（　　 ） A. B. C. D. 6. 下列命题正确的是（ ） A. 残差图中残差点所在的水平带状区域越宽，则回归方程的预报精确度越高； B. 当相关系数时，两个变量负相关； C. 甲、乙两个模型的分别约为0.88和0.80，则模型乙的拟合效果更好； D. 线性回归直线必过样本数据的中心点； 7. 函数的大致图象是（ ） A. B. C. D. 8. 已知定义在上的函数，满足，，对，，（），有，则有（ ） A. B. C. D. 9. 已知是上的偶函数，对任意实数都有成立，当时，，则（ ） A. 7 B. 4 C. 1 D. 第Ⅱ卷（非选择题） 二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分． 10. _________. 11. 若扇形的圆心角为，弧长为，则此扇形的面积为__________. 12. 植物社团的同学观察一株植物的生长情况，为了解植物高度（单位：厘米）与生长期（单位：天）之间的关系，随机统计了某4天的植物高度，并制作了如下对照表： 生长期 3 9 11 17 植物高度 2.4 3.4 3.8 5.2 由表中数据可得回归方程中，试预测生长期是30天时，植物高度约为__________厘米. 13. 已知幂函数在区间上单调递增，则___________． 14. 已知函数是上的减函数，则实数的取值范围是__________. 15. 已知函数，若对任意恒成立，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共75分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 16. 已知． （1）求ab最大值； （2）求的最小值． 17. （1）已知，且为第二象限角，求，的值； （2）已知，求的值． 18. 科技进步催生了大批智慧养老科技产品．在某养老服务中心，室内、、物联网等智能设备，精准对接老年人多样化健康养老需求．该中心配备有多台摄像机，通过智能分析，辅助发现老人异常行为状态，产生预警信息并实时推送至护理站，及时对老人进行救助．为防止老人摔倒，在房间内还铺设有智能地板，一旦出现特殊情况，地板就会立即报警．在该中心所在地区随机抽取200名70岁以上的老人进行问卷调查，得到如下列联表： 智能设备 摔倒 合计 发生 未发生 使用 8 m 100 未使用 n 68 合计 200 （1）求m，n的值，并依据小概率值的独立性检验，分析使用智能设备是否能有效预防摔倒的发生？ （2）在参与问卷调查发生摔倒的老人中，按是否使用智能设备进行分层，采用样本量比例分配的分层随机抽样方法，从样本中抽取5人作进一步调查，再从这5人中随机抽取2人进行面谈，记这2人中未使用智能设备的人数为X，求X的数学期望及方差． 附：，其中． 0.1 0.01 0.001 2706 6.635 10.828 19. 已知. （1）当时，求不等式解集； （2）若函数有且只有一个零点，求实数的取值范围. 20. 已知是定义在上的奇函数，且当时，． （1）求函数在上的解析式； （2）若函数，记函数最小值，求的解析式； （3）若在上有最小值，求实数的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $