精品解析：天津市天津中学2025-2026学年高二下学期5月期中考试数学校考

2025-2026学年第二学期天津中学高二年级期中阶段性检测 数学试卷 一、单选题（共10题，每题5分，共50分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，为非零实数，则“”是 “”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 4. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 5. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 6. 若随机变量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. [1，3] D. (1，3] 8. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 10. 已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 二、填空题（共5题，每题5分，共25分） 11. 已知，或，若，则实数的取值范围是______. 12. 已知，则的取值范围为______ 13. 的展开式中含的项为____. 14. 有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________. 15. “，”是假命题，则实数的最大值为_______． 三、解答题（共5题，共75分） 16. 已知展开式中前三项的二项式系数和为. （1）求的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项. 17. 某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. （1）求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； （2）求的分布列与数学期望. 18. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 19. 设函数在及时取得极值． （1）求出的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年第二学期天津中学高二年级期中阶段性检测 数学试卷 一、单选题（共10题，每题5分，共50分） 1. 已知全集，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据补集的定义计算，需注意集合中元素的取值范围要求． 【详解】根据补集的计算法则可知：. 2. 设，为非零实数，则“”是 “”成立的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【分析】根据充分条件与必要条件定义举特殊值判断即可. 【详解】由题意当时，满足，但，故充分性不满足； 当时，满足，但，故必要性不满足； 所以“”是 “”成立的既不充分也不必要条件. 3. 已知变量x和y有较强的线性相关关系，根据下表中两个变量间的相关数据可以得到经验回归方程为，则（ ） x 2 3 4 5 y 4 7 8 13 A. 经验回归直线必过点 B. C. 当时，预测值 D. 当时，样本点对应的残差为0.2 【答案】D 【解析】 【详解】对于A，因为，， 所以经验回归直线必过点，A错误； 对于B，因为经验回归直线的方程为，且该直线过点， 所以，解得，B错误； 对于C，将代入经验回归方程得，C错误； 对于D，当时，实际值，预测值， 所以残差为，D正确． 4. 已知 ，，且和的分布密度曲线如图所示，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由密度曲线结合正态分布性质求解即可. 【详解】由题图可知，，则，即，所以A错误； 根据正态曲线的性质，越大图象越矮胖，则，即，所以B错误； 由图可知，，所以C正确； 由图可知，，所以D错误． 5. 统计学中，常用的显著性水平以及对应的分位数如下表所示． 0.1 0.05 0.01 0.005 0.001 2.706 3.841 6.635 7.879 10.828 在检验与是否有关的过程中，根据已知数据计算得，则（ ） A. 在犯错误的概率不超过1的前提下，可以认为与有关 B. 在犯错误的概率不超过的前提下，可以认为与有关 C. 有的把握认为与有关 D. 有的把握认为与有关 【答案】C 【解析】 【分析】根据独立性检验的应用判断选项. 【详解】因为，所以， 所以在犯错误的概率不超过的前提下， 可以认为与有关或有的把握认为与有关． 6. 若随机变量满足，且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】因为随机变量满足，且， 所以，整理得到，所以， 即，解得，则，所以. 7. 已知函数的定义域是，则函数的定义域是（ ） A. B. C. [1，3] D. (1，3] 【答案】B 【解析】 【详解】因为函数的定义域为，所以函数的定义域为， 所以的定义域需满足： ，解得. 8. 函数的单调递减区间为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用对数函数真数大于0求出函数定义域，利用对数底数确定外层函数单调性，令，分析在定义域内的单调区间，最后利用复合函数单调性同增异减求出函数的单调区间． 【详解】对数的真数大于0， ，即，解得， 令，则， 的底数，时，单调递减， 函数是开口向下的二次函数，对称轴为， 在上单调递增，在上单调递减， 复合函数的单调性满足同增异减， 在上单调递减，在上单调递增，故D正确． 故选：D． 9. 已知函数在上是单调的函数，则实数a的取值范围是（    ）. A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意，按函数为增函数和减函数两种情况讨论，分别求出的取值范围，综合可得答案． 【详解】因为在上是单调的， 当时，，不满足条件； 当时，若在上单调递增，则，解得， 当时，若在上单调递减，则，解得， 所以实数a的取值范围是. 故选：B. 10. 已知函数，，若存在，，使得成立，则的最大值为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先得到，再由的单调性得，进而得到，由导数求出的最大值，即可求解. 【详解】，，易得在上，则在上单调递增， 又，所以即，，所以，则，令，则， 当时，，单调递增，当时，，单调递减，则，即时，取得最大值． 故选：A 二、填空题（共5题，每题5分，共25分） 11. 已知，或，若，则实数的取值范围是______. 【答案】 【解析】 【分析】由得到，然后由子集的定义求解. 【详解】因为集合，或. 若，则， ∴或，即或. ∴实数的取值范围是. 故答案为：. 12. 已知，则的取值范围为______ 【答案】 【解析】 【分析】利用不等式待定系数配凑求解 【详解】设 展开得 对比系数列方程得，解得 所以 因为， 所以，即 ，两不等式相加得，即 13. 的展开式中含的项为____. 【答案】 【解析】 【分析】解法一：将三项展开式变为，根据和展开式的通项乘积可求得结果；解法二：直接根据组合数公式计算多项式的系数可得. 【详解】方法一:因为， 二项式展开式的通项为， 二项式展开式的通项为， 所以多项式展开式的通项为， 令，得，且， 所以或或或或. ①当时，的展开式中含的项为； ②当时，的展开式中含的项为， ③当时，的展开式中含的项为； ④当时，的展开式中含的项为； ⑤当时，的展开式中含的项为. 综上，得的展开式中含的项为. 方法二：可看成6个相乘， 的展开式中含的项有以下三种情况： ①个多项式取，个多项式取乘积得到，即； ②个多项式取，个多项式取，个多项式取乘积得到， 即； ③个多项式取，个多项式取乘积得到， 即； 综上所述，的展开式中含的项为. 14. 有2名男生，2名女生，2个相同的机器人坐在一排，则机器人不坐在两端，2名男生不相邻的不同坐法总数为__________. 【答案】108 【解析】 【详解】当两男生在两端时，坐法有种，当两女生在两端时，坐法有种， 当一男生一女生在两端时， 先选出这两人有种选法，两端的男女生可以交换位置，有种坐法， 再考虑中间四个位置的坐法,若挨着男生的是另一名女生，此时中间另3个位置有种坐法， 若挨着男生的是机器人，此时中间另3个位置有种坐法， 故当一男生一女生在两端时坐法有种， 所以不同坐法总数为 . 15. “，”是假命题，则实数的最大值为_______． 【答案】6 【解析】 【分析】首先利用命题的否定将命题变为真命题，分离参数后结合均值不等式求的最大值. 【详解】因“，”是假命题，故命题的否定为，为真命题， 分离参数可得： 令，所以，所以， 当且仅当，即时等号成立， 即当时，不等式右侧表达式取得最小值为6，所以的最大值为6. 三、解答题（共5题，共75分） 16. 已知展开式中前三项的二项式系数和为. （1）求的值； （2）求展开式中含的项的系数； （3）求展开式中系数最大的项. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据及组合数公式得到方程，解得即可； （2）写出展开式的通项，利用通项计算可得； （3）设第项的系数最大，得到关于系数的不等式组，求出，再代入通项计算可得. 【小问1详解】 因为展开式中前三项的二项式系数和为， 所以，即，解得或（舍去）， 所以； 【小问2详解】 因为展开式的通项为（其中且）， 令，解得， 所以，所以展开式中含的项的系数为； 【小问3详解】 设第项的系数最大， 所以，即，解得， 又，所以， 所以，所以展开式中系数最大的项为. 17. 某人工智能模型进行指令识别训练，每次识别成功的概率为，失败的概率为，各次识别相互独立.现对该模型进行5次独立测试，设识别成功的次数为随机变量. （1）求在第二次识别成功的条件下，5次中恰有3次识别成功的概率； （2）求的分布列与数学期望. 【答案】（1） （2） 0 1 2 3 4 5 . 【解析】 【分析】（1）先定义对应随机事件，分析交事件含义为第二次固定识别成功，剩余四次恰好两次成功，据此用独立概率和组合公式算出联合概率，再结合第二次识别成功的基础概率，套用条件概率公式求出结果. （2）先判断随机变量服从二项分布，确定取值范围，利用二项分布概率公式依次算出每个取值对应的概率，列出分布列，再直接用二项分布期望公式计算数学期望. 【小问1详解】 设事件：第二次识别成功；事件：次中恰有3次识别成功. 则事件：第二次识别成功，且5次中恰有3次识别成功，即除第二次外，剩余4次中恰有2次识别成功. 所以. 因为，所以. 【小问2详解】 由题意，得，且的所有可能取值为， 则， ， ， ， ， . 所以的分布列为 0 1 2 3 4 5 . 18. 甲箱的产品中有5个正品和3个次品，乙箱的产品有4个正品和3个次品． （1）从甲箱中任取2个产品，求这2个产品中至少有1件是正品的取法有多少种？ （2）若从甲箱中任取2个产品放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个产品，求取出的这个产品是正品的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先算出总的组合数，再求出对立事件对应的取法，用总的取法减去全是次品的取法即可； （2）根据甲箱中取出2件的类型，分成3种情况，分别计算三种情况的发生概率，再利用全概率公式计算求解． 【小问1详解】 已知甲箱中共有8件产品，任取2件的取法为：种， 2个产品中至少有1件是正品的对立事件为2件均为次品，取法为：种， 这2个产品中至少有1件是正品的取法为：种． 【小问2详解】 从甲中取2个正品，概率为，此时乙箱中有6件正品3件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取1个正品1个次品，概率为，此时乙箱中有5件正品4件次品， 抽到正品的概率为； 从甲中取2个次品，概率为，此时乙箱中有4件正品5件次品， 抽到正品的概率为； ． 19. 设函数在及时取得极值． （1）求出的值； （2）若对于任意的，都有成立，求c的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）对函数求导，结合极值点和韦达定理求解即可； （2）代入，并对函数求导，分析函数单调性，进而结合端点值建立关于的不等式求解. 【小问1详解】 对函数求导可得， 因为在和处取得极值，所以是方程的两个根， 由韦达定理：,解得. 将代入导函数得：， 当时，当时，当时， 和处导数值变号，故为极值点，所以. 【小问2详解】 由，得，, 时，，单调递增；时，，单调递减； 时，，单调递增，，，， 因此在上的最小值为. 任意都满足，等价于最小值大于， 即：，解得：，所以的取值范围是. 20. 已知函数，其中. （1）当时，求曲线在点处的切线方程； （2）讨论函数的单调性； （3）若函数的图像上存在两点，，使得曲线在两点处的切线互相平行，且线段的中点在上，求的取值范围. 【答案】（1） （2）当时，在，上单调递增，在上单调递减. 当时，在上单调递增. 当时，在，上单调递增，在上单调递减. （3） 【解析】 【分析】（1）第一问先代入得到具体函数,求导后算出处的函数值与导数值,由切线斜率为0直接写出切线方程； （2）先对函数求导并通分因式分解,得到导数零点为和,再根据参数与1的大小关系分三种情况讨论,分别判断定义域内各区间导数的正负,进而得出每种情况下函数的递增、递减区间,最后整合写出单调区间的完整结论. （3）利用两点处切线平行则导数值相等建立等式,化简推导出,再由中点横坐标条件得到,进而构造以为根的一元二次方程,结合方程有两个不等正根的判别式与参数范围要求,解出的取值范围. 【小问1详解】 函数，定义域为，. 当时，.求导得. 代入，，. 切线斜率为，切线方程为. 【小问2详解】 求导得. 令，得或 ①当时：时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. ②当时：，在上单调递增. ③当时：时，，单调递增； 时，，单调递减； 时，，单调递增. 综上所述，当时，在，上单调递增，在上单调递减. 当时，在上单调递增. 当时，在，上单调递增，在上单调递减. 【小问3详解】 由题意，处切线平行，故. 即，整理得， 即，因，故. 又中点在上，故，即. 于是是方程的两个根,题干等价于二次方程有两个不等的正根. 所以满足条件：解得. 故的取值范围是. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $