2026年浙江省杭州市中考数学模拟预测卷一

**基本信息** 立足杭州中考趋势，以榫卯结构、跳台滑雪等真实情境为载体，融合几何直观、运算能力与模型意识，实现文化传承与问题解决的有机统一。 **题型特征** |题型|题量/分值|知识覆盖|命题特色| |----|-----------|----------|----------| |选择题|10/30|三视图、科学记数法、圆的切线、反比例函数|以鲁班锁构件考空间观念，结合萧山区GDP数据强化数感| |填空题|6/18|菱形折叠、概率计算、正方形动态几何|通过正方形E、F运动问题考查推理能力，渗透创新意识| |解答题|8/72|二次函数最值、解直角三角形、实际应用|以订书机结构模型考几何直观，运动会函数图像题发展模型意识，体现数学思维的逻辑性与应用价值|

2026杭州中考模拟预测卷（一） 一、选择题(共10题；共30分) 1．（2026九下·台州月考）榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（　　） A． B． C． D． 2．（2026九下·萧山一模）根据萧山区政府2026年1月发布的《政府工作报告》获悉，2025年萧山区 GDP总值为2506亿元，同比增长5.0%．则2506亿用科学记数法可表示为(　　) A． B． C． D． 3．（2024·广州模拟）如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 4．（2025·龙马潭模拟）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（　　）米？ A．120 B． C．140 D． 5．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是（　　） A．102° B．99° C．92° D．67° 6．（2026九下·萧山一模）已知点A (a， t-1)， B (b， t)均在反比例函数 的图象上，若0<t<1，则下列判断一定正确的是(　　) A．a+b>0 B．a+b<0 C．ab>0 D．ab<0 7．（2026·舟山模拟）已知某函数图象经过(m2，p)，(-m2，-p)， (m2+3，p+4)三个点，则该函数表达式可能为(　　) A． B．y=-2026x C． D． 8．（2026九下·萧山一模）下列计算正确的是(　　) A．1-(x-1)=-x B． C． D． 9．（2026·杭州二模）抛物线当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　） A．1 B． C．或 D．或 10．如图，正方形 ABCD 的边长为4，E，F分别是BC，CD 上的一动点，且 BE=CF，连结 AE，BF，两线交于点 P，连结 CP，则CP的最小值是(　　) A． B． C． D． 二、填空题(共6题；共18分) 11．（2026八下·杭州期中）若，是方程的两个根，则　 　． 12．（2026·湖州一模）化简(a+b)(a-b)的结果是　 　. 13．（2025·衢州模拟）如图，已知菱形的边长为5，点在边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，且，则的长度为　 　． 14． （2026·浙江模拟） 某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参加一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是　 　． 15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且AE=CF，连结BE，BF，EF，G是BE的中点，连结AG并延长，交BF于点K. （1）∠AKB=　 　°； （2）连结CK，当线段CK取得最小值时，的值为　 　. 16．（2026·杭州二模）已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若则cos∠CPD=　 　. 三、解答题(共8题；共72分) 17．（2025·温州模拟） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 18． 已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值． 19．（2026·浙江一模）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地.若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进.用时少者胜.甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系如图2. （1）求乙班返回时的速度. （2）求DE的函数表达式. （3）求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值. 20．（2026·慈溪一模）如图，某型号订书机的主要部件托板OA与手柄OB的长度相等，均为10.7cm，其中托板分为弹簧OD，长为1.2cm的推动器DE和书钉EA三段，连杆DF的一端通过销子F与手柄相连，另一端D可在OA 段滑动，当托板与手柄的夹角∠AOB张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端D 并随着∠AOB 的增大拉动推动器向销子O方向移动.现测得销子O，F之间的距离为3.5cm，连杆DF=6cm. （1）当连杆勾住点D时，若DF⊥OB，求此时书钉的长度(结果精确到0.1cm，参考数据： （2）已知一条新书钉的长度为3.5cm，当装好一条新书钉且连杆勾住点D时，求cos∠AOB. 21．（2026·温州模拟）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢?小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则（实际上，） （1）的整数部分为　 　；　 　（结果保留两位小数）. （2）小明在采用这种方法估算时，得到与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差.请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）. 22． 如图，已知矩形 ABCD，E 为 BC 边上一点，将△ABE 沿 AE 翻折得到△AFE，延长AF 交BC 于点G，连结 DG.若CG=5， （1）求 AB 的长； （2）当 时，求证：G 是EC 的中点. 23．（2026·慈溪一模） 已知二次函数m为实数. （1）若m=1，求该函数图象的对称轴. （2）当m+2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值. （3）若点且 试比较y1与y2大小. 24．（2025·绍兴模拟）在中，为直径，点C，点D是上两点，分别位于的异侧，连接交与点E． （1）如图，连接，若，求的度数； （2）若点C是的中点． ①如图，点E在上，若，求的值； ②若，直接写出的值． 学科网（北京）股份有限公司 $ 2026杭州中考模拟预测卷（一） 一、选择题(共10题；共30分) 1．（2026九下·台州月考）榫卯强调隐形连接，被誉为“中华民族千年非遗瑰宝”．鲁班锁就是起源于我国古建筑中的榫卯结构．图2是六根鲁班锁（图1）中的一个构件，其左视图是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【解析】【解答】解：图2的左视图为： ， 故选：B． 【分析】本题以鲁班锁构件为背景，考查左视图的概念。左视图是从左向右观察得到的图形，解题时需根据构件的实际形状，判断从左面看每一列的最高层数及前后遮挡关系，从而选出正确选项。 2．（2026九下·萧山一模）根据萧山区政府2026年1月发布的《政府工作报告》获悉，2025年萧山区 GDP总值为2506亿元，同比增长5.0%．则2506亿用科学记数法可表示为(　　) A． B． C． D． 【答案】B 3．（2024·广州模拟）如图，点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点，连结AC并延长交BO的延长线于点D．若AB＝3，BD＝4，则⊙O的半径为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【解析】【解答】解：连接，如图所示： 点A是⊙O外一点，过点A作⊙O的切线AB、AC，切点分别为B、C两点， ，， ∴， 在中，，AB＝3，BD＝4， 由勾股定理得， ， 设半径，则， 在中，，CD＝2，，， 由勾股定理知， 得，即， 解得， 故答案为：D． 【分析】连接，根据切线长定理可得，再根据勾股定理可得AD=5，由边之间的关系可得CD=2，设半径，则，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案. 4．（2025·龙马潭模拟）如图是跳台滑雪比赛的某段赛道的示意图，某运动员从离水平地面高的A点出发（），沿俯角为的方向先滑行一定距离到达D点，然后再沿俯角为的方向滑行到地面的C处．若，则该运动员滑行的水平距离为（　　）米？ A．120 B． C．140 D． 【答案】B 【解析】【解答】解：过点D作于点E，于点F， ∵， ∴四边形是矩形， ∴， ∵，， ∴，， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：B． 【分析】过点D作于点E，于点F，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，再根据余弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，，再根据边边之间的关系可得，再根据正切定义即可求出答案. 5．如图，EB，EC是⊙O的两条切线，与⊙O相切于B，C两点，点A，D在圆上．若∠E=46°，∠DCF=32°，则∠A的度数是（　　） A．102° B．99° C．92° D．67° 【答案】B 【解析】【解答】解：∵EB，EC是⊙O的两条切线， ∴EB=EC， ∴∠ECB=∠EBC， ∴∠ECB= （180°﹣∠E）= ×（180°﹣46°）=67°， ∴∠BCD=180°﹣∠ECB﹣∠DCF=180°﹣67°﹣32°=81°， ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠BCD=180°， ∴∠A=180°﹣81°=99°． 故选B． 【分析】先根据切线长定理得到EB=EC，则∠ECB=∠EBC，于是可根据三角形内角和定理可计算出∠ECB= （180°﹣∠E）=67°，接着利用平角的定义可计算出∠BCD=180°﹣∠ECB﹣∠DCF=81°，然后根据圆内接四边形的性质计算∠A的度数． 6．（2026九下·萧山一模）已知点A (a， t-1)， B (b， t)均在反比例函数 的图象上，若0<t<1，则下列判断一定正确的是(　　) A．a+b>0 B．a+b<0 C．ab>0 D．ab<0 【答案】D 7．（2026·舟山模拟）已知某函数图象经过(m2，p)，(-m2，-p)， (m2+3，p+4)三个点，则该函数表达式可能为(　　) A． B．y=-2026x C． D． 【答案】C 8．（2026九下·萧山一模）下列计算正确的是(　　) A．1-(x-1)=-x B． C． D． 【答案】D 9．（2026·杭州二模）抛物线当-1≤x≤2时，y的最大值与最小值的差为7，则a的值为（　　） A．1 B． C．或 D．或 【答案】D 【解析】【解答】解：若， ∵， ∴抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最小值为， ∵，，， ∴当时，y取得最大值，最大值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 若， ∵， ∴抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为， ∴y的最大值为， ∵，，， ∴当时，y取得最小值，最小值为， ∵y的最大值与最小值的差为7， ∴， 解得； 综上，a的值为或． 故答案为：D. 【分析】分和两种情况讨论，得到抛物线的对称轴为直线x=1，根据抛物线的增减性求出y的最大值与最小值，根据题意列方程解答即可． 10．如图，正方形 ABCD 的边长为4，E，F分别是BC，CD 上的一动点，且 BE=CF，连结 AE，BF，两线交于点 P，连结 CP，则CP的最小值是(　　) A． B． C． D． 【答案】A 【解析】【解答】解：如图， 取AB中点H， 连接HP， HC， 在 和 中， 点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动， ∴当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值， 中， ∴CP的最小值 故答案为：A . 【分析】证明 即可得到 再取AB中点H， 点P在以点H为圆心，以HP为半径的半圆上运动，因此当H、P、C在同一条直线上时，CP取最小值，依据HP与CH的长，即可得出CP的最小值. 二、填空题(共6题；共18分) 11．（2026八下·杭州期中）若，是方程的两个根，则　 　． 【答案】1 【解析】【解答】解：∵，是方程的两个实数根， ∴，. ∴ ． 故答案为：1. 【分析】利用根与系数的关系得到，，然后把所求代数式因式分解，再整体代入求解即可． 12．（2026·湖州一模）化简(a+b)(a-b)的结果是　 　. 【答案】 【解析】【解答】解： 故答案为 【分析】根据平方差公式直接将(a+b)(a-b)展开即可. 13．（2025·衢州模拟）如图，已知菱形的边长为5，点在边上，将沿折叠，使点的对应点恰好落在边上，且，则的长度为　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：如图，在的延长线上取点，使， ∵四边形是菱形，∴，，，∴ ∵，∴， ∵，∴， 由对折可得：，，∴， ∵，∴，∴， ∴，∴， 设，则，∴， ∴， ∴，即， 故答案为：． 【分析】本题重点考查了折叠变换的性质、菱形的特征、相似三角形的判定与性质，掌握这些知识点是解题的关键。首先过点作垂线交于点，然后在的延长线上选取点，使得。通过分析菱形的特性以及折叠后的几何关系，结合三角形外角定理，可以推导出。根据相似三角形的比例关系得出。假设，则，进一步得到，从而完成解答。 14．（2026·浙江模拟） 某超市进行购物抽奖活动：购物满58元即可参加一次抽奖，共设一等奖、二等奖、三等奖三种奖项，中奖概率，其中一等奖、二等奖、三等奖的比例是，则一名顾客抽奖一次获得一等奖的概率是　 　． 【答案】 【解析】【解答】解：已知一等奖、二等奖、三等奖的比例为，计算总份数：， 因为中奖概率为， 因此抽奖一次获得一等奖的概率为． 故答案为：. 【分析】根据概率公式计算即可． 15．如图，在正方形ABCD中，E，F分别是AD，CD上的点，且AE=CF，连结BE，BF，EF，G是BE的中点，连结AG并延长，交BF于点K. （1）∠AKB=　 　°； （2）连结CK，当线段CK取得最小值时，的值为　 　. 【答案】（1）90 （2） 【解析】【解答】解：(1) 在正方形ABCD中， AB=BC=CD= AD， ∠BAE =∠BCD=90°， 如图所示， 在△ABE与△CBF中， ∴△ABE≌△CBF(SAS)， ∴∠1=∠2， 由条件可知AG = BG = EG， ∴∠1=∠3， ∵∠1+∠2+∠EBF =90°， ∴∠1+∠3+∠EBF=90°， ∵∠1+∠3+∠EBF+∠AKB=180°， ∴∠AKB=90°， 故答案为：90； (2)由条件可知点K在以AB为直径的半圆O上，如图，连接OC交半圆O于点K， ∵AB∥CD， 由条件可知 设OB=a，OK=a，BC=2a 故答案为： 【分析】(1)由正方形的性质及全等三角形的判定得出 得到 继而根据三角形内角和 解得 即可解题； (2)根据 所对的弦是直径，得到K在以AB为直径的半圆上，连接OC交半圆于点K，计算 即可求解. 16．（2026·杭州二模）已知：如图，AB为⊙O的直径，C是半圆上的一点，D为弧BC的中点，点P在半径OB上，且AC=AP，连结CP，DP，BD.若则cos∠CPD=　 　. 【答案】 【解析】【解答】解：如图，连接交于点，连接， ∵D为弧的中点， ∴， ∴，， ∴平分， 又∵， ∴，， ∴是的垂直平分线， ∵点在直线上， ∴， ∴， ∵， ∴设，， ∴，， 在中，， 即． 故答案为：. 【分析】连结交于点，连结，根据弧、弦、圆心角的关系得到，，根据三线合一可得，，即可得到，设，，在中根据余弦的定义解答即可三、解答题(共8题；共72分) 17．（2025·温州模拟） （1）计算：； （2）先化简，再求值：，其中． 【答案】（1）解：原式 （2）解：原式 ， 当 时，原式 【解析】【分析】(1)根据负整数指数幂、零指数幂以及特殊角的三角函数值计算即可； (2)根据分式的混合运算法则把原式化简，代入计算即可。 18．已知二次三项式x2－4x＋m有一个因式是(x＋3)，求另一个因式以及m的值． 【答案】解：设另一个因式为(x＋n)，得x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)， 则x2－4x＋m＝x2＋(n＋3)x＋3n. ∴ 解得n＝－7，m＝－21， ∴另一个因式为(x－7)，m的值为－21. 【解析】【分析】根据题意设另一个因式为(x＋n)，由此可得到x2－4x＋m＝(x＋3)(x＋n)，将等式的右边展开，再根据对应项的系数相等，可建立关于m，n的方程组，解方程组求出n，m的值，就可得到另一个因式。 19．（2026·浙江一模）某校九年级组织了一场趣味运动会，其中“背夹球竞走”项目（如图1）的规则是：每班选出男、女同学各一名，背靠背中间夹一个气球，在直道上从起点出发，侧身走到终点，再原路返回至起点，气球不能落地.若途中气球掉落，须捡回并在掉落处继续行进.用时少者胜.甲、乙两班比赛过程中，甲班途中掉了球，乙班顺利走完了全程，两个班级同学到起点的距离y（m）与比赛时间x（s）的函数关系如图2. （1）求乙班返回时的速度. （2）求DE的函数表达式. （3）求甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，x的值. 【答案】（1）解：因为A（20，60），B（60，0）， 所以乙班返回共用40（s）走完60（m）， 所以乙班返回时的速度为： （2）解：因为D（18，20），E（50，60）， 设DE的表达式为y=kx+b， 把D（18，20），E（50，60）代入得： 解得： 所以DE的表达式为 （3）解：因为O（0，0），A（20，60）， 设OA的函数表达式为y=px，则 20k=60，解得：p=3， 所以OA的函数表达式为y=3x（0≤x≤20）， 由图象可得：OA和CD的交点G表示甲、乙两班同学在途中第一次到起点的距离相同，所以y=3x=20，解得： 因为A（20，60），B（60，0）， 设AB的函数表达式为y=mx+n，则 解得： 所以AB的表达式为 由图象可得：AB和DE的交点H表示甲、乙两班同学在途中第二次到起点的距离相同， 因为DE的表达式为 所以 解得： 综上所述，甲、乙两班同学在途中到起点的距离相同时，或 【解析】【分析】（1）根据函数图象中点的坐标，然后根据速度路程时间计算即可； （2）根据待定系数法求一次函数的额解析式即可； （3）先求出的函数解析式，再利用待定系数法求出直线的解析式，然后联立直线AB和DE的解析式求出x的值解答即可． 20．（2026·慈溪一模）如图，某型号订书机的主要部件托板OA与手柄OB的长度相等，均为10.7cm，其中托板分为弹簧OD，长为1.2cm的推动器DE和书钉EA三段，连杆DF的一端通过销子F与手柄相连，另一端D可在OA 段滑动，当托板与手柄的夹角∠AOB张开到一定大小时，连杆勾住推动器的一端D 并随着∠AOB 的增大拉动推动器向销子O方向移动.现测得销子O，F之间的距离为3.5cm，连杆DF=6cm. （1）当连杆勾住点D时，若DF⊥OB，求此时书钉的长度(结果精确到0.1cm，参考数据： （2）已知一条新书钉的长度为3.5cm，当装好一条新书钉且连杆勾住点D时，求cos∠AOB. 【答案】（1）解：由题意，得：， ∴， ∵， ∴， ∴； 答：此时书钉的长度为； （2）解：过点作， 由题意，得：， 设，则：， 在中，， 在中，， ∴， ∴，解得：， ∴， ∴． 【解析】【分析】（1）先求出DF长，再根据勾股定理求出的长，然后根据线段的和差解答即可； （2）过点作，设，则，在和中根据勾股定理表示FG2，列出方程求出的值，再根据余弦的定义解答即可． 21．（2026·温州模拟）在二次根式的学习中，我们学会了估计一个无理二次根式的整数部分，例如由可得的整数部分为1，接下来如何进一步估算的值呢?小明同学在查询资料后，发现了一种方法：以为例，易知的整数部分为10，且更接近11；则（实际上，） （1）的整数部分为　 　；　 　（结果保留两位小数）. （2）小明在采用这种方法估算时，得到与熟知的数据相差较大；小明仔细思考后发现问题在于的小数部分与1比较接近，因此在分母中用1来代替会产生较大的误差.请你利用所学的知识，结合本题的方法帮助小明估算的值（结果保留三位小数）. 【答案】（1）8；8.88 （2）解： ，更接近1.4， ，， ， ． 【解析】【解答】解：（1）， ， 的整数部分为8； 的整数部分为8，且更接近9，则，， ， ； 故答案为：8；8.88； 【分析】（1）根据无理数的估算求出 的整数部分，然后根据题目所给方法估算 的值即可； （2）先根据无理数的估算得到，再仿照目所给方法进行估算即可. 22． 如图，已知矩形 ABCD，E 为 BC 边上一点，将△ABE 沿 AE 翻折得到△AFE，延长AF 交BC 于点G，连结 DG.若CG=5， （1）求 AB 的长； （2）当 时，求证：G 是EC 的中点. 【答案】（1）解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AD∥BC，AB=CD，∠B=∠C=90°， ∴∠CGD=∠ADG，在Rt△CGD中， cos∠ADG = cos∠CGD = ∴DG=13， （2）证明：由折叠可知BE = EF， ∠B =∠AFE=90°， 设BE = EF=4x， EG = 5x， 则 ∵∠EFG=∠B=90°， ∠EGF =∠AGB， ∴△GEF∽△GAB， 即 解得EF=4， ∴x=1， ∴EG=5=CG， ∴G是EC的中点. 【解析】【分析】(1)根据正方形的性质得出AD∥BC，AB=CD，∠C=90°，解直角三角形求解即可； (2)根据折叠的性质得出BE= EF， ∠B=∠AFE=90°， 则 设BE=EF=4x， EG =5x， 则FG=3x， 根据相似三角形的判定与性质求出EF =4， 进而求出EG=5=CG，根据中点的定义即可得解. 23．（2026·慈溪一模） 已知二次函数m为实数. （1）若m=1，求该函数图象的对称轴. （2）当m+2≤x≤3时，函数y的最大值与最小值之差为8，求m的值. （3）若点且 试比较y1与y2大小. 【答案】（1）解：当时，二次函数的解析式为， 故此时二次函数的对称轴为直线； （2）解：∵， ∴二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵， ∴， ∴， ∴， 故在上，随着的增大而增大， 故当时，取得最小值为， 当时，取得最大值为， ∵函数y的最大值与最小值之差为8， ∴， 解得：（不符合题意舍去），； 故m的值为； （3）解：由（2）可得二次函数对称轴为直线，且二次函数的开口向上， ∵点，，且，， ∴、两点的中点坐标的横坐标为：， 当，即时，、两点关于对称轴对称，此时， 当，即时，点到对称轴的距离大于点到对称轴的距离，此时， 当，即时，点到对称轴的距离小于点到对称轴的距离，此时， 综上所述，当时，；当时，；当时，． 【解析】【分析】（1）求出时二次函数解析式，根据对称轴公式计算解答即可； （2）求出二次函数的对称轴为直线，且二次函数的开口向上，由题意可知，然后得到上函数的增减性，得到最大值和最小值，列方程解答即可； （3）由（2）可得对称轴为直线，且二次函数的开口向上，得到、两点的中点的横坐标为，再分为，或三种情况，根据函数的增减性解答即可． 24．（2025·绍兴模拟）在中，为直径，点C，点D是上两点，分别位于的异侧，连接交与点E． （1）如图，连接，若，求的度数； （2）若点C是的中点． ①如图，点E在上，若，求的值； ②若，直接写出的值． 【答案】（1）解：∵是的直径，∴，即． ∵所对的圆周角和相等， 设，已知， ∴． ∴， 解得， ∴． 答：∠BCD的度数为. （2）解：①连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴ ∴C是的中点． ∴， ∴， 设， ∴，， ∴； ②连接， ∵是的直径， ∴， ∴C是的中点． ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； 由题意分两种情况： Ⅰ）：点在线段上 连接，过作于． ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中， ，即 ， ∴， 在中，， ∴． Ⅱ）：点在线段上 连接，，过作于． ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， 即，则， ∴， 在中， ， ∴． 综上可得：的值为或． 【解析】【分析】（1）利用圆周角定理，由是直径得出，即．再依据同弧所对圆周角相等，设，则，，代入方程求解得出的度数． （2）①连接、，由题意，根据有两个角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式 ．由点是中点得 ，设的值，用勾股定理求出，最后根据三角函数定义=可求解； ②连接OC，分点在线段上和两种情况，作，根据有两个角相等的两个三角形相似可得，由相似三角形的对应边的比相等可得比例式，设，通过勾股定理求和，再根据分别计算两种情况的比值即可． （1）解：∵是的直径， ∴，即． ∵所对的圆周角和相等， 设，已知， ∴． ∴， 解得， ∴． （2）解：①连接，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵为直径， ∴ ∴C是的中点． ∴， ∴， 设， ∴，， ∴； ②连接，∵是的直径， ∴， ∴C是的中点． ∴， ∴， ∴为等腰直角三角形， ∵， ∴， ∴； 情况一：点在线段上 连接，过作于． ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中， ，即 ， ∴， 在中，， ∴． 情况二：点在线段上 连接，，过作于． ∴ ∵， ∴， ∴． 设，则． 在中，， 即，则， ∴， 在中， ， ∴． 综上所述的值为或． 学科网（北京）股份有限公司 $